\chapter{مقدمه‌ای بر کیهان‌شناسی: لزوم وجود ماده تاریک و انرژی تاریک }\label{chapter1} \hypertarget{htchapter1}{} %\allowdisplaybreaks[1] %\thispagestyle{empty} \thispagestyle{plain} \hspace{5mm} %\gi{gi:cosmos} \section{مقدمه} \hspace{5mm} به طور کلی \gi{gi:cosmology}، علم مطالعه جهان به صورت یک کل است. علی‌رغم پیچیدگی‌های عظیم این سیستم ها، می‌توان مدل نسبتاً ساده‌ای برای توصیف دینامیک آن در مقیاس بزرگ ساخت. در این مقیاس‌ها برهمکنش بین اجزاء کیهان توسط قوانین گرانش تعیین می‌شود که به بهترین نحو توسط نظریه نسبیت عام توضیح داده می‌شود\cite{chp1470sh}. بی‌شک مطرح شدن نسبیت عام توسط اینشتین \LTRfootnote{Albert Einstein} ما را قادر کرد به یک تئوری قابل سنجش درکیهان برسیم. فهمیدن این حقیقت که جهان در حال انبساط است و در گذشته بسیار گرم و چگال بوده، سوالات دیرین بشر مانند اینکه چرا ما اینجا هستیم؟ چگونه به اینجا رسیدیم؟ و بسیاری سوالات دیگر را به شکلی جدیدتر تبدیل کرد، از قبیل اینکه عناصر از کجا آمده‌اند؟ چرا جهان همگن و هموار است؟ کهکشان‌ها چگونه در این فضای هموار به وجود آمده‌اند؟ و... این سوالات و بسیاری دیگر پرسش‌هایی کمی هستند که با دانش فیزیک بنیادی و درک درست از شرایط در کیهان اولیه پاسخ داده شده و از آن مهم‌تر با مشاهدات نجومی قابل تطبیق و آزمودن هستند.\\ \section{مفاهیم نسبیت عام} بر اساس نظریه نسبیت عام، هندسه فضا زمان با میزان انرژی موجود در جهان تعیین می‌شود. هندسه حرکت ذرات آزاد را تعیین می‌کند و به طور کلی توسط عنصر خط مشخص می‌شود. \begin{equation}\label{eq:1.1} ds^{2}=g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu} \end{equation} در اینجا $g_{\mu\nu}$ مولفه‌های تانسور متریک هستند. اندیس‌های $\mu$ و $\nu$ به صورتی تعیین می‌شوند که $x^{0}$ نشان دهنده مولفه زمان و $x^{i}$ که $i=1,2,3,...$ ، نشان دهنده مختصات فضایی هستند. برای تعیین عنصر خط یک مدل کیهان‌شناسی، ازتقارن‌های موجود استفاده می‌کنیم. ساده‌ترین آن‌ها مدل کیهان‌شناسی استاندارد است که براساس ویژگی‌هایی چون همگنی \LTRfootnote{Hemoginity} و همسانگردی\LTRfootnote{Isotropy} تعریف شده است. این مشخصات مبنای \textbf{اصل کیهان‌شناسی}\LTRfootnote{Cosmological principle} هستند. مشاهدات CMB همسانگردی را درکیهان به نسبت یک در $10^5$ نشان می‌دهند. همچنین پژوهش‌ها در زمینه نحوه تشکیل ستارگان در کهکشان‌ها نشان داد که جهان در بزرگ مقیاس همگن هم هست\cite{Hoyle:2012pb}. با استفاده از اصل کیهان‌شناسی متریک فضا زمان $FRW$ به صورت زیر نوشته می‌شود \begin{equation}\label{eq:1.2} ds^2=-dt^2+a(t)^{2}\left[ \frac{dr^2}{1-Kr^2}+r^{2}(d\theta^{2}+\sin^{2}\theta d\phi^{2})\right] \end{equation} در اینجا $a(t)$ فاکتور مقیاس است و مسئول انبساط یا انقباض جهان و $K$ ثابتی است که هندسه بخش فضایی را مشخص می‌کند. اگر $K>0$ جهان بسته اگر $K=0$ جهان تخت و در صورتیکه$K<0$ کیهان باز داریم و مسیر حرکت ذرات آزاد از معادله ژئودزیک تبعیت می‌کند \begin{equation}\label{eq:1.3} \frac{d^{2}x^{\mu}}{d\lambda^{2}}+\Gamma_{\alpha\beta}^{\mu}\frac{dx^{\alpha}}{d\lambda}\frac{dx^{\beta}}{d\lambda}=0 \end{equation} پارامتر $\lambda$ مسیر را مشخص می‌کند و $\Gamma_{\alpha\beta}^{\mu}$ نمادهای کریستوفل هستند. نماد کریستوفل به شکل زیر از متریک استخراج می‌شود \begin{equation}\label{eq:1.4} \Gamma_{\alpha\beta}^{\mu}=\frac{g^{\mu\nu}}{2}(\frac{\partial g_{\alpha\nu}}{\partial x^{\beta}}+\frac{\partial g_{\beta\nu}}{\partial x^{\alpha}}-\frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^{\nu}}) \end{equation} در رابطه فوق $g^{\mu\nu}$ معکوس تانسور متریک است به قسمی که$g^{\mu\alpha}g_{\alpha\nu}=\delta_{\nu}^{\mu}$ و $\delta_{\nu}^{\mu}$ دلتای کرونیکرمی‌باشد که جز در حالت $\mu=\nu$ برابر صفر است. برای بدست آوردن $a(t)$ و $K$باید معادلات دینامیکی حاکم بر کیهان را داشته باشیم. در مبحث نسبیت عام این معادلات توسط معادلات اینشتین به دست می‌آیند \begin{equation}\label{eq:1.5} R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=8\pi GT_{\mu\nu} \end{equation} طبق تعریف $R_{\mu\nu}$ تانسور ریچی می‌باشد و بر حسب نماد کریستوفل به صورت زیرتعیین می‌شود \begin{equation}\label{eq:1.6} R_{\mu\nu}=\frac{\partial\Gamma_{\mu\nu}^{\alpha}}{\partial x^{\alpha}}-\frac{\partial\Gamma_{\mu\alpha}^{\alpha}}{\partial x^{\nu}}+\Gamma_{\beta\alpha}^{\alpha}\Gamma_{\mu\nu}^{\beta}-\Gamma_{\beta\nu}^{\alpha}\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta} \end{equation} دراین رابطه $R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$ اسکالر ریچی(یا اسکالر انحنا) و G ثابت جهانی گرانش نیوتنی است. $T_{\mu\nu}$ تانسور انرژی مومنتوم است که حاوی مولفه های مختلف کیهان است. مقادیر سمت چپ رابطه (\ref{eq:1.5}) مقادیر مربوط به هندسه جهان وسمت راست نشان دهنده انرژی کیهان هستند. بنابراین معادلات اینشتین هندسه جهان را به انرژی یا ماده مربوط می‌کند. در بزرگ مقیاس،مولفه‌های کیهان می‌توانند به صورت شاره فرض شوند. کلی ترین صورت تانسور انرژی مومنتوم برای شاره A یعنی $T_{\mu\nu}^{A}$، به صورت زیر است \begin{equation} T_{\mu\nu}^{A}=(P^{A}+\rho^{A})u_{\mu}^{A}u_{\nu}^{A}+g_{\mu\nu}P^{A}+\pi_{\mu\nu}^{A}+ q_{\mu}^{A}u_{\nu}^{A}+q_{\nu}^{A}u_{\mu}^{A} \end{equation}\label{eq:1.7} در این رابطه $\rho_{A}$ چگالی انرژی، $P^{A}$ فشار، $u_{\nu}^{A}$ چاربردار سرعت، $\pi_{\mu\nu}^{A}$ فشار غیر ایزوتروپیک و $q_{\mu}^{A}$ بردار شاره گرمای مربوط به $u_{\nu}^{A}$ است. تانسور کلی انرژی مومنتوم $T_{\mu\nu}=\sum T_{\mu\nu}^{A}$ می‌باشد. اگر شاره‌ای در هر نقطه سرعت $\vec{v}$ را داشته باشد به صورتی که ناظری با همین سرعت شاره اطراف خود را ایزوتروپیک ببیند، به عنوان شاره کامل شناخته می‌شود. در این حالت فشار غیر ایزوتروپیک و شاره گرما بی‌اثر هستند(صفر فرض می‌شوند). با استفاده از متریک FRW و تانسور انرژی مومنتوم و همینطور فرض شاره کامل، معادله اینشتین (\ref{eq:1.5}) ، به دو معادله مستقل تبدیل می‌شود. مولفه زمان –زمان، معادله فریدمن را می‌دهد \begin{equation}\label{eq:1.8} H^2(t)=\frac{8\pi G}{3}\rho(t)-\frac{K}{a^(t)} \end{equation} و مولفه فضایی به رابطه زیر می‌رسد \begin{equation}\label{eq:1.9} \dot{H}^{2}(t)=-4\pi G(\rho(t)+P(t))+\frac{K}{a^{2}(t)} \end{equation} در اینجا $H(t)\equiv\dot{a}(t)/a(t)$ پارامتر هابل خوانده می‌شود و $\rho$ و $P$ چگالی انرژی کل و فشار کل هستند. نماد$ (^{.})$ نشان دهنده مشتق زمانی نسبت به زمان کیهانی $t$ است. چگالی بحرانی یعنی \begin{equation}\label{eq:1.10} \rho _{crit}\equiv\frac{3H^{2}(t)}{8\pi G} \end{equation} به صورتی تعریف شده است که فراوانی هر نوع مولفه در کیهان بتواند با مقایسه با آن اندازه‌گیری شود. با ساخت پارامتر چگالی به صورت زیر \begin{equation}\label{eq:1.11} \Omega=\sum \limits _{A}\Omega_{A}=\sum \limits _{A}\frac{\rho_{A}}{\rho _{crit}} \end{equation} معادله فریدمن با توجه به روابط بالا به این شکل بازنویسی می‌شود \begin{equation}\label{eq:1.12} \Omega -1=\frac{K}{H^{2}(t)a^{2}(t)} \end{equation} از رابطه بالا می‌توان دریافت که انحنای بخش فضایی، $K$ ، توسط مولفه انرژی کیهان مشخص می‌شود درحقیقت \[ \left\{ \begin{array}{l l l} \rho < \rho _{crit}\Rightarrow\Omega <1 \Rightarrow K<0 \\ \rho = \rho _{crit}\Rightarrow\Omega =1 \Rightarrow K=0\\ \rho > \rho _{crit}\Rightarrow\Omega >1 \Rightarrow K>0\\ \end{array} \right. \] برای حل معادله فریدمن (\ref{eq:1.8})و فهمیدن تحول زمانی$a(t)$، می‌بایست از رابطه زمانی $\rho$ با زمان یا فاکتور مقیاس مطلع باشیم. با ترکیب روابط (\ref{eq:1.8}) و (\ref{eq:1.9}) و یا استفاده از رابطه پایستگی تانسور انرژی مومنتوم رابطه زیر به دست می‌آید. \begin{equation} \label{eq:1.13} \dot{\rho}+3H(\rho +P)=0 \end{equation} این رابطه برای چگالی انرژی کل و همینطوربرای مولفه‌های جداگانه برقرار است. بنابراین اگر بدانیم محتویات کیهان چه هستند و معادله حالت آن را داشته باشیم، می‌توان رابطه (\ref{eq:1.8}) را برای هر مولفه حل نموده و ارتباط آن با فاکتور مقیاس را پیدا کرد. دانستن آن همچنین به ما کمک می‌کند معادله فریدمن را حل کنیم. رابطه دیگری نیز وجود دارد که می‌توان آن را از روابط (\ref{eq:1.8}) و (\ref{eq:1.9}) به دست آورد. با حذف $K/a^2$ از دو رابطه فوق، معادله زیر به دست می‌آید \begin{equation} \label{eq:1.14} \frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho+P) \end{equation} این رابطه به ما می‌گوید که انبساط شتابدار تنها در صورتی رخ می‌دهد که $\rho+3P<0$. چون چگالی انرژی می‌بایست مقداری مثبت باشد، نامساوی فوق این معنا را می‌رساند که برای انبساط شتابدار، کیهان باید حاوی مولفه‌ای با فشار منفی باشد. با فرض یک شاره با معادله حالت خطی باروترروپیک $P=w\rho$، شرط وقوع انبساط شتابدار این است که $w<-1/3$ .\\ \section{تحول کیهان و مولفه های تشکیل دهنده} به تانسور انرژی تکانه در سمت راست معادلات اینشتین باز می‌گردیم. در فصل‌های بعد این تانسور را مختل خواهیم کرد اما فعلا تانسور$T_{\nu}^{\mu}$را برای یک سیال کاملا همسانگرد می‌نویسیم % \begin{equation} % T_{\nu}^{\mu}=\left( % \begin{matrix} % -\rho & 0&0&0\\ % 0&{\cal P}&0&0\\ % 0&0&{\cal P}&0\\ % 0&0&0&{\cal P} % \end{matrix} % \right) % \end{equation} \[ T_{\nu}^{\mu}= \left( \begin{array}{l l l l} -\rho & 0&0&0\\ 0&{\cal P}&0&0\\ 0&0&{\cal P}&0\\ 0&0&0&{\cal P} \end{array} \right) \] که ${\cal P}$ فشار سیال است. برای اینکه چگونگی تحول مولفه های تانسور انرژی تکانه را با زمان ببینیم اول حالتی را فرض می‌کنیم که گرانش نداریم و سرعت‌ها ناچیز هستند. فشار و چگالی انرژی در چنین حالتی طبق معادله پیوستگی یعنی $\partial \rho /\partial t=0$ و معادله اویلر تحول می یابند.$\partial {\cal P}/ \partial x^{i}=0$ می‌توانیم این روابط را به یک معادله چهار مولفه‌ای برای تانسور انرژی تکانه تبدیل کنیم$\partial T_{\nu}^{\mu}/\partial x^{\mu}=0$ البته در یک کیهان انبساط یابنده شرط پایستگی باید اصلاح شود. شرط پایستگی برای تانسور انرژی تکانه بیانگر صفر شدن مشتق همورداست. \begin{equation}\label{eq:1.15} T_{\nu;\mu}^{\mu}\equiv\frac{\partial T_{\nu}^{\mu}}{\partial x^{\mu}}+\Gamma_{\alpha \mu}^{\mu}T_{\nu}^{\alpha}-\Gamma_{\nu \mu}^{\alpha}T_{\alpha}^{\mu} \end{equation} با در نظر گرفتن $ \nu=0 $ داریم: \begin{equation}\label{eq:1.16} \partial_{\mu}T_{0}^{\mu}+\Gamma_{\alpha\mu}^{\mu}T_{0}^{\alpha}-\Gamma_{0\mu}^{\alpha}T_{\alpha}^{\mu}=0. \end{equation} به عنوان نتیجه‌ای از همسانگردی اصل کیهان‌شناختی، همه جمله‌های غیر قطری صفر می‌شود، بنابراین $ T^i_0=0 $. یعنی این‌که در رابطه (\ref{eq:1.16}) جمله اول $ \mu $ و در جمله دوم $\alpha$ صفر می‌شود. \begin{equation}\label{eq:1.17} \partial_{0}T_{0}^{0}+\Gamma _{0\mu}^{\mu}T_{0}^{0}-\Gamma _{0\mu}^{\alpha}T_{\alpha}^{\mu}=0. \end{equation} با توجه به تعریف تانسور انرژی- تکانه سیال کامل ، $ T_0^0=-\rho $ بدست می‌آوریم: \begin{equation}\label{eq:1.18} \frac{d\rho}{dt}+\Gamma _{0\mu}^{\mu}(\rho +T_{\alpha}^{\mu})=0. \end{equation} با به کار بردن رابطه (\ref{eq:1.5} ) می‌توان عبارت $\Gamma_{ij}^0=a\dot{a}\gamma_{ij}$ را نتیجه گرفت و قسمت فضایی معادله(\ref{eq:1.16}) به معادله پیوستگی بصورت زیر منجر می‌شود: \begin{equation}\label{eq:1.19} \frac{d\rho}{dt}+3\frac{\dot{a}}a(\rho +P)=0. \end{equation} این معادله نشان می‌دهد که تحول عامل مقیاس چگونه در تحول چگالی عناصر سازنده کیهان تأثیر می‌گذارد و بالعکس. %(شکل (\ref{density}) را ببینید) \section{مولفه های کیهان} برای محاسبه معادله پیوستگی(\ref{eq:1.19}) نیاز به شناخت مولفه ها و محتویات کیهان و دانستن معادله حالت آنها داریم. هر چه در جهان وجود دارد از ذرات بنیادی تشکیل شده است و رفتار عالم به عنوان یک کل از خصوصیات این ذرات تبعیت می‌کند. در اینجا مدل استاندارد فیزیک ذرات را ترسیم کرده و خواص و ویژگی‌های ترکیبات بنیادی که جهان را می‌سازند را توضیح می‌دهیم. \subsection*{مدل استاندارد فیزیک ذرات} مدل استاندارد فیزیک ذرات شامل شناخت ذرات بنیادی سازنده مواد درون کیهان و برهم کنش‌های بین آنهاست. مدل استاندارد در گروه پیمانه‌ای به صورت زیر است. \begin{equation}\label{eq:1.20} G_{ُSM}\equiv SU(3)_{c}\times SU(2)_{L}\times U(1)_{Y} \end{equation} در این عبارت$U(N)$ نمایش دهنده گروه ماتریس‌های یکانی $N\times N$ است و $SU(N)$گروه ویژه ماتریس‌های یکانی است .ماتریس‌های یکانی $N \times N$ دترمینان 1 دارند. بنابراین $SU(3)_{c}$ نمایش دهنده تقارن داخلی هادرونها است، ذراتی که برهم کنش قوی و رنگ بار c دارند. این نظریه به خوبی در QCD توضیح داده شده است.در عبارت فوق $SU(2)_{L}\times U(1)_{Y}$ نشان دهنده تقارن الکترو ضعیف می‌باشد. \\ اجزاء بنیادی ماده فرمیون‌ها با اسپین 1/2 هستند که خود به کوارک‌ها و لپتون‌ها تقسیم می‌شوند. کوارک‌ها با هم هادرون‌هایی مانند پروتون، نوترون، پایون و غیره را می‌سازند. آنها دارای درجه آزادی رنگ بوده و بصورت قوی با هم برهم‌کنش می‌کنند و در QCD کاملا بررسی و توصیف شده‌اند. لپتون‌ها شامل نوترینو و الکترون دارای رنگ نبوده در نتیجه برهم کنش قوی ندارند. نوترینو بارالکتریکی نیز ندارد و دینامیک آن تحت تاثیر برهم کنش ضعیف است. در مدل استاندارد برهمکنش بین کوارک‌ها و لپتون‌ها توسط بوزون واسطه پیمانه‌ای با اسپین 1 صورت می‌گیرد. 5 نوع بوزون پیمانه ای وجود دارد:فوتون‌ها که مسئول برهم کنش الکترومغناطیسی هستند،$W^{\pm}$ و$Z^{0}$ که واسطه برهم کنش ضعیف می‌باشند ودر نهایت گلئون‌ها که در برهم کنش قوی دخیل هستند. کوارک‌ها و لپتون‌ها در سه نسل قرار می‌گیرند. ذرات واقع در هر نسل، اعداد کوانتومی یکسان دارند اما جرم یکسانی ندارند. خانواده اول کمترین جرم وخانواده سوم سنگین‌ترین هستند. نوترینوها هیچ بار الکتریکی ندارند و شرکای لپتونی آنها یعنی الکترون‌ها دارای بار $-1$هستند. همه اینها دارای پاد ذراتی با جرم همسان و عدد کوانتومی متضاد هستند. \\ آخرین عضو مدل استاندار بوزون هیگز است که ذره‌ای اسکالر و مسئول مکانیزم هیگز است. در گروه پیمانه‌ای ذرات نمی‌توانند دارای جرم باشند در غیر اینصورت نمی‌توانند تقارن‌ها را حفظ کنند. بنابراین برای به وجود آمدن ذرات دارای جرمی که در طبیعت مشاهده می‌کنیم، باید در زمان خاصی تقارن گروه(\ref{eq:1.20}) شکسته شود. مکانیزم هیگز مسئول این شکست تقارن ناگهانی SBB است. جایی‌که لاگرانژی تحت (\ref{eq:1.20}) متقارن بماند \begin{equation}\label{eq:1.21} SU(3)_{c}\times SU(2)_{L}\times U(1)_{Y}\rightarrow SU(3)_{c} \times U(1)_{Q} \end{equation} مدل استاندارد به خوبی با ذرات مشاهده شده و برهمکنش‌های بین آنها تطابق دارد. البته از دیدگاه نظری چند مشکل عمده وجود دارد. تئوری‌های بنیادی‌تر مانند گرانش باید در حد انرژی‌های ضعیف با مدل استاندارد همخوانی داشته باشند در صورتی که مدل استاندارد ذرات شامل گرانش نیست. در مقیاس‌های بزرگ تنها برهمکنش گرانشی حکم‌فرماست وبرهم کنش قوی و ضعیف تنها در گستره هسته‌ای کار می‌کنند. برهم کنش‌های الکترومغناطیسی نیز در ابعاد بزرگ کار نمی‌کنند هرچند در کیهان اولیه که داغ و چگال بوده مهم بودند اما بعداْ در اکثر دوره ها صرفنظر می‌شوند. \subsection*{فوتون} اساساً تمام اطلاعات جهان بیرون توسط فوتون‌ها به ما داده می‌شود که توزیع همگن و همسانگردی از مرتبه 1 در $10^5$ دارد.\\ برای یک گاز رقیق مانند فوتون با برهمکنش ضعیف که دارای درجات آزادی داخلی $g_{\ast}$است، چگالی عددی $n$، چگالی انرژی $\rho$ فشار $P$ با روابط زیر داده می‌شود \begin{equation}\label{eq:1.22} n=\frac{g_{\ast}}{(2\pi)^3}\int f(\vec{x},\vec{p})d^{3}p \end{equation} \begin{equation}\label{eq:1.23} \rho=\frac{g_{\ast}}{(2\pi)^3}\int E(\vec{p}) f(\vec{x},\vec{p})d^{3}p \end{equation} \begin{equation}\label{eq:1.24} P=\frac{g_{\ast}}{(2\pi)^3}\int \frac{\mid \vec{p}\mid ^{2}}{3E(\vec{p})} f(\vec{x},\vec{p})d^{3}p \end{equation} در عبارات بالا $E^{2} =\mid\vec{p}\mid^{2}+m^{2}$و $f(\vec{x},\vec{p})$ تابع توزیع فضای فاز است یا (عدد اشغال) که تعداد ذرات در اطراف مکان $\vec{x}$ با تکانه $\vec{p}$ در فضای فاز را نشان می‌دهد. اگر مولفه‌ای در تعادل باشد یعنی تعادل در دمای $T$ ، تابع توزیع به صورت زیر است \begin{equation} f(\vec{x},\vec{p})=\frac{1}{e^{(E-\mu)/T}\pm1} \end{equation}\label{eq:1.25} در اینجا $\mu$ پتانسیل شیمیایی است. فرمیون‌ها از آمار فرمی دیراک تبعیت می‌کنند (عبارت بالا با علامت $+1$ ) و بوزونها از آمار بوز اینشتین تبعیت می‌کنند (عبارت فوق با علامت $-1$) با ترکیب دو رابطه(\ref{eq:1.23})و (\ref{eq:1.24}) برای ذرات نسبیتی $(k_{B}T\gg m)$ خواهیم داشت \begin{equation} P=\frac{1}{3}\rho \end{equation}\label{eq:1.26} بنابراین فوتونها از معادله حالت خطی باروتروپیک با تبعیت می‌کنند با پارامتر حالت $w=1/3$. می‌توان دید که تحول چگالی انرژی آنها به صورت $\rho_{\gamma}\propto a^{-4}$ است. فوتون‌ها می‌توانند به شکل یک گاز با دمای اعلام شده توسط COBE و پتانسیل شیمیایی $\mu=0$ در نظر گرفته شوند چرا که به راحتی خلق ونابود می‌شوند. درحقیقت از نظر مشاهداتی حدی بر پتانسیل شیمیایی یافت شده است$\mid \mu\mid/T<9\times 10^{-5}$ بنابراین می‌توان به راحتی از آن صرفنظر کرد. با فرضیات فوق و دانستن اینکه فوتون به واسطه قطبش دو حالت تبهگن دارد خواهیم داشت \begin{equation} \rho_{\gamma}=\frac{\pi ^2}{15}T^4 \end{equation}\label{eq:1.27} چون $\rho _{\gamma}\propto a^{-4}$، دمای CMB به صورت $T\propto a^{-1}$تغییر می‌کند و چگالی انرژی فوتون نسبت به چگالی بحرانی به شکل زیر به دست می‌آید \begin{equation} \frac{\rho_{\gamma}}{\rho_{crit}}=\frac{\pi ^2}{15}\left(\frac{2.725 K}{a}\right)^{4}\frac{1}{8.098\times 10^{-11}h^{2}eV^{4}}=\frac{2.47\times 10^{-5}}{h^{2}a^{4}} \end{equation} \label{eq:1.28} در این عبارتh ثابت هابل است $H_{0}=100 h km sec^{-1}Mpc^{-1}$و ما ازاین فرض که $1 eV=11605 K$ استفاده کرده‌ایم. با جایگزینی مقدار مشاهداتی $h$ در عبارت بالا و بهنجار کردن مقدار $a_{0}=1$ خواهیم داشت $\Omega_{\gamma 0}\approx 5\times10^{-5}$ \subsection*{باریون‌ها} در حالت کلی در کیهان‌شناسی پروتون‌ها و نوترون‌ها و الکترون‌ها که اتم‌های مواد را تشکیل می‌دهند باریون می‌نامیم. هرچند الکترون‌ها باریون نبوده و جزو لپتون‌ها به شمار می‌روند به دلیل اینکه جرم این ذرات در قیاس با پروتون و نوترون قابل اغماض است، می‌توان فرض کرد اتم‌ها از باریون‌ها تشکیل شده‌اند. به این ترتیب باریون‌ها تمام انواع ماده موجود در عالم را تشکیل می‌دهند.\\ باریون به ذره ای گفته می‌شود که از سه کوارک تشکیل می‌شود یک پروتون از دو کوارک بالا هر یک با بار الکتریکی $+\frac{2}{3}$ و یک کوارک پایین با بار $-\frac{2}{3}$ ساخته شده است یک نوترون شامل یک کوارک بالا و دو کوارک پایین است. بنابراین پروتون دارای بار 1+ و نوترون از نظر الکتریکی خنثی است. پروتون‌ها و نوترون‌ها از نظر جرم یا به طور معادل انرژی سکون نیز باهم اختلاف دارند.جرم سکون پروتون $m_{p}c^2=938.3$ است و جرم نوترون $m_{n}c^2=939.6$ یعنی حدود 0.1 درصد بیشتر از پروتون است. نوترون‌های آزاد ناپایدارند و با زمان واپاشی $\tau_{n}=890s$ حدود یک ربع ساعت به پروتون واپاشی می‌کند. اما پروتون‌ها در زمانی بیش از عمر کیهان واپاشی می‌کنند. نوترون‌ها را با مقید کردن در یک هسته توسط یک یا چند پروتون می‌توان پایدار کرد. الکترون‌ها از کوارک تشکیل نشده‌اند و در اصل جزء لپتون‌ها دسته بندی می‌شوند. جرم سکون الکترون بسیار کوچکتر از پروتون و نوترون حدود $m_{e}c^2=0.511 MeV$ است. بار آن هم اندازه و مخالف با بار پروتون است. از آنجا که عالم در مقیاس‌های بزرگ از نظر الکتریکی خنثی است تعداد الکترون‌ها برابر پروتون‌ها است. چون جرم الکترون حدود 1.1836 جرم پروتون است به عنوان یک اختلال کوچک در جرم پروتون و نوترون محسوب می‌شود. به همین دلیل مجموعه یون‌ها اتم‌ها و مولکول‌ها به عنوان ماده باریون ذکر می‌شوند چرا که پروتون‌ها و نوترون‌ها به طور بارز در چگالی جرمی عالم شرکت می‌کنند. با استفاده از روابط (\ref{eq:1.22}) و (\ref{eq:1.23})و (\ref{eq:1.24}) و برای ذرات غیر نسبیتی که $m\gg k_{B}T$، هر دو مولفه فرمیونی و بوزونی به روابط یکسانی برای چگالی عددی و چگالی انرژی و فشار می‌رسند \begin{eqnarray} n=g_{\ast}\left( \frac{mT}{2\pi}\right) ^{3/2}e^{-(m-\mu)/T}\\ \rho=mn\\ P=nT\ll\rho \end{eqnarray}\label{eq:1.29} با ترکیب این روابط می‌توانیم معادله حالت $P(\rho)=w\rho\approx0$ را برای ذرات غیر نسبیتی بنویسیم. در حالت ایده‌آل می‌توان فرض کرد که $w=const. =0$. بنابراین به دلیل اینکه باریون‌ها ذرات غیر نسبیتی هستند از رابطه $w=0$ تبعیت می‌کنند. با این معادله حالت، معادله پیوستگی نتیجه می‌دهد$\rho\propto a^{-3}$.\\ حال چگالی انرژی باریون‌ها را می‌دانیم و تحول آن را با فاکتور مقیاس به دست آوردیم. اگر مقدار انرژی در یک زمان مشخص را بدانیم می‌توان کل تاریخچه کیهان را به دست آورد. هرچند با اینکه فوتونهای CMB می‌توانند به صورت گازی با دمای T و پتانسیل شیمیایی صفر فرض شوند، معادلات بالا نشان می‌دهند که چگالی انرژی ذرات غیر نسبیتی تنها به دما بستگی ندارد. بنابراین برای به دست آوردن چگالی انرژی ذرات غیر نسبیتی باید مستقیما به مشاهدات رجوع کرد.\\ چهار روش برای به دست آوردن چگالی باریون‌ها وجود دارد که همه آنها در توافق با هم هستند. اولین روش مشاهده باریون‌ها در کهکشان‌ها با اندازه گیری جرم ستارگان و جرم گازهای خوشه‌های کهکشانی است. روش دوم مشاهده طیف کوازارهای دوردست است. روش سوم مطالعه ناهمسانگردی‌های کیهانی است که مستقیما به چگالی باریونها بستگی دارد. روش آخر تخمین فراوانی عناصر سبک می‌باشد. همه این روش‌ها چگالی باریون را درکیهان مقداری بین 2-5 درصد چگالی بحرانی تخمین می‌زنند. \subsection*{نوترینوها} نوترینوها یکی از اجزای سازنده کیهان می‌باشند که برهم کنش ضعیفی با با دیگر ذرات دارند و در فرایندهای واپاشی رادیواکتیو تولید می‌شوند. اگرچه اکنون شواهد تجربی بارزی مبنی برجرمدار بودن نوترینوها موجود است، اما اینکه آیا جرم به اندازه کافی بزرگ هست تا اثرات کیهان شناسی داشته باشد یا نه سوالی است که هنوز پاسخ مشخصی ندارد و در مدل‌های کیهانشناسی معمولا فرض می‌شود که نوترینوها جرم صفر دارند. به دلیل برهم کنش ضعیف نوترینوها ،آشکارسازی آنها بسیار دشوار است. نوترینویی که در خورشید تولید می‌شود باید از یک جامد سربی به ضخامت چند پارسک عبور کند تا با احتمال 50 درصد با یک اتم سرب برهم‌کنش نماید. نوترینوها دارای سه نوع متفاوت هستند که در اصطلاح طعم‌های نوترینو گفته می‌شوند. نوترینوی الکترون$\nu_{e}$ نوترینوی میون$\nu_{\mu}$ نوترینوی تاو$\nu_{\tau}$. مدرک تجربی که دال برجرم دار بودن نوترینو‌ها است، مشاهده نوسان طعم نوترینوهای رسیده از خورشید می‌باشد نرخ نوسان از طعمی به طعمی دیگر متناسب با تفاضل مجذور جرم‌های نوترینوی هر طعم است. اندازه گیری نوترینوهای رسیده از خورشید و دیگر آزمایش‌ها حدهایی برای اختلاف تفاضل جرم‌ها قرار داده‌اند اما متاسفانه هیچ کدام جرم هریک از نوترینو ها را به ما نمی‌دهد.\\ نوترینوها با پلاسمای اولیه کیهانی در تعادل بودند. در آن زمان دما از مرتبه جرم الکترون بود. اندکی قبل از نابودی زوج الکترون پوزیترون، نوترینوها از پلاسمای کیهانی جدا شدند. همین مساله باعث شد این ذرات هیچ سهمی از انرژی از این فرآیند نبرند و درنتیجه فوتون‌ها داغتر از نوترینوها باشند. از قانون دوم ترمودینامیک داریم \begin{equation}\label{eq:1.30} TdS=d(\rho V)+PdV-\mu d(nV) \end{equation} چگالی آنتروپی به دست آمده با رابطه زیر مشخص می‌شود \begin{equation}\label{eq:1.31} s\equiv \frac{\rho+P-\mu n}{T} \end{equation} تمامی شواهد نشان می‌دهندکه $\mid\mu\mid \ll T$. می‌توانیم فرض کنیم تمام پتانسیل‌های شیمیایی صفر هستند. بنابراین استفاده از پایستگی انرژی(\ref{eq:1.13}) نشان می‌دهد آنتروپی در حجم همراه پایسته می‌ماند $sa^{3}=const.$.\\روابط (\ref{eq:1.23}) و(\ref{eq:1.31}) نشان می‌دهند بوزون‌های بدون جرم سهمی به اندازه $2\pi^{2}T^{3}/45$ در چگالی آنتروپی هر حالت تبهگن دارند. فرمیون‌های بدون جرم میزان $\frac{7}{8}$ از این مقدار سهم دارند. از روابط(41.1) ،(42.1) و(43.1) می‌بینیم که ذرات جرم دار سهم ناچیزی در چگالی آنتروپی دارند. قبل از نابودی زوج الکترون و پوزیترون ذراتی که در پلاسمای کیهانی در تعادل بودند الکترون، پوزیترون، نوترینو، آنتی‌نوترینو و فوتون بودند. با درنظر گرفتن تبهگنی این ذرات چگالی آنتروپی در زمان $a_1$ به دست می‌آید \begin{equation} s(a_1)=\frac{2\pi^{2}}{45}T_{1}^{3}\left[ 2+\frac{7}{8}(2+2+3+3)\right] =\frac{43\pi^2}{90}T_{1}^{3} \end{equation}\label{eq:1.32} بعد از نابودی زوج الکترون پوزیترون، هیچ الکترون یا پوزیترونی و جود ندارد و نوترینوها با فوتون در تعادل نیستند. دمای نوترینو با عکس فاکتور مقیاس متناسب است $a_{1}T_{1}=a_{2}T_{2}$ پس در نهایت داریم \begin{equation} \frac{T_{\nu}}{T_{\gamma}}=\left(\frac{4}{11}\right)^{1/3} \end{equation}\label{eq:1.33} حال می‌توان دما رابه نوترینو ربط داد. برای یک فرمیون بدون جرم رابطه را استفاده میکنیم. هرنوترینو یک درجه آزادی دارد و سه نسل از این نوترینوها با در نظر گرفتن پاد ذرات مربوطه در نظر می‌گیریم و 6 درجه آزادی خواهد داشت به این ترتیب \begin{equation} \rho_{\nu}=\frac{7\pi^{2}}{40}\left( \frac{4}{11}\right)^{4/3}T_{\gamma}^{4} \end{equation}\label{eq:1.34} بنابراین چگالی نوترینوها نسبت به چگالی بحرانی به صورت زیر نوشته می‌شود \begin{equation} \Omega_{\nu}=\frac{\rho_{\nu 0}}{\rho_{crit 0}}=\frac{1.68\times 10^{-5}}{h^2} \end{equation}\label{eq:1.35} در حقیقت به نظر می‌رسد نوترینوها دارای جرم باشندچرا که از مشاهدات منظومه شمسی \cite{Bachcall:1989jn} و نوترینوهای جو \cite{Fukuda:1998y} چنین برمی‌آید . البته در دوره‌ایی که دما بسیار بزرگتر از جرم پیش‌بینی شده نوترینو باشد، می‌توان آن‌ها را بدون جرم فرض کرد. تنها زمانی که $k_{B}T\sim m_{\nu}$ یا حتی کمتر از این مقدار، مجبوریم که جرم نوترینو را در نظر بیاوریم. برای یک نوترینوی دارای جرم چگالی انرژی نسبی بصورت زیر است \cite{Dodelson:2003s} \begin{equation} \Omega_{\nu 0}=\frac{m_{\nu}}{94h^{2}eV} \end{equation}\label{eq:1.36} بر عکس باریون و فوتون نوترینوهای کیهانی هنوز مشاهده نشده‌اند و این نتایج تماماْ از بحث‌های تئوری نتیجه شده‌اند. \subsection*{ماده تاریک} یکی از مهم‌ترین و اسرارآمیزترین مولفه‌های کیهان، ماده تاریک است. کیهان‌شناسان به چیزی که بسیار پرجرم است (حدود ۲۸ درصد از کیهان را شامل می‌شود) و هیچ نور قابل آشکارسازی از خود ساطع نمی‌کند ماده تاریک می‌گویند. ماده تاریک نقش عمده‌ای درتشکیل ساختارها دارد و تا کنون پیشنهادهای مختلفی برای ماده تاریک ارایه شده‌است. متداول‌ترین پیشنهادها به این قرارند \begin{itemize} \item [1.] ماده باریونی به شکل اجسام هاله ای فشرده پرجرم(MACHO) \item [2.] ماده تاریک داغ HDM یا ذرات بنیادی دارای حرکت سریع نظیر نوترینوها \item [3.] ماده تاریک سرد CDM به شکل ذرات جرم دار دارای برهم کنش ضعیف WIMPs \end{itemize}‌ در حال حاضر ماده تاریک سرد مقبول‌ترین کاندید برای ماده تاریک می‌باشد. این امکان نیز وجود دارد که مخلوطی از دو یا چند ماده تاریک وجود داشته باشد. شواهد بسیاری مبنی بر وجود ماده تاریک وجود دارند. از شواهد در مقیاس‌های کهکشانی تا مقیاس‌های کیهانی که نشان‌دهنده یک مولفه جدید در جهان یا انحرافاتی از قوانین شناخته شده گرانشی هست. اگر واقعاْ یک مولفه جدید باشد برهمکنش الکترومغناطیسی از آن رویت نشده و تنها اثرات گرانشی آن محسوس است بنابراین به آن \textbf{ماده تاریک} گفته می‌شود. در مقیاس کهکشانی دلیل قانع کننده وجود ماده تاریک، مشاهدات منحنی چرخش کهکشان‌ها هستند. منحنی چرخش کهکشان از اندازه‌گیری سرعت دایره‌ای ستارگان و گازها به عنوان تابعی از فاصله تا مرکز کهکشان، به دست می‌آید . از دیدگاه نظری و با استفاده از دینامیک نیوتنی انتظار داریم سرعت دایره‌ای از رابطه زیر تبعیت کند \begin{equation}\label{eq:1.37} v(r)=\sqrt{\frac{GM(r)}{r}} \end{equation} در نتیجه$M(r)$ جرم محاط در شعاع $r$و $\rho(r)$پروفایل چگالی جرم است. این رابطه به ما می‌گوید ورای دیسک اپتیکی سرعت دایره‌ای به صورت $v(r)\propto 1/\sqrt{r}$ تغییر می‌کند در صورتی که مشاهدات نشان میدهند این منحنی چرخش‌ها در فواصل دورتر از مرکز کهکشان رفتاری متفاوت دارند و به صورت تخت در می‌آید. در شکل(\ref{figrota}) دیده می‌شود در فواصل بزرگتر از $5kpc$ به جای اینکه سرعت کم شود به یک سرعت مجانبی ثابت میل می‌کند.\\ \begin{figure}[!h] \begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{Image/rocurve.jpg} \caption{ منحنی سرعت چرخش کهکشان ومقایسه با دیتا \cite{Kamionskowski:1998m}} \end{center} \end{figure}\label{figrota} اولین شواهد مبنی بر وجود ماده تاریک توسط زویکی \LTRfootnote{Zwicky} در 1993 مطرح شد. با مطالعه خوشه کوما نسبت جرم به نور 400 به دست آمد (جرم خورشیدی به درخشندگی خورشیدی) یعنی جرم آن را دو مرتبه بزرگتر آن چیزی که پیش بینی شده بود، نشان داد. به عبارت دیگر برای اینکه خوشه ها مقید شوند باید مقدار زیادی جرم غیر مر‌ئی در آنها وجود داشته باشد.\\ جرم یک خوشه کهکشانی می‌تواند به طرق مختلفی به دست آید. با استفاده از قضیه ویریال به توزیع سرعت‌های شعاعی مشاهده شده، مشاهدات لنزینگ ضعیف و از طریق تابش اشعه ایکس گازهای داغ داخل خوشه. هر دو روش مقدار $\Omega_{m}\sim 0.2-0.3$ را به ما می‌دهد. در مقیاس کیهانی مشاهدات مربوط به ناهمسانگردی‌های مشاهده شده در تابش زمینه کیهانی، قیدهای قوی مشاهداتی بر مقدار باریون و ماده تاریک موجود درکیهان قرار داده است. مشاهدات و اندازه‌گیری‌های کیهانی اخیر، مقدار $\Omega_{m}\sim 0.228 \pm 0.013$ را نشان می‌د‌هند. تمام این شواهد نشان دهنده این است که باید مولفه‌ای در کیهان و جود داشته باشد که حدوداً 25 درصد چگالی انرژی کل کیهان را شامل شود. باریون‌ها تنها سهم 5 درصد از کل چگالی انرژی را دارند. پس این مولفه نمی‌تواند از جنس باریون‌ها باشد. به دلیل اینکه بر هم کنش الکترومغناطیسی ندارد،\\ اولین کاندیدا نوترینوها هستند. البته از رابطه (\ref{eq:1.36}) حد بالایی برای جرم نوترینو وجود دارد \cite{Dodelson:2003s} \begin{equation}\label{eq:1.38} \Omega_{\nu}h^{0}\leq 0.07 \end{equation} به این معناست که مقدار نوترینوی کافی وجود ندارد که بتواند کاندید ماده تاریک باشد. بنابراین ماده تاریک واقعا یک مولفه جدید است. \subsection*{انرژی تاریک} مشاهدات مربوط به ناهمسانگردی تابش زمینه کیهانی نشان داد که جهان تقریبا تخت است \cite{Miller:1999a} ، \cite{ chp3o144} ، \cite{chp3n19}. البته این مسئله برای ما دور از انتظار نیست چرا که نظریات کیهان‌شناسی مانند تورم به خوبی این مسأله را پیش بینی کرده‌اند. این یعنی چگالی انرژی کل باید بسیار نزدیک به چگالی انرژی بحرانی باشد درحالیکه جمع کلیه مولفه‌های تشکیل دهنده کیهان از 30 درصد ماده تشکیل دهنده آن تجاوز نمی‌کند. با درنظر گرفتن اینکه کیهان تقریبا تخت است $\mid \Omega_{K}^{(0)}\mid\lesssim 0.01$ باید ماهیت مولفه ناشناخته که 70 درصد چگالی انرژی کیهان را تشکیل می‌دهد را مشخص کنیم. این مولفه مرموز \textbf{انرژی تاریک} نامیده شده است و مسئول انبساط شتابدار کیهان است. بهترین مدلی که امروزه با مشاهدات در توافق است مدل لاندا سی دی ام است. چگالی انرژی این مدل بر حسب مکان و زمان ثابت است و تغییرات فضایی ندارد. سازگاری این مدل با بسیاری از مشاهدات ثابت شده است. اما دو مشکل نظری بزرگ در رابطه با این مدل وجود دارد. اولین مشکل وقتی به وجود می‌آید که بخواهیم ثابت کیهان‌شناسی را به انرژی خلاء ربط دهیم. در نظریه میدان کوانتومی معمولا طول قطع را برای انرژی معرفی می‌کنیم. حد پایینی که معرفی می‌کنیم جرم کاهش یافته پلانک یعنی $\rho_{vac}\sim M_{pl}^{4}\sim10^{73}(GeV)^{4}$ است درصورتی که چگالی انرژی امروز کیهان مقدار $\rho_{\Lambda}=3M_{pl}^{2}H_{0}^{2} \Omega_{\lambda}\sim10^{-47}(GeV)^{4}$است . با این تفاسیر تفاوتی از مرتبه 120 برابر بین این دو وجود دارد. این میزان اختلاف بین نظریه و مشاهدات، مساله تنظیم ظریف\LTRfootnote{ fine tunning} نام دارد.\\ مشکل دوم وقتی به وجود می‌آید که می‌خواهیم تحول مولفه های مختلف را بررسی کنیم. همانطور که دیدیم ماده غیر نسبیتی یعنی ماده تاریک و باریونی به صورت $\rho_{m}\propto a^{-3}$ ، تابش به شکل $\rho_{r}\propto a^{-4}$ و ثابت کیهان‌شناسی $\rho_{\Lambda}=const$ مقداری ثابت دارد. پس هر مولفه معادله تحول جداگانه دارد. سوالی که پیش می‌آید اینست که چرا در کل تاریخ تحول کیهان، باید مرتبه چگالی انرژی تاریک و ماده دقیقاً در مقطع زمانی کنونی یکسان باشد. در صورتی که مرتبه آن کوچکتر بود انبساط شتابدار رخ نمی‌داد و اگر بزرگتر بود مدت‌ها بعد وارد فاز انبساط شتابدار می‌شد. این مشکل تطابق \LTRfootnote{coincidence} نام دارد. مشکلات مدل لاندا سی دی ام محققین را برآن داشته تا به دنبال مدل‌های جایگزین برای انرژی تاریک به جای مدل لاندا باشند. \section{فواصل کیهانی} همانطور که در بخش (2.1) مطرح شد با حل دستگاه معادلات از معادله فریدمن و معادله پیوستگی به ما این توان را می‌دهد که تحول فاکتور مقیاس $a(t)$ را به دست آوریم و در نتیجه تاریخچه کیهان رابشناسیم. البته برای حل این دستگاه معادلات، به دانستن مقادیر پارامترهایی چون $K$، مقادیر اولیه $H(t)$، چگالی انرژی اولیه کل مولفه‌های تشکیل دهنده کیهان و معادله حالت آنها که به طور معمول به شکل $w=\frac{P}{\rho}$ فرض می‌شود، نیازخواهیم داشت. برای توضیح جهان واقعی، این پارامترها باید با مشاهدات توافق داشته باشند. به طور واضح‌تر به مشاهده پذیرهایی نیاز داریم که به ما این اجازه را می‌دهند تا آنها را با مشاهدات رصدی مقایسه کنیم. یک گام بنیادی برای مقایسه تئوری با مشاهدات، اندازه گیری فاصله‌ها در مقیاس کیهانی است. این اندازه‌گیری‌ها ما را قادر می‌سازد مشاهدات فیزیکی را با پارامترهای مدل خود مقایسه کرده و که قیدهای موجود را را تعیین کنیم و از این طریق پیش‌بینی‌هایی برا ما میسر شود. راه‌های زیادی برای تعیین فواصل در کیهانشناسی وجود دارد که به آنها اشاره می‌کنیم.\\ از تعریف عنصر خط متریک FRW، می‌دانیم حرکت پرتو نوری در راستای شعاعی از رابطه ژئودزیک تبعیت می‌کند \begin{equation}\label{eq:1.39} ds^{2}=-dt^{2}+a^{2}(t)d\chi^{2}=0 \end{equation} فرض می‌شود $d\chi \equiv dr/(1-Kr^2)^{1/2}$. بنابراین اگر فرض شود پرتو نوری در زمان $t=0$ شروع به حرکت کرده است فاصله همراهی کل که می‌تواند در مدت زمان $t$ طی کند به شکل زیر محاسبه می‌شود \begin{equation} \eta\equiv \int \limits_{0}^{t}\frac{dt'}{a(t')} \end{equation}\label{eq:1.40} در این رابطه $\eta$ افق همراه قلمداد می‌شود. به دلیل تغییرات یکنوای صعودی می‌توان آنرا متغیر زمانی نیز دانست که به آن زمان همدیس گفته می‌شود. با استفاده از(\ref{eq:1.39})، فاصله همراه از یک جسم دور در فاکتور مقیاس $a$ به صورت زیر به دست می‌آید \begin{equation} \label{eq:1.41} \chi(a)=\int \limits_{t(a)}^{t_0}\frac{dt'}{a(t')}=\int \limits_{a}^{a_0}\frac{da'}{a'^{2}H(a')} \end{equation} اندیس صفر نشان‌دهنده مقادیر زمان حال هستند. مختصات همراه در طول دوران انبساط ثابت می‌مانند. بنابراین استفاده از رابطه بالا پرتو نوری که در زمان $t+\delta t$ ساطع شده و در زمان $t_0+\delta t_0$ رصد می‌شود از رابطه زیر تبعیت می‌کند \begin{equation} \label{eq:1.42} \int \limits_{t}^{t_0}\frac{dt'}{a(t')}=\int \limits_{t+\delta t}^{t_{0}+\delta t_{0}}\frac{dt'}{a(t')} \end{equation} با تنظیم مجدد حدود انتگرال فوق خواهیم داشت \begin{equation} \label{eq:1.43} \int \limits_{t}^{t+\delta t}\frac{dt'}{a(t')}=\int \limits_{t_{0}}^{t_0+\delta t_0}\frac{dt'}{a(t')} \end{equation} در مرتبه اول از $\delta t$ داریم \begin{equation} \label{eq:1.44} \frac{\delta t}{a(t)}=\frac{\delta t_0}{a(t_0)} \end{equation} اگر $\delta t$ دوره زمانی تابش پرتو نوری و $\delta t_0$ دوره زمانی آشکار سازی آن باشد، فرکانس$\nu$ موج عکس دوره زمانی فوق و طول موج $\lambda=c/\nu$ است پس در نتیجه داریم \begin{equation} \label{eq:1.45} 1+z=\frac{\nu_{emit}}{\nu_{obs}}=\frac{\lambda_{obs}}{\lambda _{emit}}=\frac{a_0}{a} \end{equation} این رابطه اثر دوپلر کیهانی مربوط با انبساط یا انقباض کیهان را نشان می‌دهد. برای توجیه این اثر $z$ را به عنوان انتقال به سرخ معرفی می‌کنیم. رابطه بالا اجازه می‌دهد در صورت انتشار پرتو نوری انتقال سرخ یک جسم دور را به فاکتور مقیاس آن ربط دهیم.\\ اساساً دو راه برای تعیین فواصل درکیهان‌شناسی وجود دارد. استفاده از خط کش استاندارد یا شمع استاندارد. سالیان سال، منجمین با دانستن مثلثات فواصل را به خوبی استخراج می‌کردند. با اندازه گیری زاویه $\theta$ که جسم فیزیکی دارای اندازه فیزیکی$l$ می‌سازد، فاصله تا این جسم به صورت زیر به دست می‌آید \begin{equation} \label{eq:1.46} d_{A}=\frac{l}{2 \tan (\theta /2)}\approx\frac{l}{\theta} \end{equation} با فرض اینکه زاویه فوق کوچک باشد تقریب بالا درست است. از سویی با استفاده از تعریف متریک رابطه (\ref{eq:1.2}) می‌توان مشاهده کرد که طول فیزیکی $l$ یک جسم با استفاده از زاویه $\theta$ قابل تعریف است و از رابطه زیر به دست می‌آید \begin{equation} \label{eq:1.47} l=a(t)r\theta \end{equation} در نتیجه با مقایسه روابط (\ref{eq:1.46}) و (\ref{eq:1.47}) مشاهده می‌کنیم که فاصله قطر زاویه‌ای به شکل زیر است %\begin{equation} %d_{A}=a(t)r=a(t) %\left\lbrace %\begin{matrix} %\frac{1}{H_{0}\sqrt{\Omega_{k0}}}\sinh(H_{0}\sqrt{\Omega_{k0}}\chi) & \Omega_{k}>0\\ %\chi & \Omega_{k}=0\\ %\frac{1}{H_{0}\sqrt{-\Omega_{k0}}}\sinh(H_{0}\sqrt{-\Omega_{k0}}\chi) & \Omega_{k} <0 %\end{matrix} %\end{equation} \[d_{A}=a(t)r=a(t)= \left\{ \begin{array}{l l l} \frac{1}{H_{0}\sqrt{\Omega_{k0}}}\sinh(H_{0}\sqrt{\Omega_{k0}}\chi) & \Omega_{k}>0\\ \chi & \Omega_{k}=0\\ \frac{1}{H_{0}\sqrt{-\Omega_{k0}}}\sinh(H_{0}\sqrt{-\Omega_{k0}}\chi) & \Omega_{k} <0 \end{array} \right. \] در اینجا مفاهیم $\Omega_{K}=-K/H^{2}(t)a^{2}(t)$و $\chi$را به کار برده‌ایم و عبارات فوق به $a_{0}=1$ بهنجار شده‌اند.\\ تکنیک مهم دیگر تعیین فواصل با دانستن روشنایی ذاتی است که به روش شمع استاندارد معروف است. در این روش از یافتن اختلاف مقدار درخشندگی ظاهری بین دو جسم که نتیجه فاصله متفاوت آنها از ماست، استفاده می‌شود. جسمی با درخشندگی $L$ فرض می‌کنیم، شار مشاهده شده از این منبع با فاصله $d_{L}$ به صورت زیر است. \begin{equation} \label{eq:1.48} F=\frac{L}{4\pi d_{L}^{2}} \end{equation} در کیهان درحال انبساط می‌توان رابطه مشابهی به صورت زیر نوشت \begin{equation} \label{eq:1.49} F=\frac{L(\chi)}{4\pi r^{2}(\chi)} \end{equation} \begin{equation}\label{eq:1.50} F=\frac{L a^2}{4\pi r^{2}(\chi)} \end{equation} که در اینجا $L(\chi)$ درخشندگی منبع نوری است که از پوسته کروی همراه با شعاع $r(\chi)$ دریافت می‌شود. با فرض اینکه فوتون‌ها با انرژی یکسان ساطع می‌شوند درخشندگی $L(\chi)$، حاصلضرب انرژی در تعداد فوتون‌هایی است که در واحد زمان از پوسته عبور می‌کنند. با انبساط کیهان تعداد فوتونهای گذرنده از پوسته کروی در واحد زمان با فاکتور $1/a$کاهش می یابد. از سویی رابطه (\ref{eq:1.47}) به ما می‌گوید که طول موج فوتون‌ها با عامل$1/a$ کش می‌آید. چون انرژی فوتون‌ها رابطه معکوس با طول موج دارد در نتیجه کاهش می‌یابد. بنا به مطالب فوق انرژی در واحد زمان روی پوسته کروی در شعاع $r(\chi)$ با نسبت $a^2$ از درخشندگی منبع کمتر است. \begin{equation} \label{eq:1.51} F=\frac{L a^2}{4\pi r^{2}(\chi)} \end{equation} چنانچه فاصله درخشندگی $d_L$ را به صورت زیر مشخص کنیم %\begin{equation} %d_{L}=\frac{r(\chi)}{a}=\frac{1}{a(t)} %\left\lbrace %\begin{matrix} %\frac{1}{H_{0}\sqrt{\Omega_{k0}}}\sinh(H_{0}\sqrt{\Omega_{k0}})&\Omega_{K}>0 \\ % %\chi&\Omega_{K}=0\\ % %\frac{1}{H_{0}\sqrt{-\Omega_{k0}}}\sinh(H_{0}\sqrt{-\Omega_{k0}})&\Omega_{K}<0\\ %\end{matrix} %\end{equation} \[d_{L}=\frac{r(\chi)}{a}=\frac{1}{a(t)} \left\{ \begin{array}{l l l} \frac{1}{H_{0}\sqrt{\Omega_{k0}}}\sinh(H_{0}\sqrt{\Omega_{k0}})&\Omega_{K}>0 \\ \chi&\Omega_{K}=0\\ \frac{1}{H_{0}\sqrt{-\Omega_{k0}}}\sinh(H_{0}\sqrt{-\Omega_{k0}})&\Omega_{K}<0\\ \end{array} \right. \] فرم شاره که در ( \ref{eq:1.48} ) داده شده است حفظ خواهدشد. با مقایسه روابط به دست آمده برای $d_L$ و $d_A$ نتیجه زیر حاصل می‌شود \begin{equation} d_{A}=a^{2}(t)d_{L}=\frac{d_{L}}{(1+z)^2} \end{equation}\label{eq:1.52} \section{شواهد رصدی انرژی تاریک} \begin{itemize} \item [الف .] \textbf{سن کیهان} \end{itemize} می‌دانیم معکوس پارامتر هابل در حال حاضر یعنی $H_0$ می‌تواند تخمینی از سن جهان $t_0$ را نشان دهد. در اینجا $t_0$را محاسبه کرده و آن را با سن پیرترین ستارگان مقایسه می‌کنیم. برای سادگی معادله حالت انرژی تاریک ثابت فرض می‌شود و در این حالت چگالی انرژی آن به صورت $\rho_{DE}=\rho_{DE}^{(0)}(1+z)^{3(1+w_{DE})}$ است. با در نظر گرفتن تابش ماده غیر نسبیتی و انرژی تاریک، پارامتر بی بعد هابل را به این صورت می‌نویسیم \begin{equation} E(z)=\left[\Omega_{r}^{(0)}(1+z)^{4}+\Omega_{m}^{(0)}(1+z)^{3}+\Omega_{DE}^{(0)}(1+z)^{3(1+w_{DE})}+\Omega_{K}^{(0)}(1+z)^{2} \right]^{1/2} \end{equation} \label{eq:1.53} با استفاده از رابطه $dt=-dz/[(1+z)H]$ سن کیهان با عبارت زیر مشخص می‌شود \begin{equation} t_{0}=H_{0}^{-1}\int \limits_{0}^{\infty} \frac{dz}{E(z)(1+z)} \end{equation}\label{eq:1.54} در انتگرال فوق جمله $\Omega_{r}^{(0)}$ د رمحدوده $10^{-5}-10^{-4}$ است تابش تنها در انتقال به سرخ بزرگتر از$z\gtrsim 1000$ مهم است پس در انتقال به سرخ پایین می‌توان از سهم تابش صرفنظر کرد. اگر کیهان را تخت در نظر بگیریم و با فرض $x=z+1$ سن کیهان را بدست می‌آوریم \begin{equation} t_{0}=\frac{H_{0}^{-1}}{3\sqrt{1-\Omega_{m}^{(0)}}}\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-\Omega_{m}^{(0)}}}{1-\sqrt{1-\Omega_{m}^{(0)}}}\right) \end{equation} \label{eq:1.55} در عبارت بالا فرض می‌شود $\Omega_{m}^{(0)}+\Omega_{DE}^{(0)}=1$.\\در حد $\Omega_{DE}^{(0)} \rightarrow 0$ خواهیم داشت \begin{equation} t_{0}=\frac{2}{3}H_{0}^{-1} \end{equation}\label{eq:1.56} با در نظر گرفتن $h=0.72\pm 0,08$ ، سن کیهان در غیاب انرژی تاریک مقداری با حدود $8.2 Gyr