\documentclass[a4paper,12pt]{report}
\usepackage{graphics}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{eucal}
%\usepackage[english]{babel}
\usepackage[usenames]{color}
\usepackage[perpage]{footmisc}
\usepackage[noprefix]{nomencl}
\usepackage[Bjornstrup]{fncychap}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{ifpdf}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{tocbibind}
\usepackage{amsmath, amsthm, amscd, amsfonts, amssymb, graphicx, color}
\newcommand\persiangloss[2]{#1\dotfill\lr{#2}\\}
\newcommand\englishgloss[2]{#1\dotfill\lr{#2}\\}
\usepackage[pagebackref=false, bookmarksnumbered, colorlinks, plainpages, linkcolor=blue, citecolor=magenta]{hyperref}
%\usepackage[top=3cm,right=3cm,bottom=2.5cm,left=2.5cm]{geometry} 


 \usepackage{zref-perpage}% جهت شماره گذاری از یک زیرنویسها در هر صفحه
\zmakeperpage{footnote}

 \usepackage[extrafootnotefeatures]{xepersian}
\settextfont{Persian Modern}

\usepackage{setspace}
\usepackage{makeidx}
\usepackage[quickindex]{xepersian}
\makeindex 
\paragraphfootnotes
% فراخوانی بسته زی‌پرشین و تعریف قلم فارسی و انگلیسی              
\usepackage{xepersian}
\input{mathrsfs.sty}
% tell tex engine address of folder containing your pictures
\graphicspath{{images/}}

% commands to print the page number in header
\pagestyle{fancy}
\cfoot{}
\lhead{\thepage}

% commands related to XePersian package
\settextfont[Scale=1]{XB Niloofar}
\setlatintextfont{Junicode}
\defpersianfont\titr[Scale=1]{XB Titre}
\defpersianfont\nastaliq[Scale=1.5]{IranNastaliq}
\defpersianfont\traffic[Scale=1.5]{B Traffic}
\defpersianfont\yekan[Scale=1.5]{B Yekan}
\defpersianfont\titrsh[Scale=1]{XB Kayhan Navaar}
%\setdigitfont{B Lotus}
%\setlatintextfont{LinLibertine}
% -------------------------------------

\newcommand{\HH}{\mathscr{H}}
\newcommand{\KK}{\mathscr{K}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\To}{\longrightarrow}
%\newcommand{\h}{\mathcal{H}}
\newcommand{\s}{\mathcal{S}}
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\newcommand{\J}{\mathcal{J}}
\newcommand{\M}{\mathcal{M}}
\newcommand{\p}{\mathcal{P}}
\newcommand{\BOP}{\textbf{B}}
\newcommand{\BH}{\mathcal{B}(\HH)}
\newcommand{\BK}{\mathcal{B}(\KK)}
\newcommand{\KH}{\mathcal{K}(\mathcal{H})}
\newcommand{\Real}{\mathbb{R}}
\newcommand{\comp}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Field}{\mathbb{F}}
\newcommand{\RPlus}{\Real^{+}}
\newcommand{\Polar}{\mathcal{P}_{\s}}
\newcommand{\Poly}{\mathcal{P}(E)}
\newcommand{\EssD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\la}{\left\langle}
\newcommand{\ra}{\right\rangle}
\newcommand{\SP}{\mathsf{sp}}
\newcommand{\nn}{\nonumber}


% دستوری برای تعریف واژه‌نامه انگلیسی به فارسی
\newcommand\persiangloss[2]{#1\dotfill\lr{#2}\\}
% دستوری برای تعریف واژه‌نامه فارسی به انگلیسی 
\newcommand\englishgloss[2]{#2\dotfill\lr{#1}\\}

\renewcommand\baselinestretch{1.7}
\baselineskip=18pt plus 1pt
\newtheorem{theorem}{قضیه}[chapter]
\newtheorem{lemma}[theorem]{لم}
\newtheorem{proposition}[theorem]{گزاره}
\newtheorem{corollary}[theorem]{نتیجه}
\newtheorem{problem}[theorem]{مسئله}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{تعریف}
\newtheorem{remark}{تبصره}
\newtheorem*{example}{مثال}
\renewcommand\proofname{برهان}

%%Mathematical Operators

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\numberwithin{figure}{chapter}
\numberwithin{equation}{chapter}
\numberwithin{table}{chapter}
\numberwithin{definition}{chapter}

%\onehalfspace

%\voffset=-1cm
%\hoffset=-1cm
%\textwidth=18cm
%\textheight=23cm
\linespread{1.8}
\setdigitfont[Scale=1]{Parsi Digits}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{} % delete current header and footer
\renewcommand{\chaptermark}[1]{%
        \markboth{#1}{}}
\renewcommand{\sectionmark}[1]{%
        \markright{\thesection\ #1}}
\fancyhead[RO]{\slshape \leftmark}
\fancyhead[LE]{\slshape\rightmark}
\fancyhead[LO, RE]{\slshape \thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
 
\begin{document}
\renewcommand{\bibname}{مراجع}
\include{besm}

%\large

% دستوری جهت ظاهر نشدن شماره صفحه (فقط در صفحه جاری)
% دستوری برای کم کردن فاصله بین لوگو و لبه بالایی صفحه خروجی


%%===========================================================
\pagenumbering{harfi}
\chapter*{مقدمه}
%\section*{مقدمه}
\pagenumbering{arabic}
چه موقع یک گروه پاراتوپولوژیک گروه توپولوژیک\index{گروه توپولوژیک } است؟ طبق قضیه معروف  الیس \LTRfootnote{Ellis} (سال ۱۹۵۷)
\index{الیس} 
می دانیم  هر گروه نیم توپولوژیک هاسدورف موضعا فشرده ، یک گروه توپولوژیک است.
اخیرا بوزیاد
\LTRfootnote{A. Bouziad}
 این قضیه را به فضاهای فشرده چخ 
\LTRfootnote{$\mathrm{\check{C}}$ech-complete}
\index{فشرده چخ } 
گسترش داد است. ونتایج  بسیاری از آن بدست آورده است. 

 زلازکو
\LTRfootnote{W.$\mathrm{\dot{Z}}$elazko} 
  سال (۱۹۶۰) 
  نشان داد هر گروه پارا توپوپولوژیک متریک پذیر یک گروه توپولوژیک \index{گروه توپولوژیک }است.  در سال  1982 برند \LTRfootnote{N.Brand}  یافته های زلازکو و الیس را تعمیم داد و اثبات کردکه هرگروه پاراتوپولوژیک یک گروه توپولوژیک فشرده چخ است. سه سال بعد اثبات جدید و کوتاهتری از این قضیه  ارائه شد. با توجه به این مطلب فیستر \LTRfootnote{H.pfister} در سال (۱۹۸۵) پرسید:\\
آیا هر گروه فشرده چخ نیم توپولوژیک یک گروه پارا توپولوژیک 
\index{پارا توپولوژیک}
است ؟ و از این رو بنا برقضیه برند یک گروه توپولوژیک است؟ 

 در فصل اول این پایان نامه، قضایا و تعاریف مقدماتی را می آوریم  و در فصل دوم ، ثابت می کنیم که هر گروه پاراتوپولوژیک هاسدورف متریک پذیر با
 \index{پاراتوپولوژیک}
 ویژگی بئر
 \index{بئر}
  یک گروه توپولوژیک است. این تعمیم یافته قضیه کلاسیک  مونتگومری
  \LTRfootnote{Montgomery} 
 \index{مونتگومری}
 است.
  
  همچنین در این پایان نامه دو حکم جدید را که بوزیاد ثابت کرده می آوریم.\\
1- اگرگروه پاراتوپولوژیک $G$ 
 \index{پاراتوپولوژیک}
پیش تصویری از یک گروه توپولوژیک
\index{گروه توپولوژیک }
 تحت همریختی کامل
 \index{همریختی کامل}
 باشد آنگاه $G$ نیز گروه توپولوژیک\index{گروه توپولوژیک } است.\\
2-اگر گروه پاراتوپولوژیک $H$ تصویری از گروه توپولوژیک کلا کراندار $G$ تحت همریختی پیوسته باشد، آنگاه $H$ نیز گروه توپولوژیک است.\\ 
 همچنین ثابت می کنیم اگر یک گروه نیم توپولوژیک شمارای نوع اول $G$  
 \index{شمارای نوع اول}
 یک زیر مجموعه  چگال  $G_{\delta}$ از یک فشرده سازی هاسدورف $G$ باشد، آنگاه $G$ یک گروه توپولوژیک متریک پذیر با یک متر کامل است.
\index{هاسدورف }
\\درفصل سوم
رابطه جدید معینی بین پایایی توابع کاردینالی 
\index{توابع کاردینالی }
در گروههای پاراتوپولوژیک اثبات می کنیم. در حقیقت نشان می دهیم که اگر $G$ یک گروه دو دنباله ای
 \index{دودنباله ای}
 پاراتوپولوژیک باشد به طوریکه $G\times G$ لیندلوف
 \index{لیندلوف}
 باشد آنگاه $G$ شبکه ی شمارا دارد.

 این موضوع روشن می کند که چرا مربع خط سورجنفری
 \index{خط سورجنفری}
  نرمال
\index{نرمال} 
   نیست.

\chapter{تعاریف و قضایای مقدماتی}
 در این پایان نامه مجموعه اعداد صحیح نامنفی ، اعداد گویا ، طبیعی ، اعداد حقیقی مثبت و اعداد حقیقی را به ترتیب با  
$\omega$ ،$\mathbb{Q}$ ، $\mathbb{N}$ ، $\mathbb{R}^{+}$ و $\mathbb{R}$ 
  نشان می دهیم.
نگاشت وارون گروه $G$ را با $I: G\longrightarrow G$ که $I(x)=x^{-1}$ ، \\درون $G$ را با $int (G)$ یا $(G)^{o}$ ،\\ و نگاشت ضرب روی گروه   $G$ را با $m : G\times G\longrightarrow G$  که $m( x , y )=xy$  نشان می دهیم.
در این فصل به بیان تعاریف و قضایای مقدماتی از توپولوژی و کاربردهای آن می پردازیم.
\begin{definition}
\begin{itemize}
\item[الف.]
تمام اشتراک های شمارش پذیر از مجموعه های باز را یک مجموعه $G_{\delta}$ می نامیم.
\item[ب.]
فرض کنید $X$ یک فضای توپولوژیک باشد.
خانواده $\mathscr{B}$ از بازها را یک پایه می نامیم هرگاه هر زیرمجموعه باز از $X$ را بتوان
به صورت اجتماعی از عناصر $\mathscr{B}$ نوشت.\\
مجموعه$\mathscr{E}$از بازها را یک زیرپایه 
\index{زیرپایه}
می نامیم هرگاه مجموعه متشکل از تمام اشتراک‌های متناهی از عناصر $\mathscr{E}$
یک پایه باشد.
\item[ج.]

پایه شمارا: 
\index{پایه شمارا }
گوییم فضای $X$ در نقطه $x$ پایه شمارا دارد هرگاه گردایه شمارایی از همسایگی های $x$ مانند $B$ موجود باشد به طوریکه هر همسایگی $x$ دست کم حاوی یک عضو این گردایه باشد.\\ اگرفضایی در هر نقطه اش یک پایه شمارا داشته باشد گوییم در اولین اصل شمارایی صدق می کند (شمارای نوع اول
\LTRfootnote{first countable}
).
\index{شمارای نوع اول}
\item[د.]

فضایی را شمارای نوع دوم
 \LTRfootnote{second countable} 
گوییم که توپولوژی آن پایه ای شمارا داشته باشد. به این معنی که فضای توپولوژیک $T$ شمارای نوع دوم است اگر تعدادی شمارا مجموعه $\mathcal{U}=\lbrace U_{i}\rbrace_{i=1}^{\infty}$ از زیر مجموعه های باز $T$ موجود باشد به طوریکه هر زیر مجموعه باز از $T$ را بتوان به صورت اجتماعی از تعدادی اعضای زیر خانواده $\mathcal{U}$ نوشت.
\item[ه.]
فضایی را $T_{1}$ گوییم اگر برای هر جفت نقطه جدا از هم $x$ و $y$ در فضا، مجموعه بازی که شامل $x$ باشد ولی شامل $y$ نباشد موجود باشد. یا به طور معادل فضایی $T_{1}$ است اگر تمام تک عضوی های آن بسته باشد.
\item[و.]

مجموعه $\mathscr{U}$ در فضای توپولوژی $X$ گسسته
 \index{گسسته }
است اگر هر نقطه $x\in \mathscr{U}$ همسایگی مثل $U$ داشته باشد به طوریکه $U\cap \mathscr{U}=\lbrace x\rbrace$.
\item[ز.]
مجموعه $\mathscr{U}$ را $\sigma$- گسسته
\LTRfootnote{$\mathrm{\sigma}$-discrete} 
گوییم اگر$\mathscr{U}$ بتواند به شکل $\mathscr{U}=\bigcup_{n=1}^{\infty}U_{n}$ بیان شود که در آن هر $U_{n}$ گسسته است .

\end{itemize}
\end{definition}

\begin{definition}
اگر $\mathcal{U}$ و$\mathcal{V}$ پوشش هایی برای مجموعه $X$ باشند ، مجموعه $\mathcal{V}$ تظریف 
 \index{تظریف}
مجموعه $\mathcal{U}$ گفته می شود اگر برای هر $V\in \mathcal{V}$ یک $U\in \mathcal{U}$  وجود داشته باشد به طوریکه $V\subset U$ .
\end{definition}
\begin{definition}
یک مجموعه به همراه یک عمل دو تایی،که خواص  زیر را داشته باشد یک گروه می نامیم.
\begin{itemize}
\item[(۱)] شرکت پذیر باشد .
\item[(۲)]  دارای عضو خنثی باشد.
\item[(۳)]  دارای وارون باشد.
\end{itemize}
اگر عمل دوتایی علاوه بر خواص بالا دارای خاصیت جابه‌جایی باشد، به آن گروه جابه‌جایی یا گروه آبلی می‌گویند. 

 \printindex
\end{document}