\documentclass[12pt,a4paper]{article} 
\usepackage{amsthm,amssymb,amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{color,amsmath}
\usepackage{color,xecolor}
\usepackage{xepersian} 
\settextfont[Scale=1.1]{XB Niloofar}
\defpersianfont\titr[Scale=1]{XB Titre} 
\defpersianfont\nastaliq[Scale=1.5]{IranNastaliq}
\defpersianfont\traffic[Scale=1]{XB Niloofar}
\title{فازی}
\author{مهسا شبرنگ}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents


\textbf{چکیده}
\\
يك دستگاه خطي فازي كلي با استفاده از روش جاي‌گذاري مورد بررسي قرار گرفته است. شرايط وجود يك جواب فازي منحصر به فرد به دستگاه خطي n×n بدست آمده از يك روش عددي جهت محاسبه جواب طراحي شده است، بليت كاربرد مدل پيشنهادي يا چند نمونه نشان داده شده است. 
واژه‌هاي كليدي: دستگاه خطي فازي، روش جاي‌گذاري، ماتريس غير منفي، ماتريس معكوس 

\section{\textbf{مقدمه}}
دستگاه‌هاي معادلات خطي همزمان نقش مهمي در زمينه‌هاي مختلف دارد مثل رياضيات، فيزيك، امار، علوم اجتماعي و مهندسي. از آنجا كه در بسياري از كاربردها حداقل تعدادي از پارامترها يا اندازه‌گيري هاي دستگاه به جاي اعداد پيچيده با اعداد فازي نشان داده شده‌اند، معرفي مدل‌هاي رياضي و روش‌هاي عددي كه بدرستي از دستگاه‌هاي خطي فازي كلي استفاده مي‌كنند و حل آنها بسيار حائز اهميت است. 
ايده اعداد فازي و اعمال حسابي نخستين بار توسط زاده$\footnote{zadeh }$
، ميروموتو$\footnote{Mizumoto }$
                                                                                                  $\footnote{Tanaka }$ و تاناکا
 ديوبوآ                        $\footnote{Dutois }$               
  و پواد                                     $\footnote{Prade }$
   و ناهمياس                                  $\footnote{Nahmias}$
    معرفي و بررسي شد، يكي از كاربردهاي اصلي استفاده حسابي عدد فازي در مورد دستگاه‌هاي خطي است كه همگي يا تعدادي از پارامترهايشان با اعداد فازي نشان داده شده‌اند. يك روش متفاوت در اعداد فازي و ساختار مجموعه‌هاي عددي فازي توسط پوري                              $\footnote{Puri }$
     و راسكو           $\footnote{Ralescu }$
      گاتشل                                         $\footnote{Goetschell }$
       و واكسمن                            $\footnote{Voxman}$
       و منيگ                                 $\footnote{Ming}$
        ارائه شد. در اين مقاله يك مدل كلي براي حل يك دستگاه خطي فازي n×n پيشنهاد مي‌كنيم كه ماتريس ضرايب آن پيچيده و ستون سمت راست آن يك بردار عدد فازي اختياري است از روش‌ جاي‌گذاري استفاده مي‌كنيم و دستگاه خطي فازي اصلي n×n را در يك دستگاه خطي تابع پيچيده (2n)×(2n) قرار مي‌دهيم. 
در قسمت 2 دستگاه خطي فازي را معرفي مي‌كنيم. مدل پيشنهادي حل دستگاه و محدوديت‌هاي آن در قسمت 3 مطرح شده‌اند. مثالهاي عددي در قسمت 4 آمده‌اند كه با يك بحث و نكات نتيجه‌گيري در قسمت 5 همراه است. 

\section{\textbf{دستگاه خطی فازی}}
\subsection{\textbf{عداد فازيا} }
در ادامه با يك جفت مرتب از توابع   
\begin{equation*}
(\underline{u}(r),\overline{u}(r))  \qquad 0\leq r \leq 1
\end{equation*} 
يك عدد فازي اختياري را معرفي مي‌كنيم كه شرايط زير را صدق مي‌كند:
\begin{enumerate}
\item.   $.\underline{u} (r)$يك تابع غير نزولي پيوسته محدود از چپ در $ [0,1]$ مي‌باشد
\item   $.\overline{u} (r)$يك تابع غير نزولي پيوسته محدود از چپ در $ [0,1]$ مي‌باشد

\item$ \underline{u}(r)\leq\overline{u}(r) \qquad 0\leq or \le r \leq or \le 1$
\end{enumerate}
بطور مثال عدد فازي$ (1+r,4-2r)$در شكل 1 نشان داده شده است. يك عدد پيچيده $\alpha$ يا
  $\underline{u}(r)=\overline{u}(r) \qquad 0\leq r \leq  1$
 نشان داده شده است.
 با تعريف‌هاي درست مجموعه عدد فازي $(\underline{u}(r),\overline{u}(r)) $ به يك مخروط محدب $E^1$ تبديل مي‌شود كه پس بطور ايزومورفيكي و ايزومتريكي در يك فضاي باناخ جايگذاري مي‌شود. \\
\newpage
 \subsection{\textbf{فازی دستگاه خطی} }
 \textbf{{\xecolor{green}تعریف 1:}}\\
$ a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}=y_{1}$  \\
   $a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}=y_{2}$ \\
  \vdots\\
  $ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}=y_{n}$ \\ 
 كه ماتريس ضرايب                                                                 $A=(a_{i,j}) \qquad 1\leq i,j \leq n$
              پيچيده است $n×n$يك ماتريس
$ 1 \leq i \leq  n\qquad y_{i}  \in  E^1$
 يك دستگاه خطي فازي (FLS) ناميده شده است. \\در قسمت بعد به بررسي دستگاه خطي فازي و تعريف يك بردار فازي جواب و معرفي روشي براي محاسبه آن خواهيم پرداخت
 
 \section{\textbf{مدل}}
 بهتر است قبل از تعريف يك جواب $(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})^t$ در دستگاه فازي كه در معادله (1) ارائه شد يادآوري كنيم كه براي اعداد فازي اختياري x=$(\underline{x}(r),\overline{x}(r)) $ و
 y=$(\underline{y}(r),\overline{y}(r)) $k وعدد حقيقي 
الف)  $x=y$اگر و تنهااگر                             $\overline{x}(r)=\overline{y}(r) and  \underline{x}(r)=\underline{y}(r)$
$x+y$=$( \underline{x}(r)+\underline{y}(r),\overline{x}(r)+\overline{y}(r))$
\begin{equation*}
kx = \left\{
\begin{array}{rl}
(k\underline{x},k\overline{x})& \text{if } k\geq 0\\
(k\overline{x},k\underline{x}) & \text{if } k<  0\\
\end{array} \right.
\end{equation*} 
 \textbf{{\xecolor{green}تعریف 2:}}
                                                                                                                                                                              $1\leq i\leq n$,$0\leq r\leq 1$یک بردار عدد فازي  كه از                                                                         x=$(\underline{x}_i(r)$$\overline{x}_i(r))$
بدست آمده يك جواب دستگاه فازي ناميده مي‌شود اگر
$\underline{\sum_{i=1}^n a_{ij}x_{j}}=\sum_{i=1}^n\underline{a_{ij}x_{j}}=\underline{y_{i}} $ \qquad
$\overline{\sum_{i=1}^n a_{ij}x_{j}}=\sum_{i=1}^n\overline{a_{ij}x_{j}}=\overline{y_{i}}  $
اگر براي يك i ويژه، $1\leq j\leq n$$a_{ij}\geq o$ باشد، معادله زير بدست مي‌آيد. 
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n a_{ij}\underline{x_{j}}=\underline{y_{i}}  \qquad
\sum_{i=1}^n a_{ij}\overline{x_{j}}=\overline{y_{i}}
\end{equation}
$\underline{y_{i}}$                                                  با اينحال بطور كلي يك معادله اختياري براي
 يا                        $\overline{y_{i}}$ ممكن است شامل يك تركيب خطي از $\underline{x_{i}}$, $\overline{x_{i}$باشد. بنابراين براي حل دستگاه بدست آمده از معادله (1) بايديك دستگاه خطي پيچيده $(2n)×(2n)$ حل شود كه در آن ستون سمت راست بردار تابع
 $(\underline{y_{1}},\underline{y_{2}},\cdots,\underline{y_{n}},\overline{y_{1}},\overline{y_{2}},\cdots,\overline{y_{n}})^t$
 است. 
حال بيائيد دستگاه خطي معادله (2) را تجديد آرايش كنيم در نتيجه مجهول‌ها عبارتند از $(\underline{x_{i}},\overline{x_{i}})\quad1\leq i\leq n$ و ستون سمت راست 
 $(\underline{y_{1}},\underline{y_{2}},\cdots,\underline{y_{n}},\overline{(-y_{1}},\overline{-y_{2}},\cdots,\overline{-y_{n}})^t$
 مي‌باشد. دستگاه خطي 
 $(2n)×(2n)$ بدست مي‌آيد: 
\begin{equation}
\begin{array}{r1}
{1,1}\underline{x}_{1}+s_{1,2}\underline{x}_{2}+\cdots +s_{1n}\underline{x}_{n}+s_{1,n+1}\overline{-x}_{1}+s_{1,n+2}\overline{-x_{2}}+\cdots +s_{1,2n}\overline{-x_{n}}=\underline{y_{1}}\\
\vdots\\\
s_{n,1}\underline{x_{1}}+s_{n,2}\underline{x_{2}}+\cdots +s_{1n}\underline{x_{n}}+s_{n,n+1}\overline{-x_{1}}+s_{n,n+2}\overline{-x_{2}}+\cdots +s_{n,2n}\overline{-x_{n}}=\underline{y_{n}}\\\
s_{n+1,1}\underline{x_{1}}+s_{n+1,2}\underline{x_{2}}+\cdots +s_{n+1,n}\underline{x_{n}}+s_{n+1,n+1}\overline{-x_{1}}+s_{n+1,n+2}\overline{-x_{2}}+\cdots +s_{n+1,2n}\overline{-x_{n}}=\overline{-y_{1}}\\\
\vdots\\\
s_{2n,1}\underline{x}_{1}+s_{2n,2}\underline{x}_{2}+\cdots +s_{2n,n}\underline{x}_{n}+s_{2n,n+1}{-}\overline{x}_{1}+s_{2n,n+2}\overline{-x_{2}}+\cdots +s_{2n,2n}\overline{-x_{n}}=\overrline{-y_{n}}\\\
\end{array}
\end{equation}
كه در آن $s_{i,j}$ بصورت زير بدست آمده‌اند
\begin{equation}
a_{i,j}\geq 0   \quad\rightarrow s_{i,j}=a_{i,j}  ,s_{n+i,j}=a_{i,j}\\
a_{i,j}< 0   \quad\rightarrow s_{i,j+n}= -a_{i,j}  ,s_{n+i,j}= -a_{i,j}
\end{equation}
و هر Sij كه از معادله (5) بدست نيامده است صفرمي‌باشد. با استفاده از علامتگذاري ماتريس معادله زير بدست مي‌آيد: 
\begin{equation}
SX=Y
\end{equation}     
که در  ان       و$1\leq i,j \leq 2n$ ,  S=$s_{i,j}$ ,
\begin{equation}
X=\left(\begin{matrix}
\underline{x}_{1}\\
\underline{x}_{2}\\
\vdots\\
\underline{x}_{n}\\
-\overline{x}_{1}\\
\vdots\\
-\overline{x}_{n}

\end{matrix}\right)
\quad Y=\left(\begin{matrix}
\underline{y}_{1}\\
\underline{y}_{2}\\
\vdots\\
\underline{y}_{n}\\
-\overline{y}_{1}\\
\vdots\\
-\overline{y}_{n}
\end{matrix}\right)
\end{equation}
 \textbf{{\xecolor{red}مثال 1:}}
دستگاه خطي فازي 2×2 را در نظر بگيريد. 
$x_{1} - x_{2} = y_{1}$\\
$x_{1} +2 x_{2} = y_{2}$\\

سيستم 4×4 به اينصورت است: 
$\underline{x }_{1}+{-} \overline{x}_{2} =\underline{y}_{1}\\
\underline{{x}_{1}+2\underline{ x}_{2} =\underline{y}_{2}\\
\underline{x}_{2}+{-}\overline{x}_{1}=-\overline{y}_{1}\\
\overline{x}_{1}+2\overline{ x}_{2} =\overline{y}_{2}$\\

بعبارتی
\begin{equation*}
\left(\begin{matrix}
1&0&0&1\\
1&2&0&0\\
0&1&1&0\\
0&0&1&2
\end{matrix}\right)
\end{equation*}
ساختمان S بيانگر آنست كه \$1\leq i,j \leq n$$s_{ij}\geq 0$
\begin{equation*}
\left(\begin{matrix}
B&C\\
C&B
\end{matrix}\right)
\end{equation*}
كه B شامل درايه هاي مثبت C , A مقادير مطلق درايه‌هاي منفي A و A=B-C
حال دستگاه خطي معادله (6) يك دستگاه خطي تابع پيچيده (2n)×(2n) مي‌باشد و مي‌تواند منحصراً براي X حل شود اگر و تنها اگر ماتريس Sغيرتكين باشد. بنابراين بايد به دو پرسش جواب دهيم؟ 
1- آيا S غير تكين است؟ 
2- آيا مؤلفه‌هاي بردار جواب 2n بعدي يك بردار فازي جواب nبعدي را در دستگاه فازي معرفي مي‌كنند كه از معادله (1) بدست آمده است؟ 
اگر S غيرتكين باشد جواب سوال دوم مثبت است اگر و تنها اگر $(\underline{x_{i}},\overline{x_{i}})$ يك عدد فازي براي تمام i باشد. 
در مثال بعدي اين مسأله مهم مطرح مي شود كه ممكن است S تكين باشد حتي اگر ماتريس اوليه A تكين نباشد. 
\textbf{{\xecolor{red}مثال2:}}
ماتريس A دستگاه فازي خطی
\begin{equation*}
x_{1} - x_{2} = y_{1}\\
x_{1} + x_{2} = y_{2}
\end{equation*}
غير تكين است در حاليكه 
\begin{equation*}
\left(\begin{matrix}
1&0&0&1\\
1&1&0&0\\
0&1&1&0\\
0&0&1&1
\end{matrix}\right)
\end{equation*}
تكين مي‌باشد. بعبارت ديگر، يك دستگاه خطي فازي كه با يك ماتريس غيرتكين A نشان داده شده است ممكن است هيچ جوابي براي يك تعداد نامتناهي از جوابها نداشته باشد. در نتيجه بعد احتمال يك جواب فازي منحصر‌بفرد در هر زماني كه دستگاه پيچيده منحصراً حل نشود از بين مي‌رود يعني هر زمان كه A‌تكين است. 

\textbf{{\xecolor{red}قضیه 1:}}
: ماتريس S غيرتكين است اگر و تنها اگر ماتريس‌هاي B+C , A=B-C هردو غيرتكين باشند. \\
\\
\textbf{{\xecolor{red}اثبات:}}
: با افزودن رديف (n+i)ام S به رديف iام آن به ازاي$1\leq i \leq n $       
  رابطه زير بدست مي‌آيد: 
\begin{flushleft} 
\begin{equation}
S=\left(\begin{matrix}
B&C\\
C&B
\end{matrix}\right)
\end{flushleft}
\rightarrow
\begin{flushright}


\left(\begin{matrix}
B+C&B+C\\
C&B
\end{matrix}\right)=S_{1}
\end{equation}\end{flushright}\\
سپس ستون jام S را از ستون (n+j) آن به ازاي    $1\leq i \leq n $        
 كم مي‌كنيم و رابطه زير بدست مي‌ايد: 
\begin{equation}
S_{1}=\left(\begin{matrix}
B+C&B+C\\
C&B
\end{matrix}\right)\textbf{\rightarrow}\begin{matrix}
B+C&0\\
C&B-C
\end{matrix}=S_{2}\right)
\end{equation}\\
بديهي است كه 
\begin{equation}
|S|=|S_{1}|=|S_{2}|=|B+C||B-C|=|B+C||A| 
|S|\neq 0 اکر و تنها اگر |A|\neq 0
و 
$|B+C|\neq 0$
كه اثبات را نتيجه مي‌گيرد
\end{equation}
\textbf{{\xecolor{blue}نتیجه1:}}
اگر يك دستگاه خطي پيچيده يك جواب منحصر‌بفرد نداشته باشد، دستگاه خطي فازي مربوط هم نخواهد داشت\\
حال براي حل دستگاه فازي خطي معادله (6) بايد  را (در هر زمان كه وجود دارد) محاسبه كنيم. نتيجه بعدي از نظريه ماتريس‌هاي جدولي بدست مي‌آيد و ساختمان  را ارائه مي‌دهد. \\
\textbf{{\xecolor{red}قضیه 2:}}
اگر  وجوددارد بايد ساختاري مشابه S داشته باشد، بعبارتي: 
\begin{equation}

S^{-1}=\left(\begin{matrix}
D&E\\
E&D
\end{matrix}\right)

\end{equation}
\textbf{{\xecolor{red}اثبات:}}
 فرض كنيد Sij درايه S در رديف iام و ستون jام را نشان بدهد. اگر tij درايه  را در همان مكان نشان دهد پس 
 $$ t_{ij}=\frac{(-1)^(i+j) |s_{ji}|}{|S|}$$
 كه در آن Sij ماتريس حاصل از حذف رديف jام و ستون iام از S مي‌باشد. حال بطور مثال درايه‌هاي  $t_{i+n,j}$   , $$S^{-1}$  $t_{i,n+j}
را براي   $ $1\leq i,j \leq nدر نظر بگیرید 

ماتريس‌هاي مربوطه به ترتيب $S_{i+n,j}$ } $ $S_{i,n+jهستند. بآساني مي‌توان نشان داد كه $S_{n+j,i}$ مي‌تواند از $S_{j,n+i}$ با تعويض رديف‌ها و ستون ها به تعداد زوج دفعه بدست آيد. بنابراين 
\begin{equation}
 t_{in+j}=\frac{(-1)^(i+n+j) |s_{n+ji}|}{|S|}=\frac{(-1)^(i+n+j) |s_{j,n+i}|}{|S|}= t_{n+i,j}
\end{equation}
همچنين براي j , i اختياري $t_{ij}=t_{n+i,n+j}$
و بنابراين  بايد ساختار بدست آمده در معادله (12) را داشته باشد كه اثبات را نتيجه مي‌گيرد 
براي محاسبه D , E مي‌نويسيم: 
\begin{equation*}
SS^{-1}=\left(\begin{matrix}
B&C\\
C&B
\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}
D&E\\
E&D
\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}
I&0\\
0&I
\end{matrix}\right)
\end{equation*}
و معادله زير بدست مي‌آيد: 
\begin{equation}
BD+CE=I,      CD+BE=0
\end{equation}
با افزودن و سپس كم كردن دو قسمت از معادله (15) رابطه زير بدست مي‌آيد: 
\begin{equation}
D+E=(B+C)^{-1}  ,D-E=(B-C)^{-1}
\end{equation}
و در نتيجه: 
\begin{equation}
D=\frac{1}{2}[(B+C)^{-1}+(B-C)^{-1}]
E=\frac{1}{2}[(B+C)^{-1}-(B-C)^{-1}]
\end{equation}
فرض اينكه S (بعبارتي ديگر B-C , B+C) غير تكين است: 
\begin{equation}
X=S^{-1}Y
\end{equation}
پس بردار جواب منحصر بفرد است اما ممكن است هنوز يك بردار فازي درست نباشد
نتيجه بعدي شرايط لازم كاني براي بردار جواب منحصربفرد ايجاد مي‌كند تا، با وجود بردار فازي ورودي اختياري Y يك بردار فازي باشد. 
\textbf{{\xecolor{red}قضیه3:}}
جواب منحصر بفرد X معادله (18) يك بردار فازي براي Y اختياري مي‌باشد اگر و تنها اگر $ُُُُS^{-1}$ غيرمنفي باشد. بعبارتي: 
\begin{equation}
(S^{-1})_{i,j}\geq 0          ,1\leq i,j \leq 2n
\end{equation}
\textbf{{\xecolor{red}اثبات:}}
فرض کنید  $1\leq i,j \leq 2n$$S^{-1}=(t_{i,j}$
پس
\begin{equation}
\underline{x_{i}}=\sum_{j=1}^n   t_{i.j}\underline{y_{j}} - \sum_{j=1}^n   t_{i.n+j}\overline{y_{j}}\quad  1\leq i\leq n
\end{equation}
\begin{equation}
-\overline{x_{i}}=\sum_{j=1}^n   t_{n+i.j}\underline{y_{j}} - \sum_{j=1}^n   t_{n+i.n+j}\overline{y_{j}}\quad   1\leq i\leq n
\end{equation}
بدليل ساختار ويژه  $S^{-1}$مي‌توانيم معادله (21) را با معادله عوض كنيم
\begin{equation}
\overline{x_{i}}=-\sum_{j=1}^n   t_{i.n+j}\underline{y_{j}} -+\sum_{j=1}^n   t_{i,j}\overline{y_{j}}\quad   1\leq i\leq n
\end{equation}
و با كم كردن معادله (20) از معادله (22) معادله زير بدست مي‌آيد: 
\begin{equation}
\overline{x_{i}}-\underline{x_{i}}=\sum_{j=1}^n   t_{i.j}(\overline{y_{j}}-\underline{y_{j}})+\sum_{j=1}^n   t_{in+.j}(\overline{y_{j}}-\underline{y_{j}})\quad   1\leq i\leq n
\end{equation}
پس اگر Y بردار ورودي اختياري باشد كه يك بردار فازي را نشان مي دهد، بعبارتي   $1\leq i\leq n$ $\overline{y_{i}}-\underline{y_{i}}\geq 0$
 پس يك شرط لازم و كافي $1\leq i\leq n$$\overline{x_{i}}-\underline{x_{i}}\geq 0$
براي  به ازاي تمام i وj  $t_{i,j}\geq 0$مي‌باشد. از آنجا كه $\overline{y_{i}}$ بطور يكنواخت در حال كاهش و$\underline{y_{i}}$  بطور يكنواخت در حال افزايش به ازاي تمام i مي‌باشد، شرط قبلي مربوط به معادلات (20) و (21) نيز براي $\overline{x_{i}},\underline{x_{i}}$ لازم و كافي‌اند تا به ترتيب بطور يكنواخت در حال كاهش و افزايش باشند. پيوستگي محدود به چپ $\overline{x_{i}}$و\underline{x_{i}}$$ مشخص است زيرا تركيبات خطي از   $\underline{y_{i}}$ و $\overline{y_{i}}$مي‌باشند. 
متأسفانه فردهايي كه قرار است براي  $S^{-1}$غيرمنفي باشند بسيار كوچكند زيرا از نتيجه زير بدست آمده‌اند. 
\textbf{{\xecolor{red}قضیه4:}}
عكس يك ماتريس غيرمنفي A غيرمنفي است اگر و تنها اگر A يك ماتريس جايگشت تعميم يافته باشد. 
طبق قضيه 4، از آنجا كه S غيرمنفي است، $S^{-1}$ غيرمنفي مي‌باشد اگر و تنها اگر دستگاه اوليه يك جايگشت از معادله زير باشد 
\begin{equation}
a_{i}x_{i}=y_{i}\quad    1\leq i\leq n
\end{equation}
اگر دستگاه خطي فازي مدنظر يك جايگشت از معادله (24) نباشد، همواره مي‌توان تعدادي بردار Y براي آن پيدا كرد كه جواب X معادله (6) يك بردار عدد فازي نباشد. در اينصورت، هر شرطي كه يك بردار عدد فازي جواب را تضمين كند بايد به Y و همچنين S بستگي داشته باشد. 
حال بحث را به اعداد فازي مثلثي، بعبارتي $\underline{y_{i}}(r)$  و $\overline{y_{i}}(r)$ محدود مي‌كنيم و در نتيجه\underline{x_{i}}(r)$ $\و$\overline{x_{i}}(r)$همگي توابع خطي از r مي‌باشند. حال با محاسبه x كه معادله (6) را حل مي‌كند، جواب فازي را در دستگاه اوليه‌اي كه از معادله (1) بدست آمد تعريف مي‌كنيم
\textbf{{\xecolor{green}تعریف 3:}}
فرض كنيد $X={(\overline{x_{i}}-\underline{x_{i}}),   1\leq i\leq n}$      
 نشان دهنده جواب منحصربفرد معادله (6) باشد. بردار عدد فازي  $u={(\overline{u_{i}}-\underline{u_{i}}),   1\leq i\leq n}$     
با معادله زير تعريف شده است: 

\begin{equation}
\underline{u_{i}}= min{\underline{x_{i}}(r),\overline{x_{i}}(r),\underline{x_{i}}(1)}
\overline{u_{i}}= max{\underline{x_{i}}(r),\overline{x_{i}}(r),\underline{x_{i}}(1)}
\end{equation}
كه جواب فازی $SX=Y$ نام دارد. 
استفاده از$\underline{x}(1)$در معادله (25) به معناي رفع احتمال اعداد فازي است كه مثلث آنها داراي زاويه‌اي بزرگتر از 90 درجه باشد. اگر $({\underline{x_{i}}(r),\overline{x_{i}})      1\leq i\leq n$
 همگي اعداد فازي باشند، پس      $\overline{x_{i}}(r)=\overline{u_{i}}(r)\quad1\leq i\leq n$ و$\underline{x_{i}}(r)=\underline{u_{i}}(r)$
U يك جواب فازي قوي مي‌باشددر غير اينصورت U يك جواب فازي ضعيف است
در قسمت بعد به بحث انواع جواب‌هاي فازي مي‌پردازيم 
\section{مثالهای عددی}
\textbf{{\xecolor{red}مثال 3:}}
- دستگاه فازي 2×2 را در نظر بگيريد
\begin{equation*}
x_{1}-x_{2}=(r,2-r)
x_{1}+3x_{2}=(4+r,7-2r)
\end{equation*}
ماتريس بسط يافته 4×4 به صورت زير است
\begin{equation*}
S=\left(\begin{matrix}
1&0&0&1\\
1&3&0&0\\
0&1&1&0\\
0&0&1&3
\end{matrix}\right)
\end{equation*}
و جواب معادله (6) عبارتست از: 
\begin{equation*}
X=\left(\begin{matrix}
\underline{x}_{1}(r)\\
\underline{x}_{2}(r)\\
-\overline{x}_{1}(r)\\
-\overline{x}_{2}(r)
\end{matrix}\right)=S^{-1}Y=\left(\begin{matrix}
1.125&-0.125&0.375&-0.375\\
-0.375&0.375&-0.125&0.125\\
0.375&-0.375&1.125&-0.125\\
-0.125&0.125&-0.375&0.375
\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}
r\\
4+r\\
r-2\\
2r-7
\end{matrix}\right)
\end{equation*}
بعبارتي ديگر 
$\underline{x}_{1}(r)=1.375+0.625r         \quad        \overline{x}_{1}(r)=2.875-0.875r$
$\underline{x}_{2}(r)= 0.875+0.125r                                 \quad        \overline{x}_{2}(r)=1.375-0.375r$
در اينجا   $\underline{x}_{2}\leq \overline{x}_{2}$  و   $\underline{x}_{1}\leq \overline{x}_{1}$
  $\underline{x}_{1}$  و   $\underline{x}_{2}$
 توابع نزولي يكنواخت هستند. بنابراين جواب فازي  مي‌باشد و يك جواب فازي قوي است
\textbf{{\xecolor{red}مثال 4:}}
\begin{equation*}
x_{1}+x_{2}-x_{3}=(r,2-r)\\
x_{1}-2x_{2}+x_{3}=(2+r,3)\\
2x_{1}+x_{2}+3x_{3}=(-2,-1-r)
\end{equation*}
با
\begin{equation*}
S=\left(\begin{matrix}
1&1&0&0&0&1\\
1&0&1&0&2&0\\
2&1&3&0&0&0\\
0&0&1&1&1&0\\
0&2&0&1&0&1\\
0&0&0&2&1&3
\end{matrix}\right)
\end{equation*}
وبردار جواب  $SX=Y$
به این صورت است
$Y=(r,2+r,-2,r-2,-3,1+r)^T$
\begin{equation*}
S=\left(\begin{matrix}
-2.31+3.62r\\
-0.62-0.77r\\
1.08-2.15r\\
-4.69+3.38r\\
1.62-0.23r\\
2.92-1.85r
\end{matrix}\right)
\end{equation*}
بعبارتی:
$x_{1} = (-2.31 + 3.62r, 4.69 - 3.38r)$,
$x_{2} = (-0.62 - 0.77r, - 1.62 + 0.23r)$,
$x_{3}= (1.08 - 2.15r, - 2.92 + 1.85r).$
اين واقعيت كه  اعدا د فازي    $x_{3}$و $x_{2}$ 
نيستند در شكل 2 نشانداده شده است. جواب فازي در اين صورت يك جواب ضعيف است كه به اينصورت بدست آمده است: 
$u_{1} = (-2.31 + 3.62r, 4.69 - 3.38r)$,
$u_{2} = (- 1.62 + 0.23r, - 0.62 -0.77r)$,
$u_{3} = (-2.92 + 1.85r, 1.08 - 2.15r).$
\textbf{{\xecolor{red} مثال5:}}
دستگه خطي فازي 2×2 را در نظر بگيريد: 
$x_{1}-x_{2}=(r,2-r)$\\
$x_{1}+3x_{3}=(r,\beta+1-\betar)$\\

          $\beta$ که 
 يك پارامتر حقيقي اختياري مثبت است. 
جواب معادله (6) به اينصورت مي‌باشد: 
\begin{equation*}
X=S^{-1}Y=\left(\begin{matrix}
1.8&-0.8&1.2&-1.2\\
-0.6&0.6&-0.4&0.4\\
1.2&-1.2&1.8&-0.8\\
-0.4&0.4&-0.6&0.6
\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}
r\\
r\\
r-2\\
\betar-\beta -1
\end{matrix}\right)
\end{equation*}
$\underline{x}_{1}=1.2(\beta -1)+(2.2- 1.2\beta)r$,\\
$\overline{x}_{1}=2.8-0.8\beta -(1.8- 0.8\beta)r$\\
$\underline{x}_{2}=0.4(1-\beta)+0.4(\beta -1)r$\\ ,
$\overline{x}_{2}=0.6(\beta -1)-0.6(\beta -1)r$\\
بعبارتی
نوع جواب فازي به $\beta$
 بستگي دارد . به آساني مي‌توان نشان داد كه يك جواب فازي قوي بدست مي‌آيد اگر و تنها اگر .      $1\leq\beta\leq\dfrac{11}{6}$
 مثلاً اگر       $\beta=1.5$ باشد. 
 $\underline{x}_{1}=0.6+0.4r$\qquad,
$\overline{x}_{1}=1.6-0.6r$\\ ,
$\underline{x}_{2}=-0.2+0.2r$\qquad ,
$\overline{x}_{2}=0.3-0.3r$\\
بعبارتي يك جواب فازي قوي (شكل 3) براي   $\beta=1.9$
 نيز                                                $x_{1}=(1.08 - 0.08r, 1.28 - 0.28r)\qquad$ و$ x_{2}=(-0.36 + 0.36r,0.54 - 0.540)$      
  و  بدست مي‌آيد، بعبارتي  يك عدد فازي  x_{1} $$نیست. طبق تعريف 3، جواب فازي ضعيف به اينصورت است: 
 
 \begin{equation}
 u_{1} = (1, 1.28 - 0.28r),    \qquad              u_{2}= x_{2}.
 \end{equation}\\
 همانطور كه قبلاً ديده شد، غير تكين بودن A تضمين نمي‌كند كه S غيرممكن است. اگر S تكين باشد، دستگاه حاصل از معادله (6) ممكن است هيچ جواب يا يك تعداد بي‌نهايت جواب داشته باشد كه به بردار ورودي Y وابستگي دارد. 
 
 \textbf{{\xecolor{red}مثال6:}}
 ، دستگاه خطي فازي 2×2 مثال 2 را در نظر بگيريد. ماتريس 4×4 زير تكين است و رديف‌هاي آن                     $E_{4}=E_{1}-E_{2}+E_{3}$
  را صدق مي‌كنند: 
\begin{equation*}
S=\left(\begin{matrix}
1&0&0&1\\
1&1&0&0\\
0&1&1&0\\
0&0&1&1
\end{matrix}\right)
\end{equation*} \\
بطور مثال اگر                $y_{1}=(r,2-r) , y_{2}=(3+r,4)$ 
باشد،     $Y=(r,3+r,r-2,-4)^T$
ورودي  است واز آنجا كه                                      $y_{4}\neq y_{1}-y_{2}+y_{3}$
  دستگاه هيچ جواب فازي ندارد. اگر      $y_{2}=(3+r,r-5)$
   را در نظر بگيريم پس   $y_{4}=y_{1}-y_{2}+y_{3}$
  و دستگاه هيج تعداد جواب بي نهايت ندارد. اگر              $\underline{x}_{1}=\alpha+(\beta-1)r$
   را انتخاب كنيم كه در آن     $\alpha,\beta$
   اعداد حقيقي اختياري‌اند،     $\overline{x}_{1}=(5-\alpha)-\betar$  $\underline{x}_{2}=(3-\alpha)-(1-\betar)r$    $\overline{x}_{2}=\alpha+(1-\beta)r$
   بدست مي‌آيند. با اينحال، بايد                                  $\underline{x}_{1}(1)=\overline{x}_{1}$ $\overline{x}_{2}(1)=\underline{x}_{2}(1)$
    را اجرا كنيم كه     $\alpha+\beta=2.5$   ,یا      $\beta=2.5-\alpha$
    بدست مي‌آيد. بنابراين جواب كلي معادله (6) به اينصورت است: 
  $\underline{x}_{1}=(\alpha + (2.5 - \alpha)r   , 5 - \alpha- (2.5 - \alpha)r),$\\
  $\overline{x}_{2}=(3 - \alpha+ (\alpha - 1.5)r   , \alpha + (1.5 - \alpha)r) $\\
  كه $\alpha$ يك عدد حقيقي اختياري است: اگر مثلاً در جستجوي مجموعه جواب‌هاي فازي قوي باشيم پارامتر  $\alpha$همانطور كه راحت پيدا مي‌شود بايد در 
  $1.5 \leq \alpha  \leq 2.5$
   صدق كند. 
\section{\textbf{خلاصه:}}\\
در اين فعاليت يك مدل كلي براي حل يك دستگاه از n معادله خطي فازي با n متغير را پيشنهاد مي‌كنيم. دستگاه اوليه با يك ماتريس A با يك دستگاه خطي پيچيده (2n)×(2n) با يك ماتريس S عوض مي‌شود كه حتي اگر A غيرتكين باشد ممكن است تكين باشد. پس دستگاه جديد حل مي‌شود و بردار جواب يا يك جواب فازي قوي را به دستگاه معرفي مي‌كند يا يك جواب فازي ضعيف كه معمولاً به بردار ورودي بستگي دارد. اگر S تكين باشد شرط كلاسيك را به بردار ورودي اعمال مي‌كنيم تا از وجود جواب‌ها براي دستگاه فازي اوليه اطمينان حاصل شود. اگر مؤلفه‌هاي بردار ورودي از همان وابستگي خطي مشابه رديف‌هاي S برخوردار نباشند هيچ جوابي براي دستگاه خطي فازي وجود ندارد. 
\end{document}