\begin{center} \thispagestyle{empty} %\begin{acknowledgementpage*} \vspace{4cm} \defpersianfont\nastaliq[Scale=2]{IranNastaliq} {\nastaliq {\Huge بسم الله الرحمن الرحیم \vspace{1.5cm} }} \hspace{3cm} \end{center} %\end{acknowledgementpage*} \newpage %---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------% \pagenumbering{harfi} \thispagestyle{empty} \vspace*{-25mm} \centerline{\includegraphics[height=3cm]{amirkabir}} \begin{center} \vspace{-1mm} دانشگاه صنعتی امیر کبیر \\[.2cm] دانشکده‌ی ریاضی و علوم کامپیوتر \\[.2cm] گروه ریاضی محض \\[1.7cm] {\Large \textbf{پایان‌نامه‌ی کارشناسی ارشد ریاضی} } \\[.8cm] %{\titr \begin{Huge} %\\[.4cm] { بردارهای فروبنیوس و سری هیلبرت وابسته به \\ نیمگروه های به هم چسبیده }\end{Huge} \\[1.3cm] {\Large \traffic استاد راهنما} \\[.7cm] {\Large \traffic دکتر فرهاد رحمتی} \\[.9cm] {\Large \traffic نگارش} \\[.7cm] {\Large \traffic نغمه توسلی بنابی } {\Large \traffic } \\[1.8cm] مهر ماه ۱۳۹۴ \end{center} \newpage %\include{taeid} \thispagestyle{empty} \begin{center} \Large{دانشگاه صنعتی امیرکبیر } \\ \Large{دانشکده ریاضی و علوم کامپیوتر} \vskip 1cm \large{رساله کارشناسی ارشد } \vskip 2cm \textbf{\Large{ بردارهای فروبنیوس و سری هیلبرت وابسته به نیمگروه های به هم چسبیده}} \vskip 2cm نگارش: نغمه توسلی بنابی \end{center} \vskip 4cm \begin{tabular}{p{11.5cm}p{2cm}} استاد راهنما: {دکتر فرهاد رحمتی} & امضاء: \\[3cm] استاد ممتحن داخلی: & امضاء: \\[3cm] استاد ممتحن خارجی: & امضاء: \end{tabular} %\include{tashakor} \begin{Large} \settextfont[Scale=2]{IranNastaliq} تشکر و قدردانی:\\ \end{Large} \vspace*{2cm} \begin{normalsize} \settextfont[Scale=1.5]{IranNastaliq} \end{normalsize} \linespread{1.6} \newpage %\include{abstract_fa} %\include{abstract} \thispagestyle{empty} \noindent {\huge چکیده:}\\ فرض کنیم $S _{1}$ و $S _{2} $ دو نیمگروه آفین و $S$ نیمگروه چسبیده ی آنها باشد. برخی ناورداهای $S$ مربوط به $S _{1}$ و $ S _{2} $ هستند و باتوجه به مقادیر آنها در $S _{1}$ و $ S _{2} $ قابل محاسبه است.در این پایان نامه برخی از مهمترین خواصی را که تحت چسباندن دو نیمگروه حفظ میشوند مرور میکنیم و به بررسی بردار فروبنیوس و سری هیلبرت نیمگروه های به هم چسبیده و نیز کاربردهای نیمگروه های آفین اشتراک کامل میپردازیم. {\Large \vspace*{5cm} \textbf{کلمات کلیدی}} \ \vspace*{1.5cm} نیمگروه آفین-بردار فروبنیوس-سری هیلبرت-نیمگروه چسبیده \textit{ } %\include{moghadameh} \newpage \thispagestyle{empty} \pagenumbering{arabic} \chapter*{مقدمه وتاریخچه} \noindent {\huge مقدمه وتاریخچه:}\\ \vspace*{2cm} مجموعه ی $S$ را به همراه عمل دوتایی $+$ نیمگروه آفین گوییم هرگاه برای برخی $ m \in \mathbb{Z} $ ؛ $ S $ زیرتکوار باتولید متناهی $ \mathbb{Z} ^{m} $ باشد. \\ اگر نیمگروه آفین $ (-S) $ را تشکیل دهیم و داشته باشیم $ S \cap (-S) = \{0\} $ دراینصورت $S$ را کاهش یافته می نامیم. \\ به سادگی میتوان نشان داد که نیمگروه آفین کاهش یافته ی $ S $ دارای یک دستگاه مولد مینیمال منحصر به فرد است.تعداد اعضای دستگاه مینیمال $ S $ را بعد نشاننده ی $ S $ می نامیم. \\ توجه کنیم که هر نیمگروه آفین کاهش یافته را برای برخی $ m \in \mathbb{N} $ میتوان در $ \mathbb{N}^{m} $ نشاند. \\در این پایان نامه نیمگروه های آفین مورد نظر ما زیرتکوارهایی از $ \mathbb{N}^{m} $ هستند. \\فرض کنیم $ S $ یک نیمگروه آفین باشد گروه تولیدشده توسط آن را با $ G(S) $ نمایش میدهیم و آن را به صورت زیر تعریف میکنیم: \begin{flushleft} $ G(S)=\{ a-b \; | \; a,b \in S \} $ \end{flushleft} فرض کنیم $ A $ دستگاه مولد مینیمال $ S $ و $ A=A_{1} \cup A_{2} $ یک افراز نابدیهی $ A $ و $ S_{i} = $ تکوار تولیدشده توسط $ A_{i} $ برای $ i \in \{1,2\} $ باشد.دراینصورت $ S=S_{1}+S_{2} $ .گوییم $ S $ نیمگروه چسبیده ی $S _{1} $ و $S _{2} $ توسط $ d $ است هرگاه داشته باشیم : \\ 1) $ d \in S _{1} \cap S _{2} $ \\ 2) $ d\mathbb{Z} \in G(S _{1}) \cap G(S _{2}) $ \\ و آن را با $ S=S _{1} +_{d} S _{2} $ نشان میدهیم. برخی خواص $ S _{1} $ و $ S _{2} $ تحت چسباندن حفظ میشوند. \\ فرض کنیم $ A=\{a_{1}, \dots ,a_{m}\} $ دستگاه مولد مینیمال $ S $ باشد.همریختی تکواری $ \varphi: \mathbb{N}^{m} \to S $ با ضابطه ی $ \varphi(e_{i})=a_{i} $ یک همریختی تکواری پوشاست.هسته ی این همریختی به صورت کلاس هم ارزی آن دسته از اعضای است که تحت همریختی دارای تصویر یکسان هستند که به صورت زیر تعریف میشود: \\ \begin{flushleft} $ ker\varphi=\{ (a,b) \in \mathbb{N}^{m}\times \mathbb{N}^{m} \; | \; \varphi(a)=\varphi(b) \} $ \end{flushleft} بنابراین $ S $ بعنوان یک تکوار با $ \frac {\mathbb{N}^{m}}{ker\varphi} $ یکریخت است. \\دستگاه مولد برای هسته ی همریختی فوق را یک نمایش برای $ S $ نامیم و آن را با $ \rho $ نشان میدهیم. \\ نمایش مینیمال $ S $ نمایشی است که هیچیک از زیرمجموعه های سره ی آن نمایشی برای $ S $ نباشند. \\تمام نمایش های مینیمال $ S $ درصورت متناهی بودن ؛ دارای تعداد اعضای یکسان هستند. \\فرض کنیم $ S=S _{1} +_{d} S _{2} $ و $ S_{i} = $ با $ i \in \{1,2\} $ و $ A=A_{1} \cup A_{2} $ افراز نابدیهی $ A $ باشند.بدون کاسته شدن از کلیت موضوع فرض کنیم $ A_{1}=\{a_{1}, \dots ,a_{l}\} $ و $ A_{2}=\{ a_{l+1}, \dots , a_{m} \} $ اگر $ \rho_{1} $ و $ \rho_{2} $ به ترتیب نمایش های مینیمال $ S _{1} $ و $ S _{2} $ باشند دراینصورت برای هر $ (a,b) \in \mathbb{N}^{m} \times \mathbb{N}^{m} $ نمایش مینیمال $ S $ به صورت زیر است: \begin{flushleft} $ \rho=\rho_{1} \cup \rho_{2} \cup \{ (a,b) \} $ \end{flushleft} %% توجه داریم که $ l $ مختصات اول $ b $ برابر با صفر و نیز $ m-l $ مختصات باقی مانده از $ a $ برابر با صفر است. \\عضو بتی نیمگروه آفین $ S $ را به صورت زیر تعریف میکنیم: \begin{flushleft} $ Betti(S)=\{ s \in S \; | \; a,b \in \varphi^{-1}(s) \; ; \; (a,b) \in \rho \} $ \end{flushleft} که در آن $ \rho $ نمایش مینیمالی از $ S $ است. \\ و اگر $ S=S _{1} +_{d} S _{2} $ داریم: \begin{flushleft} $ Betti( S_{1}+S_{2})=Betti( S_{1}) \cup Betti( S_{2}) \cup \{d\} $ \end{flushleft} نیمگروه های آفینی را که تنها دارای یک عامل بتی هستند میتوان به عنوان چسبانده ی برخی کپی های نیمگروه های آفین با نمایش مینیمال تهی توسط $ d $ مشخص کرد و بنابراین برای برخی $ t \in \mathbb{Z}_{>0} $ با $ \mathbb{Z}^{t} $ یکریخت است. \\ نیمگروه آفین $ S $ را به طور یکتا نمایش داده شده گوییم هرگاه داشته باشیم: \begin{flushleft} $ \forall \tau , \sigma \in \rho \quad \& \quad \forall (a,b) \in \sigma \rightarrow (a,b) \in \tau \; \vee \; (b,a) \in \tau . $ \end{flushleft} که در آن $ \rho $ نمایش مینیمال $ S $ است. \\ بعبارت دیگر هرگاه یک نمایش مینیمال منحصربه فرد درحد تجدید آرایشی از زوج های نمایش مینیمال $ S $ وجود داشته باشد. \\ اگر $ S=S _{1} +_{d} S _{2} $ دراینصورت $ S $ را به طور یکتا نمایش داده شده گوییم اگر و تنها اگر $ S _{1} $ و $ S _{2} $ به طور یکتا نمایش داده شده باشند و داشته باشیم: \begin{flushleft} $ \forall a \in Betti( S _{1} ) \cup Betti( S _{2} ) \; ; \; \pm (d-a) \notin S _{1} +_{d} S _{2} $ \end{flushleft} %% فرض کنیم $ S $ نیمگروهی آفین ؛ $\rho$ نمایش مینیمالی برای آن ؛‌ بعد نشاننده ی $ S $ برابر $ n $ و $ V $ فضای برداری تولید شده توسط آن باشد.داریم: \begin{flushleft} $ |\rho| \ge n-dimV $ \end{flushleft} نیمگروه آفین $ S $ را اشتراک کامل گوییم هرگاه تعداد اعضای هرکدام از نمایش های مینیمال برابر با تفاضل بعد نشاننده ی $ S $ و بعد فضای برداری تولید شده توسط $ S $ باشد. \\ میتوان نشان داد که یک نیمگروه آفین اشتراک کامل است اگر و تنها اگر برای برخی $ t \in \mathbb{Z}_{>0} $ با $ \mathbb{N}^{t} $ یکریخت باشد. \\یا \\چسبانده ی دو نیمگروه آفین اشتراک کامل باشد. \\نیمگروه عددی زیرتکواری از $ \mathbb{N} $ است که دارای متمم متناهی در $ \mathbb{N} $ باشد. \\به سادگی میتوان دید که هر نیمگروه عددی با تولید متناهی است بنابراین هر نیمگروه عددی یک نیمگروه آفین است. \\فرض کنیم $ S $ یک نیمگروه عددی باشد.بزرگترین عدد صحیحی که را که به $ S $ متعلق نباشد عدد فروبنیوس $ S $ می نامیم و آن را با $ F(S) $ نشان میدهیم و طبق تعریف آن داریم: \\\begin{flushleft} $ F(S)+1+\mathbb{N} \subseteq S $ \end{flushleft} و نیز $ F(S)+1 $ را هادی $ S $ می نامیم. \\ هادی دو نیمگروه چسبیده $ S=S _{1} +_{d} S _{2} $ توسط هادی هرکدام از نیمگروه ها و نیز $ d $ قابل محاسبه است و و به سادگی میتوان فرمولی برای عدد فروبنیوس نیمگروه های عددی چسبیده به دست آورد که یکی از اهداف کار ما تعمیم این فرمول برای نیمگروه های آفین است! \\فرض کنیم $ S $ یک نیمگروه عددی باشد. عضو $ g \in \mathbb{Z} \setminus S $ را شبه عدد فروبنیوس گوییم هرگاه داشته باشیم: \begin{flushleft} $ g+S\setminus \{0\} \subseteq S $ \end{flushleft} ویژه عدد فروبنیوس نیمگروه $ S $ یک شبه عدد فروبنیوس نیز هست. \\تعداد اعضای مجموعه ی شبه اعداد فروبنیوس نیمگروه $ S $ را نوع ( کوهن مکالی ) $ S $ می نامیم و آن را با $ t(S) $ نشان میدهیم. \\ نیمگروه عددی $ S $ . رامتقارن گوییم هرگاه نوع آن برابر با ۱ باشد \\ نیمگروه عددی به هم چسبیده $ S=S _{1} +_{d} S _{2} $ متقارن است اگر و تنها اگر هریک از نیمگروه های $ S _{1} $ و $ S _{2} $ متقارن باشند و داریم: \begin{flushleft} $ t(S _{1} +_{d} S _{2})=t(S _{1})t(S _{2}) $ \begin{flushright} $ (*) $ \end{flushright} \end{flushleft} توجه داریم که چسباندن نیمگروه های عددی اندکی متفاوت است و درواقع برای اینکار تکوارهای $ S _{1} $ و $ S _{2} $ را بر مقسوم علیه مشترکشان تقسیم میکنیم تا نیمگروه های عددی $ S _{1} $ و $ S _{2} $ بدست آیند.\\ %%% نیمگروه عددی $ S $ را شبه متقارن گوییم هرگاه تنها دارای دو شبه عدد فروبنیوس $ F(S) $ و نصف آن باشد.\\ نیمگروه عددی $ S $ را تقریبا متقارن گوییم هرگاه داشته باشیم: \begin{flushleft} $ |\mathbb{N} \setminus S|=\frac{F(S)+t(S)}{2} $ \end{flushleft} فرمول $ (*) $ را میتوان بعنوان تعمیم این حقیقت دانست که نیمگروه حاصل از چسباندن دو نیمگروه متقارن ؛ متقارن است و نیز نشان میدهد که \\ 1) نیمگروه حاصل از چسباندن نیمگروه های عددی شبه متقارن نمیتواند شبه متقارن باشد. \\ 2) نیمگروه حاصل از چسباندن نیمگروه های عددی نامتقارن تقریبا متقارن ؛ تقریبا متقارن نیست. فرض کنیم $ S $ یک نیمگروه آفین باشد و $ S \setminus \{0\} $.مجموعه ی اپری $ S $ را به صورت زیر تعریف میکنیم: \begin{flushleft} $ Ap(S,s)=\{ x \in S \; | \; x-s \notin S \} $ \end{flushleft} مجموعه ی فوق درحالت کلی دارای تعداد نامتناهی عضو است ولی اگر $ S $ یک نیمگروه عددی باشد و $ s \in S \setminus \{0\} $ در این صورت داریم: \begin{flushleft} $ |Ap(S,s)|=s $ \end{flushleft} %% کوچکترین عدد صحیح مثبت متعلق به $ S $ را چندگانگی $ S $ می نامیم و آن را با $ m $ نشان میدهیم. \\ فرض کنیم $ m $ چندگانگی $ S $ و $ A=\{n_{1}, \dots ,n_{k}\} $ دستگاه مولد مینیمال $ S $ باشد که در آن \\ $ n_{1}