\documentclass[xcolor=devipsnames,professionalfont]{beamer}
%\author{
%	{\large
	%دکتر حمید بیدرام}\\
%\vspace{0.9cm}
	%شیرین صفدریان}
\title{
مطالعه ای برخانواده توزيع های 
\lr{q}
: تئوری و کاربرد
}
\institute{دانشگاه اصفهان}
\newcommand{\abs}[1]{\vert #1\vert}
\usefonttheme{serif}
\usetheme{Warsaw}
\setbeamercolor{normal text}{fg=black}\usebeamercolor*{normal text}
\usecolortheme[named=blue]{structure}
\useoutertheme{infolines}
\usepackage{graphicx,xcolor}
\def\theDate{ مهر ۱۳۹۲}
\usepackage{xepersian}
\settextfont[Scale=1]{XB Niloofar}
\setdigitfont[Scale=1]{XB Niloofar}
\setmathdigitfont[Scale=1]{XB Niloofar}
\newtheorem{thm}{قضیه}
\newtheorem{Def}{تعریف}
\newcommand{\dd}{\,\mathrm{d}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%به کدهای زیر دست نزنید%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\raggedleft
\makeatletter
\define@key{beamercolbox}{left}[0pt]{\def\beamer@colbox@rs{0pt}\def\beamer@colbox@ls{#1 plus1fill}}
\makeatother
\raggedleft

\makeatletter
\expandafter\let\csname beamer@@tmpop@itemize item@default\endcsname\relax
\expandafter\let\csname beamer@@tmpop@itemize subitem@default\endcsname\relax
\expandafter\let\csname beamer@@tmpop@itemize subsubitem@default\endcsname\relax

\defbeamertemplate*{itemize item}{default}{\scriptsize\raise1.25pt\hbox{\donotcoloroutermaths$\blacktriangleleft$}}
\defbeamertemplate*{itemize subitem}{default}{\tiny\raise1.5pt\hbox{\donotcoloroutermaths$\blacktriangleleft$}}
\defbeamertemplate*{itemize subsubitem}{default}{\tiny\raise1.5pt\hbox{\donotcoloroutermaths$\blacktriangleleft$}}

\bidi@patchcmd{\@listi}{\leftmargin}{\rightmargin}{}{}
\let\@listI\@listi
\bidi@patchcmd{\@listii}{\leftmargin}{\rightmargin}{}{}
\bidi@patchcmd{\@listiii}{\leftmargin}{\rightmargin}{}{}
\bidi@patchcmd{\beamer@enum@}{\raggedright}{\raggedleft}{}{}
\bidi@patchcmd{\@@description}{\raggedright}{\raggedleft}{}{}
\bidi@patchcmd{\@@description}{\leftmargin}{\rightmargin}{}{}

\renewcommand{\itemize}[1][]{%
	\beamer@ifempty{#1}{}{\def\beamer@defaultospec{#1}}%
	\ifnum \@itemdepth >2\relax\@toodeep\else
	\advance\@itemdepth\@ne
	\beamer@computepref\@itemdepth% sets \beameritemnestingprefix
	\usebeamerfont{itemize/enumerate \beameritemnestingprefix body}%
	\usebeamercolor[fg]{itemize/enumerate \beameritemnestingprefix body}%
	\usebeamertemplate{itemize/enumerate \beameritemnestingprefix body begin}%
	\list
	{\usebeamertemplate{itemize \beameritemnestingprefix item}}
	{\def\makelabel##1{%
			{%
				\hss\llap{{%
						\usebeamerfont*{itemize \beameritemnestingprefix item}%
						\usebeamercolor[fg]{itemize \beameritemnestingprefix item}##1}}%
			}%
		}%
	}
	\fi%
	\beamer@cramped%
	\raggedleft%
	\beamer@firstlineitemizeunskip%
}
\makeatother
\raggedleft
\begin{document}
	\begin{frame}
		\maketitle
		\begin{figure}
			\begin{center}
				\includegraphics[height=1.5cm,width=1.5cm]{is}
			\end{center}
		\end{figure}
	\end{frame}
\begin{frame}
	{\LARGE
	فهرست مطالب}
\vspace{1.5cm}
	\begin{itemize}
		\item[$\checkmark$] 
		کلیات و ساختار پایان‌نامه
		\item[$\checkmark$]
		تعاریف و مفاهیم اولیه
		\item[$\checkmark$]
		خانواده توزیع‌های {\lr{q}}
		\item[$\checkmark$]
		تعمیم‌های توزیع‌های {\lr{q}}
		\item[$\checkmark$]
		نتیجه‌گیری
	\end{itemize}
\end{frame}
	\begin{frame}\transblindshorizontal
		\frametitle{
{\bf\Large
	فصل اول
}
{\bf\large
	کلیات و ساختار پایان‌نامه
}}
	\pause
\begin{itemize}
	\item 
	\textcolor{red}{
	پیشینه تحقیق}
	\pause
\item 
\textcolor{red}{	
	اهداف پایان‌نامه}
\pause
	\item
	\textcolor{red}{
	ساختار پایان‌نامه}
\end{itemize}
	\end{frame}
\begin{frame}\transboxin
	\frametitle{
	{\bf\Large
		فصل دوم
	}
	{\bf\large
		تعاریف و مفاهیم اولیه
	}}
\begin{itemize}
	\item 
	\textcolor{red!70}{
	تعاریف:}
	\pause
\end{itemize}
\begin{Def}[تابع قابلیت اطمینان]
	\begin{equation*}
		\bar{F}_X (x) = p (X\ge x),\quad x>0
	\end{equation*}
\end{Def}
\pause
\begin{Def}[تابع قابلیت اطمینان باقی‌مانده طول عمر]
		 \begin{equation*}
	\bar{F}_{x_0} (x)= p (X>x+x_0|X>x_0) = \frac{\bar{F}(x+x_0)}{\bar{F}(x_0)}
\end{equation*}
\end{Def}
\end{frame}
\begin{frame}
	\frametitle{
		{\bf\Large
			فصل دوم
		}
		{\bf\large
			تعاریف و مفاهیم اولیه
	}}
\begin{Def}[تابع نرخ خطر]
	\begin{equation*}
		h(x)=\frac{f(x)}{\bar{F}(x)},\quad x\in\mathit{R}_X
	\end{equation*}
\end{Def}
\pause
\begin{Def}[تابع \lr{q}-نمایی]
		\begin{equation*}
		{\exp_{q}(x)} =
		\begin{cases}
			{\left[1 +(1-q)x\right]}^{\frac{1}{1-q}}, &  1+(1-q)x > 0 \\
			0, &\text{در غیر اینصورت}
		\end{cases}
	\end{equation*}	
\end{Def}
\end{frame}
\begin{frame}
	\frametitle{
		{\bf\Large
			فصل دوم
		}
		{\bf\large
			تعاریف و مفاهیم اولیه
	}}
	\begin{Def}[آنتروپی تسالیس]
	\begin{equation*}
		S_q=-\int_x p^{q}(x)\ln_q p(x) \dd x
	\end{equation*}
که در آن
\begin{equation*}
	\ln_q (x)=\frac{x^{1-q}-1}{1-q}
\end{equation*}
	\end{Def}
\end{frame}
\begin{frame}
	\frametitle{
		{\bf\Large
			فصل دوم
		}
		{\bf\large
			تعاریف و مفاهیم اولیه
	}}
\begin{itemize}
	\item 
	\textcolor{red}{
	برخی از خانواده توزیع‌های مهم:}
\end{itemize}
\begin{itemize}
	\item[$\bullet$]
	خانواده توزیع بور
	\begin{equation*}
		F(x)=\left(1+\exp\{-\int g(x)\dd x\}\right)^{-1} ;\quad -\infty<x<\infty
	\end{equation*}
\pause
توزیع بور نوع \lr{XII}
	\begin{align*}
	F(x)&=1-\left(1+x^m\right)^{-k} ,\quad x\in(0,\infty),\;k>0,\;m>0
\end{align*}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
	\frametitle{
		{\bf\Large
			فصل دوم
		}
		{\bf\large
			تعاریف و مفاهیم اولیه
	}}
	\begin{itemize}
\item[$\bullet$]
خانواده توزیع پارامتر مسیری
\pause
\begin{align*}
	f(\boldsymbol{X})=c\vert A^{\frac{1}{2}} \boldsymbol{X}B\boldsymbol{X}' A^{\frac{1}{2}}\vert^\beta \vert I-a(1-q)A^{\frac{1}{2}}\boldsymbol{X}B\boldsymbol{X}' A^{\frac{1}{2}}\vert^{\frac{b}{1-q}}&;\\\quad& a,b>0,\\ -\infty &<q<\infty
\end{align*}
که در آن
	\begin{align*}
	c^{-1}=
	\begin{cases}
		\frac{\pi^{\frac{rp}{2}}}{\Gamma_p\left(\frac{r}{2}\right)\vert A\vert^{\frac{r}{2}}\vert B\vert^{\frac{p}{2}}\left[a(1-q)\right]^{p\left(\beta+\frac{r}{2}\right)}}\frac{\Gamma_p\left(\beta+\frac{r}{2}\right)\Gamma_p\left(\frac{b}{1-q}+\frac{p+1}{2}\right)}{\Gamma_p\left(\beta+\frac{r}{2}+\frac{b}{1-q}+\frac{p+1}{2}\right)};\quad 	q<1\\
		\frac{\pi^{\frac{rp}{2}}}{\Gamma_p\left(\frac{r}{2}\right)\vert A\vert^{\frac{r}{2}}\vert B\vert^{\frac{p}{2}}\left[a(q-1)\right]^{p\left(\beta+\frac{r}{2}\right)}}
		\frac{\Gamma_p\left(\beta+\frac{r}{2}\right)\Gamma_p\left(\frac{b}{q-1}-\beta-\frac{r}{2}\right)}{\Gamma_p\left(\frac{b}{q-1}\right)};\quad q>1
	\end{cases}
\end{align*}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
	\frametitle{
		{\bf\Large
			فصل دوم
		}
		{\bf\large
			تعاریف و مفاهیم اولیه
	}}
	اگر 
	$p=1$
	و
	$r=2$:
	\begin{align*}
		f_1 (x)= c_1 \vert x \vert ^{\beta -1} \left[1+a(q-1)\vert x\vert ^\delta\right]^{-\frac{b}{q-1}};&-\infty<x<\infty,\notag \\&\quad a,b,\beta,\delta>0,\quad q>1,\notag\\&\quad\quad \frac{b}{q-1} >\frac{\beta}{\delta},\notag\\
		&c_1 = \frac{\delta \left[a(q-1)\right]^{\frac{\beta}{\delta}} \Gamma \left(\frac{b}{q-1}\right)}{2\Gamma \left(\frac{\beta}{\delta}\right)\Gamma\left(\frac{b}{q-1}-\frac{\beta}{\delta}\right)}
	\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}
	\frametitle{
		{\bf\Large
			فصل دوم
		}
		{\bf\large
			تعاریف و مفاهیم اولیه
	}}
	\begin{align*}
		f_2 (x)=&c_2 \vert x\vert ^{\beta -1} \left[1-a(1-q)\vert x\vert ^\delta\right]^\frac{b}{1-q};\quad 1-a(1-q)\vert x\vert ^\delta >0,\\& \quad\quad\quad \quad\quad  \quad  \quad  \quad \quad q<1,
		\quad a,b,\beta,\delta >0,\notag\\&\quad \quad \quad \quad c_2 = \frac{\delta \left(a(1-q)\right)^{\frac{\beta}{\delta}} \Gamma\left(\frac{b}{1-q} +\frac{\beta}{\delta} +1\right)}{2\Gamma\left(\frac{\beta}{\delta}\right)\Gamma\left(\frac{b}{1-q} +1\right)}
	\end{align*}
	\begin{align*}
	f_3(x)=\frac{\delta(ab)^{\frac{\beta}{\delta}}}{2\Gamma\left(\frac{\beta}{\delta}\right)}\vert x\vert^{\beta-1}\exp\left(-ab \vert x\vert^{\delta}\right);&\quad -\infty<x<\infty;\\&\quad\quad \; a,\beta,b,\delta>0.
\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}
	\frametitle{
		{\bf\Large
			فصل دوم
		}
		{\bf\large
			تعاریف و مفاهیم اولیه
	}}
		\begin{itemize}
		\item[$\bullet$]
		خانواده توزیع مارشال اولکین:
		\pause
			\begin{itemize}
			\item[$\checkmark$]
			تابع قابلیت اطمینان 
			\pause
		\begin{equation*}
			\bar{G}_{MO}(x) = \frac{\gamma \bar{F}_X (x)}{1-(1-\gamma)\bar{F}_X(x)};\quad -\infty <x<\infty, 0<\gamma<\infty
		\end{equation*}
	\item[$\checkmark$] 
	تابع چگالی احتمال
	\pause
		\begin{align*}
		g_{MO}(x) = \frac{\gamma f_X(x)}{\left[1-(1-\gamma)\bar{F}_X (x)\right]^2}
	\end{align*}
\item[$\checkmark$] 
تابع نرخ خطر
\pause
\begin{align*}
	h_{MO}(x) = \frac{h_F(x)}{1-(1-\gamma)\bar{F}_X(x)}
\end{align*}
	\end{itemize}\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}%\transboxin
	\frametitle{
		{\bf\Large
			فصل سوم
		}
		{\bf\large
			خانواده توزیع‌های {\lr{q}}
	}}
	\begin{itemize}
		\item 
		\textcolor{red}{
		توزیع \lr{q}-نمایی:}(مالاکارنه و همکارانش، 2002)
		\pause
		\begin{itemize}
			\item[$\checkmark$]
			تابع قابلیت اطمینان
			\pause
		\begin{align*}%\label{Rqexp}
			\bar{F}_{qe}(x)&= {\left[ 1-\left( 1-q \right) {\left(\frac{x}{\eta}\right)} \right]}^{\frac{2-q}{1-q}}
			\\&=\left[\exp_{q} (-\frac{x}{\eta} )\right]^{2-q},\quad x\ge 0,\quad \eta > 0,\quad  q <2
		\end{align*}
		\item[$\checkmark$]
	تابع چگالی احتمال
	\pause
		\begin{align*}
		f_{qe}(x)=\frac{2-q}{\eta}\left[\exp_{q} (-\frac{x}{\eta} )\right],\quad x\ge 0,\quad \eta > 0,\quad  q <2
	\end{align*}
	\end{itemize}\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
		\frametitle{
		{\bf\Large
			فصل سوم
		}
		{\bf\large
			خانواده توزیع‌های {\lr{q}}
	}}
	\begin{columns}
	\begin{column}{0.5\textwidth}
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	\begin{figure}
		\begin{center}
				\includegraphics[height=4cm]{f-qe1}
		\end{center}
	\end{figure}
\pause
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
		\end{column}
		\begin{column}{0.5\textwidth}
			\begin{figure}
				\begin{center}
						\includegraphics[height=4cm]{f-qe2}
				\end{center}
			\end{figure}
	\end{column}
	\end{columns}
\pause
\begin{center}
چگالی توزیع \lr{q}-نمایی
\end{center}
\end{frame}
%\begin{frame}
%	\begin{thm}	
		%اگر متغیر تصادفی $X|\theta$ دارای توزیع نمایی با پارامتر $\theta$ باشد و پارامتر $\theta$ از توزیع پیشین گاما پیروی کند، آنگاه $X$ دارای توزیع \lr{q}-نمایی است.
	%	\end{thm}
%\end{frame}
\begin{frame}
		\frametitle{
		{\bf\Large
			فصل سوم
		}
		{\bf\large
			خانواده توزیع‌های {\lr{q}}
	}}
	\begin{thm}	
	اگر متغیر تصادفی $X|\theta$ دارای توزیع نمایی با پارامتر $\theta$ باشد و پارامتر $\theta$ از توزیع پیشین گاما پیروی کند، آنگاه $X$ دارای توزیع \lr{q}-نمایی است.
\end{thm}
\pause
		\begin{itemize}
		\item 
		\textcolor{red}{
		توزیع \lr{q}-وایبول:}(پیکولی و همکارانش، 2003)
		\pause
		\begin{itemize}
			\item[$\checkmark$] 
		تابع قابلیت اطمینان
		\pause
		\begin{align*}
			\bar{F}_{qw}(x)&= {\left[ 1-\left( 1-q \right) {\left(\frac{x}{\eta}\right)}^{\beta} \right]}^{\frac{2-q}{1-q}}\notag\\
			&\equiv\left\{\exp_{q}{\left\lbrack{-{\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta}}}\right\rbrack}\right\}^{(2-q)};\quad x\ge 0,\quad q<2,\quad \eta,\beta>0
		\end{align*}
	\end{itemize}\end{itemize}
	\end{frame}
\begin{frame}
	\begin{itemize}
	\item[$\checkmark$]
	تابع چگالی احتمال
	\pause
		\begin{align*}
			f_{qw}(x)
			&= (2-q) \frac{\beta}{\eta} {\left(\frac{x}{\eta}\right)}^{\beta -1} {\left\lbrack 1-(1-q){ \left( \frac{x}{\eta}\right) } ^{\beta} \right\rbrack}^{\frac{1}{1-q}}  \notag\\
			&={(2-q)}{\frac{\beta}{\eta}}{{\left(\frac{x}{\eta}\right)}^{\beta - 1}}{\exp_{q}{\left\lbrack{-{\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta}}}\right\rbrack}} ;\quad x \ge 0,\notag\\\quad&\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad q<2,\quad \eta,\beta>0
		\end{align*}
	\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
		\frametitle{
		{\bf\Large
			فصل سوم
		}
		{\bf\large
			خانواده توزیع‌های {\lr{q}}
	}}
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}
	\begin{center}
		\includegraphics[height= 4cm,width=5cm]{raftare-q-wei}
	\end{center}
\end{figure}
%\begin{center}
	%رفتارهای مختلف تابع چگالی احتمال توزیع \lr{q}-وایبول
%\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\pause
\begin{thm}
	اگر متغیر تصادفی $X|\theta$ دارای توزیع وایبول با پارامترهای $(\alpha,\theta)$ باشد و پارامتر $\theta$ دارای توزیع پیشین گاما	باشد، آنگاه $X$ دارای توزیع \lr{q}-وایبول است.
\end{thm}
\end{frame}
\begin{frame}
		\frametitle{
		{\bf\Large
			فصل سوم
		}
		{\bf\large
			خانواده توزیع‌های {\lr{q}}
	}}
\begin{columns}
	\begin{column}{0.5\textwidth}
		\begin{itemize}
			\item[$\checkmark$]
		تابع نرخ خطر:
		\pause
			\begin{align*}
			h_{qw} (x)= \frac{(2-q) {\frac{\beta}{\eta ^{\beta}} {x^{\beta -1}} }} {1-(1-q){\left( \frac{x}{\eta}\right)}^{\beta}}
		\end{align*}
	\end{itemize}
	\end{column}
\begin{column}{0.5\textwidth}
		\begin{figure}
		\begin{center}
			\includegraphics[height=4cm]{hqwei}
		\end{center}
	\end{figure}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}
		\frametitle{
		{\bf\Large
			فصل سوم
		}
		{\bf\large
			خانواده توزیع‌های {\lr{q}}
	}}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			\begin{figure}
			\begin{center}
				\includegraphics[height=4.5cm]{shekle6}
			\end{center}
		\end{figure}
		\end{column}
	\pause
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			\begin{figure}
				\begin{center}
					\includegraphics[height=4.5cm]{hqwloglog}
				\end{center}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}
		\frametitle{
		{\bf\Large
			فصل سوم
		}
		{\bf\large
			خانواده توزیع‌های {\lr{q}}
	}}
		\begin{itemize}
		\item[$\checkmark$]
		گشتاور توزیع
		\pause
		\begin{equation*}
		E\left( X^s \right) =
		\begin{cases}
			\frac{(2-q)\eta^s}{(1-q)^{\frac{s}{\beta}+1}  } B(\frac{s}{\beta} +1, \frac{2-q}{1-q}),\quad q<1\\
			\frac{(2-q)\eta^s}{(q-1)^ {1+\frac{s}{\beta}}  } B\left( 1+\frac{s}{\beta}, \frac{1}{q-1}-1-\frac{s}{\beta} \right),\quad 1<q<2
		\end{cases}
	\end{equation*}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
		\frametitle{
		{\bf\Large
			فصل سوم
		}
		{\bf\large
			خانواده توزیع‌های {\lr{q}}
	}}
	\begin{itemize}
		\item[$\checkmark$]
		معادلات نرمال
	\begin{align*}
		\frac{\partial \ln {L}}{\partial q} &= \frac{n}{q-2} +\frac{1}{1-q} \sum_{i=1}^{n} \frac{\left(\frac{x_i}{\eta}\right)  ^\beta}{1-(1-q)\left(\frac{x_i}{\eta}\right)  ^\beta}\\\quad&\quad +\frac{1}{(1-q)^2} \sum_{i=1}^{n}\ln\left[1-(1-q)\left(\frac{x_i}{\eta}\right)  ^\beta\right],\\
		\frac{\partial \ln {L}}{\partial \beta} &= \frac{n}{\beta} + \sum_{i=1}^{n} \ln x_i -\sum_{i=1}^{n} \frac{\left(\frac{x_i}{\eta}\right)  ^\beta \ln x_i}{1-(1-q)\left(\frac{x_i}{\eta}\right)  ^\beta},\\
		\frac{\partial \ln {L}}{\partial \eta} &=-\frac{n\beta}{\eta} +\frac{\beta}{\eta} \sum_{i=1}^{n} \frac{\left(\frac{x_i}{\eta}\right)  ^\beta}{1-(1-q)\left(\frac{x_i}{\eta}\right)  ^\beta}.
	\end{align*}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
	\frametitle{
		{\bf\Large
			فصل سوم
		}
		{\bf\large
			خانواده توزیع‌های {\lr{q}}
	}}
	\begin{itemize}
	\item[$\checkmark$]
داده‌های مربوط به زمان اولین شکست  $36$ ژنراتور $500$ مگاواتی(زو و همکارانش، 2017)
\pause
\end{itemize}
\begin{columns}
	\begin{column}{0.4\textwidth}
\begin{table}
	\begin{center}
		\scalebox{0.8}{%
		\begin{tabular}{|c|c|c|}
			\hline
			&میانگین&انحراف معیار\\
			\hline
			$\hat{q}$&$0.4318$&$2.5555e-08$\\
			$\hat{\beta}$&$0.6697$&$4.8570e-09$\\
			$\hat{\eta}$&$6.6087$&$2.9609e-07$\\
			$\log L$&$-68.0595$&$1.4211e-14$\\
			\hline
		\end{tabular}
	}
	\end{center}
\end{table}
	\end{column}
	\begin{column}{0.4\textwidth}
\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[height= 4cm]{hazardg}
\end{figure}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}
	\frametitle{
		{\bf\Large
			فصل سوم
		}
		{\bf\large
			خانواده توزیع‌های {\lr{q}}
	}}
	\begin{table}
	\begin{center}
		\scalebox{0.67}{%
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\hline
				مدل&برآوردها&$\log L$&$D^0$&$p$\\
				\hline
				\lr{q}-وایبول&$\hat{q}=0.4318,\hat{\beta}=0.6697,\hat{\eta}=6.6087$&$-68.0595$&$0.0983$&$0.5080$\\
				وایبول&$\hat{\beta}=0.8156,\hat{\eta}=2.3118$&$-68.6906$&$0.129$&$0.1880$\\
				بسط وایبول تعمیم‌یافته&$\hat{\alpha}=10.0923,\hat{\beta}=0.6920,\hat{\lambda}=0.2130$&$-68.2628$&$0.1046$&$0.2900$\\
				\lr{ENH}&$\hat{\alpha}=1.6347,\hat{\beta}=0.6415,\hat{\lambda}=0.1430$&$-68.3560$&$0.1021$&$0.3330$\\
				\hline
			\end{tabular}
		}
	\end{center}
\end{table}
\pause
\begin{figure}
	\begin{center}
		\includegraphics[height= 4cm,width=5.55cm]{fig9xu}
	\end{center}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}
	\frametitle{
		{\bf\Large
			فصل سوم
		}
		{\bf\large
			خانواده توزیع‌های {\lr{q}}
	}}
		\begin{itemize}
	\item 
	\textcolor{red}{
توزیع {\lr{q}}-گاما}
\begin{equation*}
	f(x,\alpha,\eta|q)=
	\begin{cases}
		\left(\frac{q-1}{\eta}\right)^\alpha\frac{ \Gamma\left(\frac{1}{q-1}\right)}{ \Gamma(\alpha)\Gamma\left(\frac{1}{q-1}-\alpha\right)}x^{\alpha-1}\left[1-(1-q)\frac{x}{\eta}\right]^\frac{1}{1-q};\\\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\; x\ge 0,\quad q>1,\quad\alpha,\eta>0\\
		\left(\frac{1-q}{\eta}\right)^\alpha\frac{\Gamma\left(\frac{1}{1-q}+\alpha+1\right)}{ \Gamma(\alpha)\Gamma\left(\frac{1}{1-q}+1\right)}x^{\alpha-1}\left[1-(1-q)\frac{x}{\eta}\right]^\frac{1}{1-q};\\\quad\quad\quad\quad\quad\; 0\le x\le \frac{\eta}{1-q},\quad q<1,\quad\alpha,\eta>0.
	\end{cases}
\end{equation*}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
	\frametitle{
		{\bf\Large
			فصل سوم
		}
		{\bf\large
			خانواده توزیع‌های {\lr{q}}
	}}
	\begin{itemize}
		\item 
		\textcolor{red}{
		توزیع {\lr{q}}-گوسی}
		\pause
		\begin{equation*}
		f(x,\beta|q)=
		\begin{cases}
			\frac{\sqrt{\beta(q-1)} \Gamma\left(\frac{1}{q-1}\right)}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac{1}{q-1}-\frac{1}{2}\right)}\left[1-(1-q)\beta{x^2}\right]^\frac{1}{1-q};\quad x\in \mathbb{R},\\\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad 1<q<3,\quad\beta>0\\
			\frac{\sqrt{\beta(1-q)} \Gamma\left(\frac{1}{1-q}+\frac{3}{2}\right)}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac{1}{1-q}+1\right)}\left[1-(1-q)\beta{x^2}\right]^\frac{1}{1-q};\\\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad -\frac{1}{\beta(1-q)}< x<\frac{1}{\beta(1-q)},\\\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad q<1,\quad\beta>0.
		\end{cases}
	\end{equation*}
	\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
	\frametitle{
		{\bf\Large
			فصل سوم
		}
		{\bf\large
			خانواده توزیع‌های {\lr{q}}
	}}
\begin{thm}
	اگر متغیر تصادفی $X|\theta$ دارای توزیع گاما با پارامترهای
	$(\alpha,\theta)$
	باشد و
	$\theta$
	دارای توزیع پیشین گاما باشد، آنگاه $X$ دارای توزیع \lr{q}-گاما به ازای $q>1$  است.
	\end{thm}
\pause
		\begin{thm}
		اگر متغیر تصادفی 	$X|\beta$ دارای توزیع گوسی استاندارد با پارامتر $\beta$ به فرم
		$
		f(x)=\sqrt{{\beta}/{\pi}}\exp\left(-\beta x^2\right)
		$
		باشد و پارامتر  $\beta$ دارای توزیع پیشین گاما باشد، آنگاه $X$ دارای توزیع \lr{q}-گوسی به ازای
		$1<q<3$	
		می‌شود. 
	\end{thm}	
\end{frame}
\begin{frame}
	\frametitle{
		{\bf\Large
			فصل چهارم
		}
		{\bf\large
			تعمیم‌هایی از توزیع‌های {\lr{q}}
	}}
\begin{itemize}
	\item
	توزیع {\lr{q}}-وایبول مارشال اولکین
	\begin{itemize}
		\item[$\checkmark$]
		تابع قابلیت اطمینان 
		\pause
		\begin{align*}
			\bar{G}_{MOqW} (x;\gamma,q,\beta ,\lambda)
			=&\frac{\gamma\left[1-(1-q)\left(\frac{x}{\eta}\right)^\beta\right]^{\frac{q-2}{q-1}}}{1-(1-\gamma)\left[1-(1-q)\left(\frac{x}{\eta}\right)^\beta\right]^{\frac{q-2}{q-1}}};\notag\\ &\quad\quad\quad x>0,p,\eta,\beta>0,q<2.\label{MOqW}
		\end{align*}
	\pause
		\item[$\checkmark$] 
		تابع چگالی احتمال
		\pause
		\begin{equation*}
			g_{MOqW} (x)=\frac{\gamma\beta \eta^{-\beta} (2-q)x^{\beta -1} \left[1-(1-q)\left(\frac{x}{\eta}\right)^\beta\right]^{\frac{1}{1-q}}}{\left\lbrace1-(1-\gamma) \left[1-(1-q)\left(\frac{x}{\eta}\right)^\beta\right]^{\frac{q-2}{q-1}}\right\rbrace^2} ;\quad x\ge 0
		\end{equation*}
	\end{itemize}\end{itemize}
	\end{frame}
\begin{frame}
	\frametitle{
		{\bf\Large
			فصل چهارم
		}
		{\bf\large
			تعمیم‌هایی از توزیع‌های {\lr{q}}
	}}
	\begin{itemize}
		\item[$\checkmark$] 
		تابع نرخ خطر
		\pause
		\begin{equation*}
			h_{MOqW} (x)=\frac{\beta \eta^{-\beta} (2-q)x^{\beta -1} \left[1-(1-q)\left(\frac{x}{\eta}\right)^\beta\right]^{-1}}{1-(1-\gamma) \left[1-(1-q)\left(\frac{x}{\eta}\right)^\beta\right]^{\frac{q-2}{q-1}}}
		\end{equation*}
	\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
	\frametitle{
		{\bf\Large
			فصل چهارم
		}
		{\bf\large
			تعمیم‌هایی از توزیع‌های {\lr{q}}
	}}
	\begin{columns}
	\begin{column}{0.4\textwidth}
		\begin{figure}
			\begin{center}
				\includegraphics[height=4.5cm]{gmow}
			\end{center}
		\end{figure}
	\end{column}
\pause
	\begin{column}{0.4\textwidth}
		\begin{figure}
			\begin{center}
				\includegraphics[height=4.5cm]{hmow}
			\end{center}
		\end{figure}
	\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}
	\frametitle{
		{\bf\Large
			فصل چهارم
		}
		{\bf\large
			تعمیم‌هایی از توزیع‌های {\lr{q}}
	}}
	داده‌های زمان بهبودی بیماران سرطانی(جوز و همکارانش، 2009)
	\begin{table}
		\begin{center}
			\scalebox{0.6}{%
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
					\hline
					توزیع&برآورد&$\log L$&آماره کولموگوف-اسمیرنوف&\lr{p}-مقدار\\
					\hline
					\lr{q}-وایبول($1<q<2$)&$\hat{q}=1.3285$&$-452.6269$&$0.0426$&$0.9590$\\
					&$\hat{\beta}=1.4718$&&&\\
					&$\hat{\eta}=5.540416$&&&\\
					\hline
					\lr{q}-وایبول($0<q<1$)&$\hat{q}=0.0434$&$-452.6271$&$0.0424$&$0.9602$\\
					&$\hat{\beta}=1.4718$&&&\\
					&$\hat{\eta}=11.4547$&&&\\
					\hline
					\lr{q}-وایبول مارشال اولکین($1<q<2$)&$\hat{p}=1.6954$&$-452.5417$&$0.0422$&$0.9621$\\
					&$\hat{q}=0.9621$&&&\\
					&$\hat{\beta}=1.4452$&&&\\
					&$\hat{\eta}=3.9872$&&&\\
					\hline
					\lr{q}-وایبول مارشال اولکین($0<q<1$)&$\hat{p}=14.7251$&$-452.4391$&$0.0421$&$0.9634$\\
					&$\hat{q}=0.1278$&&&\\
					&$\hat{\beta}=1.1100$&&&\\
					&$\hat{\eta}=2.3929$&&&\\
					\hline
				\end{tabular}
			}
		\end{center}
	\end{table}
\end{frame}
\begin{frame}
	\frametitle{
		{\bf\Large
			فصل چهارم
		}
		{\bf\large
			تعمیم‌هایی از توزیع‌های {\lr{q}}
	}}
\begin{itemize}
	\item
	\textcolor{red}{
	توزیع  {\lr{q}}-نمایی تعدیل یافته}
	\end{itemize}
\begin{align*}
	f_X(x)=\frac{\sqrt{\beta}}{\mathcal{N}_{dq}}\left(\sqrt{\beta}x\right)^{d}\left(1-\sqrt{\beta}x\right)^{\frac{1}{1-q}};&\quad 0< x<1/\sqrt{\beta}\\&,\quad d>-1,\quad q<1
\end{align*}
که در آن
\[\mathcal{N}_{dq}=\frac{\Gamma\left(d+1\right)\Gamma\left(\frac{1}{1-q}+1\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{1-q}+d+2\right)}\]
\end{frame}
\begin{frame}
	\frametitle{
		{\bf\Large
			فصل چهارم
		}
		{\bf\large
			تعمیم‌هایی از توزیع‌های {\lr{q}}
	}}
	\begin{align*}
	f_X(x)	=\frac{
		\sqrt{{\beta}}}{\mathcal{N}_{dq}} \frac{\left(\sqrt{{\beta}} {x}\right)^{d}}{\left[1+\left(\sqrt{{\beta}} {x}\right)^\nu\right]^{\frac{1}{q-1}}};&\quad 0<X<\infty,\\ &  1<q<\infty,\quad -1< d<\frac{2-q}{q-1}\notag
\end{align*}
که در آن
\[\mathcal{N}_{dq}=\frac{\Gamma\left(\frac{1}{q-1}-d-1\right)\Gamma\left(d+1\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{q-1}\right)}\]
\end{frame}
\begin{frame}
	\frametitle{
		{\bf\Large
			فصل چهارم
		}
		{\bf\large
			تعمیم‌هایی از توزیع‌های {\lr{q}}
	}}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			\begin{figure}
				\begin{center}
					\includegraphics[height=4.5cm]{p-q-exp}
				\end{center}
			\end{figure}
		\end{column}
		\pause
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			\begin{figure}
				\begin{center}
					\includegraphics[height=4.5cm]{m-q-exp2}
				\end{center}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}
	\frametitle{
		{\bf\Large
			فصل چهارم
		}
		{\bf\large
			تعمیم‌هایی از توزیع‌های {\lr{q}}
	}}
\begin{itemize}
	\item
	\textcolor{red}{
{\lr{q}}-گوسی نامتقارن
}
	\begin{align*}
	f_X(x)=\frac{\sqrt{\beta}}{\mathcal{N}_{aq}}\left(1-\beta x^2\right)^{\frac{1}{1-q}}\left(\frac{1+\sqrt{\beta}x}{1-\sqrt{\beta}x}\right)^{a}&;\quad-\frac{1}{\sqrt{\beta}}<x<\frac{1}{\sqrt{\beta}},\notag\\ &\quad \frac{q-2}{1-q}< a<\frac{2-q}{1-q},\notag\\ &\quad q<1,\quad \beta>0
\end{align*}
که در آن
\[\mathcal{N}_{aq}=2^{\frac{2}{1-q}+1}{\Gamma\left(a+\frac{1}{1-q}+1\right) \Gamma\left(\frac{1}{1-q}-a+1\right)}/\Gamma\left(2+\frac{2}{1-q}\right)	\]
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
	\frametitle{
	{\bf\Large
		فصل چهارم
	}
	{\bf\large
		تعمیم‌هایی از توزیع‌های {\lr{q}}
}}
\begin{itemize}
	\item
	{\lr{q}}-گوسی نامتقارن
	\begin{align*}
	f_X(x)=\frac{\sqrt{\beta}}{\mathcal{N}_{aq}}&\left(\frac{1}{1+\beta x^2}\right)^{\frac{1}{q-1}}\left(\frac{\sqrt{1+\beta x^2}+\sqrt{\beta}x}{\sqrt{1+\beta x^2}-\sqrt{\beta}x}\right)^{a};\label{extend2}\\ &\quad x\in \mathbb{R},1<q<3,\quad\beta>0,
	\frac{q-3}{2(q-1)}<a<\frac{3-q}{2(q-1)}.\notag
\end{align*}
که در آن
\[\mathcal{N}_{aq}=2^{\frac{2}{q-1}-2}{\Gamma\left(a+\frac{1}{q-1}-\frac{1}{2} \right) \Gamma\left(\frac{1}{q-1}-\frac{1}{2}-a \right)}/\Gamma\left(\frac{2}{q-1}-1\right)	\]
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
	\frametitle{
		{\bf\Large
			فصل چهارم
		}
		{\bf\large
			تعمیم‌هایی از توزیع‌های {\lr{q}}
	}}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			\begin{figure}
				\begin{center}
					\includegraphics[height=4.5cm]{extended-q-gausian-prob}
				\end{center}
			\end{figure}
		\end{column}
		\pause
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			\begin{figure}
				\begin{center}
					\includegraphics[height=4.5cm]{fig-extend2}
				\end{center}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}
	\frametitle{
		{\bf\Large
			فصل چهارم
		}
		{\bf\large
			تعمیم‌هایی از توزیع‌های {\lr{q}}
	}}
داده‌های شاخص $S\& P$ بازار سرمایه(بودینی، 2015)
\pause
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
		\begin{table}
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|}
					\hline
					پارامتر&برآورد\\
					\hline
					$a$&$-0.87$\\
					$q$&$1.34$\\
					$\beta$&$0.37$\\
					\hline	
				\end{tabular}
			\end{center}
		\end{table}
		\end{column}
		\pause
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			\begin{figure}
				\begin{center}
					\includegraphics[height=4.5cm]{budifig11}
				\end{center}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}
	\begin{center}
	\frametitle{
	{\bf\Large
		فصل پنجم
	}
	{\bf\large
		نتیجه‌گیری
}}
	\end{center}
\end{frame}
\begin{frame}
	\frametitle{
		{\bf\large
			فهرست منابع
	}}
	\begin{thebibliography}{99}
		\resetlatinfont
		\begin{latin}
			\bibitem{19}
			Assis EM, Borges EP, Vieira de Melo SA (2013) Generalized q-weibull model and the bathtub curve. {\it International Journal of Quality and Reliability Management} \textbf{30}(7):720–736
			
			\bibitem{13}  
			Budini, A. A. (2015). Extended q-Gaussian and q-exponential distributions from gamma random variables. {\it Physical Review E}, \textbf{91}(5), 052113.
			
			\bibitem{bur}  
			Burr, I. W. (1942). Cumulative frequency functions. {\it The Annals of mathematical statistics}, \textbf{13}(2), 215-232.
			
			\bibitem{18}
			Costa, U. M. S., Freire, V. N., Malacarne, L. C., Mendes, R. S., Picoli Jr, S., De Vasconcelos, E. A., da Silva Jr, E. F. (2006). An improved description of the dielectric breakdown in oxides based on a generalized Weibull distribution. {\it Physica A: Statistical Mechanics and its Applications}, \textbf{361}(1), 209-215.
		\end{latin}	
	\end{thebibliography}
\end{frame}
\begin{frame}
	\frametitle{
		{\bf\large
			فهرست منابع
	}}
	\begin{thebibliography}{99}
		\resetlatinfont
		\begin{latin}
				\bibitem{20}
			Jia, X., Nadarajah, S., Guo, B. (2017). Inference on q-Weibull parameters. {\it Statistical Papers}, \textbf{61}(2), 575-593.
			
	\bibitem{jose}
Jose, K. K., Naik, S. R., and Ristić, M. M. (2009). Marshall–Olkin q-Weibull distribution and max–min processes. {\it Statistical papers}, \textbf{51}(4), 837-851.

\bibitem{6}  
Kang, F., Li, J., Li, H. (2013). Artificial bee colony algorithm and pattern search hybridized for
global optimization. {\it Applied Soft Computing}, \textbf{13}, 1781–91.

\bibitem{7} 
Karaboga, D., Gorkemli, B. (2014). A quick artificial bee colony (qABC) algorithm and its performance on optimization problems. {\it Applied Soft Computing}, \textbf{23}, 227–38.
		\end{latin}	
	\end{thebibliography}
\end{frame}
\begin{frame}
	\frametitle{
		{\bf\large
			فهرست منابع
	}}
	\begin{thebibliography}{99}
		\resetlatinfont
		\begin{latin}
			\bibitem{enh2}
			Lemonte, A. J. (2013). A new exponential-type distribution with constant, decreasing, increasing, upside-down bathtub and bathtub-shaped failure rate function. {\it Computational Statistics and Data Analysis}, \textbf{62}, 149-170.
			
			\bibitem{luiz}  
			Lewis, P. A., and McKenzie, E. D. (1991). Minification processes and their transformations. {\it Journal of applied probability}, 45-57.
					\bibitem{11}  
			Malacarne, L.C., Mendes, R.S., Lenzi, E.K., (2002)  q-exponential distribution in urban agglomeration. {\it Physical Review E}, \textbf{65}, 017106. 
			
			\bibitem{4}
			Marshall, AW., Olkin, I. (1997). A new method for adding a parameter to a family of distributions with
			application to the exponential and Weibull families. {\it Biometrica},  \textbf{84}, 641–652.
		\end{latin}	
	\end{thebibliography}
\end{frame}
\begin{frame}
	\frametitle{
		{\bf\large
			فهرست منابع
	}}
	\begin{thebibliography}{99}
		\resetlatinfont
		\begin{latin}
			\bibitem{3}
			Mathai, A. M. (2005). A pathway to matrix-variate gamma and normal densities. {\it Linear Algebra and Its Applications}, \textbf{396}, 317-328.
			
			\bibitem{10}  
			Nadarajah, S., Kotz, S., (2007) On the q-type distributions. {\it Physica A}, \textbf{377}(2), 465–468.
			
			\bibitem{16}
			Picoli Jr, S., Mendes, R. S., Malacarne, L. C. (2003). q-exponential, Weibull, and q-Weibull distributions: an empirical analysis. {\it Physica A: Statistical Mechanics and its Applications}, \textbf{324}(3-4), 678-688.
		\end{latin}	
	\end{thebibliography}
\end{frame}
\begin{frame}
	\frametitle{
		{\bf\large
			فهرست منابع
	}}
	\begin{thebibliography}{99}
		\resetlatinfont
		\begin{latin}
	\bibitem{8}  
Shan, H., Yasuda, T., Ohkura, K., (2013) A self adaptive hybrid artificial bee colony algorithm
for solving CEC 2013 real-parameter optimization problems. {\it International symposium
	on system integration (SII) IEEE/SICE};. p. 706–11.

\bibitem{tavares}  
Tavares, L. V. (1977). The exact distribution of extremes of a non-Gaussian process. {\it Stochastic Processes and their Applications}, \textbf{5}(2), 151-156.

\bibitem{1} 
Tsallis, C. (1988). Possible generalization of Boltzmann-Gibbs statistics. {\it Journal of statistical physics}, \textbf{52}(1), 479-487.

\bibitem{enh1}
Xie, M., Tang, Y., and Goh, T. N. (2002). A modified Weibull extension with bathtub-shaped failure rate function. {\it Reliability Engineering and System Safety}, \textbf{76}(3), 279-285.
		\end{latin}	
	\end{thebibliography}
\end{frame}
\begin{frame}
	\begin{center}
	\colorbox{green!25}{\textcolor{pink!180}{
	{\LARGE
	از توجه شما سپاسگزارم.
}}}
	\end{center}
\end{frame}
\end{document}