\def\bs{\v}
\chapter{پیش‌نیازها}
فصل نخست پایان نامه,مروری بر تعاریف و مفاهیم اولیه مربوط به گراف و کیلی گراف هاست که در فصل های آتی از آنها استفاده خواهیم کرد .البته باید به این نکته توجه کنیم که تمام تعاریف و ویژگی های مربوط به گراف را نمی توان در یک فصل خلاصه کرد, اما ما حتی الامکان سعی خواهیم کرد تعاریف و ویژگی هایی که در فصل های آتی این پایان نامه از آنها استفاده شده, به طور مختصر شرح دهیم . \\
در بخش اول این فصل , تعاریف مقدماتی مورد نیاز در مورد گرافها بیان شده و در بخش دوم تعاریفی در مورد گرافهای کیلی و تجزیه ی همیلتونی را اراىٔه می کنیم .
\section{مقدمات گراف}
\begin{definition}
یک \textbf{گراف} 
\footnoteC{Graph}
عبارت است از سه تایی مرتب $G=(V(G),E(G),I_G)$
, که در آن $V(G)$ مجموعه ای ناتهی است, $E(G)$ مجموعه ای مجزا از $V(G)$ و $I_G$ نگاشت وقوع
\footnoteC{Incidence Function}
است,که به هر عضو 
$E(G)$  
یک زوج نامرتب از $V(G)$ را نظیر می کند . \\
عناصر $V(G)$ را رأس های $G$ و عناصر $E(G)$ را یالهای $G$ می نامیم .اگر برای یال $e$ از $G$ داشته باشیم 
$I_G(e)=\{u,v\}$
, به اختصار می نویسیم 
$I_G(e)=uv$
.
\end{definition}
\begin{definition}
ذو رأس را \textbf{مجاور}
\footnoteC{Adjacent}
یا همسایه گویند هرگاه یالی بین آن دو باشد.
\end{definition}
\begin{definition}
یک  \textbf{حلقه}یا طوقه\footnoteC{Loop} یالی است که یک رأس را به خودش متصل می کند .به عبارت دیگر , رأس ابتدا و انتهایش یکسان باشد .
\end{definition}
\begin{definition}
یال های \textbf{موازی} یا چندگانه , یال هایی هستند که رىٔوس انتهایی آنها با هم برابرند .\\
گرافی که دارای یالهای موازی باشد را گراف چندگانه می نامند . 
\end{definition}
\begin{definition}
گراف بدون یال موازی و طوقه را گراف \textbf{ساده}
\footnoteC{ Simple Graph}
می نامند . \\
در سراسر این پایان نامه منظور از گراف , یک گراف ساده است مگر آنکه خلاف آن بیان شود . 
\end{definition}
\begin{definition}
\textbf{یکریختی گراف}
\footnoteC{ Isomorphism}
مفهومی همانند یکریختی ساختارهای جبری است . فرض کنید 
$G=(V(G),E(G),I_G)$
و
$H=(V(H),E(H),I_H)$
دو گراف باشند .
یک ریختی گرافی از
$G$ 
به $H$
 (می نویسیم $G\cong H$) 
زوج 
$(\varphi,\theta)$
است که در آن 
\mbox{
$\varphi : V(G) \longrightarrow V(H) $
}
و 
$\theta : E(G) \longrightarrow E(H) $
 تابع هایی دوسویی با این خاصیت هستند که 
$I_G(e)=\{u,v\}$
اگر و تنها اگر 
$I_H(\theta (e) )=\{\varphi (u),\varphi (v)\}$
.
اگر $(\varphi,\theta)$ یکریختی گرافی باشد ,آنگاه زوج تابع های وارون 
$(\varphi^-1,\theta ^-1)$
نیز یکریختی گرافی است .
\\
توجه کنید که تابع دوسویی
\footnoteC{ Bijection}
 $\varphi$  در این شرط صدق می کند که $u$ و $v$ رأس های پایانی یک یال $e$ از $G$ هستند اگر و تنها اگر
$ \varphi (u)$ 
و
$ \varphi (u)$ 
 رأس های پایانی یال
$\theta (e)$
از
$H$ باشند . 
\end{definition}
\begin{definition}
اگر $E(G)$ و $V(G)$ متناهی باشند , گراف $G$ را \textbf{متناهی}
گوییم . اگر گراف متناهی نباشد, آن را نامتناهی گوییم. تعداد رىٔوس را با $n(G)$ و تعداد یال های آن را با $m(G)$ و یا به اختصار با $n$ و $m$ نشان می دهیم و آنها را به ترتیب مرتبه
\footnoteC{ Order}
و
اندازه ی
\footnoteC{ Size}
 گراف $G$ نامیم .
\end{definition}
\begin{definition}
اگر در گراف ساده ی $G$ هر زوج از رأس های متمایز مجاور باشند, آنگاه گراف $G$ را
\textbf{کامل}
می نامند . هر دو گراف کامل با $n$ رأس , یکریخت هستند و از این رو یک گراف کامل
\footnoteC{Complete Graph}
$n$ رأسی با
$K_n$ نشان داده می شود .
\end{definition}
\begin{definition}
گراف $G$ را دو بخشی گوییم, هرگاه مجموعه ی رىٔوس $G$ را بتوان به دو مجموعه ی ناتهی $X$ و $Y$ افراز کرد به طوریکه یک انتهای هر یال $G$ در $X$ و انتهای دیگر آن در $Y$ باشد و آن را با 
$G(X,Y)$ نشان می دهیم .
 گراف ساده ی دو بخشی $G(X,Y)$ را کامل گوییم, هر گاه هر رأس در $X$ با همه ی رىٔوس $Y$ مجاور باشد . \\
اگر $G(X,Y)$ یک گراف کامل با
$|X|=p$
و
$|Y|=q$
باشد, آن گاه $G(X,Y)$ را با 
$K_{p,q}$
نمایش می دهیم .
\end{definition}
\begin{definition}
یک \textbf{گشت} 
\footnoteC{Walk}
در گراف $G$ , یک دنباله ی متناوب از رىٔوس و یالها به فرم 
$W=v_{0} e_{1} v_{1}e_{2}v_{2}...e_{n}v_{n}$
است که ابتدا و انتهای آن رىٔوس هستند و به ازای $i=1,2,...,n$ 
داریم :
$e_i=v_{i-1}v_i$
\\
به منظور رعایت اختصار در دنباله ی فوق از نوشتن 
$e_i$ ها می توان خودداری کرد . 
\\
یک \textbf{دور}
\footnoteC{Cycle}
 , یک گشت به فرم $v_{0}v_{1}  ... v_n $ 
 است به طوریکه
 $v_{0}=v_n$
ونیز رىٔوس $v_{1},v_2,...,v_{n-1}$ متمایز باشند .یک گشت که رأس تکراری نداشته باشد, یک \textbf{مسیر}
\footnoteC{Path}
نامیده می شود .
طول کوتاهترین مسیر بین دو رأس $u$ و $v$ در گراف $G$ , را فاصله ی 
\footnoteC{Distance}
 بین دو رأس نامیم و با نماد 
 $d_G(u,v)$ نمایش می دهیم .اگر بین دو رأس $u$ و $v$ مسیری وجود نداشته باشد آن گاه 
 $d_G(u,v)=\infty $
 است .
 \end{definition}
\begin{definition}
گراف $G$ را \textbf{منظم }
\footnoteC{Regular}
نامیم, هرگاه درجه ی تمام رىٔوس آن برابر باشد . اگر درجه ی هر رأس آن $n$ باشد, آنگاه $G$ را یک گراف $n$
-منظم
و یا گراف منظم از درجه ی $n$ نامیم . 
\end{definition}
\begin{theorem}
هر گراف $n$
-منظم
از مرتبه ی $k$, دارای 
$\frac{kn}{2} $
یال است . 
${{\xx}}_0$ 
$x_{1}$
\end{theorem}
$$ \dim(R)=\sup\big\{n\in\Bbb N_{\dis 0}:~~ {{\pp}}_0 \varsubsetneq  {{\pp}}_1 \varsubsetneq \ldots\varsubsetneq {{\pp}}_n ~, ~ {\pp}_i \in \Spec(R)~ ;~ i=0,\ldots,n\big\}.$$

در این فصل مفاهیم و قضایایی که در فصل‌های بعد مورد نیاز است را بیان می‌کنیم. این فصل شامل سه بخش است. در بخش اول تعاریف و قضایایی درباره‌ی عمل دو گروه، جابه‌جاگر\footnoteC{commutator}
، گروه پوچ‌توان و گروه حل‌پذیر آورده شده است. در بخش دوم در مورد گروه آزاد\footnoteC{free group}
 و حاصلضرب آزاد\footnoteC{free product}
  قضایایی مورد بررسی قرار خواهد گرفت. در بخش سوم درباره‌ی دنباله‌ی دقیق
  \footnoteC{exact sequence}
   و حاصلضرب تانسور آبلی مطالبی را یادآوری خواهیم کرد.
\newpage
\section{ تعاریف و قضایای مقدماتی}
در این بخش عمل دو گروه روی یکدیگر، حاصلضرب نیم‌مستقیم داخلی و خارجی و زیرگروه جابه‌جاگر را تعریف کرده و به بیان ارتباط بین حاصلضرب نیم‌مستقیم داخلی و خارجی و چند لم در مورد جابه‌جاگرها می‌پردازیم.
\begin{definition}
فرض کنیم $ G $ و $ H $ دو گروه باشند. گوییم $ G $ روی $ H $ عمل می‌کند، اگر تابعی مانند 
\mbox{
 $\varphi : G\times H\longrightarrow H $ }
 با ضابطه‌ی $ (g,h)\longmapsto\ ^{g}h$ وجود داشته باشد به طوری که به ازای هر
  $ g,g_{1},g_{2}\in G $
   و هر 
   $h,h_{1},h_{2} \in H $
    شرایط زیر برقرار باشند
\begin{enumerate}[(i)]
\item
$ ^{1}h=h$ 
\item
$^{( g_{1} g_{2})}h=\ ^{g_{1}}(^{ g_{2}}h) $
\item
$ ^{g}(h_{1}h_{2})=\ ^{g}h_{1}\ ^{g}h_{2}$
\end{enumerate}
\end{definition}
قرارداد: در این پایان‌نامه همه‌ی اعمال را از چپ در نظر می‌گیریم و  مزدوج\footnoteC{conjugation}
را از سمت چپ می‌نویسیم. در این صورت برای هر
$g,g' \in G $
داریم
\mbox{$^{g}g'=gg'g^{-1}$}.

\begin{theorem}
فرض کنیم $ G $ روی $ H $ عمل کند، در این ‌صورت برای هر $ g\in G $ نگاشتی مانند
\mbox{ $ \varphi_{g} : H\longrightarrow H $ }
 با ضابطه‌ی 
 $ h\longmapsto \ ^{g}h $
  تعریف شده متناظر می‌شود که یک خودریختی\footnoteC{automorphism}
  از $ H $ می‌باشد.
 علاوه بر این نگاشت $ \varphi : G\longrightarrow AutH $ که با ضابطه‌ی 
 $ g\longmapsto \varphi_{g} $
   تعریف می‌شود یک همریختی است. $ \varphi $ را نمایش خودریختی $ G $ متناظر با این عمل\footnoteC{action}
  می‌نامیم و برای اختصار $ \varphi $ را عمل 
 \mbox{ می‌خوانیم.}
\begin{proof}
واضح است.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
 در قضیه قبل اگر عمل $ G $ روی $ H $ را از راست در نظر بگیریم،   
نمایش
خودریختی $ G $ متناظر با این عمل  به صورت زیر تعریف می‌شود.\\
\begin{align*}
\varphi : & G\longrightarrow Aut(H) \cr
& g\longmapsto \varphi_{g}
\end{align*}
به طوری که $ \varphi_{g}: H\longrightarrow H $ با ضابطه‌ی 
$ h\longmapsto \ h^{g^{-1}} $
می‌باشد.
\end{remark}
\begin{definition}
فرض کنیم $ G $ گروه و $ N\leq G $ و $ H\unlhd G $،  اگر $ H\cap N=1 $ و $ G=HN $ باشند. در این ‌صورت $ G $ را حاصلضرب نیم‌مستقیم
 \footnoteC{semi-direct product}
 داخلی $ N $  و $ H $ گوییم و با نماد $H\rtimes N $ نشان ‌می‌دهیم.
\end{definition}
\begin{definition}
فرض کنیم $ H $ و $ N $   گروه باشند.
$ \alpha : N\longrightarrow Aut(H) $ با ضابطه‌ی $ n\longmapsto \alpha_{n} $ تعریف ‌شده باشد. عمل دوتایی روی $ G=H\times N $ را به ‌صورت زیر تعریف می‌کنیم
$$ (h_{1},n_{1})(h_{2},n_{2})=(h_{1}\ ^{n_{1}}h_{2},n_{1}n_{2}) $$
که $ (1_{H},1_{N}) $ عنصر همانی این گروه و $ (^{n_{1}^{-1}}h^{-1},n_{1}^{-1}) $  وارون $ (h_{1},n_{1}) $  می‌باشد.\\گروه معرفی شده فوق را حاصلضرب نیم‌مستقیم ‌خارجی $ N $ و $ H $ گوییم و با نماد $ G=H\rtimes_{\alpha} N $ 
\mbox{نشان‌ می‌دهیم.}
\end{definition}
اگر 
 $ \alpha $
 مزدوج تعریف شود، یعنی 
 \begin{align*}
 \alpha : &   N \longrightarrow Aut(H) \cr
 & n \longmapsto  \alpha_{n}: H \longrightarrow H\cr
 & ~~~~~~~~~~~~~~~~n\longmapsto \ ^{n}h=nhn^{-1}
 \end{align*}
 هر حاصلضرب نیم‌مستقیم داخلی را می‌توان حاصلضرب نیم‌مستقیم خارجی درنظرگرفت. همچنین فرض کنیم $ G=H\rtimes_{\alpha} N $ و $ \alpha : N \longrightarrow Aut(H) $.  قرار می‌دهیم $
 H^{\ast}=\lbrace (h,1)\in G \mid h\in H \rbrace $ و 
 $ N^{*}=\lbrace (1,n)\in G \mid n\in N\rbrace $
 به وضوح 
   $ H^{\ast}\unlhd G $، 
   $ N^{\ast}\leq G$،
 $ H^{\ast}\cap N^{\ast}=1 $ 
 و
  $ G=H^{\ast}N^{\ast} $
  از این رو $ G $ حاصلضرب نیم‌مستقیم داخلی $ N^{\ast} $  و $ H^{\ast} $  است.
\begin{definition}
گروه $ G $ را موضعا دوری گوییم، اگر هر زیرگروه متناهیا تولید شده‌ی آن دوری باشد.
\end{definition}
\begin{definition}\label{d}
فرض ‌کنید $ G $ گروه  و $ x,y $ عناصری دلخواه از $ G $ باشند.  در این صورت ‌جابه‌جاگر  
 $ x$
 و  $y $  به ‌صورت
 $ [x,y]=xyx^{-1}y^{-1} $
  تعریف می‌شود. در حالت کلی جابه‌جاگر از وزن $ n $ مرتب شده از چپ به طور  استقرایی به صورت زیر تعریف می‌شود
 $$ [x_{1},x_{2},...,x_{n}]= [[x_{1},x_{2},...,x_{n-1}],x_{n}] $$ 
 که
 $ x_{i} $، 
 جابه‌‌جاگر از وزن یک می‌باشد.  
\end{definition}
\begin{lemma}\label{l9.1.1}
فرض ‌کنید که $ x $، $ y $ و $ z $  
 عناصر گروه $ G $ باشند. آنگاه
 \begin{enumerate}[(i)]
 \item
 $ [x,y]=[y,x]^{-1} $
 \item
 $ [xy,z]=\ ^{x}[y,z] [x,z]~~~~,~~~~[x,yz]=[x,y]\ ^{y}[x,z] $
 \item
 $. [x,y^{-1}]=(^{y^{-1}}[x,y])^{-1}~~~,~~~[x^{-1},y]=(^{x^{-1}}[x,y])^{-1}  $
 \end{enumerate}
\begin{proof}
به صفحه 119 از \cite{3} رجوع شود.
\end{proof}
\end{lemma}
\begin{remark}
اگر در تعریف \ref{d} عمل از راست در نظر گرفته شود، جابه‌جاگر 
$ [x,y] $
باید به صورت 
$ [x,y]=x^{-1} y^{-1}xy $
تعریف شود. همچنین در لم \ref{l9.1.1} با درنظر گرفتن عمل از راست اتحادهای هال باید به صورت  $ [xy,z]=[x,z]^{y}[y,z] $ و 
$ [x,yz]=[x,z][x,y]^{z} $
باشند.
\end{remark}
\begin{definition}
فرض کنیم $ G $ گروه باشد و $X_{1} $،
$X_{2}$،
\ldots،
$X_{n}$ 
 زیرمجموعه‌های از $ G $ باشند. زیرگروه جابه‌جاگر 
$ [X_{1},X_{2},...,X_{n}] $
به طور استقرایی به صورت زیر تعریف می‌شود.\\
اگر $ n=1 $ باشد، داریم 
$   [X_{1}]=\langle X_{1} \rangle$.\\
اگر $ n=2 $ باشد، 
$  [X_{1},X_{2}]= \langle [x_{1},x_{2}]\mid x_{1}\in X_{1},x_{2}\in X_{2}  \rangle $.\\
فرض کنیم $ [X_{1},X_{2},...,X_{k}] $ تعریف شده باشد. بنابراین $ [X_{1},X_{2},...,X_{k}] $  
به صورت زیر تعریف می‌شود.
$$   [X_{1},X_{2},...,X_{k+1}]= [[X_{1},X_{2},...,X_{k}],X_{k+1}]   $$
زیرگروه $ [G,G] $ که به وسیله‌ی تمام جابه‌جاگرهای $ G $ تولید می‌شود، معمولا با $ G' $ نمایش می‌دهند و گروه مشتق $ G $ می‌نامند.\\
همچنین جابه‌جاگر 
$ [X,\underbrace{Y,...,Y}_\text{n  بار} ] $ را با نماد $ [X,_{n}Y] $ نمایش می‌دهیم.
 \end{definition}
 در لم زیر به بیان خواصی از زیرگروه جابه‌جاگر می‌پردازیم.
 \begin{lemma}
فرض‌کنید که $ A,B\leq G $ باشند. در این صورت
\begin{enumerate}[(i)]
\item
$ [A,B]=[B,A] $
 \item
 اگر $ A\unlhd G $ آنگاه $ [A,B]\leq A  $.
 \item
 اگر $ A,B\unlhd G $ آنگاه $ [A,B]\unlhd A\cap B $ و $ [A,B]\unlhd G $. 
 \item
 اگر $ [A,B]\leq B $ آنگاه $ A\leq N_{G}(B) $  و برعکس.
 \item
 اگر $ A\leq B $ و $ A\unlhd G $ آنگاه شرط لازم و کافی برای آنکه $ \dfrac{B}{A}\leq Z(\dfrac{G}{A}) $ آن ‌است ‌که $ [A,B]\leq A $.
 \item
 اگر $ \theta $ یک همریختی\footnoteC{homomorphism}
 از گروه $ G_{1} $ به گروه $ G_{2} $ باشد. آنگاه $ \theta([A,B])=[\theta(A),\theta(B)] $. 
 \item
 اگر $ A,B\leq G_{1} $  و $ A_{1},B_{1} \leq G_{2} $  آنگاه 
$ [A\times A_{1},B\times B_{1}] =[A,B]\times [A_{1},B_{1}] $. 
\end{enumerate} 
\begin{proof}
به صفحه 100 از \cite{3}
رجوع شود.
\end{proof}
\end{lemma}

\section{ گروه ‌آزاد و حاصلضرب آزاد }
در این بخش گروه آزاد و حاصلضرب آزاد را بیان کرده و به بیان چند قضیه درباره‌ی گروه آزاد می‌پردازیم.
\begin{definition}
فرض ‌کنید 
$ X $  مجموعه ناتهی باشد. گروه $ F $ همراه با تابع 
$ i: X\longrightarrow  F $
 را بر $ X $ آزاد گوییم، اگر به ازای هر گروه مانند $ G $ و هر تابع مانند 
 $ f:X\longrightarrow G  $ همریختی یکتا مانند $  f_{1}:F\longrightarrow G $ موجود باشد به طوری که $ f_{1}i=f $.
\end{definition} 
\begin{definition}
فرض کنیم $ F $ گروه ‌آزاد بر مجموعه $ X $ باشد. در این صورت عدد‌ اصلی $ X $ را 
\mbox{رتبه‌ی}
 $ F $ می‌نامیم.
\end{definition}
قضایای بعد بیانگر خواصی از گروه آزاد است.
\begin{theorem}(خاصیت تصویری گروه ‌آزاد)
فرض کنیم $ F $ یک گروه ‌آزاد روی مجموعه $ X $ باشد و $ G $ و $ H $ دو گروه و $ \alpha : F\longrightarrow H $ یک همریختی و $ \beta : G\longrightarrow H $  یک بروریختی\footnoteC{epimorphism}
 از گروه‌ها باشند. در این صورت همریختی مانند $ \delta : F\longrightarrow G $ وجود دارد به طوری که $ \beta\delta=\alpha $.
\begin{proof}
به صفحه 49 از \cite{3} رجوع شود.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
هر گروه دلخواه تصویر همریخت یک گروه ‌آزاد است.
\begin{proof}
به صفحه 49 از \cite{3}
رجوع شود.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{definition}
فرض کنیم $ G $ یک گروه و $ X $ یک مجموعه مولد برای $ G $ و $ F $ یک گروه ‌آزاد بر $ X $ باشد به طوری که $ G\cong F/R $ در این صورت $  F/R  $ را  نمایش آزاد برای گروه $ G $ گوییم.
\end{definition}
\begin{definition}
فرض کنیم
 $\lbrace G_{i} : i \in I \rbrace$
  خانواده‌ای ناتهی از گروه‌ها باشد. حاصلضرب آزاد این خانواده ‌یک گروه مانند $ G $ همراه با خانواده‌ای از همریختی گروه‌ها مانند $\lbrace\tau_{i} : G_{i}\longrightarrow G \mid i\in I \rbrace$
  است به طوری که به ازای هر گروه
  $ H $ و خانواده‌ی $ \lbrace\varphi_{i} : G_{i}\longrightarrow H \vert i\in I \rbrace $ از همریختی گروه‌ها، همریختی یکتایی مانند 
  $ \varphi : G\longrightarrow H $
   وجود داشته باشد به طوری که به ازای هر 
   $ i\in I $، 
   $\tau_{i}\varphi=\varphi_{i} $.
   حاصلضرب آزاد
   $\lbrace G_{i} : i\in I \rbrace $ را با $ \Pi_{i\in I}^{*}  G_{i}$ 
    نشان ‌می‌دهیم. 
\end{definition}
\section{ حاصلضرب تانسور ‌آبلی}
در این بخش دنباله‌ی دقیق و حاصلضرب تانسور آبلی را تعریف کرده و قضایایی را درباره‌ی این دو مفهوم بیان می‌کنیم. دنباله‌ی دقیق در اثبات بسیاری از قضایا و گزاره‌های فصل‌های بعد مورد استفاده قرار می‌گیرد.
\begin{definition}
یک دنباله
 از همریختی‌های گروهی مانند
\begin{displaymath}
\xymatrix{
{\cdots} \ar[r] & {A_{n-1}}\ar[r]^{f_{n-1}}&{A_n} \ar[r]^{f_n}  & A_{n+1} \ar[r] & {\cdots}}
\end{displaymath}
در جمله‌ی $ A_{n} $ را دقیق گوییم، هرگاه $ kerf_{n}=Imf_{n-1} $. این دنباله را دقیق گوییم، هرگاه در هر جمله دقیق باشد.\\دنباله‌ی زیر را 
\begin{displaymath}
\xymatrix{
{1} \ar[r] & A\ar[r]^{f}&B \ar[r]^{g}  & ِِC\ar[r] & {1}}
\end{displaymath}
یک دنباله‌ی دقیق ‌کوتاه\footnoteC{short exact sequence}
 گوییم، هرگاه $ kerg=Imf $ و همچنین $ f $ یک ‌به ‌یک و $ g $ پوشا باشد. 
\end{definition}
لم زیر در اثبات قضیه اصلی بخش چهار از فصل سه نقش اساسی دارد.
\begin{theorem}{(لم پنج ‌کوتاه)}
فرض کنیم
\begin{displaymath}
\xymatrix{
1 \ar[r] &A ~~ \ar[r] \ar[d]^{\alpha} & B\ar[r] \ar[d]^{\beta} & C \ar[d]^{\gamma}   \ar[r] & 1 \\
1 \ar[r] & A' ~~ \ar[r]     & B' \ar[r] &C' \ar[r] & 1
 }
 \end{displaymath}
یک نمودار تعویض‌پذیر از گروه‌ها و همریختی‌های گروهی باشد به طوری که هر سطر آن دنباله‌ی دقیق ‌کوتاه است. در این صورت
\begin{enumerate}[(i)]
\item
اگر $ \alpha $ و $ \gamma $ تکریختی\footnoteC{monomorphism}
 باشند، در این صورت $ \beta $ تکریختی است.
\item
اگر $ \alpha $ و $ \gamma $ بروریختی باشند، در این صورت $ \beta $ بروریختی است.
\item
اگر $ \alpha $ و $ \gamma $ یکریختی باشند، در این صورت $ \beta $ یکریختی است.
\end{enumerate}
\begin{proof}
به صفحه  275 از\cite{5} رجوع شود.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{definition}
فرض کنیم $ A $ یک مدول راست و $ B $ یک مدول چپ روی حلقه $ R $ باشند. همچنین$ F $ گروه ‌آبلی ‌آزاد بر مجموعه $ A\times B $ و نیز $ K $ زیرگروه $ F $ تولید شده به وسیله‌ی تمام عناصر به ‌صورت زیر (به ازای هر 
$ a,a_{1}\in A$،
$b,b_{1}\in B$
و
 $r\in R $) باشد
 \begin{enumerate}[(i)]
 \item
 $(a+a_{1},b)-(a,b)-(a_{1},b)$
 \item
 $(a,b+b_{1})-(a,b)-(a,b_{1})$
 \item
 $(ar,b)-(a,rb)$
 \end{enumerate}
گروه ‌آبلی خارج‌قسمتی $ F/K $  حاصل ضرب تانسوری  $ A $  و $ B $ می‌نامیم. این گروه  با نماد $ A\otimes_{R} B $  نمایش داده ‌می‌شود. هم‌مجموعه $ (a+b)+K $ با $ a\otimes b $ نشان ‌می‌دهیم. اگر $ R=\mathbb{Z} $ آنگاه  $ A\otimes_{\mathbb{Z}} B $ حاصلضرب تانسور ‌آبلی $ A $ و $ B $ می‌نامیم. 
\end{definition}
\begin{remark}
تعریف فوق ایجاب می‌کند که مولدهای $ a\otimes b $  از $ A\otimes_{R}B $ (به ازای هر $ a,a_{1},a_{2}\in A $،  $ b,b_{1},b_{2}\in B $ و $ r\in R $ ) در روابط زیر
$$(a_{1}+a_{2})\otimes b=a_{1}\otimes b+a_{2}\otimes b$$
$$a\otimes (b_{1}+b_{2})=a\otimes b_{1}+a\otimes b_{2}$$
$$ar\otimes b=a\otimes rb$$
صدق ‌کنند. در واقع تعریف دیگری از $ A\otimes B $ عبارت است از گروه ‌آبلی با مولدهای نمادین $ a\otimes b $ که  روابط فوق برای آن‌ها برقرار باشد.
\end{remark} 
\begin{definition} 
هرگاه $ A_{R} $  و $ _{R}B $  مدول‌هایی روی حلقه $ R $ و $ C $ یک گروه ‌آبلی باشد، آنگاه یک
 نگاشت ‌خطی ‌میانی\footnoteC{middle  linear map }
 از $ A\times B $ به $ C $ تابعی است مانند $ f: A\times B\longrightarrow C $ به طوری که به ازای هر $ a,a_{1}\in A $ و $ b,b_{1}\in B $  و $ r\in R $ داشته باشیم 
$$f(a_{1}+a,b)=f(a_{1},b)+f(a,b_{1})$$
$$f(a,b+b_{1})=f(a,b)+f(a,b_{1})$$
$$f(ar,b)=f(a,rb)$$
\end{definition}
\begin{theorem}{(قضیه اساسی تانسور)}
فرض کنیم $ A_{R} $ و $ _{R}B  $ مدول‌هایی روی حلقه‌ی $ R $ و $ C $ یک گروه ‌آبلی باشد. هرگاه 
\mbox{$ g : A\times B \longrightarrow C $ }
 یک نگاشت ‌خطی ‌میانی باشد، آنگاه  همریختی یکتا از گروه‌ها مانند
\mbox{$ \overline{g} : A\otimes_{R} B\longrightarrow C$}
وجود دارد به طوری که $ \overline{g}i=g $ و در آن $ i: A\times B\longrightarrow A\otimes_{R} B $ با 
\mbox{ضابطه‌ی}
 $ (a,b)\longmapsto a\otimes b $
  نگاشت ‌خطی ‌میانی کانونی است.
\begin{proof}
به صفحه 325 از \cite{5} رجوع شود.
\end{proof}
\end{theorem}