\documentclass[11pt,a4paper]{report}
\usepackage{amsthm,amssymb,amsmath}
\usepackage[top=30mm, bottom=30mm, left=20mm, right=20mm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
% بسته‌ و دستوراتی برای ایجاد لینک‌های رنگی با امکان جهش 
\usepackage[pagebackref=true,colorlinks,linkcolor=blue,citecolor=magenta]{hyperref}
% چنانچه قصد پرینت گرفتن نوشته خود را دارید، خط بالا را غیرفعال و  از دستور زیر استفاده کنید چون در صورت استفاده از دستور زیر‌‌، 
% لینک‌ها به رنگ سیاه ظاهر خواهند شد و برای پرینت گرفتن، مناسب‌تر است
%\usepackage[pagebackref=false]{hyperref}
% بسته‌ای برای ظاهر شدن «مراجع» و« نمایه» در فهرست مطالب
\usepackage{tocbibind}
% دستورات مربوط به ایجاد نمایه
\usepackage{makeidx}
\makeindex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% فراخوانی بسته زی‌پرشین و دستورات مربوط به نوع فونت‌ها
\usepackage{xepersian}
\settextfont[Scale=1.1]{XB Niloofar}
\setcounter{chapter}{9}
\setcounter{section}{5}
\pagenumbering{arabic}
%\setlatintextfont[Scale=2]{Linux Libertine}
%\setlatintextfont[Scale=1]{Times New Roman}
% از revision 118 زی‌پرشین به بعد، وارد کردن دستور زیر لازم نیست. توجه داشته باشید که در صورت  غیرفعال کردن این دستور،
% از فونت پیش‌فرض لاتک برای کلمات انگلیسی استفاده خواهد شد.
%\setlatintextfont[ExternalLocation,BoldFont={lmroman10-bold},BoldItalicFont={lmroman10-bolditalic},ItalicFont={lmroman10-italic}]{lmroman10-regular}
% چنانچه می‌خواهید اعداد در فرمول‌ها، فارسی باشد، خط زیر را نیز فعال کنید
\setdigitfont[Scale=1.1]{XB Zar}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% تعریف قلم‌های فارسی و انگلیسی برای استفاده در بعضی از قسمت‌های متن
\defpersianfont\titr[Scale=1]{XB Titre}
\defpersianfont\nastaliq[Scale=1.5]{IranNastaliq}
%\defpersianfont\traffic[Scale=1]{B traffic}
% چنانچه فونت B Traffic را ندارید، دستور بالا را غیرفعال کرده و دستور زیر را فعال کنید
\defpersianfont\traffic[Scale=1]{XB Niloofar}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%تعریف و نحوه ظاهر شدن عنوان قضیه‌ها، تعریف‌ها، مثال‌ها و ...
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{تعریف}[section]
\theoremstyle{theorem}
\newtheorem{theorem}[definition]{قضیه}
\newtheorem{lemma}[definition]{لم}
\newtheorem{proposition}[definition]{گزاره}
\newtheorem{corollary}[definition]{نتیجه}
\newtheorem{remark}[definition]{ملاحظه}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{example}[definition]{مثال}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% تعریف دستورات جدید برای خلاصه نویسی و راحتی کار در هنگام تایپ فرمول‌های ریاضی
\newcommand{\bR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\ls}{\mathrm{LSC}_{+}(X)}
\newcommand{\ce}{\mathrm{C}^{*}(X)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% تغییر نام کلمه «اثبات» به «برهان»
\renewcommand\proofname{\textbf{برهان}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\baselineskip=1cm
\section{قضیه انتخاب، استحکام و قضیه پروهوروف}
در این بخش چندین نتیجه مهم در مورد همگرایی زیردنباله ای توزیع های احتمال بیان می شود و در نهایت برهان قضیه پیوستگی ارائه خواهد شد.
\subsection{ قضیه انتخاب}
در این قسمت نشان می دهیم هر خانواده متناهی از توزیع ها، حاوی زیردنباله هایی با همگرایی ضعیف هستند. در ابتدا یک لم ارائه می شود.
\begin{lemma}\textbf{(قطری سازی)}
دنباله 
$\{a_j,~j\geqslant 1\}$
از اعداد حقیقی  و خانواده توابع حقیقی
$\{u_n(.),~n\geqslant 1\}$
از
${\bR }\mapsto{\bR}$
را در نظر بگیرید. زیر دنباله ای مانند
$\{u_{n_k}(.)\}$
وجود دارد که به ازای تمام مقادیر j در تمام نقاط 
$a_j$ 
همگراست. ( توجه داشته باشید که
$\pm\infty$
حدود مورد قبول هستند).
\end{lemma}
\begin{proof}
در این جا از روشی به نام قطری سازی استفاده می کنیم.\\
زیر دنباله ای مانند
$\{n_k\}$
وجود دارد به نحوی که 
$\{u_{n_k}(a_1)\}$
همگرا است. این زیردنباله را 
$\{u_k^{(1)}(.),k\geqslant 1\}$
می نامیم. بنابراین 
$\{u_k^{(1)}(a_1),k\geqslant 1\}$
همگراست.

حال زیر دنباله دیگری مانند 
$k_j$
وجود دارد به نحوی که
$\{u_{k_j}^{(1)}(a_2),j\geqslant 1\}$
همگراست. این زیرخانواده از توابع را 
$\{u_j^{(2)}(.),j\geqslant 1\}$
می نامیم. بنابراین
$\{u_j^{(2)}(a_1),j\geqslant 1\}$
و
$\{u_j^{(2)}(a_2),j\geqslant 1\}$
هر دو همگرا هستند.

حال با توجه به استقرا ادامه می دهیم به این معنی که زیر دنباله ای مانند
$\{u_j^{(n)}(.),j\geqslant 1\}$
معرفی می کنیم که به ازای هر n  در نقطه
$a_n$
همگرا بوده و زیردنباله ای از دنباله قبلی باشد. بنابراین
$$\{u_j^{(n)}(a_i),j\geqslant 1\}$$
به ازای مقادیر
$i=1,2,\cdots,n$
همگراست. حال دنباله متعامد از توابع 
$\{u_j^{(j)},j\geqslant 1\}$
را در نظر می گیریم. ملاحظه می کنیم به ازای هر 
$a_i$
داریم:
$$\{u_n^{(n)}(a_i),n\geqslant i\}\subset \{u_j^{(i)}(a_i),j\geqslant i\}$$
که دنباله سمت راست همگراست، بنابراین به ازای مقادیر 
$i=1,2,\ldots$
:
$$\lim_{n\rightarrow\infty}u_n^{(n)}(a_i)$$
موجود است.
\end{proof}
\begin{remark}
اگر به ازای تمام مقادیر n داشته باشیم
$|u_n(.)|\leqslant M$
\end{remark}
\begin{theorem}
\end{theorem}
\end{theorem}
\end{document}