\documentclass[12pt]{book}
\usepackage{graphicx,amsmath,geometry,amssymb,amsthm,amssymb,hyperref,geometry}
%\usepackage{graphicx,fancyhdr,color,xspace,amsmath,amssymb,,hyperref,geometry,xepersian}
\usepackage{xepersian}
%\usepackage[twoside,top=26mm,bottom=21mm,left=20mm,right=20mm]{geometry}
\newcommand{\Q}{QIEP}
\newcommand{\nn}{$n\times n$}
%\newcommand{\mck}{$M$،  $C$، و$K$ }
\newcommand{\mck}{$(M,C,K)$}
\newcommand{\pl}{\subset \hspace{-4mm}+}
\newcommand{\Ql}{Q(\lambda)}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\geometry{verbose,a4paper, tmargin=3cm, bmargin=2.5cm, lmargin=2.5cm, rmargin=4cm,footskip=1.6cm}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.9} 
\renewcommand{\baselinestretch}{1.9}%فاصله بین خطوط  ۶.۱ اندازه استاندارد 

\settextfont[Scale=1.1]{B Nazanin}
\setlatintextfont[Scale=1]{Times New Roman}
\setdigitfont[Scale=0.9]{Yas}
\newfontinstance\nastaliq[Script=Arabic,Scale=1.5]{IranNastaliq}
\newcommand{\translation}[1]{\LTRfootnote{\rmfamily #1}}
\newcommand{\Eng}[1]{{\rmfamily #1}}
%\newcommand{\EW}[1]{\lr{\scriptsize #1}}
%\graphicspath{{Figures/}}
\numberwithin{equation}{section}

%\setlatintextfont[ExternalLocation,BoldFont={lmroman10-bold},BoldItalicFont={lmroman10-bolditalic},ItalicFont={lmroman10-italic}]{lmroman10-regular}

\let\iranic\it
\let\khabide\sl
\def\siahir{\siah\iranic} 
\def\siahkh{\siah\khabide}
\let\tookhali\pookfamily
\let\sayedar\sayehfamily
\let\farsi\Persian
\let\english\Latin 
\let\farmbox\mbox
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
\newtheorem{de}{\siah{\large\rl{{تعریف }}}}[chapter]
\newtheorem{thh}{\siah{\large\rl{{ قضیه }}}}[chapter]
\newenvironment{proof}{{\bf اثبات. }  \rm }{\hfill{$\Box$}\\}
\newtheorem{rem}{\siah{\large\rl{{ نتیجه }}}}[chapter]
\newtheorem{remm}{\siah{\large\rl{{ نتیجه‌گیری }}}}[chapter]
\newtheorem{lee}{\siah{\large\rl{{لم }}}}[chapter]
\newtheorem{rema}{\siah{\large\rl{{نکته}}}}[chapter]
\newtheorem{exa}{\siah{\large\rl{{مثال }}}}[chapter]
\newtheorem{alg}{\siah{\large\rl{{الگوریتم }}}}[chapter]
%\pagenumbering{}
%\pagenumbering{roman}
\vspace{6cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5      
\begin{document}
\pagestyle{empty}

\begin{center}
\includegraphics[width=12.8cm,height=15.3cm]{besmellah2.eps} 
\end{center}
\newpage
\pagenumbering{harfi} 
\tableofcontents
\newpage
\cleardoublepage
\listoffigures
\listoftables
\pagenumbering{arabic}
\baselineskip=1cm
%\begin{abstract}
%\end{abstract}
 
\vspace{1cm}
%\begin{abstract}
%\end{abstract}
\chapter{تعاریف و مفاهیم اولیه}
\thispagestyle{empty}
\newpage
\pagenumbering{arabic}
\setcounter{page}{2}
\subsection*{مقدمه}
نظریه معادلات انتگرال، یکی از شاخه‌های آنالیز ریاضی است که اصولا اهمیت آن در ارتباط با مسائل مقدار اولیه و مقدار مرزی معادلات با مشتقات جزئی مشخص می‌شود. در زمینه‌های مختلفی از علوم با معادلات انتگرال مواجه می‌شویم. معادلات انتگرال کاربردهای بیشماری در الاستیک( کشسانی) \LTRfootnote{Elasticity}، انعطاف‌پذیری \LTRfootnote{Plasticity}، دینامیک سیال \LTRfootnote{ّFluid dynamics}، تئوری پالایش \LTRfootnote{Filtration theory}، انتقال گرما \LTRfootnote{Heat transfer}، الکترواستاتیک \LTRfootnote{Electrostatics}، الکترودینامیک \LTRfootnote{Electrodynamics}، بیومکانیک \LTRfootnote{Biomechanics}، تئوری بازی و سرگرمی \LTRfootnote{Game theory}، کنترل \LTRfootnote{Control}، مهندسی الکتریک \LTRfootnote{Electrical engineering}، اقتصاد  \LTRfootnote{Economy}، داروسازی  \LTRfootnote{Medicine}، و غیره دارد. همچنین جواب‌های دقیق معادلات انتگرال نقش مهمی را در درک صحیح ویژگی‌های کیفی پدیده‌ها و پردازش‌ها در بخش‌های مختلف علوم طبیعی ایفا می‌کنند\cite{آذر سادات حسینی}. در این بخش برخی از مفاهیم مقدماتی که در این پایان نامه مورد نیاز هستند، بررسی می‌شود. ابتدا به تاریخچه مختصری از چگونگی پیدایش و نیز تقسیم‌بندی معادلات انتگرال می‌پردازیم و در ادامه روش‌های عددی انتگرال‌گیری را که در فصل‌های بعدی برای حل این دسته از معادلات به کار رفته‌اند،  را شرح می‌دهیم.
\subsection*{ تاریخچه‌ای از معادلات انتگرال}
 از نظر تاریخی ،اصطلاح معادله انتگرال اولین بار در سال 1888 توسط بویس ریماند\LTRfootnote{du Bois Reymond} پیشنهاد شد. البته قبل از وی، لاپلاس \LTRfootnote{Laplace}در سال 1782 معادله انتگرالی برای تابع   $f $به صورت \begin{equation*}
F(s)= \displaystyle\int_{0}^{\infty}{e^{st}}f(t)dt,
\end{equation*} ارائه داد.به این ترتیب لاپلاس آغاز کننده نظریه معادلات انتگرال بوده است. 
در جریان تکامل و پیشرفت ریاضیات، فوریه \LTRfootnote{Fourier}در سال 1811 روی نظریه حرارت کار کرد و مقالاتی از خود بر جای گذاشت. آبل \LTRfootnote{Abel} نیز در سال 1823 در مسئله خود که به مسئله مکانیکی آبل معروف است کاربرد معادلات انتگرال را مطرح کرد. در سال 1826 پواسون \LTRfootnote{Poisson} در نظریه مغناطیسی خود، نوعی معادله انتگرال به صورت \begin{equation*}
u(x)=f(x)+\lambda\displaystyle\int_{0}^{x}k(x,y)u(y)dy,
\end{equation*}
مطرح نمود که با بسط $u(x) $ به یک سری توانی با پارامتر $\lambda $ موفق به حل این معادله شد. در سال 1823 لیوویل  \LTRfootnote{Lioville} بدون آگاهی از کار آبل معادله انتگرالی به نام خودش معرفی کرد. یک قدم مهم در راه معادلات انتگرال توسط لیوویل برداشته شد و آن چگونگی حل بعضی معادلات دیفرانسیل به کمک معادلات انتگرال بود. اصطلاح نوع اول و دوم که امروزه در معادلات انتگرال به کار می‌رود اولین بار توسط هیلبرت \LTRfootnote{Hilbert}  پیشنهاد شد. البته قبل از هیلبرت معادلات آبل و لیوویل به فرم‌های زیر مطرح بود و هر دو از نمونه‌های مهم در معادلات انتگرال هستند:\begin{equation*}
f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}k(x,y)u(y)dy,
\end{equation*}
\begin{equation*}
u(x)=f(x)+\displaystyle\int_{0}^{x}k(x,y)u(y)dy,
\end{equation*}
که در آن $ k $ و $ f $ توابعی معلوم و $ u $ تابعی مجهول است. پوانکاره  \LTRfootnote{poincore} در سال 1896 معادله انتگرال زیر را که متناظر با معادله دیفرانسیل جزئی (حرکت موج) $ \bigtriangledown u+\lambda u=f(x,y) $ می‌باشد، بدست آورد که در آن $ \bigtriangledown=\dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} $ : 
\begin{equation*}
u(x)=f(x)+\lambda\displaystyle\int_{a}^{b}k(x,y)u(y)dy,
\end{equation*}
ولترا \LTRfootnote{vito voltrra}  اولین کسی بود که در اواخر قرن نوزدهم نظریه عمومی معادله انتگرال را ارائه داد و با وارد کردن متغیر $ x $ به عنوان حد بالایی انتگرال رده مهمی از معادلات را ایجاد نمود که به نام خود وی نامگذاری شد. لذا صورت کلی معادله انتگرال ولترا چنین است:
\begin{equation*}
u(x)=f(x)+\lambda\displaystyle\int_{a}^{x}k(x,t)u(t)dt,
\end{equation*}
در حدود سال 1900 تا 1903 ریاضیدان سوئدی به نام فردهلم  \LTRfootnote{Erik Ivan Fredholm} جهت حل مساله دیریکله \LTRfootnote{Dirichlet } از معادلات انتگرال نوع دوم استفاده کرد. معادله انتگرال فردهلم به صورت زیر می‌باشد:   
\begin{equation*}