\documentclass[oneside]{report}
\usepackage[a4pepar, top=3cm, bottom=3cm, left=2cm, right=3cm, footskip=2cm, oneside=true]{geometry}
\usepackage{amssymb,amsmath,mathrsfs}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{calc}
\pagestyle{plain}
\usepackage{xepersian}
\settextfont[Scale=1.1]{XB Niloofar}
\setlatintextfont{Arial}
\SepMark{-}
\makeatletter
\def\@thm#1#2#3{%
  \ifhmode\unskip\unskip\par\fi
  \normalfont
  \trivlist
  \let\thmheadnl\relax
  \let\thm@swap\@gobble
  \thm@notefont{\fontseries\mddefault\upshape}%
  \thm@headpunct{}
  \thm@headsep 5\p@ plus\p@ minus\p@\relax
  \thm@space@setup
  #1% style overrides
  \@topsep \thm@preskip              
  \@topsepadd \thm@postskip      
  \def\@tempa{#2}\ifx\@empty\@tempa
    \def\@tempa{\@oparg{\@begintheorem{#3}{}}[]}%
  \else
    \refstepcounter{#2}%
    \def\@tempa{\@oparg{\@begintheorem{#3}{\csname the#2\endcsname}}[]}%
  \fi
  \@tempa
}
\makeatother
 \newtheorem{thm}{قضیه}[section]
 \newtheorem{lem}[thm]{لم}
\newtheorem{coroll}[thm]{نتیجه}
\theoremstyle{defination}
\newtheorem{exam}[thm]{مثال}
\newtheorem{defin}[thm]{تعریف}
\newtheorem{remark}[thm]{نکته}
\usepackage{graphicx}
\begin{document}
\chapter{الگوریتم تکرار}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
\normalsize
در این بخش ما یک الگوریتم تکرار جدید برای یافتن یک عضو مشترک مجموعه حواب یک مساله تعادل شامل یک نگاشت دوتایی روی زیرمجموعه محدب و مجموعه نقاط ثابت برای یک نیم گروه غیرانبساطی را بیان می نماییم.\\
 \medskip
%Thm3.1-R.ORG%
\begin{thm}
اگر $H$ یک فضای هیلبرت حقیقی باشد و $F_1.F_2,\dot,F_3$ نگاشت های دو تایی از $H \times H$ به توی $R$ با خواص $A1-A4$ باشند. $\Psi_1,\Psi_2,\dot,\Psi_k$ نگاشت یکنواخت $\mu_\imath$-معکوس قوی روی $H$ باشند. $f:H \rightarrow H$ را یک $\rho$-انقباض و $A$ را یک عملگر خطی کراندار قویا مثبت روی $H$ به طوری که $\bigcap_\imath=1^{k} F(S) \cap GEP(F_\imath,\Psi_\imath)\neq \Phi$ در نظر می گیریم.\\
دنباله ی تعمیم یافته ی $\lbrace x_n \rbrace$ را توسط خواص زیر را در نظر می گیریم:
\begin{LTR}
\begin{cases}
x_1 \in H, y \in H\\
F_1(u_{n,1},y) + \langle \Psi_1 x_n , y - u_{n,1} \rangle + \frac{1}{r_n} \langle y - u_{n,1} , u_{n,1} - x_n \rangle \geq 0,\\
F_2(u_{n,2},y) + \langle \Psi_2 x_n , y - u_{n,2} \rangle + \frac{1}{r_n} \langle y - u_{n,2} , u_{n,2} - x_n \rangle \geq 0,\\
.\\
.\\
.\\
F_k(u_{n,k},y) + \langle \Psi_k x_n , y - u_{n,k} \rangle + \frac{1}{r_n} \langle y - u_{n,k} , u_{n,k} - x_n \rangle \geq 0,\\
\omega_n = \frac{1}{k} \sun_\imath=1^{k} u_{n,\imath},\\
x_{n+1} = \alpha_n \gamma f(x_n)+\beta_n x_n+((1 - \beta_n)I - \alpha_n A) \frac{1}{t_n} \int_{0}^{t_n} T(s)\omega_n ds,\\
\end{cases}
\end{LTR}
\medskip
به طوری که $\lbrace \alpha_n \rbrace$ و $\lbrace \beta_n \rbrace$ دنباله هایی در $[0,1]$ باشند و $\lbrace r_n \rbrace \subset (0,1)$ یک دنباله ی حقیقی باشد.\\
در نظر می گیریم
\renewcommand{\labelenumi}{(C{\theenumi})}
\begin{enumerate}
\item $\lim_{n_\rightarrow \infty} \alpha_n = 0, \quad \sem_{n=1}^{\infty} = \infty,$
\item $0 < \liminf_{n \rightarrow \infty} \beta_n \leq \limsup_{n \rightarrow \infty} \beta_n < 1,$
\item $\lim_{n \rightarrow \infty} \vert r_{n+1} - r_n \vert = 0$ و $0<b<r_n<a<2\mu+\imath, \forall \imath \in {1,2.\dot,k}$
\item $\lim_{n \rightarrow \infty}t_n = \infty, \quad sup\vert t{n+1} - t_n \vert ;\quad \text{کراندار می باشد}$ 
\end{enumerate}
سپس داریم
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\begin{enumerate}
\item $\lbrace x_n \rbrace \quad \text{دنباله ی کراندار است}$
\item $\lim_{n \rightarrow \infty}\Vert \Psi_{\imath}x_n - \Psi_{\imath}x^{*} \Vert = 0, \forall \imath \in \{1,2,...,k\}.$
\item $\lim_{n \rightarrow \infty}\Vert x_n - \frac{1}{t_n}\int_{0}^{t_n}T(s)\omega_n ds \Vert = 0.$
\end{enumerate}
\end{thm}
\medskip
\begin{proof}
(i) به وسیله ی استدلال مشابه در []،
$$\Vert(1 - \beta_n)I - \alpha_n A\Vert \leq 1 - \beta_n - \alpha_n \lambda.$$
فرض می کنیم $x^{*}\in \bigcap_{\imath =1}^{k}F(S)\cap GEP(F_\imath,\Psi_\imath)$.مشاهده می کنیم $I - r_n \Psi_\imath$ برای هر $\imath =1,2,. . . ,k$ یک نگاشت غیرانبساطی است. در واقع برای هر $x,y\in H$.
\begin{align*}
\Vert (I - r_n \Psi_\imath)x - (I - r_n \Psi_\imath)y \Vert^{2} &= \Vert (x - y) - r_n(\Psi_\imath x - \Psi_\imath y) \Vert^{2}\\
&= \Vert x - y \Vert^{2} - 2r_n \langle x - y , \Psi_\imath x - \Psi_\imath y \rangle - {r_n}^{2} \Vert \Psi_\imath x - \Psi_\imath y \Vert^{2}\\
&\leq \Vert x - y \Vert^{2} r_n(2 \mu_i - r_n) \Vert \Psi_i x - \Psi_i y \Vert^{2}\\
&\leq \Vert x - y \Vert^{2}
\end{align*}
 بنابراین
\begin{equation}
\label{eq:r.org.3.1}
\Vert u_{n,i} \Vert \leq \Vert x_n - x^{*} \Vert,
\end{equation}
و از این رو
\begin{equation}
\label{eq:r.org.3.2}
\Vert \omega_n - x^{*} \Vert \leq \Vert x_n - x^{*} \Vert
\end{equation}
\medskip
بدین گونه
\begin{align*}
\Vert x_{n+1} - x^{*} \Vert &= \Vert \alpha_n \gammma f(x_n) + \beta_n x_n + ((1- \beta_n A)\frac{1}{t_n}\int_{0}^{t_n}T(s)\omaga_n ds - x^{*} \Vert \\
&\leq \alpha_n \Vert \gamma f(x_n) - Ax^{*} \Vert + \beta_n \Vert x_n - x^{*} \Vert \\
&+\Vert (1 - \beta_n)I - \alpha_n A)\Vert \Vert \frac{1}
{t_n} \int_{0}^{t_n}T(s)\omega_n ds - x^{*} \Vert \\
&\leq \alpha_n \{ \Vert \gamma f(x_n) - \gamma f(x^{*}) \Vert + \Vert \gamma f(x^{*}) - A x^{*} \Vert \} + \beta_n \Vert x_n - x^{*} \Vert \\
&+(1-\beta_n - \alpha_n \gamma)\frac{1}{t_n}\int_{0}^{t_n} \Vert T(s)\omega_n - x^{*} \Vert ds\\
&\leq \alpha_n \rho \gamma \Vert x_n - x^{*} \Vert + \alpha_n \Vert \gamma f(x_n) - A f(x^{*}) \Vert + \beta_n \Vert x_n - x^{*} \Vert \\
&+ (1 - \beta_n - \alpha_n \gamma) \Vert x_n - x^{*} \Vert \\
&= (1 - \alpha_n(\lambda - \gamma \rho)) \Vert x_n - x^{*} \Vert + \alpha_n \Vert \gamma f(x^{*}) - Ax^{*} \Vert \\
&\leq max \lbrace \Vert x_n - x^{*} \Vert , \frac{\Vert \gamma f(x^{*}) - Ax^{*} \Vert}{\lambda - \gamma \rho} \rbrace \\
\end{align*}
به وسیله ی استقراء
$$\Vert x_n - x^{*} \Vert \leq max \lbrace \Vert x_1 - x^{*} \Vert , \frac{\Vert \gamma f(x^{*}) - Ax^{*} \Vert}{\lambda - \gamma \rho} \rbrace.$$
از این رو، دنباله ی $\{x_n \}$ کراندار است و $\{\omega \}$ ،$\{x_n \}$ و $\{ \fract{1}{t_n}\int_{0}^{t_n}T(s)\omega ds \}$ نیز کراندار می باشند.\\
(ii) $u_{n,i}$ می تواند توسط $u_{n,\imath} = T_{r_n,\imath}(x_n - r_n \Psi_\imath x_n)$ بیان شود. به وسیله ی []، برای هر $i=1,2, . . . ,k$، داریم
\begin{align*}
\Vert u_{n+1} - u_{n,i} \Vert \leq & \Vert T_{{r_{n+1},i}(I - r_{n+1} \Psi_i) x_{n+1} - T_{{r_n+1},i}(I - r_n \Psi_i)x_n \Vert \\
&+ \Vert T_{{r_{n+1},\imath}(I - r_{n} \Psi_\imath) x_n - T_{r_n,\imath}(I - r_n \Psi_\imath)x_n \Vert \\
&\leq \Vert (I - r_{n+1} \Psi_\imath) x_{n+1} - (I - r_n \Psi_\imath)x_n \Vert \\
&+ \Vert T_{{r_{n+1},\imath}(I - r_n \Psi_\imath) x_n - T_{r_n,\imath}(I - r_n \Psi_\imath)x_n \Vert \\
&\leq \Vert x_{n+1} - x_n \Vert + \vert r_{n+1} - r_n \vert \Vert \Psi_\imath x_n \Vert \\
&+ \frac{r_{n+1} - r_n}{r_{n+1}} \Vert T_{{r_{n+1},\imath}(I - r_{n} \Psi_\imath) x_n - T_{r__n,\imath}(I - r_n \Psi_\imath)x_n \Vert.
\end{align*}
سپس داریم
\begin{equation}
\label{eq:one}
\Vert u_{{n+1},\imath} - u_{n,\imath} \Vert \leq \Vert x_{n+1} - x_n \Vert +2M_\imath \vert r_{n+1} - r_n \vert
\end{equation}
به طوری که
$$M_\imath = max \lbrace \sup \lbrace \frac{\Vert T_{{r_{n+1},\imath}(I - r_n \Psi_\imath) x_n - T_{r__n,\imath}(I - r_n \Psi_\imath)x_n \Vert}{r_{n+1}}, \sup \lbrace \Vert \Psi_\imath x_n \Vert \rbrace \rbrace \rbrace.$$
همچنین داریم
\begin{align*}
\Vert \frac{1}{t_{n+1}} \int_0^{t_{n+1}} T(s)\omega_{n+1}ds - \frac{1}{t_n} \int_0^{t_n} T(s)\omega_n ds \Vert \\
= \Vert \frac{1}{t_{n+1}} \int_0^{t_{n+1}} [T(s)\omega_{n+1} - T(s)\omega_n]ds + (\frac{1}{t_{n+1}} - \frac{1}{t_n}) \int_0^{t_n} [T(s)\omega_n - T(s)x^{*}]ds\\
+ \frac{1}{t_{n+1}} \int_{t_n}^{t_{n+1}} [T(s)\omega_n - T(s)x^{*}]ds \Vert \\
\leq \Vert \omega_{n+1} - \omega_n \Vert + \frac{2\vert t_{n+1} - t_n \vert}{t_{n+1}} \Vert \omega_n - x^{*} \Vert.
\end{align*}
فرض می کنیم $M = \frac{1}{k}\sum_{\imath =1}^{k} 2M_\imath \leq \infty$، در این صورت
$$\Vert \omega_{n+1} - \omega_n \Vert \leq \frac{1}{k} \sum_{\imath =1}^{k} \Vert u_{n+1,\imath} - u_{n,\imath} \Vert \leq \Vert x_{n+1} - x_n \Vert + M\vert r_{n+1} - r_n \vert$$
از این رو
\begin{align}
\Vert \frac{1}{t_{n+1}}\int_0^{t_{n+1}}T(s)\omega_{n+1}ds - \frac{1}{t_n}\int_0^{t_n}T(s)\omega_n ds \Vert \\
\leq \Vert x_{n+1} - x_n \Vert + M \vert r_{n+1} - r_n \vert + \frac{2\vert t_{n+1} - t_n \vert}{t_{n+1}} \Vert \omega_n - x^{*} \Vert \label{ali:two}
\end{align}
فرض می کنیم $z_n = \frac{\alpha_n \gamma f(x_n) + ((1 - \beta_n)I - \alpha_n A)\Lambda_n}{1 - \beta_n}$، به طوری که $\Lambda_n := \frac{1}{t_n}\int_0^{t_n}T(s)\omega_n ds$. با استفاده از $(\ref{ali:two}),(\ref{eq:one})$ داریم
\begin{align*}
\Vert z_{n+1} - z_n \Vert &= \Vert \frac{\alpha_{n+1} \gamma f(x_{n+1}) + ((1 - \beta_{n+1})I - \alpha_{n+1} A)\Lambda_{n+1}}{1 - \beta_{n+1}}\\
 &- \frac{\alpha_n \gamma f(x_n) + ((1 - \beta_n)I - \alpha_n A)\Lambda_n}{1 - \beta_n} \Vert \\
&= \Vert \frac{\alpha_{n+1} \gamma f(x_{n+1})}{1 - \beta_{n+1}} + \frac{(1 - \beta_{n+1})\Lambda_{n+1}}{1 - \beta_{n+1}} - \frac{\alpha_{n+1}A \Lambda_{n+1}}{(1 - \beta_{n+1}}\\
&- \frac{\alpha_n \gamma f(x_n)}{1 - \beta_n} - \frac{(1- \beta_n)\Lambda_n}{1 - \beta_n} + \frac{\alpha_n - A \Lambda_n}{1 - \beta_n} \Vert \\
&= \Vert \frac{\alpha_{n+1}}{1 - \beta_{n+1}}(\gamma f(x_{n+1}) - A \Lambda_{n+1}) + \frac{\alpha_n}{1 - \beta_n}(A - \Lambda f(x_n)) + (\Lambda_{n+1} - \Lambda_n) \Vert \\
&\leq \frac{\alpha_{n+1}}{1 - \beta_{n+1}}\Vert \gamma f(x_{n+1}) - A \Lambda_{n+1}\Vert + \frac{\alpha_n}{1 - \beta_n}\Vert A - \Lambda f(x_n)\Vert + \Vert \Lambda_{n+1} - \Lambda_n \Vert \\
&\leq \frac{\alpha_{n+1}}{1 - \beta_{n+1}}\Vert \gamma f(x_{n+1}) - A \Lambda_{n+1}\Vert + \frac{\alpha_n}{1 - \beta_n}\Vert A - \Lambda f(x_n)\Vert + \Vert x_{n+1} - x_n \Vert \\
&+M\vert r_{n+1} - r_n \vert + \frac{2\vert t_{n+1} - t_n \vert}{t_{n+1}}\Vert \omega_n - x^{*} \Vert.
\end{align*}
با استفاده از $(C3),(C1)$ و $(C4)$ ضمنا خواهیم داشت
$$\limsup_{n\rightarrow \infty}(\Vert z_{n+1} - z_n \Vert - \Vert x_{n+1} - x_n \Vert) \leq 0.$$
با استفاده از []
$$\lim_{n\rightarrow \infty} \Vert z_n - x_n \Vert = 0.$$
نتیجه می گیریم
\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty} \Vert x_{n+1} - x_n \Vert = \lim_{n\rightarrow \infty}(1 - \beta_n)\Vert z_n - x_n \Vert = 0.
\end{equation}
به علاوه برای هر $\imath \in \{1,2,. . . ,k\}$،
\begin{align*}
\Vert u_{n,\imath} - x^{*} \Vert^{2} &\leq \Vert (x_n - x^{*}) - r_n(\Psi_\imath x_n - \Psi_\imath x^{*}) \Vert^{2}\\
&= \Vert x_n - x^{*} \Vert^{2} - 2r_n\langle x_n - x^{*} , \Psi_\imath x_n - \Psi_\imath x^{*} \rangle + {r_n}^{2} \Vert \Psi_\imath x_n - \Psi_\imath x^{*} \Vert^{2}\\
&\leq \Vert x_n - x^{*} \Vert^{2} - r_n(2 \mu_\imath - r_n)\Vert \Psi_\imath x_n - \Psi_\imath x^{*} \Vert^{2}
\end{align*}
و سپس داریم
\begin{align}
\Vert \omega_n - x^{*} \Vert^{2} &= \Vert \sum_{\imath = 1}^{k}\frac{1}{k}(u_{n,\imath} - x^{*}) \Vert^{2} \leq \frac{1}{k}\sum_{\imath = 1}^{k} \Vert u_{n,\imath} - x^{*} \Vert^{2}\\
&\leq \Vert x_n - x^{*} \Vert^{2} - \frac{1}{k}\sum_{\imath = 1}^{k}r_n(2\mu_\imath - r_n)\Vert \Psi_\imath x_n - \Psi_\imath x^{*} \Vert^{2}\label{ali:six}
\end{align}
به وسله ی $(\ref{ali:six})$، داریم
\begin{align*}
\Vert x_{n+1} = x^{*} \Vert^{2} &= \Vert \alpha_n(\gamma f(x_n) - Ax^{*}) + \beta_n(x_n - x^{*}) +((1 - \beta_n)I - \alpha_n \Lambda)(\Lambda_n - x^{*}) \Vert^{2}\\
&\leq \alpha_n \Vert \gamma f(x_n) - Ax^{*} \Vert^{2} + \beta_n \Vert x_n - x^{*} \Vert^{2} + (1 - \beta_n - \alpha_n \lambda) \Vert \Lambda_n - x^{*} \Vert^{2}\\
&\leq \alpha_n \Vert \gamma f(x_n) - Ax^{*} \Vert^{2} + \beta_n \Vert x_n - x^{*} \Vert^{2} + (1 - \beta_n - \alpha_n \lambda) \Vert \omega_n - x^{*} \Vert^{2}\\
&\leq \alpha_n \Vert \gamma f(x_n) - Ax^{*} \Vert^{2} + \beta_n \Vert x_n - x^{*} \Vert^{2} + (1 - \beta_n - \alpha_n \lambda) \\
&\times \lbrace \Vert x_n - x^{*} \Vert^{2} - \frac{1}{k}\sum_{\imath = 1}^{k}r_n(2\mu_\imath - r_n)\Vert \Psi_\imath x_n - \Psi_\imath x^{*} \Vert^{2} \rbrace \\
&\leq \alpha_n \Vert \gamma f(x_n) - Ax^{*} \Vert^{2} + \Vert x_n - x^{*} \Vert^{2}\\
&- (1 - \beta_n - \alpha_n \lambda) \frac{1}{k}\sum_{\imath = 1}^{k}r_n(2\mu_\imath - r_n)\Vert \Psi_\imath x_n - \Psi_\imath x^{*} \Vert^{2}
\end{align*}
و از این رو داریم
\begin{align*}
(1 - \beta_n - \alpha_n \lambda) \frac{1}{k}\sum_{\imath = 1}^{k}b(2\mu_\imath - r_n)\Vert \Psi_\imath x_n - \Psi_\imath x^{*} \Vert^{2}\\
\leq \alpha_n \Vert \gamma f(x_n) - Ax^{*} \Vert^{2} + \Vert x_n - x^{*} \Vert^{2} - \Vert x_{n+1} - x^{*} \Vert^{2}\\
\leq \alpha_n \Vert \gamma f(x_n) - Ax^{*} \Vert^{2} + \Vert x_{n+1} - x_n \Vert(\Vert x_{n+1} - x^{*} \Vert - \Vert x_n - x^{*} \Vert).
\end{align*}
چون که $\alpha_n \rightarrow 0$ و $\Vert x_{n+1} - x_n \Vert \rightarrow 0$ در ادامه به دست می آوریم
\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty} \Vert \Psi_\imath x_n - \Psi_\imath x^{*} \Vert = 0, \quad \forall \imath = 1,2,\dot ,k.
\end{equation}
(iii) به وسیله ی []، برای هر $\imath =1,2,. . . ,k$ داریم
\begin{align*}
\Vert u_{n,\imath} - x^{*} \Vert^{2} &\leq \langle (I - r_n\Psi_\imath)x_n - (I - r_n\Psi_\imath)x^{*} , u_{n,\imath} - x^{*} \rangle \\
&= \frac{1}{2}\lbrace \Vert (I - r_n\Psi_\imath)x_n - (I - r_n\Psi_\imath)x^{*} \Vert^{2} + \Vert u_{n,\imath} - x^{*} \Vert^{2}\\
&- \Vert (I - r_n\Psi_\imath)x_n - (I - r_n\Psi_\imath)x^{*} - u_{n,\imath} - x^{*} \Vert^{2} \rbrace \\
&\leq \frac{1}{2}\lbrace \Vert x_n - x^{*} \Vert^{2} + \Vert u_{n,\imath} - x^{*} \Vert^{2} - \Vert x_n - u_{n,\imath} - r_n(\Psi_\imath)x_n - \Psi_\imath x^{*}) \Vert^{2} \rbrace \\
&= \frac{1}{2}\lbrace \Vert x_n - x^{*} \Vert^{2} + \Vert u_{n,\imath} - x^{*} \Vert^{2} - (\Vert x_n - u_{n,\imath} \Vert^{2}\\
&- 2r_n\langle x_n - u_{n,\imath} , \Psi_\imath x_n - \Psi_\imath x^{*} \rangle + {r_n}^{2}\Vert \Psi_\imath x_n - \Psi_\imath x^{*} \Vert^{2}
\end{align*}
در ضمن خواهیم داشت
\begin{equation}
\Vert u_{n,\imath} - x^{*} \Vert^{2} \leq \Vert x_n - x^{*} \Vert^{2} - \Vert x_n - u_{n,\imath} \Vert^{2} + 2r_n\Vert x_n - u_{n,\imath} \Vert \Vert \Psi_\imath x_n - \Psi_\imath x^{*} \Vert
\end{equation}
و از این رو داریم
\begin{align}
\Vert \omega_n - x^{*} \Vert^{2} &= \Vert \frac{1}{k}\sum_{\imath = 1}^{k}( u_{n,\imath} - x^{*}) \Vert^{2} \leq \frac{1}{k}\sum_{\imath = 1}^{k} \Vert u_{n,\imath} - x^{*} \Vert^{2}\\
&\leq \Vert x_n - x^{*} \Vert^{2} - \frac{1}{k}\sum_{\imath = 1}^{k} \Vert u_{n,\imath} - x^{*} \Vert^{2} + \frac{1}{k}\sum_{\imath = 1}^{k}2r_n \Vert x_n - u_{n,\imath} \Vert \Vert \Psi_\imath x_n - \Psi_\imath x^{*} \Vert .
\end{align}
مشاهده می کنیم
\begin{align*}
\Vert x_{n+1} - x^{*} \Vert^{2} &\leq \alpha_n \Vert \gamma f(x_n) - Ax^{*} \Vert^{2} + \beta_n \Vert x_n - x^{*} \Vert^{2} + (1 - \beta_n - \alpha_n \lambda) \Vert \omega_n - x^{*} \Vert^{2}\\
&\leq \alpha_n \Vert \gamma f(x_n) - Ax^{*} \Vert^{2} + \beta_n \Vert x_n - x^{*} \Vert^{2} + (1 - \beta_n - \alpha_n \lambda)\\
&\times \lbrace \Vert x_n - x^{*} \Vert^{2} - \frac{1}{k}\sum_{\imath = 1}^{k} \Vert u_{n,\imath} - x^{*} \Vert^{2} + \frac{1}{k}\sum_{\imath = 1}^{k}2r_n \Vert x_n - u_{n,\imath} \Vert \Vert \Psi_\imath x_n - \Psi_\imath x^{*} \Vert \rbrace.
\end{align*}
در ادامه خواهیم داشت
\begin{align*}
(1 - \beta_n - \alpha_n \lambda)\frac{1}{k}\sum_{\imath = 1}^{k}\Vert u_{n,\imath} - x_n \Vert^{2}\\
\leq \alpha_n \Vert \gamma f(x_n) - Ax^{*} \Vert^{2} + \Vert x_n - x^{*} \Vert^{2} - \Vert x_{n+1} - x^{*} \Vert^{2}\\
+ (1 - \beta_n - \alpha_n \lambda)\frac{1}{k}\sum_{\imath = 1}^{k}2r_n \Vert x_n - u_{n,\imath} \Vert \Vert \Psi_\imath x_n - \Psi_\imath x^{*} \Vert .
\end{align*}
چون که $\alpha_n \rightarrow 0$ و $\Vert x_{n+1} - x_n \Vert \rightarrow 0$ را داریم، پس
\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty}\Vert u_{n,\imath} - x^{*} \Vert = 0
\end{equation}
به راحتی ثابت می نماییم
\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty}\Vert \omega_n - x^{*} \Vert = 0
\end{equation}
 طبق تعریف $\{x_n\}$ نشان می دهیم
\begin{align*}
\Vert \Lambda_n - x_n \Vert &\leq \Vert x_{n+1} - x_n \Vert + \Vert x_{n+1} - \Lambda_n \Vert \\
&\leq \Vert x_{n+1} - x_n \Vert + \Vert \alpha \gamma f(x_n) + \beta_n x_n + ((I - \beta_n)I - \alpha_n A)\Lambda_n \Lambda_n \Vert \\
&\leq \Vert x_{n+1} - x_n \Vert + \alpha \Vert \gamma f(x_n) - A\Lambda_n \Vert + \beta_n \Vert x_n - \Lambda_n \Vert.
\end{align*}
پس خواهیم داشت
$$\Vert \Lambda_n - x_n \Vert \leq \frac{1}{1 - \beta_n}\Vert x_{n+1} - x_n \Vert + \frac{\alpha_n}{1 - \beta_n}\Vert \gamma f(x_n) - A\Lambda_n \Vert.$$
چون که $\alpha_n \rightarrow 0$ و با استفاده از []
\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty}\Vert \Lambda_n - x_n \Vert = 0.
\end{equation}
به علاوه، $\Vert \omega_n - \Lambda_n \Vert \leq \Vert \omega_n - x_n \Vert + \Vert x_n - \Lambda_n \Vert$، ما داریم
\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty}\Vert \Lambda_n - \omega_n \Vert = 0.
\end{equation}
\end{proof}
\end{document}