\begin{preface} 
\KashidaOn

%\begin{description}
هدف اصلی این پایان نامه توسعه مفاهیم و قضایای قاب ها و پایه های ریس و قضیه نمونه برداری شانون به فضاهای باناخ با استفاده از مفهوم نیم ضرب داخلی است. در سال 2003 کریستینسن
\LTRfootnote{Christensen}
 و استووا
\LTRfootnote {Stoeva}
  $-p$قاب ها را در فضای باناخ تفکیک پذیر بررسی کردند. 
  در سال 2005 کاسازا
\LTRfootnote{Casazza}
   و کریستینسن و استووا [1] قاب ها و پایه های ریس را در فضاهای باناخ تفکیک پذیر بررسی کردند. در سال 2009 هان
\LTRfootnote{Han}
، ناشد 
\LTRfootnote {Nashed}
   و سان
\LTRfootnote{Sun}
    [18] 
    گسترش نمونه ای را در فضاهای هیلبرت و باناخ مورد بررسی قرار دادند. فرمول بازسازی توسط ناشد و والتر 
 \LTRfootnote{Walter}
    در فضاهای هیلبرت در سال 1991 ارائه شد و در این پایان نامه فرمول بازسازی را به فضاهای باناخ تفکیک پذیر تعمیم می دهیم.
این پایان نامه شامل 4 فصل است. در فصل اول مفاهیم مورد نیاز از فضاهای نرمدار، باناخ و هیلبرت به اختصار مورد بحث قرار گرفته است. فصل اول برای سه فصل دیگر ضروری است زیرا بسیاری از تعاریف اولیه و جدیدی که در سه فصل بعد استفاده می گردد، در این فصل گنجانده شده است. فصل دوم شامل 3 بخش است. در بخش اول ساختار کلی برای تمام فضاهای هیلبرت هسته بازتولیدی که یک مجموعه نمونه ای دارند، را بررسی می کنیم. در بخش دوم به معرفی فضاهای باناخ هسته بازتولید و مطالعه فضاهای باناخ هسته بازتولیدی که توسط نیم ضرب داخلی و نگاشت دوگانی ساخته می شوند، می پردازیم.خواصی از فضاهای باناخ هسته بازتولید و هسته بازتولید آن را مورد بررسی قرار می دهیم. در بخش 3 به تعاریف، مفاهیم و قضایا مجموعه $-p$نمونه ای و $-p$قاب ها برای فضای باناخ هسته بازتولید می پردازیم و این فصل براساس مقاله های
\begin{latin}
\noindent [18] D. Han, M. Z. Nashed, and Q. Sun, \textit{Sampling Expansions in Reproducing Kernel
Hilbert and Banach Spaces}, Numerical Functional Analysis and Optimization, 30 (2009), 971-987.
\end{latin}
\begin{latin}
\noindent [30] H. Zhang, Y. Xu and J. Zhang,\textit{ Reproducing kernel Banach spaces for machine learning}, J. Mach. Learn. Res. 10 (2009) 2741–2775.
\end{latin}
اقتباس شده است.\\
فصل سوم شامل 4 بخش است . در بخش اول به تعاریف و مفاهیم در مورد قاب ها و پایه های ریس به کمک نیم ضرب داخلی در فضاهای باناخ تفکیک پذیر می پردازیم. مثال و گزاره هایی در این مورد بیان می کنیم. در بخش دوم فرمول بازسازی استاندارد را برای فضای باناخ تفکیک پذیر به دست می آوریم و قضایا و نتایجی را در این راستا مورد بررسی قرار می دهیم. در بخش سوم به گسترش نمونه ای کامل در فضای باناخ تفکیک پذیر می پردازیم و در بخش 4، قاب ها و پایه های ریس را در فضاهای باناخ متناهی البعد مورد بررسی قرار می دهیم و خواهیم دید که بسیاری از قضایای بخش 1 و 2 این فصل خود به خود برای این فضای خاص برقرار هستند. این دو فصل از مقاله
\begin{latin}
\noindent [27] J. Xu, H. Zhang, \textit{Frames, Riesz basis, and sampling expansions in Banach spaces via semi- inner products}, Appl. Comput. Harmon. Anal. 31 (2011) 1-25,
\end{latin}
اقتباس شده است. 
%\end{description}

\KashidaOff
\end{preface}