\documentclass[12pt,oneside]{bidipresentation} %Created by Sayyed Ahmad Mousavi (s.a.mousavi@hotmail.com) \usepackage{SBUKPresentation} \usepackage{xepersian} %\DeclareMathSizes{9.8}{17}{7}{7} %\DeclareMathSizes{10.0}{17}{7}{7} %\DeclareMathSizes{10.95}{10}{7}{7} % For size 10 text %\DeclareMathSizes{11}{19}{13}{9} \DeclareMathSizes{12}{20}{14}{10} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%رنگ​ها \sidebartc{rgb}{0,0,0}%{cmyk}{0,0,0,1} رنگ متن سایدبار \linktc{rgb}{0,0,0}%{cmyk}{0,0,0,0} رنگ لینك​ها \rtopbarc{rgb}{0.9,1,0.6}%{cmyk}{0.94,0.54,0,0} رنگ نوار بالا راست \ltopbarc{RGB}{0,61,100}%{cmyk}{0.15,0.15,0,0} رنگ نوار بالا چپ \ltopbartc{rgb}{1,1,1}%{cmyk}{0,0,0,1} رنگ متن نوار بالا \rbotbarc{RGB}{0,21,30}%{cmyk}{0.15,0.15,0,0} رنگ نوار پایین راست \lbotbarc{rgb}{0.28,0.76,0.99}%{cmyk}{0.94,0.54,0,0} رنگ نوار پایین چپ \lbotbartc{rgb}{1,1,1}%{cmyk}{0,0,0,0} رنگ متن نوار پایین \renewcommand{\baselinestretch}{1.5} \settextfont[Scale=1.47]{XB Zar} \setlatintextfont[Scale=1.47]{Times New Roman} \setdigitfont[Scale=1]{Persian Modern} \defpersianfont\titr[Scale=1.1]{XB Titre} \defpersianfont\nast[Scale=7]{IranNastaliq} \title{بررسی برخی پوش های طیف ماتریس ها} \author{آسیه مقبلی مهنی} \def\ov{\overline} \def\ds{\displaystyle} %\def\red{\color{red}} %\def\red{\color{red}} \begin{document} \begin{staticcontents*}{botbar1} \begin{center} \begin{footnotesize} \makeatletter\@title\makeatother \end{footnotesize} \end{center} \end{staticcontents*} \begin{staticcontents*}{botbar2} \begin{center} \begin{footnotesize} \rm\makeatletter\@author\makeatother \end{footnotesize} \end{center} \end{staticcontents*} %{{\includegraphics[height=\paperheight,width=\paperwidth]{besm}}} \begin{plainslide} ~ \centering \includegraphics[height=.7\paperheight]{B2} \end{plainslide} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{plainslide} \begin{center} \includegraphics[height=.2\paperheight]{logo.png} \end{center} \distance{1} \centering% \LARGE \color[rgb]{0,0,0.6}{\huge\titr{\makeatletter\@title\makeatother}} \distance{2} \color{black}\rm \begin{Large} \makeatletter\@author\makeatother\\[2ex] \end{Large} استاد راهنما: دکتر غلامرضا آقاملائی \\[1ex] استاد مشاور: دکتر عباس سالمی \\[2ex] \begin{small} \begin{center} بخش ریاضی محض \\ \\[0.5cm] دانشکده ریاضی و کامپیوتر\\ \end{center} \end{small} \distance{2} % \tableofcontents \end{plainslide} %%%%%%%%%%%%%%% \begin{samframe}{چکیده} \begin{description} \begin{sambox}{چکیده} برد عددی ماتریس ها که مجموعه ای محدب و فشرده می باشد، یکی از پوش های مشهور برای طیف آنها \\[0.5cm] است. در این پایان نامه، با استفاده از منحنی های درجه سوم، به معرفی و مطالعه یک پوش جدید برای طیف \\[0.5cm] ماتریس ها پرداخته شده است که ظریفتر از برد عددی بوده و ضمنا شامل برد عددی 2- رتبه نیز می باشد. به \\[0.5cm] علاوه، برخی مثال های عددی جهت تشریح موضوع نیز آورده شده است. \end{sambox} \end{description} \end{samframe} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{samframe}{دیباچه} \begin{description} \item[\bullet] مقدمات و پیش نیازها \\[1cm] \item[\bullet] وجود منحنی های درجه سوم سازنده یک پوش برای طیف ماتریس ها از طریق برخی نامساوی های مربوط به مقادیر ویژه \\[1cm] \item[\bullet] پوش مکعبی ماتریس ها \\[1cm] \item[\bullet] مراجع \end{description} \end{samframe} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{samframe}{ } \begin{center} \nast مقدمات و پیش نیازها \end{center} \end{samframe} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{samframe}{\RTL برخی مفاهیم راجع به ماتریس ها} \begin{sambox}{نمادها برخی معرفی} میدان های $\mathbb{C}$ و $\mathbb{R}$، به ترتیب، معرف میدان اعداد مختلط و میدان اعداد حقیقی می باشند. به ازای هر عدد طبیعی $n$، فرض کنید $\mathbb{C}^{n}$ فضای همه ی بردار های $n$ -مولفه ای با درایه های مختلط و به همراه ضرب داخلی زیر باشد: \begin{center} $\langle x ,y\rangle =y^*x=\sum_{i=1}^n x_i\overline{y}_i, $ \end{center} که در آن \[x=\left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{array} \right] \in \mathbb{C}^n ,\hspace{0.5cm} y=\left[ \begin{array}{c} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n \end{array} \right] \in \mathbb{C}^n .\] همچنین نرم $x$ به صورت زیر بیان می شود: \begin{center} $\Vert x \Vert = \langle x , x \rangle ^\frac{1}{2} =(x^*x)^ \frac{1}{2} =(\sum_{i=1} ^n \vert x\vert ^2) ^\frac{1}{2} .$ \end{center} \end{sambox}{} \begin{sambox}{} نرم فوق به نرم اقلیدسی مشهور است. کره واحد در $\mathbb{C} ^{n}$ را با نماد $S^{1}$ به صورت زیر معرفی می کنیم: \begin{center} $ S^{1}=\lbrace x \in \mathbb{C}^{n} : \Vert x\Vert =1\rbrace.$ \end{center} در ادامه، فرض می کنیم $M _{n}$ جبر همه ی ماتریس های مختلط $n\times n$ و $M _{m\times n}$ فضای برداری تمام ماتریس های مختلط $m\times n$ باشند. \end{sambox} \begin{sambox}{تعریف} فرض کنید $ A \in M _{m\times n} $. به علاوه، فرض کنید $ \alpha \subseteq \lbrace 1,2,\ldots ,m \rbrace $ و $ \beta \subseteq \lbrace 1,2,\ldots ,n \rbrace $. \\[0.5cm] در این صورت، ماتریسی که درایه های آن با انتخاب درایه هایی از $ A $ بدست می آید که شماره سطر های آن \\[0.5cm] همان اعداد موجود در $ \alpha $ و شماره ستون های آن همان اعداد موجود در $ \beta $ می باشند را یک زیر ماتریس از \\[0.5cm] $ A $ می نامند و آن را با نماد $ A(\alpha ,\beta) $ نمایش می دهند. اگر $ m=n $ و $ \alpha =\beta $، آنگاه $ A(\alpha ,\alpha) $ یک \\[0.5cm] زیر ماتریس اصلی از $ A $ نامیده و با نماد $ A(\alpha) $ نمایش داده می شود. \end{sambox} \begin{sambox}{تعریف} فرض کنید $ A \in M _{n} $. در این صورت، \\[0.5cm] (آ)- ماتریس $ A $ هرمیتی نامیده می شود هرگاه $ A=A^* $، که در اینجا $ A^*= \bar{A}^T$. همچنین، $ A $ پاد \\[0.5cm] هرمیتی است هرگاه $ A= -A^* $; \\[0.5cm] (ب)- ماتریس $ A $ نرمال است هرگاه $ A A^*=A^*A $; \\[0.5cm] (ج)- ماتریس $ A $ را یکانی می نامند هرگاه $ AA^*=I _{n}=A^*A $، که در آن $ I _{n} $ ماتریس همانی $ n \times n $ \\[0.5cm] است؛ \\[0.5cm] (د)-اگر اسکالری مانند $ \lambda \in \mathbb{C} $ موجود باشد به طوری که $ A=\lambda I _{n} $، آن گاه $ A $ را یک ماتریس اسکالر \\[0.5cm] می نامند؛ %(ه)- در صورتی که برای هر %$ x \in \mathbb{C}^n $، %$ x^*Ax \geq 0 $، %آنگاه %$ A $ %را یک ماتریس نیمه معین مثبت می نامند. چنانچه برای هر %$ 0 \neq x \in \mathbb{C}^n $، %$ x^*Ax >0 $، %آنگاه ماتریس %$ A $ %معین مثبت نامیده می شود؛ \\[0.5cm] (ه)-ماتریس $ A $ جایگشتی نامیده می شود هرگاه در هر سطر وستون آن تنها یک درایه مساوی با یک و بقیه \\[0.5cm] درایه ها صفر باشند؛ \end{sambox} \begin{sambox}{} (و)-فرض کنید $ 1 \leq k \leq n $ یک عدد صحیح باشد. ماتریس $ A $ یک $k$-تصویر متعامد روی یک زیر فضای $ k $ بعدی مانند $ M $ از $ \mathbb{C}^n $ نامیده می شود هرگاه: \[A(m+n)=m \hspace*{1cm} \forall m \in M \ , \ \forall n \in M^\bot,\] که در آن \[M^\bot =\lbrace x \in \mathbb{C}^n \ : \ \langle x,y \rangle=0 , \ \forall y \in M \rbrace.\] مجموعه ی تمام ماتریس های هرمیتی $ n\times n $ را با نماد $ \mathcal{H} _{n} $ و گردایه تمام ماترس های یکانی $ n\times n $ \\[0.5cm] را با نماد $ \mathcal{U} _{n} $ نمایش می دهیم. لازم به ذکر است که $ \mathcal{H} _{n} $ یک فضای برداری حقیقی و $ \mathcal{U} _{n} $ تحت عمل ضرب \\[0.5cm] ماتریس ها یک گروه می باشد که به عنوان یک فضای متری، فشرده و همبند می باشد. همچنین، مجموعه \\[0.5cm] تمام $ k $-تصویر های متعامد را با نماد $\mathcal{P} _{k} $ نمایش می دهیم. \end{sambox} \begin{sambox}{تعریف} فرض کنید $ A \in \mathbb{M} _{n} $. مجموعه ی همه ی مقادیر ویژه ی ماتریس $ A $ را طیف $ A $ نامیده و آن را با نماد $ \sigma (A)$ نمایش می دهند. به عبارت دیگر، \begin{center} $ \sigma(A) = \lbrace \lambda \in \mathbb{C}: det(A-\lambda I) =0 \rbrace. $ \end{center} \end{sambox} \begin{sambox}{گزاره} فرض کنید $ A \in M _{n} $. در این صورت، \\[0.5cm] (آ)- $\sigma (A) =\sigma (A ^{T})$؛ \\[0.5cm] (ب)- $ \sigma( \alpha A+\beta I)=\alpha \sigma(A)+ \beta $، که در آن $ \alpha , \beta \in \mathbb{C} $؛ \\[0.5cm] (ج)- $ \sigma(A^*)=\sigma(\overline{A})=\overline{\sigma (A)} := \lbrace \overline{\lambda} : \lambda \in \sigma (A) \rbrace $؛ \\[0.5cm] (د)- اگر $ A $ هرمیتی باشد، آنگاه $ \sigma (A) \subseteq \mathbb{R} $. \end{sambox} \begin{sambox}{گزاره} فرض کنید $ A \in M _{n} $ و $ B \in M _{m} $ دو ماتریس نرمال باشند و $ X \in M _{n \times m} $. در این صورت، \\[0.5cm] $ AX =XB $ اگر و تنها اگر $ A^*X=XB^* $. به ویژه، اگر $ x \in \mathbb{C} ^{n} $ یک بردار ویژه متناظر با مقدار \\[0.5cm] ویژه ی $ \lambda $ برای ماتریس نرمال $ A \in M _{n} $ باشد، آنگاه تساوی $ Ax=\lambda x $ معادل است با $ x^*A=\lambda x^* $. \end{sambox} \begin{sambox}{ تعریف } فرض کنید $ A \in M _{n} $. همچنین فرض کنید $ \lambda $ یک مقدار ویژه برای ماتریس $ A $ و $ x _{1},\ldots, x _{m}$ بردارهای \\[0.5cm] ویژه مستقل خطی متناظر با مقدار ویژه ی $ \lambda $ باشند. در این صورت، فضای تولید شده توسط مجموعه ی \\[0.5cm] $ \lbrace x _{1},\ldots, x _{m} \rbrace $ را فضای ویژه $ A $ متناظر با مقدار ویژه ی $ \lambda $ و عدد $ m $ را چندگانگی هندسی $ \lambda $ می نامند. \\[0.5cm] همچنین، تعداد دفعاتی که $ \lambda $ ریشه ای از چندجمله ای مشخصه $ A $، یعنی $ p _{A} (t)=det(tI-A)$، باشد \\[0.5cm] را چندگانگی جبری $ \lambda $ می نامند. \end{sambox} \begin{sambox}{تعریف} فرض کنید $ A\in M _{n} $ و $ \lambda \in \sigma(A) $. در اینصورت: \\[0.5cm] (آ)-مقدار ویژه ی $ \lambda $ را یک مقدار ویژه ی نرمال ماتریس $ A $ گویند هرگاه: \\[0.5cm] (1) چندگانگی هندسی و جبری $ \lambda $ با هم برابر باشند؛ \\[0.5cm] (2) هربردار ویژه ی $ A $ متناظر با $ \lambda $ بر هر بردار ویژه ی $ A $ متناظر با هر مقدار ویژه ی $ \lambda \neq \mu $ عمود باشد. \\[0.5cm] (ب)-مقدار ویژه ی $ \lambda $ را یک مقدار ویژه ی ساده ماتریس $ A $ گویند هرگاه چندگانگی جبری $ \lambda $ برابر با یک \\[0.5cm] باشد؛ \\[0.5cm] (ج)-مقدار ویژه $ \lambda $ یک مقدار ویژه اکسترمال ماتریس $ A $ نامیده می شود هرگاه $ \lambda $ یک راس از \\[0.5cm] $ conv(\sigma(A)) $ باشد. \end{sambox} \begin{sambox}{شور قضیه} فرض کنید $ A \in M _{n} $. به علاوه، فرض کنید مقادیر ویژه ی $ A $ با احتساب چندگانگی آنها به صورت \\[0.5cm] \ $ \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n} $ باشند. در این صورت، یک ماتریس یکانی مانند $ U \in \mathcal{U} _{n} $ وجود دارد به طوری که \\[0.5cm] ماتریس $ U^*AU $ بالا مثلثی بوده و درایه های قطری آن \ $ \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n} $ می باشند. \end{sambox} \begin{sambox}{نرمال های ماتریس برای طیفی تجزیه } فرض کنید $ A \in M _{n} $ یک ماتریس نرمال باشد. به علاوه، فرض کنید مقادیر ویژه ی $ A $ با احتساب \\[0.5cm] چندگانگی آنها به صورت $ \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n} $ باشند. در این صورت، یک ماتریس یکانی مانند $ U \in \mathcal{U} _{n} $ \\[0.5cm] وجود دارد به طوری که \begin{center} $ U^*AU=diag( \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}) .$ \end{center} \\[0.5cm] به ویژه، هر ماتریس هرمیتی به طور یکانی قطری شدنی است. \end{center} \newpage \vspace*{0.5cm} \begin{sambox}{تعریف} فرض کنید $ H $ یک فضای برداری روی میدان $ \mathbb{C} $ باشد. تابع $ \Vert \cdot \Vert :H\longrightarrow \mathbb{R} $ یک نرم برداری است \\[0.5cm] هرگاه برای هر $ x,y \in H $ وهر $ c \in \mathbb{C} $، \\[0.5cm] (آ)- $ \parallel x \parallel \geq 0 $؛ \\[0.5cm] (آ1)- $ \parallel x \parallel = 0 \Longleftrightarrow x = 0 $؛ \\[0.5cm] (ب)- $\Vert cx \Vert =\vert c \vert \Vert x \Vert $؛ \\[0.5cm] (ج)- $ \Vert x+y \Vert \leq \Vert x \Vert + \Vert y \Vert $. \\[0.5cm] اگر تابعی شرایط (آ)، (ب) و (ج) را دارا باشد آن را یک نیم نرم برداری روی $ H $ می نامند. %$ \parallel \cdot \parallel $ \end{sambox} \end{samframe} \begin{samframe}{\RTL برد عددی ماتریس ها} \begin{sambox}{تعریف} فرض کنید $ A \in M _{n} $. برد عددی ماتریس $ A $ با نماد $ F(A) $ نمایش داده و به صورت زیر معرفی می شود : \begin{center} $ F(A) =\{ x^*Ax : x \in \mathbb{C} ^{n} , x^*x=1 \} .$ \end{center} \end{sambox} \vspace*{1cm} \begin{sambox}{گزاره} فرض کنید $ A \in M _{n} $. دراین صورت احکام زیر درست می باشند: \\[0.5cm] (آ)- $ F(A) $ یک مجموعه محدب و فشرده در $ \mathbb{C} $ است؛ \\[0.5cm] (ب)- $ F(\alpha A + \beta I _{n}) = \alpha F(A) + \beta $، که در آن $ \alpha, \beta \in \mathbb{C} $؛ \\[0.5cm] (ج)- $ F(U^*AU)=F(A) $، که در آن $ U \in \mathcal{U} _{n} $؛ \\[0.5cm] (د)- $ F(A) \subseteq \mathbb{R} $ اگر و تنها اگر $ A $ یک ماتریس هرمیتی باشد؛ \end{sambox} \newpage \vspace*{1cm} \begin{sambox}{} (ه)- $ \sigma(A)\subseteq F(A) $ ؛ \\[0.5cm] (و)- $ conv( \sigma (A) ) \subseteq F(A) $. تساوی برقرار است هرگاه $ A $ یک ماتریس نرمال باشد؛ \\[0.5cm] (ز)- $F(A^*)=\overline{F(A)} := \lbrace \bar{z} : z \in F(A) \rbrace$ و $ F(A ^{T}) = F(A)$؛ \\[0.5cm] (ر)-اگر $ A $ یک ماتریس $ 2 \times 2 $ باشد، آنگاه $ F(A) $ یک دیسک بیضوی بسته (احتمالا تباهیده) \\[0.5cm] در $ \mathbb{C} $ است که کانون های آن مقادیر ویژه $ A $، مرکز آن در $ \frac{1}{2} tr(A) $ قرار دارد و طول اقطار آن \\[0.5cm] $ \sqrt{tr( A _{0}^* A _{0}) \pm 2\vert det(A _{0}) \vert} $ است، که در آن $ A _{0} =A -\frac{1}{2} tr(A) I _{2} $. \end{sambox} \begin{sambox}{نتیجه} اگر $ A \in M _{n} $ هرمیتی باشد، آن گاه \begin{center} $ F(A)= [\lambda _{min} (A), \lambda _{max} (A) ] =conv(\sigma (A)) ,$ \end{center} که در آن $ \lambda _{min} (A) $ و $ \lambda _{max} (A) $، به ترتیب، کوچکترین و بزرگترین مقادیر ویژه ماتریس هرمیتی $ A $ می باشند. \end{sambox} \begin{sambox}{قضیه} فرض کنید $ A \in M _{n} $ و $ x \in \mathbb{C} ^{n} $ به گونه ای باشد که $ x^*x=1 $. در این صورت شرایط زیر معادلند: \\[0.5cm] (آ)- $ Re(x^*Ax) = max \lbrace Re z : z \in F(A) \rbrace $؛ \\[0.5cm] (ب)- $ x^* H(A) x = max \lbrace h : h \in F(H(A)) \rbrace$؛ \\[0.5cm] (ج)- $ H(A)x = \delta _{1} (A) x $، که در آن $ \delta _{1} (A) = max \lbrace s : s \in F(H(A)) \rbrace $. \end{sambox} \begin{sambox}{} از قضیه فوق می توان نتیجه گرفت که بزرگترین مقدار ویژه ماتریس هرمیتی $H( A) $ با قسمت حقیقی دورترین نقطه سمت راست $ F(A) $ برابر می باشد. به طور دقیق تر، اگر $ y _{1} \in \mathbb{C} ^{n} $ بردار ویژه یکه متناظر با $ \delta _{1} (A) $ باشد، آنگاه دورترین نقطه سمت راست $ F(A) $ برابر با $ y _{1}^*A y _{1} $ می باشد و خط $\mathcal{L} _{0} = \lbrace z \in \mathbb{C} : Re(z)= \delta _{1} (A) \rbrace$ در نقطه ی $ y _{1}^*A y _{1} $ بر $ F(A) $ مماس می باشد. %جانسون [] با استفاده از محاسبه و طراحی نقاط مرزی، یک الگوریتم برای تخمین برد عددی پیشنهاد کرده است. به ویژه، اگر $ y _{1} (\theta) $ بردار ویژه یکه ی ماتریس $ H (e^ {i \theta} A) $ متناطر با $ \delta _{1} (e^ {i \theta}A) $ باشد، که در آن $ \theta \in [0,2\pi) $، آنگاه نقطه $ z _{\theta} = y _{1} (\theta) ^* A y _{1} (\theta) $ روی مرز $ F(A) $ بوده و خط \begin{center} $ \mathcal{L} _{\theta} =\lbrace e^{-i\theta} (\delta _{1} (e^ {i\theta}A)+it) : t \in \mathbb{R} \rbrace \hspace*{6cm}$ \end{center} \begin{center} $ =\lbrace t \sin \theta +\delta _{1} (e^{i\theta}A) \cos \theta +i (t \cos \theta - \delta _{1} (e^ {i \theta}A) \sin \theta) : t \in \mathbb{R} \rbrace , $ \end{center} در نقطه $ z _{\theta} $ بر $ F(A) $ مماس می باشد. به علاوه، خط محافظ $ \mathcal{L} _{\theta} $ صفحه مختلط را به نیم صفحه بسته \begin{center} $ \mathcal{H} _{in} (e ^{i \theta} A) = \lbrace e^ {-i \theta} (s+it) : s,t \in \mathbb{R} , \ s\leq \delta _{1} (e^ {i \theta}A) \rbrace , $ \end{center} \end{sambox} \begin{sambox}{} که شامل برد عددی $ A $ می باشد و نیم صفحه باز \begin{center} $ \mathcal{H} _{out} (e ^{i \theta} A) = \lbrace e^ {-i \theta} (s+it) : s,t \in \mathbb{R}, \ s > \delta _{1} (e^ {i \theta}A) \rbrace ,$ \end{center} تفکیک می کند؛ شکل زیر را ببینید. \begin{plainslide} \begin{center} \centerline{\includegraphics[width=8cm]{b}} \caption{\label{b}\small نمایش خط محافظ $ \mathcal{L}_\theta $ و برد عددی } \end{center} \end{plainslide} \end{sambox} %\begin{sambox}{قضیه} %فرض کنید %$ A \in M _{n} $. %در این صورت، به ازای هر %$ \theta \in [0,2\pi) $، %عدد مختلط %$ P _{\theta} =x _{\theta}^*Ax _{\theta}^* $ %\\[0.5cm] %و خط %$ \mathcal{L} _{\theta} $، %به ترتیب، نقطه ی مرزی و خط محافظ برای %$ F(A) $ %می باشند و %\\[0.5cm] %$ P _{\theta} \in L _{\theta} \cap F(A) $ %و %$ F(A) \subseteq \mathcal{H} _{in} (e^{i \theta} A) $. %\end{sambox} %\vspace*{2cm} \newpage \vspace*{3cm} \begin{sambox}{قضیه} فرض کنید $ A \in M _{n} $. در این صورت، \begin{center} $ F(A) = \ \bigcap _{ \theta \in [0,2\pi)} \ \mathcal{H} _{in} (e^ {i \theta} A). $ \end{center} \end{sambox} \begin{sambox}{مثال} ماتریس مختلط زیر را در نظر می گیریم: \begin{center} $A=\left[\begin{array}{c c c c} 1 & 1 & 0 & i \\ 2 & 1& 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \\ \end{array}\right] . $ \end{center} \begin{plainslide} \begin{center} \centerline{\includegraphics[width=10cm]{bord}} \caption{\label{bord}\small سمت چپ، $\partial F(A)$ و سمت راست، $F(A)$ } \end{center} \end{plainslide} \end{sambox} \begin{sambox}{مثال} در شکل بالا، شکل سمت چپ، نشان دهنده ی مرز برد عددی $ A $ می باشد و شکل سمت راست، نشان دهنده \\[0.5cm] ی برد عددی $ A $ می باشد که از اشتراک 120 نیم صفحه ی بسته رسم شده است و مقادیر ویژه ماتریس $ A $ \\[0.5cm] با علامت + نمایش داده شده اند. \end{sambox} \vspace*{0.5cm} \begin{sambox}{قضیه} فرض کنید $ A \in M _{n} $ و $ \lambda \in\partial F(A) \cap \sigma(A)$. اگر چندگانگی جبری $ \lambda $ برابر با $ m $ باشد، آنگاه یک \\[0.5cm] ماتریس یکانی مانند $ U \in M _{n} $ وجود دارد بطوریکه: \[U^*AU=\lambda I _{m} \oplus B, \hspace*{0.2cm} B\in M_{n-m}, \hspace*{0.2cm} \lambda \not \in \sigma(B).\] که در آن $ \lambda $ یک مقدار ویژه ی نرمال ماتریس $ A $ می باشد. \end{sambox} \end{samframe} \begin{samframe}{\RTL برد عددی رتبه بالاتر ماتریس ها} \begin{sambox}{تعریف} فرض کنید $ A \in M _{n} $ و $ k $ یک عدد صحیح و مثبت باشد به طوریکه $ 1 \leq k \leq n $. آنگاه برد عددی \\[0.5cm] $k$-رتبه ی ماتریس $ A $ به صورت زیر معرفی می شود: \begin{center} $ \Lambda _{k} (A) = \lbrace \lambda \in \mathbb{C} \hspace*{0.2cm} : \ \hspace*{0.3} PAP =\lambda P ,\hspace*{0.2cm} \ \hspace*{0.2} P \in \mathcal{P} _{k} \rbrace ,$ \end{center} که در آن $ \mathcal{P} _{k} $ گردایه ی تمام ماتریس های $ k $-متعامد می باشد در صورتی که $ k \in \lbrace 1,2,\cdots ,n \rbrace $، \\[0.5cm] مجموعه های $ \Lambda _{k}(A) $ را برد عددی رتبه بالاتر $ A $ می نامند. قضیه ی زیر برد عددی $ k $-رتبه ی یک ماتریس \\[0.5cm] را برحسب ماتریس های ایزومتری %\ref{g_3}، بیان می کند. \end{sambox} \vspace*{2cm} \newpage \begin{sambox}{گزاره} فرض کنید $ A \in M _{n} $ و $ k $ یک عدد صحیح و مثبت باشد که $ 1 \leq k \leq n $. در این صورت، \begin{center} $ \Lambda _{k} (A) = \lbrace \lambda \in \mathbb{C} \ : \ Q^*AQ = \lambda I _{k}, \ Q^*Q = I _{k}, \ Q \in M _{n\times k} \rbrace.$ \end{center} \end{sambox} \begin{sambox}{گزاره} فرض کنید $ A \in M _{n} $. در این صورت، \begin{center} $ \Lambda _{n} (A) \subseteq \Lambda _{n-1}(A) \subseteq \cdots \subseteq \Lambda _{1} (A) =F(A) .$ \end{center} \end{sambox} \begin{sambox}{قضیه} فرض کنید $ A \in M _{n} $ نرمال باشد. در این صورت، \[ \Lambda _{k}(A) = \hspace*{0.5cm} \bigcap_{1 \leq j _{1} < \cdots < j _{n-k+1} \leq n} \hspace*{0.5cm} conv ( \{\lambda _{j _{1}},\ldots , \lambda _{j _{n-k+1}}\}),\] که در آن $ \lbrace \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n} \rbrace $ مقادیر ویژه ی ماتریس $ A $ هستند. \end{sambox} \vspace*{0.5cm} % \begin{sambox}{نتیجه} %فرض کنید %$ A \in M _{n} $ %هرمیتی باشد. به علاوه، فرض کنید %$ \lambda _{1}\leq \lambda _{2} \leq \cdots \leq\lambda _{n} $ %مقادیر ویژه ی %$ A $ %با احتساب چندگانگی ها بوده و %$ k $ %یک عدد صحیح و مثبت باشد که %$ 1\leqslant k \leqslant n $. %در این صورت %$ \Lambda _{k}(A)=[\lambda _{k},\lambda _{n-k+1} ]$، %بطوریکه %(آ)-اگر %$ \lambda _{k}>\lambda_{n-k+1} $، %آنگاه %$ \Lambda _{k}(A)= \emptyset $؛ %(ب)-اگر %$ \lambda _{k} \leq \lambda_{n-k+1} $، %آنگاه %$ \Lambda _{k}(A) $ %یک بازه بسته ی ناتباهیده است که در حالت خاص ، %اگر %$ \lambda _{k}=\lambda _{n-k+1} $، %آنگاه %$ \Lambda _{k}(A) =\lbrace \lambda _{k} \rbrace$. %\end{sambox} %\newpage %\vspace*{1cm} %\begin{sambox}{نتیجه} %در شکل %زیر، %$ \Lambda _{k}(A) $ %برای یک ماتریس هرمیتی با طیف %$ \{ \lambda _{1}, \lambda _{2},\lambda _{3},\lambda _{4},\lambda _{5},\lambda _{6}\} $ %نشان داده شده است. %\begin{plainslide} %\begin{center} %\centerline{\includegraphics[width=10cm]{pu}} %\caption{\label{pu}\small برد عددی $ k $-رتبه } %\end{center} %\end{plainslide} %\end{sambox} %به علاوه %$ \Lambda _{k}(A) $ %برابر با اشتراک برد عددی %$ F(V^*AV) $ %می باشد، که در آن %$ V:\mathbb{C}^{n-k+1}\longrightarrow \mathbb{C}^n $ %می باشد. %\end{sambox} %\newpage \vspace*{0.5cm} \begin{sambox}{نتیجه} فرض کنید $ A \in M _{n} $ یک ماتریس نرمال باشد و $ 2k >n $. در این صورت، $ \Lambda _{k}(A) $، یا یک مجموعه \\[0.5cm] ی تهی می باشد و یا یک مجموعه ی تک عضوی مانند $ \Lambda _{k}(A)=\lbrace \lambda _{0} \rbrace $ می باشد، اگر وتنها اگر ماتریس \\[0.5cm] $ T _{0} \in M _{2n-2k} $ وجود داشته باشد به طوری که $ A $ به طور یکانی با $ \lambda _{0}I _{2k-n}\bigoplus T _{0} $ مشابه است و \\[0.5cm] $ \lambda _{0} \in \Lambda _{n-k}(T _{0}) $. \end{sambox} \vspace*{1cm} \begin{sambox}{گزاره} فرض کنید $ A \in M _{n} $ و $ k $ یک عدد صحیح مثبت باشد که $ 4k-3 \leq n $. در این صورت، $ \Lambda _{k}(A) $ \\[0.5cm] ناتهی است. \end{sambox} \end{samframe} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \begin{samframe}{ } \begin{center} \begin{large} وجود منحنی های درجه سوم سازنده یک پوش برای طیف ماتریس ها از طریق برخی نامساوی های مربوط به مقادیر ویژه \end{large} \end{center} \end{samframe} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{samframe}{\RTL چند نامساوی در خصوص مقادیر ویژه ماتریس ها } \begin{sambox}{تعریف} این فصل مشتمل بر دو بخش است. در بخش اول، به معرفی تعدادی نامساوی راجع به مقادیر ویژه ی ماتریس \\[0.5cm] ها می پردازیم و در بخش دوم، به منظور پیدا کردن پوش هایی برای طیف ماتریس ها، منحنی های مکعبی را \\[0.5cm] معرفی نموده و برخی خواص و ویژگی های هندسی آنها را مورد مطالعه و بررسی قرار می دهیم. در این بخش، \\[0.5cm] فرض می کنیم $ A \in M _{n} $ و $ \delta _{1}(A) \geq \delta _{2}(A) \geq \cdots \geq \delta _{n}(A) $ مقادیر ویژه ی قسمت هرمیتی $ A $، \\[0.5cm] یعنی $ H(A)=\dfrac{A+A^*}{2} $ باشد. با توجه به نتیجه %\ref{sh_1}، اگر $ \lambda \in \sigma(A) $, آنگاه $ Re \hspace*{0.01cm} (\lambda)\leq\delta _{1}(A) $. اکنون \\[0.5cm] قصد داریم یک کران مناسب تری برای $ Re \hspace*{0.01cm}(\lambda) $ بدست آوریم. برای این منظور، فرض کنید $ y _{1} \in S ^{1} $ به \\[0.5cm] گونه ای باشد که $ H(A) y _{1}= \delta _{1}(A) y _{1} $. \end{sambox} \vspace*{1.3cm} \newpage \begin{sambox}{} به علاوه، قرار می دهیم: \begin{center} %$\begin{equation} %\label{o_4} $ u(A)=Im(y _{1}^*S(A)y _{1}) \hspace*{0.5cm} \& \hspace*{0.5cm} v(A)=\Vert S(A)y _{1}\Vert^2 ,\hspace*{3cm}(1\cdot2)$ % \end{equation} $ \end{center} که در آن $ S(A)=\dfrac{A-A^*}{2} $. رابطه بین $ v(A) $ و $ u(A) $ در گزاره زیر آورده شده است. \end{sambox} \vspace*{1cm} \begin{sambox}{گزاره} فرض کنید $ A \in M _{n} $. در این صورت، \begin{center} $(u(A))^2 \leq v(A) $ \end{center} که در آن $ v(A) $ و $ u(A) $ همان اعداد معرفی شده در رابطه ی $(1\cdot2)$ می باشند. \end{sambox} \begin{sambox}{قضیه} فرض کنید $ A \in M _{n} $ و $ \lambda \in \sigma(A) $. در این صورت: %\begin{flushleft} \begin{center} $ \hspace*{-4cm}(Re\hspace*{0.02cm} ( \lambda) -\delta _{2}(A) ) (Im \hspace*{0.02cm} (\lambda) -u(A))^2\leq \hspace{4cm}$ \\[0.5cm] %$ \begin{equation} %\label{f_1} $ (\delta _{1}(A)-Re\hspace*{0.02cm} (\lambda)) [v(A)-u(A) ^2 +(Re\hspace*{0.02cm} (\lambda) -\delta _{2}(A) ) (Re\hspace*{0.02cm} (\lambda)-\delta_{1}(A))], \hspace{1cm}$ %\end{equation} \end{center} که در آن $ u(A) $ و $ v(A) $ همان مقادیر معرفی شده در رابطه ی $(1\cdot2)$ می باشند. \end{sambox} \begin{sambox}{نتیجه} فرض کنید $ A \in M _{n} $. در این صورت، \begin{center} $ \sigma(A) \subseteq \lbrace \lambda \in \mathbb{C}: (Re\hspace*{0.02cm} (\lambda) -\delta _{2}(A) ) (Im \hspace*{0.02cm}(\lambda) -u(A))^2\leq$ \\[0.5cm] $ (\delta _{1}(A)-Re\hspace*{0.02cm}(\lambda)) [v(A)-u(A) ^2 +(Re\hspace*{0.02cm}(\lambda) -\delta _{2}(A) ) (Re\hspace*{0.02cm}(\lambda)-\delta_{1}(A))] \} $ \end{center} \begin{center} $ \hspace*{0.001cm} \subseteq \lbrace \lambda \in \mathbb{C} : Re(\lambda) \leq \delta _{1}(A)\rbrace :=H _{in}(A).$ \end{center} \end{sambox} \end{samframe} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{samframe}{\RTL معرفی و بررسی خواص یک منحنی درجه سوم برای ساخت یک پوش برای طیف ماتریس ها } \begin{sambox}{تعریف} فرض کنید $A \in M _{n} $ و $ \lambda \in \sigma(A) $. در این صورت، منحنی $\Gamma(A) $ به صورت زیر معرفی می شود: \begin{center} $\Gamma (A)= \lbrace s+\textit{i} t :s,t \in \mathbb{R}, (\delta _{2}(A) -s)[(\delta _{1}(A) -s) ^2+ (u(A)-t) ^2] $ \\[0.5cm] $\hspace{5cm}+(\delta _{1}(A) -s)(v(A)-u(A) ^2)=0\}\hspace{2cm} (12 \cdot 2 )$ %\end{equation}$ \end{center} \\[0.5cm] که در آن $ u(A) $ و $ v(A) $ همان اعداد معرفی شده در رابطه $(1\cdot2)$ می باشند و منحنی $ \Gamma _{in}(A) $ به صورت \\[0.5cm] زیر معرفی می شود: %به صورت زیر معرفی می شود: \begin{flushleft} $\Gamma _{in}(A)= \lbrace s+\textit{i} t :s,t \in \mathbb{R}, (\delta _{2}(A) -s)[(\delta _{1}(A) -s) ^2+ (u(A)-t) ^2]$ \end{flushleft} \begin{flushleft} $\, \; \, \; \, \; \, \; \, \; \, \; \, \; \, \; \, \; \, \;+(\delta _{1}(A) -s)(v(A)-u(A) ^2)\geq 0\rbrace, \hspace*{3cm}$ %\end{equation} \end{flushleft} \end{sambox} \vspace*{2cm} \newpage \begin{sambox}{گزاره} فرض کنید $ A \in M_{n} $. در این صورت: \\[0.5cm] (آ)- $ \Gamma (A ^{T}) = \Gamma (A) $; \\[0.5cm] (ب)- $\Gamma (A ^*) = \Gamma (\overline{A}) = \overline{\Gamma(A)}$. \end{sambox} \vspace*{2cm} \begin{sambox}{گزاره} فرض کنید $ A \in M _{n} $. در این صورت، به ازای هر ماتریس یکانی $ U \in \mathcal{U} _{n} $، \begin{center} $\Gamma (U^*AU) = \Gamma (A) .$ \end{center} \end{sambox} \newpage \vspace*{1cm} \begin{sambox}{گزاره} فرض کنید $ A \in M _{n} $ و $ b \in \mathbb{C} $. در این صورت، \begin{center} $\Gamma (A+bI _{n}) =\Gamma (A)+b.$ \end{center} \end{sambox} \vspace*{2cm} \begin{sambox}{گزاره} فرض کنید $ A\in M _{n} $ و $ r> 0 $ عددی حقیقی باشد. در این صورت، \begin{center} $\Gamma (rA)=r \Gamma(A).$ \end{center} \end{sambox} \begin{sambox}{گزاره} فرض کنید $ A \in M _{n} $. در این صورت، \\[0.5cm] (آ)-اگر $ \delta _{1}(A) =\delta _{2}(A) $. آن گاه معادله منحنی $ \Gamma(A) $ به صورت زیر بیان می شود \begin{center} $(t-u(A))^2+(s-\delta _{1})^2=-v(A)+u(A)^2=0;$ \end{center} \\[0.5cm] (ب)-منحنی $ \Gamma (A) $ در نوار عمودی $ \lbrace z \in \mathbb{C} \ : \ \delta _{2} (A) \leq s \leq \delta _{1}(A) \rbrace $، قرار می گیرد؛ \\[0.5cm] (ج)-خط $ \mathcal{L} = \lbrace z \in \mathbb{C} \ :Re\hspace*{0.02cm} z=\delta _{2}(A) \rbrace $، مجانب عمودی منحنی $ \Gamma(A) $ می باشد؛ \\[0.5cm] (د)-منحنی $ \Gamma(A) $ نسبت به خط افقی $ \mathcal{L} _{1}=\lbrace z \in \mathbb{C} \ :Im \hspace*{0.02cm} z=u(A) \rbrace $، متقارن می باشد و این \\[0.5cm] خط منحنی $ \Gamma(A) $ را در نقطه ی $ \delta _{1}(A)+iu(A) $ قطع می کند؛ \\[0.5cm] (ه)- $ \sigma(A) \subset\Gamma _{in}(A) \subseteq H _{in} (A) $. \end{sambox} \newpage \vspace*{2cm} \begin{sambox}{تعریف} فرض کنید $ t=u(A)$ و $ \delta _{2}(A) < s <\delta _{1}(A) $. در این صورت، با جایگذاری $ t=u(A)$ در رابطه \\[0.5cm] ی $(12 \cdot 2)$ معادله ی منحنی $ \Gamma(A) $ به صورت زیر معرفی می شود: \begin{center} $(\delta _{1}(A)-s)[s^{2}-(\delta_{1}(A)+\delta _{2}(A))s+\delta_{1}(A)\delta _{2}(A)+v(A)-u(A)^{2}]=0.$ \end{center} \\[0.5cm] که مبین عامل درجه دوم در این معادله عبارت است از: \\[0.5cm] \begin{center} %\begin{equation} %\label{s _{1}} $\Delta=(\delta_{1}(A)-\delta_{2}(A))^{2}-4(v(A)-u(A) ^{2}). \hspace*{3cm} (15 \cdot 2 )$ %\end{equation} \end{center} %\end{center} \end{sambox} \begin{sambox}{} (آ)-اگر $\Delta<0$, منحنی $\Gamma (A)$ باز و بی کران می باشد و خط $\mathcal{L} _{1}$, منحنی را فقط در نقطه ی \\[0.5cm] $\delta_{1}(A)+iu(A)$ قطع می کند. \\[0.5cm] (ب)-اگر $\Delta >0$, منحنی $\Gamma (A)$ شامل دو شاخه می باشد, یک شاخه ی باز و بی کران و یک شاخه ی \\[0.5cm] کراندار بسته و خط $\mathcal{L} _{1}$, منحنی $ \Gamma (A) $ را در نقاط زیر قطع می کند: \begin{center} $s_{2}=\frac{\delta _{1}(A)+\delta _{2}(A)-\sqrt{\Delta }}{2}+iu(A) $ , $s_{1}=\frac{\delta _{1}(A)+\delta _{2}(A)+\sqrt{\Delta }}{2}+iu(A) $ \\[0.5cm] $s _{3}=\delta_{1}(A)+iu(A). $ \end{center} (ج)- اگر $\Delta=0$, خط افقی $\mathcal{L} _{1}$, منحنی $\Gamma (A)$ را در نقاط زیرقطع می کند: \begin{center} $s _{2}=\delta_{1}(A)+iu(A) .$, $s_{1}=\frac{\delta _{1}(A)+\delta _{2}(A)}{2}+iu(A)$ \end{center} \end{sambox} \begin{sambox}{مثال} فرض کنید \begin{center} $A=\left[\begin{array}{c c c c} -2 & 1 & -1 &1 \\ 1 & 0 & -1 & -1 \\ 2 & 0 & -3 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 2 \\ \end{array}\right] , $ \end{center} \[v(A)=1.7051, \ u(A)=0, \ \delta _{1}=2.2944, \ \delta _{2}=0.3536.\] \\[0.0001cm] %منحنی %$ \Gamma(A) $ % و برد عددی(ناحیه سایه دار) و مقادیر ویژه(علامت های +) ماتریس %$ A $ % و دایره های گرشگورین در شکل نمایش داده شده اند. با جایگذاری مقادیر فوق در رابطه $(15 \cdot 2 )$ به $ \Delta < 0 $ می رسیم، در نتیجه %\ref{w_1}}(آ)، منحنی $ \Gamma(A) $ یک منحنی \\[0.5cm] ساده، باز و بی کران می باشد %\ref{w_3}، تمام مقادیر ویژه ماتریس $ A $ که با علامت + نمایش داده شده اند در سمت چپ \\[0.5cm] منحنی $ \Gamma(A) $ قرار می گیرند. \end{sambox} \newpage \vspace*{0.5cm} \begin{sambox}{} در این شکل، ناحیه سایه دار مبین برد عددی و دایره ها همان دوایر گرشگورین هستند. %\newpage \begin{center} \begin{plainslide} \centerline{\includegraphics[width=8cm]{Capture}} \caption{\label{g} منحنی $ \Gamma(A) $, برد عددی, دوایر گرشگورین} \end{plainslide} \end{center} \end{sambox} \begin{sambox}{مثال} فرض کنید %$ A \in M _{3}(\mathbb{R}) $ \begin{center} $A \in M _{3}(\mathbb{R}) ,\ v(A)=0.1063, \ u(A)=0, \ \delta _{1}=0.2621, \ \delta _{2}=-0.8082.$ \end{center} \begin{center} $B \in M _{5}(\mathbb{C}) , \ v(B)=1, \ u(B)=0, \ \delta _{1}=2, \ \delta _{2}=0.$ \end{center} %منحنی %$ \Gamma (A) $ %در قسمت سمت چپ شکل و منحنی %$ \Gamma (B) $ %در قسمت سمت راست شکل نمایش داده شده اند و مقادیر ویژه ماتریس های %$ A,B $ %با علامت + نمایش داده شده اند. \begin{plainslide} \begin{center} \centerline{\includegraphics[width=10cm]{delta}} \caption{\label{delta}\small سمت چپ منحنی $ \Gamma(A) $ و سمت راست منحنی $ \Gamma(B) $ } \end{center} \end{plainslide} \end{sambox} \begin{sambox}{} در شکل سمت چپ، با جایگذاری اطلاعات ماتریس $ A $ در رابطه $(15 \cdot 2 )$ به $ \Delta > 0 $ می رسیم. در نتیجه \\[0.5cm] منحنی $ \Gamma (A) $ شامل دو شاخه می باشد. یک شاخه ی باز بی کران و یک شاخه ی کراندار بسته، همان گونه \\[0.5cm] که در شکل مشاهده می کنید در شاخه ی بسته ی این منحنی یک مقدار ویژه حقیقی قرا گرفته و سایر مقادیر \\[0.5cm] ویژه ماتریس $ A $ که قسمت حقیقی آنها کوچکتر از $ \delta _{2}(A) $ می باشد در قسمت سمت چپ منحنی قرار گرفته \\[0.5cm] اند. در شکل فوق، شکل سمت راست، با جایگذاری اطلاعات ماتریس $ B $ در رابطه $(15 \cdot 2 )$ به $ \Delta = 0 $ می رسیم. \\[0.5cm] در نتیجه منحنی $ \Gamma (A) $ خودش را قطع می کند و مقدار ویژه $ \lambda $ که $ Re\hspace*{0.02cm}\lambda > \frac{\delta _{1}(A)+\delta _{2}(A)+ \sqrt{\Delta}}{2} =s _{2} $، \\[0.5cm] در قسمت سمت راست و درون حلقه منحنی $ \Gamma (B) $ قرار می گیرد و سایر مقادیر ویژه ماتریس $ B $ در قسمت \\[0.5cm] سمت چپ منحنی $ \Gamma (B) $ قرار می گیرند. \end{sambox} \end{samframe} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{samframe}{ } \begin{center} \nast پوش مکعبی ماتریس \end{center} \end{samframe} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{samframe}{\RTL بررسی پوش مکعبی ماتریس ها } \begin{sambox}{تعریف} فرض کنید $ A \in M _{n} $. در این صورت، پوش مکعبی ماتریس $ A $، که با نماد $ \mathcal{E} (A) $ نمایش داده می شود، \\[0.5cm] به صورت زیر معرفی می شود: \\[0.5cm] %$\begin{equation} %$\label{bu_3} \[\mathcal{E} (A) = \mathop {\bigcap} \limmitts _{\theta \in [0,2\pi)} e^{-i\theta} \Gamma _{in} (e^{i \theta} A). \hspace*{3cm}\] %\end{equation}$ \end{sambox} \vspace*{1cm} \begin{sambox}{قضیه} فرض کنید $ A \in M _{n} $. در این صورت، \[\sigma (A) \subseteq \mathcal{E} (A) = \mathop {\bigcap} \limmitts _{\theta \in [0,2\pi)} e^{-i\theta} \Gamma _{in} (e^{i \theta} A) \subseteq \mathop {\bigcap} \limmitts _{\theta \in [0,2\pi)} H _{in} (e^{i \theta} A) = F(A).\] \end{sambox} \vspace*{0.5cm} \newpage \begin{sambox}{گزاره} فرض کنید $ A \in M _{n} $. در این صورت، \\[0.5cm] (آ)- $ \mathcal{E} (A ^{T}) = \mathcal{E} (A) $؛ \\[0.5cm] (ب)- $ \mathcal{E}(A^*) = \mathcal{E}( \overline{A}) =\overline{\mathcal{E} (A)} $ \end{sambox} \begin{sambox}{گزاره} فرض کنید $ A \in M _{n} $. در این صورت، برای هر ماتریس یکانی $ U \in \mathcal{U} _{n} $، \begin{center} $ \mathcal{E}(U^*AU) = \mathcal{E}(A). $ \end{center} \end{sambox} \begin{sambox}{گزاره} فرض کنید $ A \in M _{n} $ و $ b \in \mathbb{C}$. در این صورت، \begin{center} $\mathcal{E}(A+bI _{n}) = \mathcal{E}(A)+b.$ \end{center} \end{sambox} \begin{sambox}{گزاره} فرض کنید $ A \in M _{n} $. در این صورت، برای هر $ a \in \mathbb{C} $، \begin{center} $\mathcal{E}(aA) =a \mathcal{E}(A).$ \end{center} \end{sambox} \begin{sambox}{مثال} فرض کنید $ A=(a_{ij}) \in M _{n} $ که همان ماتریس فرانک \LTRfootnote{frank} است را در نظر می گیریم؛ توجه کنید که \begin{center} $ a_{ij}=\left\lbrace \begin{array}{c c c} 0 & \hspace*{0.5cm} j