\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{tocbibind}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{natbib}
\usepackage{amssymb,amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{setspace}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{makeidx}
  \usepackage{url}
\usepackage{xepersian}
\pagestyle{headings}
\usepackage[top=30mm, bottom=30mm, left=30mm, right=30mm]{geometry}
\setlatintextfont[ExternalLocation,BoldFont={lmroman10-bold},BoldItalicFont={lmroman10-bolditalic},ItalicFont={lmroman10-italic}]{lmroman10-regular}
%\defpersianfont\nastaliq[Scale=2]{IranNastaliq} 
%دستوری برای تغییر نام کلمه «اثبات» به «برهان»
\renewcommand\proofname{\textbf{برهان}}
% تعریف و نحوه ظاهر شدن عنوان قضیه‌ها، تعریف‌ها، مثال‌ها و ...
\newtheorem{definition}{تعریف}[section]
\newtheorem{theorem}[definition]{قضیه}
\newtheorem{lemma}[definition]{لم}
\newtheorem{proposition}[definition]{گزاره}
\newtheorem{corollary}[definition]{فرع}
\newtheorem{remark}[definition]{ملاحظه}
\newtheorem{example}[definition]{مثال}
\newtheorem{problem}[definition]{تمرین}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\oddsidemargin = 0cm
\textwidth = 15.5cm
\topmargin = -.3cm
\textheight = 20cm
\usepackage{setspace}\doublespacing
\usepackage{graphicx} 
\usepackage{amssymb}
\addtolength{\textwidth}{2cm} 
\addtolength{\textheight}{4cm}
\addtolength{\marginparwidth}{-1cm}
\addtolength{\voffset}{-2cm}
\begin{document}
\section{مقدمه} 
مدل در حالت کلی  به صورت \\ 
\begin{equation} 
y _i=\alpha+\beta x_i+e_i 
\end{equation} 
میباشد،اما فرض این است که $x_i$ به صورت مستقیم مشاهده‌نشده است. 
\begin{equation} 
W_i=x_i+m_i \hspace{2cm} i=1,2,3,4,.......,n 
\end{equation} 
در مدل (2)مشخص است که $x_i$ قابل مشاهده نیست و $W_i$ میتواند یک برآورد نا‌اریب برای $x_i$باشد.همچنین خطای اندازهگیری جمعی است،که توسط $m_i$تعیین میشود.مقدار مشاهده‌شده $x_i$یا متغیر‌تصادفی یا پارامتر‌ثابت است.\\ 
اگر $x_i$ پارامتر ثابت باشد مدل ما مدل تابعی است و  
\begin{equation} 
\begin{bmatrix} 
e_i\\ 
m_i\\ 
\end{bmatrix} 
\sim\\ 
N_2 
\begin{bmatrix} 
\begin{bmatrix} 
0\\ 
0 
\end{bmatrix} 
, 
\begin{bmatrix} 
\sigma_e^2 & 0\\ 
0 &  \sigma_m^2\\ 
 
\end{bmatrix} 
 
\end{bmatrix} 
\end{equation} 
اگر $x_i$ متغیر‌تصادفی باشد ،مدل ساختاری میشود و 
\begin{equation} 
x_i\sim N_1(\mu_x,\sigma_x^2) 
\end{equation} 
که از$(m_i,e_i)$مستقل است.در بیشتر موارد فرض میشود واریانس $\sigma_m^2$و نسبت واریانس  
$\frac{\sigma^2_e}{\sigma^2_m}$ رابطه نسبی و شناخته‌شده باشد. 
آزالینی میگوید یک متغیر‌تصادفی $Z$داریم که از توزیع چوله نرمال با پارامتر مکان $\mu$،پارامتر مقیاس $\sigma^2$و پارامتر چولگی $\lambda$اگر تابع چگالی $Z$به صورت زیر باشد: 
\begin{equation} 
f_Z(z)=\frac{2}{\sigma}\phi_1(\frac{z-\mu}{\sigma})\Phi_1(\lambda\frac{z-\mu}{\sigma})
\end{equation}  
اگر$\lambda=0$باشد،آنگاه چگالی $z$همان چگالی نرمال استاندارد است.

\begin{equation*}
Z \sim SN_1(\mu,\sigma^2,\lambda)
\end{equation*}
و
\begin{equation*}
Z\sim SN_1(\lambda)
\end{equation*} 
است هرگاه $\mu=0$ و  
$\sigma^2=1$ 
باشد. 
\begin{flushleft} 
$E[Z]=\mu + \sqrt{2/\pi}\frac{\lambda}{\sqrt{1+\lambda^2}}\sigma)$\\ 
$var[Z]=(1-\frac{2\lambda^2}{\pi(1+\lambda^2)}\sigma^2)$\\ 
$\gamma=\frac{1}{2}(4-\pi)(\frac{E^2[W]}{var[W]})^3/2$\\ 
$K=2(\pi-3)(\frac{E^2[W]}{var[W]})^2$\\ 
\end{flushleft} 
هر جا $W=\frac{Z-\mu}{\sigma}$ آنگاه $-0/9953<\gamma<0/9953$و $3/0000<K<3/8692$.\\ 
ا 
 
گشتاورهای فرد به این صورت است: 
\begin{flushleft}$E[W^{2K+1}]=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\lambda(1+\lambda^2)^{-(K+\frac{1}{2})}2^{-K}[(2K+1)!]\sum_{J=0}^K\frac{J!(2\lambda)^{2J}}{(2J+1)!(K-J)!}$\end{flushleft} 
اگر
\begin{equation*}
 W \sim SN_1(\lambda)
 \end{equation*}

 
باشد،آنگاه\\ 
\begin{equation} 
W=\frac{\lambda}{\sqrt{1+\lambda^2}}\mid W_0\mid+\frac{1}{\sqrt{1+\lambda^2}}W_1 
\end{equation} 
هر جا 
\begin{equation*}
W_1,W_0 \sim N(0,1)
\end{equation*}
 
\section{توابع درستنمایی} 
مدل رگرسیون چوله نرمال را با استفاده از (1) و (3) به صورت زیر است: 
\begin{equation} 
e_i\sim\\SN_1(0,\sigma^2_e,\lambda_e) 
\end{equation} 
\begin{equation} 
m_i\sim\\SN_1(0,\sigma^2_m,\lambda_m) 
\end{equation} 
$i=1,2,3,4,.........,n$ 
پس 
\begin{equation} 
Y_i \mid\\x_i\sim\\SN_1( \alpha+\beta\ x_i,\sigma_e^2, \lambda_e) 
\end{equation} 
\begin{equation} 
W_i\mid\\x_i\sim\\SN_1(x_i,\sigma^2_m,\lambda_m) 
\end{equation} 
$i=1,2,3,.......,n$ 
هر‌جا


$ W \sim \ Y $
باشد
 و
$W$و$Y$
مستقل باشند.\\
برای مدل چوله نرمال ساختاری با استفاده از 4 مشاهده میشود: 
\begin{equation}
x_i \sim\\SN_1(\mu_x,\sigma_x^2,\lambda_x) 
\end{equation} 
پارامتر های
 $\lambda_x,\lambda_e,\lambda_m$  
 پارمترهای عدم تقارن هستند.\\ 
اگر
 $\lambda_x=\lambda_e=\lambda_m=0$
،آنگاه مدل عدم تقارنی به مدل نرمال متقارن تبدیل میشود.در (1) و (4) با استفاده از (2.3) و (2.4) چگالی شرطی
 $(y,W)$ 
را میتوان نوشت: \\
$f(y,W\midx)=\frac{2^2}{\sigma_e\sigma_m}\phi_1(\frac{y-\alpha-\beta_x}{\sigma_e})\phi_1(\frac{W-x}{\sigma_m})\Phi_1(\lambda_e\frac{y-\alpha-\beta_x}{\sigma _e})\Phi _1(\lambda _m\frac{W-x}{\lambda _ m})$ \\
در (11)چگالی توام شرطی 
$(y,W)$
به چگالی بالا رجوع میشود: 
\begin{align}
f(y,W)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(y,W\mid\x)f(x)d(x)&= 
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{2^3}{\sigma_e\sigma_m\sigma_x} \phi_1(\frac{y-\alpha-\beta_x}{\sigma_e})\\\phi_1(\frac{W-x}{\sigma_m})&\phi_1(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x})\Phi_1(\lambda_e\frac{y-\ alpha- \beta_x}{\sigma_e})\Phi_1(\lambda_m\frac{W-x}{\lambda_m})\\\Phi_1( \lambda_x\frac{x-\mu_x}{\sigma_x})d(x)
\end{align} 
 

با تبدیل 
$\nu=x-\mu$

و
 $\mid J\mid\Rightarrow d(x) = d \nu$

تعریف  
$ e^- = y - (\alpha + \beta_x) $

و
$M^-=W-\mu_x$\\
انتگرال (2.6)به صورت زیر بازنویسی می شود: \\
$ f (y.W) = \frac {2^3} {\sigma _e \sigma _ m \sigma _ x}\int _{-\infty}^{+\infty}\phi_1(\frac{e^- -\beta\nu}{\sigma_e})\phi_1(\frac{m^--\nu}{\sigma_m})\phi_1(\frac{\nu}{\sigma_x})\Phi_1(\lambda_e\frac{e^- -\beta\nu}{\sigma_e})\Phi_1(\lambda_m\frac{m^--\nu}{\sigma_m})\Phi _1(\lambda _x\frac{\nu}{\sigma _x})d(\nu)$ \\
فرض میشود که\\
 $W=(e^-,m^-,0)^T,b=(\beta,1,-1)^T,b_1=(\beta,1)^T,\Psi=diag(\sigma^2_e,\sigma_m^2,\sigma_x^2),\Psi_1=diag(\sigma_e^2,\sigma_m^2)\\\Lambda=(\lambda_e,\lambda_m,\lambda_x)$
 باشد. 
حال اگر فرض شود که
 $\phi_K(0\mid\mu,\sum)$
 چگالی و
 $\Phi_K(0\mid\mu,\sum)$
 تابع توزیع باشد،آنگاه توزیع نرمال 
 $K$
 بعدی
  $N_K(\mu,\sum)$
 است.با توجه به این توضیح 
\begin{equation} 
\phi_1(\frac{e^--\beta-\nu}{\sigma_e})\phi_1(\frac{m^--\nu}{\sigma_x})\phi_1(\frac{\nu}{\sigma_x})=\phi_3(W\mid\\b\nu,\Psi) 
\end{equation} 
و 
\begin{equation} 
\Phi_1(\lambda_e\frac{e^--\beta\nu}{\sigma_e})\Phi_1(\lambda_m\frac{m^--\nu}{\sigma_m})\phi_1(\lambda_x\frac{\nu}{\sigma_x})=\Phi_3(\Lambda\\W-\Lambda\\b\nu\mid0,\Psi) 
\end{equation} 
میباشد. \\
لم-1 \\
$\phi_3(W\mid b\nu,\Psi)=\phi_2(z\mid\mu,\sum)\phi_1(\nu\mid\frac{b^T\Psi^{-1}W}{b^T\Psi^{-1}b},\frac{1}{b^T\Psi^{-1}b})$\\هر جا $z=(y,W)^T$\\و 
$\mu =\begin{bmatrix} \alpha + \beta \mu_x \\ \mu_x
\end{bmatrix}$ 
 و  
$\sum=\Psi_1+\sigma_x^2b_1b_1^T= 
\begin{bmatrix} 
\beta^2\sigma_x^2+\sigma_e^2&\beta\sigma_x^2\\ 
\beta\sigma_x^2&\sigma_x^2+\sigma_m^2 
\end{bmatrix}$ \\
 لم(2)فرض کنید
  $v \sim N_k(\eta ,\Omega)$
 ،آنگاه
  $E[\Pih _ m ( a + Av \mid\gamma , \Gamma)]=  \Phi _ m ( a \mid  \gamma - A \eta ,\Gamma+A\Omega A^T)$\\ 
\begin{theorem}
مدل خطای اندازهگیری چوله نرمال در (2.5) و (2.3)با چگالی حاشیه ای 
$ z=( y,W) ^ T$ 
\begin{equation} 
f_z(z\mid \theta,\lambda)=2^3\phi_2(z,\mu \ ,\sum)\Phi_3(\Lambda\Psi\beta^T\sum^{-1}(z-\mu)\mid 0,\Psi+ \frac{1}\Psi^{-1}b}\Lambdabb^T\Lambda) 
\end{equation} 
هر جا
$\lambda = (\lambda _e\lambda _m,\lambda_x) ^T$

$\theta=(\alpha,\beta,\mu_x,\sigma_x^2,\sigma_e^2,\sigma_m^2)^ T$\\
$\beta = (I_2 , b_1)= 
\begin{bmatrix} 
1 & 0 &  \beta \\ 
0 & 1 & 1
\end{ bmatrix}$
\end{theorem}

از قضیه (1) داریم که تابع درستنمایی برای
 $\theta $
 با نمونه مشاهده شده
  $ z_1= (y_1,W_1) $,.........  $z_n=(y_n,W_n)$

  به صورت زیر میباشد. $L(\theta ,\lambda \mid z _1,.....,z_n) = \sqcap _{i=1}^n f _ z ( z_i \mid \theta ,\lambda ) $\\ 
هر جا 
$ f - Z( z_i \mid \theta ,\lambda )$
چگالی حاشیه ای (2.10)از 
$ i $
امین واحد نمونه
 $  i =1,2,3,.....,n $
باشد،تابع لگ درستنمایی
 $L(\theta,\lambda)$
 را میتوان نوشت:\\
  $L(\theta,\lambda)\varpropto-\frac{n}{2}log\mid\sum\mid-\frac{1}{2}\sum_{i=n}^n(z_i-\mu)^T\sum^{-1}(z_i-\mu)+\sum_{i=n}^nlog[\Phi_3(\Lambda_*\sum_{-\frac{1}{2}}(z_i-\mu)\mid 0,\Omega)]$
  \\هر جا\\$\Lambda_*=\Lambda\Psi\beta^T\sum{-\frac{1}{2}}$
  و$\Omega=|Psi=\frac{1}{b^T\Psi_{-1}b}\Lambdabb^T\Lambda$
  
برآوردهای ماکسیمم درستنمایی به صورت زیر است: \\
\begin{align}
\frac{\delta L(\theta,\lambda)}{\delta\theta}&=\frac{-n}{2\mid\sum\mid}\frac{\delta\mid\sum\mid}{\delta\theta}-\frac{1}{2}\frac{\delta}{\delta\theta}\sum_{i=n}^n(z_i-\mu)^T\sum^{-1}(z_i-\mu)\nonumber \\ 
&+\sum_{i=n}^n\frac{1}{\Phi_3(\Lambda_*\sum^{-\frac{1}{2}}(z_i-\mu)\mid 0,\delta)}\frac{\delta}{\delta\theta}\Phi_3(\Lambda_*\sum_{i=n}^{n}\frac{1}{2}(z_i-\mu)\mid 0,\delta)=0
\end{align}
هیچ راه حلی برای محاسبه این مقدار نیست،تابع احتمال باید حداکثر عددی باشد.\\  

موارد خاصی ممکن است وجود داشته باشد،اگر دو ابزار اندازه گیری را مقایسه کنند،آنگاه $e_i$و$m_i$ نتایج اندازه گیری باشد،ممکن است توزیع نرمال داشته باشند و $x_i$سطح غلظت واقعی یک ماده باشد که دارای توزیع چوله است.به عنوان مثال،$\lambda_e=\lambda_m=0$و$\lambda_x\neq0$یک مورد خاص از وضعیت بالاست،و نشان دهنده توزیع نهایی $z=(y,W)^T$که متقارن نیست.\\ 
نتیجه(1) تحت شرایط قضیه(1)زمانی که $\lambda_e=\lambda_m=0$ تابع چگالی به صورت زیر است: \\
\begin{equation} 
f_z(z\mid\theta,\lambda_x)=2\phi_2(z\mid\mu,\sum)\Phi_1(\gamma_x\frac{\delta_xb_1^T\Psi_1^{-1}(z-\mu}{\sqrt{1+\sigma_x^2b_1^T|Psi_1^{-1}b_1}} 
\end{equation} 
هر جا $b_1=(\beta,1)^T,\Psi_1=diag(\sigma_e^2,\sigma^2_m)$\\و$\gamma_x=\frac{\lambda_x}{\sqrt{1+\lambda_x^2\sqrt{1+\lambda_x^2+\sigma_x^2b_1^T\Psi_1^{-1}b_1}}}$ 
 
 
با ملاحظه چگالی توام (2.11)تابع لگ درستنمایی اندازه های مشاهده شده $z_1,z_2,z_3,.........,z_n$را میتوان نوشت: 
\begin{equation} 
L(\theta,\lambda_x}\propto -\frac{n}{2}log\mid\sum\mid-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n(z_i -\mu)^T\sum^{-1}(z_i-\mu)+log\Phi_1[\gamma_x \frac{\sigma_x b_1^T\Psi_1^{-1}(z-\mu)}{\sqrt{1+\sigma_x^2b_1^T\Psi_1^{-1}b_1}}] 
\end{equation} 
مشاهده میشود بخشی که نامتقارن است به سادگی از بخشی که متقارن است و تابع درستنمایی جدا است. 
فرض میکنیم یکی از واریانس های
 ($ \sigma _ e ^ 2 $ یا$\sigma _ m ^ 2 $ )
 یا نسبت واریانس 
$\frac {\sigma _ e ^ 2}{ \sigma _ m^2}$
شناخته شده است. \\
نمیتوانیم از درستنمایی مشتق بگیریم. 
\section{نتایج استنباط بیزی} 
مدل بخش قبل را توسط فرضیات به صورت زیر جایگزین کردیم.\\ 
\begin{equation} 
e_i\sim SN_1(0,\sigma_e^2,\lambda_{ei}) 
\end{equation} 
\begin{equation} 
x_i\sim SN_1(\mu_x,\sigma_x^2,\lambda_{xi}) 
\end{equation} 
\begin{equation} 
m_i\sim SN_1(0,\sigma_m^2,\lambda_{mi})
\end{equation} 
$ i =  1, 2 , 3 , 4 ,.....,n $ 
پارامترهای چولگی متفاوتی برای مشاهدات ملاحظه میشود.فرض کنید 
$\lambda_i=(\lambda_{ei},\lambda_{mi},\lambda_{xi})^T$ 
از نظر رویکرد بیزی پیشین ویژگی های زیر را دارد:\\ 
1)
$\theta $
و
$\lambda_1,\lambda _2,......\lambda _n $
مستقل هستند.\\ 
2)پارامترهای چولگی
 $\lambda _ i $

و
$i=1,2,3,....,n$

 هم توزیع اند.\\ 
در نتیجه توزیع پیشین نرمال چوله است. 
\begin{equation} 
p(\theta , \lambda _1,\lambda_2,.......,\lambda_n)=p(\theta)\sqcap_{i=1}^np(\lambda_i)=p(\theta)\sqcap_{i=1}^np(\lambda_ei)p(\lambda_mi)p(\lambda_xi) 
\end{equation} 
\\هرجا 
$\lambda_{ei}\sim SN_1(0,1,v_e) $
و
$\lambda_{mi}\sim SN_1(0,1,v_m)$
و
$\lambda _{xi} \sim SN_1(0 , 1,  v_x)$

 
که چگالیهای مرتبط به صورت زیر است:\\ 
$ p(\lambda _{ei})=2\phi (\lambda _{ei})\Phi (v_e\lambda _{ei} )$\\
$p(\lambda _{mi})=2\phi (\lambda {_mi})\Phi (v_m \lambda _{ mi} )$\\
$p (\lambda _ {xi})=2 \phi ( \lambda _{ xi }) \Phi ( v_x \lambda_{ xi} )$\\
با توجه به اینکه پیشینهای خاص در بالا با هم در تبادل هستند،پس مشاهدات بسیاری هستند ،اما توزیع های چوله نرمال برابری را تولید میکند.\\ 
\begin{theorem}
فرض کنید مدل خطای اندازه گیری (1.1) و (1.2)با فرضیات (3.1)و(3.3)و پیشینهای خاص (3.5)و(3.4)موجود باشد.آنگاه چگالی پسین حاشیه ای
به صورت زیر است: 
$p (\theta \mid z _1 , z_2, z_3,....., z_n)\propto p ( \theta )\sqcap_{i=1}^ n \phi_2(Z_i \mid \mu ,\sum)$
\end{theorem}  
از قضیه (1) نتیجه میشود که مدل چوله نرمال با استنباط بیزی با پارامتر ساختاری
$\theta $
به مدل نرمال ساختاری معمولی تبدیل میشود.\\ 
\section{الگوریتم EM} 
درستنمایی ماکزیمم (2.12) گاهی فرم بسته ندارد.زمانی که به
 $\frac{\phi _1(v)}{\Phi_1(v)} $
 وابسته است که باعث مشکلات محاسباتی برای
  $v$ 
 میشود.\\ 
از نماد
 $ z _i ( y_i ,W_i ) ^ T $ 
 برای داده های مشاهده شده و
  $ r _ i = ( e _ i , m _ i ) ^ T$
  برای خطای تصادفی مدلی که برای این بخش ملاحظه میشود.\\ 
\begin{equation} 
Z_i=a_1+b_1x_i+r_i 
\end{equation} 
فرض کنید \\ 
\begin{equation} 
x_i\sim SN_1(\mu_x,\sigma_x^2,\lambda_x) 
\end{equation} 
مستقلند،هر جا 
$a_1=(\alpha , 0 ) ^T$،
$ b_1 = ( \beta , 1)$، 
$ \Psi _1 = diag( \sigma _e ^2 ,\sigma_m ^ 2)$
و 
 $x_i=\mu_x+\sigma_x\nu_xi $
و
 $\nu _xi =\frac{x_i -\mu_x}{\sigma_x}$
 پس
  $\nu _xi \sim SN_1( \lambda _ x)$
 
 میتوان به طور مشترک از (1.6)نشان داد که
  $\nu_xi=\delta_x\mid \nu_{ 0 i }\mid + (1 -\delta _x ^ 2 ) ^ \frac{1}{2}\nu_{1i}$
  پس  
\begin{equation} 
x_i=\mu_x+\sigma_x\delta_x\mid\nu_{0i}\mid+\sigma_x(1-\delta_x^2)^\frac{1}{2} \nu_{1i} 
\end{equation} 
 
هر جا 
$\nu _{0i}$
و
$\nu_{1i}$
متغیرهای تصادفی هم توزیع
 $N_1(0,1)$
 و$\delta_x=\frac{\lambda_x}{(1+\lambda_x^2)^\frac{1}{2}$
 
 علاوه بر این بین
  $x_i$و$(e_i,m_i)$
   استقلال وجود داشته باشد،ضمنا
   $\nu_i = (\nu_{0i},\nu{1i})^T$
   
   
   و$r_i=(e_i,m_i)^T$
   مستقل اند.با جایگزینی (4.3)در (4.1) داریم: 
\begin{equation} 
Z_i=\mu+\sigma_x\delta_xb_1t_xi+r_xi 
\end{equation} 
هر جا
 $\mu=(\alpha+\beta \mu_x,\mu_x)T$
میانگین بردار باشد.برای مدل نرمال ساختاری و
 $t_{xi}=\mid\nu_{0i}\mid$ و $r_{xi}=r_i+\sigma_x(1-\delta_x^2)^\frac{1}{2}b_1\nu_{1i}$هر جا در (4.2)$r_{xi}\sim N_2(0,\Psi_1+\sigma_x^2(1-\delta_x^2)b_1b_1^T)$
 مستقل اند،هرجا که
 $HN_1(0,1)$
نشانگر توزیع نیم نرمال استاندارد باشد. 
\begin{equation} 
t_{xi}\sim HN_1(0,1) 
\end{equation} 
پس مدلهای (4.1)و(4.2)میتوان به شکل زیر باشد: 
\begin{equation} 
Z_i\mid t_{xi}\sim N_2(\mu+b_x t_{xi},\Psi_x) 
\end{equation} 
\begin{equation} 
t_{xi}\sim HN_1(0,1) 
\end{equation} 
هر جا
 $b_x=\sigma_x\delta_xb_1$و$\Psi_x=\Psi_1+\sigma_x^2(1-\delta_x^2)b_1b_1^T=\sum -b_xb_x^T$
 و
 $\sum=\Psi_1+\sigma_x^2b_1b_1^T$
 ماتریس کواریانس مدل نرمال ساختاری معمولی است.با توجه به این موضوع که توزیع توام
  $Z_i$و$t_{xi}$ 
  در بالا نرمال نیست،چگالی حاشیه ای خاص در (2.11) برای بردار
   $Z_i$ 
   مشاهده می شود.به منظور اجرای دو مرحله ای الگوریتم EM برآوردهای ماکزیمم درستمایی برای
    $\theta=(\alpha,\beta,\mu_x,\sigma_x^2,\sigma_e^2,\sigma_m^2)^T$و $\lambda_x$
    درستنمایی مشاهده نشده از (4.6) پیروی می کند.هر جا که متغیر تصادفی
     $t_{xi}$ 
     مقادیر گم شده باشد. 
قضیه (3) در (4.6) نتیجه میشود لگ درستنمایی کامل برای
 $(Z_i^T,t_{xi})$ 
 را می توان نوشت: 
\begin{equation} 
L_c(\theta,\lambda_x)\propto-\frac{n}{2}log\mid \Psi_x\mid-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n(Z_i-\mu)^T\sum^{-1}(Z_i-\mu)-\frac{1}{2\tau_x^2}\sum_{i=1}^n(t_{xi}-\eta_{xi})^2 
\end{equation} 
هر جا 
\begin{equation} 
\eta_{xi}=\frac{b_x^T\Psi_x^{-1}(Z_i-\mu)}{1+b_x^T\Psi_x^{-1}b_x} 
\end{equation} 
\begin{equation*} 
\tau_x ^ 2 =\frac{1}{1+b_x^T\Psi_x^{-1}b_x} 
\end{equation*} 
در نتیجه (4.8)
$E$(انتظار) مرحله لازم است برای محاسبه گشتاورهای شرطی از $t_{xi}$ هر جا 
$Z_i=z_i$ 
\begin{equation} 
E[t_{xi}^k\mid\theta,\lambda_x,Z_i]=\inf_(-\infty)^(+\infty)t_{xi}^Kf(t_{xi}\mid\theta,\lambda_x,z_i)dt_{xi} 
\end{equation} 
هر جا
 $K=1,2$
،$i=1,2,3,4,....,n$ 
هر جا
 $f(t_{xi}\mid\theta,\lambda_x,Z_i)$
 نشان دهنده چگالی شرطی
  $t_{xi}$
  داده شده
   $Z_i=z_i$
   باشد.به منظور یافتن گشتاورهای شرطی لم زیر را مشاهده کنید.\\
    لم(3)فرض کنید 
    $W\simN(\eta,\tau^2)$،
    آنگاه
    $\delta$
     ثابت حقیقی
     $a$
     نتیجه میدهد:
  
$E[W\mid W>a]=\eta +\phi_1\frac{(\frac{a-\mu}{\tau})}{1-\Phi_1(\frac{a-\eta}{\tau})}\tau$و$E[W^2\mid W>>a]=\eta^ 2+\tau^ 2+\frac{\phi_1(\frac{a-\eta}{\tau}}{1-\Phi_1(\frac{a-\eta}{\tau})}(\eta+a)\tau$ 
قضیه 4-فرض کنید ملاحظه میشود 
$Z\mid t _ x \sim N_2(\mu + b_ x t _x ,\Psi _ x)$
 و$t_x\sim HN_1(0,1)$
باشد ،آنگاه : 
$E[t_x^k\mid\theta,\lambda_x,z]=E[W^k\mid W>0]$هر جا $W\sim N_1(\eta_x,\tau_x^2)$. 
به طور خاص 
\begin{equation} 
E[t_x\mid \theta,\lambda_x,z]=\eta_x+\frac{\phi_1(\frac{\eta_x}{\tau_x})}{\Phi_1(\frac{\eta_x}{\tau_x}}\tau_x 
\end{equation}  
و 
\begin{equation} 
E[t^2_x\mid \theta,\lambda_x,z]=\eta_x^2+\tau_x^2+\frac{\phi_1(\frac{\eta_x}{\tau_x})}{\Phi_1(\frac{\eta_x}{\tau_x})}\eta_x \tau_x 
\end{equation} 
در عمل الگوریتم
 $EM$
 به شرح زیر است:مقادیر داده شده 
$(\theta_x^{(0)},\lambda_x^{(0)})$
محاسبه می شود. 
$t_{xi}^K=E[t_{xi}^K\mid \theta^{(0)}_x,\lambda^{(0)}_x,z_i]\\\,k=1,2 \\\\\i=1,2,3,...n$ 
و با استفاده از (4.13) و (4.14)مقادیر گم شده $t_{xi}^K$
و$t_{xi}^K\bigwedge$
لگ درستنمایی کامل و حداکثر رسانی با توجه به
 $(0,\lambda_x)$ 
 انجام میشود.و در مرحله ماکزیمم سازی از نرم افزار متلب برای اقدام های عددی استفاده میشود.پس مشکلات ماکسیمم درستنمایی مشاهدات (2.12) دیگر وجود ندارد.به نظر میرسد این روش تا حدی برای مقادیر زیاد است،پس ممکن است زمان محاسبه بیشتری نیاز داشته باشیم.اما در نهایت ماکزیمم درستنمایی مشاهدات حاصل میشود. 







































\end{document}


 

-------------------------



































ا