\documentclass[11pt,a4paper,openany]{book}
\usepackage{subfigure}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage[all]{xy} 
\usepackage{pdflscape,lscape} 
\usepackage{rotating}
\usepackage{tocvsec2} 
\usepackage{pdflscape,lscape} 
\usepackage{rotating}
\usepackage{tocvsec2}
\usepackage{longtable}
\usepackage[amsthm,thmmarks]{ntheorem}
\usepackage{pstricks}
\usepackage{pst-node}
\usepackage{setspace,xargs}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{times}
\usepackage{multirow}
%\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
%\usepackage{lipsum}
%\usepackage{hyperref}
\usepackage[xindy,acronym,nonumberlist=true]{glossaries}
\usepackage{hhline}
\usepackage{tabularew}
\usepackage{thmtools}
\usepackage{pst-plot}
\usepackage{mdframed}
\usepackage{ragged2e}
%to insert a breakable frame
\usepackage{graphicx,xcolor}
\usepackage{tcolorbox}
\newtcolorbox{mybox}{boxrule=0pt,width=\textwidth,arc=0mm,colback=gray!20}
\usepackage{graphicx,xcolor}
\graphicspath{{./images/}}
% پکیج رنگ و گرافیک و تعریف پوشه عکس‌ها
%\usepackage [a4paper, bindingoffset=-.5cm, footskip=1cm, headheight = 19pt, top=3cm, bottom=2.5cm,  right=3cm,  left=3cm ] {geometry}
\usepackage[top=30mm, bottom=25mm, left=55mm, right=55
mm,includehead=true,includefoot=true]{geometry}
% ابعاد صفحه و حاشیه‌ها
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
% تنظیم Heading
\usepackage{cite}
% تنظیم ارجاعات
\usepackage[nottoc]{tocbibind}
% اضافه کردن مراجع و نمایه به فهرست مطالب
\usepackage[textfont=it]{caption}
\usepackage{titletoc}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\makeindex
%\usepackage{graphicx}
%\usepackage{amsmath}
%\usepackage{amsfonts}
%\usepackage{amssymb}
%\usepackage{setspace}
%\usepackage{theorem}
%\usepackage{proof}
%\usepackage[nottoc]{tocbibind}
%\usepackage[hidelinks]{hyperref}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[xindy,acronym,nonumberlist=true]{glossaries}
\usepackage{paralist}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
\usepackage{xepersian}

\settextfont[Scale=1]{XB Niloofar}
\defpersianfont\nastaliq{IranNastaliq}
%\setdigitfont[Scale=1.1]{XB Niloofar}
\setdigitfont{PGaramond}
%\settextfont[Scale=1.05]{B Nazanin}
%\settextfont[Scale=1.05]{XB Niloofar}
% in ghesmat ro nzan erorr mide (braye keshidn jadvale dade ha)
%\newenvironment{mybox}
%{\begin{center}\begin{tabular}{|c|}\hline \nast}
%{\\\hline \end{tabular} \end{center}}
\renewcommand{\bibname}{منابع و مآخذ}
% دستوری برای تعریف واژه‌نامه انگلیسی به فارسی 
\newcommand\persiangloss[2]{#1\dotfill\lr{#2}\\} 
% دستوری برای تعریف واژه‌نامه فارسی به انگلیسی 
\newcommand\englishgloss[2]{#2\dotfill\lr{#1}\\} 
%numbering content 
%\usepackage[nottoc]{tocbibind} 
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
%\textwidth 7in
%\topmargin -0.50in
%\oddsidemargin 0in
%\evensidemargin 0in
%\textheight 9.00in
%\fancyheadoffset{0.1 cm} 
%\usepackage{mypackage}
\newcommand{\threenumi}{\alph{a}}
\newcommand{\threenumii}{\alph{enumii}}
%\renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}}
%\setcounter{footnote}{2}
\newcommand{\threenumiii}{\alpha{enumiii}}
\newcommand{\threenumiv}{\alph{enumiv}}
\newcommand{\threenumv}{\alph{enumv}}
%\newtheorem{Theorem}{Theorem}[section]
%\newtheorem{Definition}[Theorem]{Definition}
%\newtheorem{Pro}[Theorem]{Problem}
%\newtheorem{Corollary}[Theorem]{Corollary}
%\newtheorem{Lemma}[Theorem]{Lemma}
%\newtheorem{Example}[Theorem]{Example}
%\newtheorem{Remark}[Theorem]{Remark}
%\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{تعریف}[section]
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{theo}[definition]{قضیه}
\newtheorem{pro}{اثبات}[definition]
\renewcommand{\qedsymbol}{$\blacksquare$}
\newtheorem{lemma}[definition]{لم}
\newtheorem{prop}[definition]{گزاره}
\newtheorem{coro}[definition]{نتیجه}
\newtheorem{remark}[definition]{ملاحظه}
\newtheorem{nok}[definition]{نکته}
\newtheorem{nok-def}[definition]{نکته و تعریف}
\newtheorem{def-nok}[definition]{تعریف و نکته}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{ex}[definition]{مثال}
\newtheorem{conj}[definition]{فرضیه}
\newcommand{\bd}{\begin{definition}}
	\newcommand{\ed}{\end{definition}}
\newcommand{\dd}{\,\mathrm{d}}
\newcommand{\bor}{(t_1,\dots,t_n)}
\setlatintextfont[Scale=1.1]{Cambria}
%\setdigitfont{PGaramond}
% استفاده از حالت خوابیده به چپ قلم ایکس‌بی‌زر مشابه با حالت ایرانیک در فارسی‌تک
\defpersianfont\iranic[Scale=1.5]{XB Zar}
\defpersianfont\NazaninBold[Scale=1.3]{B Nazanin Bold}
\defpersianfont\AbstractBold[Scale=1.3]{B Nazanin Bold}
% تغییر فونت برچسب شکل‌ها، با استفاده از بسته زیر اندازه و نوع قلم برچسب شکل‌ها و جداول را در کل سند مشخص می‌کنیم. در حال حاضر (نسخه ۱.۰.۲ زی‌پرشین، این بسته با زی‌پرشین کاملاً سازگار نشده است. مسئولیت استفاده از آن با خودتان است ولی انشاءالله در نسخه‌ی بعدی زی‌پرشین این بسته هم سازگار شده و خواهید توانست آنرا قبل از بسته زی‌پرشین بکار گیرید.
% \usepackage[margin=0mm,font={small},labelfont={small,bf}]{caption}

% حذف عبارت چکیده
% اختصاص - به عنوان جداکننده شماره بخش و زیربخش
% به صورت پیش‌فرض بعد از شماره بخش - نداریم، مگر آنکه شماره زیر بخش پس از آن آمده باشد. از آنجا که مطابق قالب کنفرانس در هر صورت
% پس از شماره بخش و شماره زیربخش به جداکننده نیاز داریم از دستورات زیر استفاده می‌کنیم:
% تغییر نام algorithm به الگوریتم

% برای اینکه چکیده حاشیه نداشته باشد
%\renewcommand\abstract{}
\pagebreak[1]
\allowdisplaybreaks[1]
\begin{document}
	
	\begin{center}
		{\Large
			\textbf{
				چکیده}}
		
	\end{center}
	{\nastaliq
	در برخی از مسائل کاربردی، توزیع‌های کلاسیک مانند نمایی، وایبول، گاما و گوسی برازش خوبی را حاصل نمی‌کنند. 
	%چون در اکثر موارد مسائل واقعی، مولفه‌های سیستم مورد نظر لزوما از یکدیگر مستقل نیستند. 
	تاکنون خانواده توزیع‌های متعددی توسط محققان برای تحلیل بهتر داده‌های جدید ارائه شده است که با اضافه کردن یک پارامتر انعطاف‌پذیری توزیع‌ها را افزایش می‌دهند. از جمله این خانواده توزیع‌ها می‌توان به خانواده توزیع‌های آمیخته، مارشال اولکین، توانی و بتا اشاره کرد. خانواده توزیع‌های \lr{q} یکی دیگر از این خانواده توزیع‌ها است که با حل معادلات فوکر پلانک بر اساس آماره غیرگسترده تسالی بنا شده است. این خانواده توزیع برای داده‌های مربوط به سیستم‌های پیچیده با مولفه‌های وابسته کاربرد گسترده‌ای پیدا کرده است. 
	}
	در این پایان‌نامه، ضمن ارائه یک سری از مفاهیم مقدماتی، خانواده توزیع‌های \lr{q} و ویژگی‌های آن‌ها را مطالعه می‌کنیم که تمرکز بیشتری بر توزیع \lr{q}-وایبول خواهیم داشت. هم‌چنین، برای استنباط پارامترهای مدل \lr{q}-وایبول الگوریتم جدیدی با نام الگوریتم کلونی زنبور عسل مصنوعی ترکیبی سازوارپذیر مورد بحث قرار می‌گیرد. کارکرد برخی از توزیع‌های معرفی شده در این پایان‌نامه، برای تحلیل داده‌های واقعی نیز بررسی می‌شود. سپس،  تعمیم‌هایی از برخی توزیع‌های این خانواده شامل کلاس جامع‌تری از توزیع \lr{q}-گوسی و \lr{q}-نمایی برای تحلیل داده‌های نامتقارن و تعمیم مارشال اولکین توزیع \lr{q}-وایبول برای مطالعه برخی ساختارهای سری زمانی ذکر می‌شود. 
	\\
	%	{\large
	%کلید‌واژه‌ها:}
	\textbf{کلید‌واژه‌ها:}
	\textit{
		توزیع \lr{q}-نمایی، توزیع \lr{q}-وایبول، توزیع \lr{q}-گوسی، الگوریتم کلونی زنبور عسل مصنوعی ترکیبی سازوارپذیر
	}
	\chapter{خانواده توزیع‌های \lr{q}}\label{chapq}
\section{مقدمه}
%در بسیاری از مسائل کاربردی، توزیع‌های کلاسیک برازش خوبی را فراهم نمی‌کنند. از این رو، 
روش‌های متعددی برای بهبود عملکرد توزیع‌های کلاسیک، با اضافه کردن پارامترهای جدید به توزیع، ارائه شده است که
\index{آنتروپی تسالیس}
معرفی آنتروپی تسالیس\LTRfootnote{Tsallis } نیز در سال (1988) منجر به شکل‌گیری خانواده توزیع‌های \lr{q}\LTRfootnote{q-family of distributions} شد. این خانواده توزیع، برای تحلیل سیستم‌های پیچیده در زمینه‌های بسیاری از جمله فیزیک، شیمی، پزشکی، زیست‌شناسی، داروسازی، اقتصاد و ... مورد مطالعه قرار گرفت. از توزیع‌های این خانواده می‌توان به \lr{q}-نمایی\LTRfootnote{q-Exponential}، \lr{q}-وایبول\LTRfootnote{q-Weibull}، \lr{q}-گوسی\LTRfootnote{q-Gaussian} 
و
\lr{q}-گاما\LTRfootnote{q-Gamma} 
اشاره کرد. 
\index{توزیع \lr{q}-نمایی}
%در واقع، توزیع‌های \lr{q} با جایگذاری تابع \lr{q}-نمایی به جای  تابع نمایی در توزیع‌های نمایی، وایبول، گاما و گوسی به‌دست می‌آیند.
البته لازم به ذکر است که توزیع \lr{q}-وایبول، به علت نقش مهم توزیع وایبول در داده‌های طول عمر و قابلیت اطمینان، نسبت به سایر توزیع‌های این خانواده مورد اقبال بیشتری قرار گرفته است.
به‌طور کلی، توزیع‌های این خانواده از حل معادلات
$\frac{\dd y}{\dd x}=\rho y^q$،
که تعمیمی از معادلات واپاشی\LTRfootnote{Generalized decay equation} هستند برای مقادیر متفاوت 
$\rho$
بدست می‌آیند.  
در بخش اول این فصل، به معرفی توزیع \lr{q}-نمایی و رفتار تابع چگالی این توزیع می‌پردازیم.
%و سپس مثالی از کاربرد این توزیع را بیان می‌کنیم. 
در بخش دوم، \lr{q}-وایبول و خواص آن را ذکر می‌کنیم و به تفصیل به بررسی رفتار تابع نرخ خطر این توزیع می‌پردازیم. سپس برآوردهای گشتاوری، حداقل مربعات و حداکثر درستنمایی پارامترهای این توزیع را مطالعه می‌کنیم و در پایان این بخش فاصله اطمینان پارامترهای این توزیع را ارائه می‌دهیم. در بخش سوم نیز، توزیع‌های \lr{q}-گوسی \index{توزیع \lr{q}-گوسی }و  \lr{q}-گاما را ارایه می‌کنیم.
\section{توزیع \lr{q}-نمایی
} 
توزیع نمایی به دلیل ویژگی‌هایی مانند بی‌حافظگی، ثابت بودن نرخ شکست و سادگی ساختار آن اهمیت زیادی در آنالیز قابلیت اطمینان دارد و تعمیم‌های زیادی تاکنون برای ارتقای عملکرد این توزیع ارایه شده است. توزیع \lr{q}-نمایی نیز \index{توزیع \lr{q}-نمایی}توسط مالاکارنه و همکارانش\LTRfootnote{Malacarne et al.} در سال (2002) به عنوان تعمیمی از توزیع نمایی ارایه شد. 
از حل معادله‌ی 
%$\frac{\dd}{\dd x}\left({R_{qe}(x)}\right)=
%-\frac{\alpha}{\eta}\left(\frac{R_{qe} (x)}{b\eta^{-\alpha}}\right)^{1+\frac{1}{\alpha}}$
$\frac{\dd}{\dd x}\left[{\bar{F}_{qe}(x)}\right]=
-\frac{2-q}{\eta}\left[\bar{F}_{qe}(x)\right]^{\frac{1}{2-q}}$
%که 
%ثابت برابر با
%$(1-q)\left[(2-q)\eta^{-q}\right]^{\frac{1}{q-1}}$
%است،
که تعمیمی از معادلات دیفرانسیل واپاشی است، تابع بقای توزیع \lr{q}-نمایی\index{توزیع \lr{q}-نمایی} با پارامترهای 
$q$
و	 
$\eta$	 
به صورت زیر به‌دست می‌آید:
\begin{align*}%\label{Rqexp}
	\bar{F}_{qe}(x)&= {\left[ 1-\left( 1-q \right) {\left(\frac{x}{\eta}\right)} \right]}^{\frac{2-q}{1-q}}
	\\&=\left[\exp_{q} (-\frac{x}{\eta} )\right]^{2-q},\quad x\ge 0,\quad \eta > 0,\quad  q <2.
\end{align*}
%	\ref{f-qe1}

که در آن
\begin{equation*}
	{\exp_{q}(x)} =
	\begin{cases}
		{\left[1 +(1-q)x\right]}^{\frac{1}{1-q}}, &  1+(1-q)x > 0 \\
		0, &\text{در غیر اینصورت}.
	\end{cases}
\end{equation*}	
بنابراین، از قرینه مشتق رابطه فوق تابع چگالی احتمال توزیع \lr{q}-نمایی\index{توزیع \lr{q}-نمایی} عبارتست از
\begin{align}
	f_{qe}(x)&=\frac{(2-q)}{\eta} \left[1-(1-q)\left(\frac{x}{\eta}\right)\right]^{\frac{1}{1-q}}\notag\\\label{qexp2}
	&=\frac{2-q}{\eta}\left[\exp_{q} (-\frac{x}{\eta} )\right],\quad x\ge 0,\quad \eta > 0,\quad  q <2.
\end{align}
که
$\eta $
پارامتر مقیاس و 
$q$
پارامتر شکل توزیع هستند. 
اگر در تابع چگالی احتمال بالا
$q$	
به سمت یک میل کند، آنگاه به تابع چگالی احتمال توزیع نمایی می‌رسیم. هم‌چنین، به ازای
$x \rightarrow \infty$
برای 
$q>1$
رفتار دم بالای تابع چگالی احتمال به صورت
$f_{qe}(x)\thicksim K x^{1/(1-q)}$
و برای 
$x$های
کوچک، مستقل از مقدار
$q$،
به صورت
$f_{qe}(x)\thicksim 1+x$
است. در  شکل
\ref{figqe}
تابع چگالی توزیع \lr{q}-نمایی\index{توزیع \lr{q}-نمایی} به ازای 
$\eta =0.5$،
$q<1$
و
$1<q<2$
مورد بررسی قرار گرفته است. همانطور که قابل مشاهده است برای $q<1$، هر چه مقدار 
$q$
افزایش یابد، چگالی توزیع از پایین به توزیع نمایی  میل می‌کند و دم نمودار کلفت‌تر می‌شود.
برای
$1<q<2$
با کاهش مقدار $q$، نمودار چگالی آن به توزیع نمایی نزدیکتر می‌شود.
\begin{theo}	
	اگر متغیر تصادفی $X$ دارای توزیع نمایی با پارامتر $\theta$ باشد و پارامتر $\theta$ از توزیع پیشین گاما پیروی کند، آنگاه حاصل میکسچر آن‌ها توزیع \lr{q}-نمایی است.
\end{theo}
\begin{proof}
	با فرض بر آن‌که 
	$X$
	دارای توزیع شرطی نمایی با پارامتر $\theta$  و
	$\theta$ 
	دارای توزیع پیشین گاما 
	باشد، داریم:
	\begin{align*}
		f(x)&=\int f(x|\theta) \pi (\theta) \dd \theta\\
		&=\int_0^\infty \theta e^{-\theta x}\frac{\delta^\nu \theta^{\nu -1} e^{-\delta\theta}}{\Gamma(\nu)}\dd \theta\\
		&=\frac{\nu \delta^\nu}{(x+\delta)^{\nu +1}}\int_0^\infty \frac{\theta^\nu e^{-\theta (x+\delta)}(x+\delta)^{\nu +1} }{\Gamma(\nu +1)} \dd \theta\\
		&=\nu \delta^{-1}(1+\frac{x}{\delta})^{-\nu -1}
	\end{align*}
	با در نظر گرفتن 
	$\nu = \frac{2-q}{q-1}$
	و 
	$\delta = \frac{\eta}{q-1}$  
	در رابطه به‌دست آمده در بالا که همان تابع چگالی توزیع بور نوع \lr{XII} است،\index{توزیع بور نوع \lr{XII} }
	رابطه‌ی 
	\eqref{qexp2} 
	نمایان می‌شود.
\end{proof}
\section{توزیع \lr{q}-وایبول}\label{chapw}
پیکولی و همکارانش\LTRfootnote{Picoli et al.} در سال (2003) با حل معادله 
\begin{equation*}
	\frac{\dd}{\dd x}\left[\bar{F}_{qw}(x)\right]=-\frac{\beta(2-q)}{\eta^\beta}x^{\beta -1} \left[\bar{F}_{qw}(x)\right]^{\frac{1}{2-q}}
\end{equation*}
تابع بقای توزیع \lr{q}-وایبول
\index{توزیع \lr{q}-وایبول}
با پارامترهای
$q$،
$\eta$
و
$\beta$
را به صورت زیر معرفی کردند:
\subsection{شبیه‌سازی}
در جدول
\eqref{tabel1xu}
مجموعه‌های آزمایشی (\lr{ES}) متفاوت پارامترها که تمام حالات تابع نرخ خطر توزیع \lr{q}-وایبول را پوشش می‌دهد، نشان داده شده است. از اعداد داخل جدول
\eqref{tabel1xu}
به عنوان مقادیر اولیه در فرآیند شبیه‌سازی استفاده می‌کنیم.
برای مجموعه پارامترهای
\lr{A}،
\lr{B}،
\lr{D}
و
\lr{E}
نمونه‌های $100$، $500$ و $1000$تایی از طریق  
\begin{equation*}
	x=\eta \left[\frac{1-{\left(1-u\right)^{\frac{1-q}{2-q}}}}{1-q}\right]^{\frac{1}{\beta}}
\end{equation*}
تولید می‌کنیم.
\index{
	الگوریتم
	\lr{AHABC}
}
برای مجموعه پارامترهای 
\lr{C}
مستقیم از توزیع نمایی نمونه تصادفی را تولید می‌کنیم. مقادیر اولیه پارامترهای مربوط به الگوریتم در آزمایشات شبیه‌سازی \lr{AHABC} در جدول 
\eqref{tabel2xu}
آمده است. فواصل اولیه 
$q$،
$\beta$
و
$\eta$
به ترتیب 
$[-10,1.9]$،
$[0.1,10]$
و
$[0.1,x_{mean}]$
در نظر گرفته شده‌اند که
$x_{mean}$
میانگین نمونه است. %جمعیت اولیه راه‌حل‌های 
%$SN$
%در این بازه‌ها به صورت تصادفی تولید شده‌اند. %در مقداردهی اولیه، از روش دور انداختن استفاده می‌کنیم تا از عملی بودن تمام راه‌حل‌های اولیه اطمینان داشته باشیم.
ابتدا تاثیر پارامتر 
$C$
را روی 
\lr{AHABC}
برای مجموعه پارامترهای
\lr{A}
جدول 
\eqref{tabel1xu}
با حجم نمونه
$n=100$
آزمایش می‌کنیم.
پارامتر
$C$
برابر با مقادیر
$0,0.5,1,1.5,2,25,125$
در نظر گرفته شده است. برای دستیابی به عملکرد همگرایی \lr{AHABC} تفاوت بین مقدار تابع هدف
$\log L(\mathbf{x}|\hat{\eta},\hat{\beta},\hat{q})$
و مقدار %بهینه حقیقی
$\log L(\mathbf{x}|{\eta},{\beta},{q})$
در نظر می‌گیریم. 
چون مقدار پارامترهای توزیع مجهول هستند، بهترین مقدار تابع هدف
$\max\{\log L(\mathbf{x}|\hat{\eta},\hat{\beta},\hat{q})\}$
را طی $30$ تکرار را به جای
$\log L(\mathbf{x}|{\eta},{\beta},{q})$
در نظر می‌گیریم. میانگین و انحراف استاندارد این $30$ تکرار، به ترتیب، در شکل‌های
\ref{fig5xu}
و
\ref{fig6xu}
قابل مشاهده است. نتایج نشان می‌دهد که مقدار 
$C$
بر سرعت همگرایی و دقت راه‌حل‌ها در الگوریتم
\lr{AHABC}
بسیار موثر است. 
\index{
	الگوریتم
	\lr{AHABC}
}
بر طبق مشاهدات 
$C=125$
و
$C=1$
مناسب هستند که برای آسانی روند کار 
$C=1$
را در نظر می‌گیریم. پس تساوی
\eqref{ns}
برای محاسبه تعداد عملکردهای تابع جهت جستجوی محلی به صورت
$
NS=(\text{حد})*(\text{‌تعداد کل زنبورهای پیشرو})
$
می‌باشد.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{table}
	\begin{center}
		\caption{مجموعه مقادیر پارامترهای توزیع \lr{q}-وایبول}\label{tabel1xu}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
			\hline
			\lr{ES}&$\eta$&$q$&$\beta$&رفتار تابع نرخ خطر\\
			\hline
			\lr{A}&$5$&$0.5$&$0.5$&وانی شکل\\
			%\hline
			\lr{B}&$5$&$1.5$&$0.5$&صعودی\\
			%\hline
			\lr{C}&$5$&$1$&$1$&ثابت\\
			%\hline
			\lr{D}&$5$&$0.5$&$1.5$&نزولی\\
			%	\hline
			\lr{E}&$5$&$1.5$&$1.5$&تک‌مدی\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
\end{table}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{table}
	\begin{center}
		\caption{پارامترهای \lr{AHABC}}\label{tabel2xu}
		\begin{tabular}{|c|c|c|}
			\hline
			& پارامتر&مقدار\\
			\hline
			\lr{ABC}&$SN$&$50$\\
			&حد&$150$\\
			&$MFE$&$200000$\\
			&$maxBestTrial$&$1000$\\
			&$\varepsilon$&$1e-16$\\
			\hline
			نلدر-مید&$\alpha$&$1$\\
			&$\lambda$&$2$\\
			&$\rho$&$-0.5$\\
			&$\delta$&$0.5$\\
			\hline
			ضریب ترکیب خودسازواری&$C$&$1$\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
\end{table}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
برای بررسی کیفیت عمکرد الگوریتم
\lr{AHABC}
در حل مساله درستنمایی \lr{q}-وایبول، آن را در مقام مقایسه با الگوریتم‌های
\lr{ABC}
و
\lr{SAHABC}
قرار دادیم. پارامترهایی که در الگوریتم 
\lr{SAHABC}
استفاده شده است، در جدول 
\eqref{tabel3xu}
قابل مشاهده است. هر الگوریتم را با $30$ بار تکرار اجرا می‌کنیم که در هر مرحله از تکرار $15$ مقدار برای برآورد پارامترها به‌دست آمده است. میانگین و انحراف استاندارد این تکرارها در جدول
\eqref{tabel4xu}
ذکر شده است. در الگوریتم 
\lr{AHABC}
برآوردهای آمده در جدول
\eqref{tabel4xu}
به مقادیر پیش‌فرض جدول
\eqref{tabel1xu}
بسیار نزدیک هستند و انحراف استاندارد مربوط به آن‌ها بسیار کوچک هستند. به علاوه، با توجه به جدول
\eqref{tabel4xu}
انحراف استاندارد برآورد پارامترها در الگوریتم
\lr{AHABC}
در مقایسه با الگوریتم‌های
\lr{ABC}
و
\lr{SAHABC}
کوچکترند. این نتایج نشان می‌دهد که الگوریتم
\lr{AHABC}
برای توزیع \lr{q}-وایبول در مقایسه با 
\lr{ABC}
و
\lr{SAHABC}
عملکرد بهتری دارد. در شکل
\ref{fig7xu}
%و
%\ref{fig8xu}
نیز سرعت همگرایی این سه الگوریتم را مقایسه کردیم. در شکل واضح است که سرعت همگرایی 
\lr{AHABC}
از دو الگوریتم دیگر بیشتر است.
برای اثبات بیشتر قابلیت الگوریتم
\lr{AHABC}
در ادامه معیارهای اریبی و خطای میانگین مربعات(\lr{MSE}) را نیز مطالعه می‌کنیم. برای این منظور، $1000$ نمونه با حجم‌های $100,500,1000$ با مقادیر
\eqref{tabel1xu}
تولید می‌کنیم. سپس، الگوریتم
\lr{AHABC}
برای هر نمونه اجرا شده که برای پارامترهای 
$q,\beta,\eta$،
$1000$ برآورد به‌دست آمده است. اریبی و \lr{MSE} را از طریق روابط زیر محاسبه می‌کنیم:
\begin{align}
	bias(\hat{\theta},\theta)&=\frac{1}{m}\left(\sum_{i=1}^{m}\hat{\theta}_i\right)-\theta,\\
	MSE(\hat{\theta})&=var(\hat{\theta})+\left[bias(\hat{\theta},\theta)\right]^2
\end{align}
که
$m=100$
و به جای
$\hat{\theta}$،
$\hat{q}$
یا
$\hat{\beta}$
و یا
$\hat{\eta}$
قرار میگیرد. نتایج به‌دست آمده در جداول
\eqref{tabel5xu}
و
\eqref{tabel6xu}
آمده است.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{table}
	\begin{center}
		\caption{پارامترهای \lr{SAHABC}}\label{tabel3xu}
		\begin{tabular}{|c|c|}
			\hline
			پارامترها&مقدار\\
			\hline
			$SN$&$50$\\
			حد&$150$\\
			$MCN$&$2000$\\
			$maxBestTrial$&$1000$\\
			$\varepsilon$&$1e-16$\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
\end{table}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}