\documentclass[12pt]{report} %%%%%%%% %%%%%%%% %%%%%%%%e %%%%%%%% %%%%%%%% %---------------------------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------------------------- \usepackage{amsthm,amssymb,amsmath,mathrsfs,graphicx,fancyhdr,float,subfigure} \usepackage[top=30mm, bottom=30mm, left=30mm, right=40mm]{geometry} \pagestyle{fancy} %---------------------------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------------------------- \usepackage{xepersian} \settextfont[Scale=1.2]{B Nazanin} \setdigitfont[Scale=1]{XB Zar} \settextfont[Scale=1]{Yas} \setdigitfont[Scale=1]{PGaramond} \setlatintextfont{Times New Roman} \defpersianfont\nastaliq[Scale=1.5]{IranNastaliq} %---------------------------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------------------------- \newcommand{\Stab}{\operatorname{Stab}} \newcommand{\Lr}{\Longrightarrow} %---------------------------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------------------------- % دستوری برای تعریف واژه‌نامه انگلیسی به فارسی \newcommand\persiangloss[2]{#1\dotfill\lr{#2}\\} % دستوری برای تعریف واژه‌نامه فارسی به انگلیسی \newcommand\englishgloss[2]{#1\dotfill\lr{#2}\\} %---------------------------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------------------------- % تعریف و نحوه ظاهر شدن عنوان قضیه‌ها، تعریف‌ها، مثال‌ها و... \renewcommand\proofname{\textbf{برهان}} %------------------------------------------- \newtheorem{thm}{قضیه}[chapter] \newtheorem{cor}{نتیجه} \newtheorem{lem}{لم} \newtheorem{roof}{برهان} \newtheorem{pro}[thm]{گزاره} \newtheorem{exam}{مثال}[chapter] \newtheorem{defn}{تعریف}[chapter] \newtheorem{point}[thm]{نکته} \newtheorem{rem}{تذکر}[chapter] %------------------------------ \renewcommand{\baselinestretch}{1.8} \newcommand{\nf}{\char\value{226}\char\value{128}\char\value{140}} %---------------------------------------------------------------------------------------- \graphicspath{{images/}} %---------------------------------------------------------------------------------------- \begin{document} %------------------------------------------- %نوشتن متن اصلی پایان نامه از این‌جا شروع می‌شود. %صفحه بسم ا.. %---------------------------------------------------------------------------------------- \thispagestyle{empty} \begin{center} \vspace*{4cm} \includegraphics{Besmellah} \end{center} \newpage %---------------------------------------------------------------------------------------- %صفحه عنوان فارسی %---------------------------------------------------------------------------------------- \thispagestyle{empty} \linespread{1.5} \begin{center} \includegraphics[width=2.5cm,height=2.3cm]{ArmQom}\\ \settextfont{B Zar} {\bf دانشگاه قم }\\ {\bf دانشکده علوم پایه }\\ % {\bf %کتاب % }\\ \vskip 2cm \settextfont[Scale=1]{B Titr} عنوان:\\ \vskip.7cm \settextfont[Scale=2]{B Titr} { معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی } \\ \vskip 3cm %%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%% \settextfont[Scale=1]{B Titr} نگارنده:\\ \vskip.2cm \settextfont[Scale=1.3]{B Titr} دکتر مهدی رحیمی\\ \vskip 3cm \settextfont{B Zar} {\bf تابستان96 }\\ \end{center} %---------------------------------------------------------------------------------------- %--------------------در این صفحه می‌توانید پایان‌نامه خود را تقدیم کنید ------------------- %---------------------------------------------------------------------------------------- %--------------------این صفحه مربوط به تقدیر و تشکر می‌باشد. ------------------- \newpage \thispagestyle{empty} \noindent \vspace*{1cm} %\\[1cm] سپاس‌گزاری: %------------------------------------------------------------------------------------- \tableofcontents \thispagestyle{empty} %---------------------------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------------------------- %فهرست مطالب پایان‌نامه یا رساله در این قسمت قرار می‌گیرد و به صورت اتوماتیک تولید می‌شود. %---------------------------------------------------------------------------------------- \chapter{معیاری برای ثبات} \pagenumbering{arabic} \thispagestyle{empty} \newpage \vspace*{5cm} %--------------------------------------------------------------------------- در این بخش برخی از معیار های ثبات موضعی نقاط ثابت را ساده ولی قدرتمند محاسبه میکنیم. نقاط ثابت به دو بخش تقسیم میشوند:هذلولوی و غیر هذلولوی.یک نقطه ثابت $x^*$ از نگاشت $f$ ،هذلولوی گفته میشود اگر $\vert f^{'} (x^{*}) \vert \neq 1$ در غیر اینصورت غیر هذلولوی است. \section{نقاط ثابت هذلولوی} نتایج زیر وسیله اصلی برای یافتن ثبات موضعی است. \begin{thm}\label{thm1.1} اگر $x^*$ نقطه ثابت هذلولوی از نگاشت $f$ باشد،جایی که $f$ در $x^*$ پیوسته باشد،انگاه جملات زیر درست است. 1-اگر $\vert f'(x^*) \vert <1 $ آنگاه $ x^*$ به طور متناوب ثابت است. 2-اگر $\vert f'(x^*) \vert >1 $ آنگاه $ x^*$ ثابت نیست. \end{thm} \begin{proof} 1-فرض کنید $\vert f'(x^*) \vert 0$ .آنگاه یک زیر بازه باز وجود دارد $ I=(x^* -\varepsilon,x^*+\varepsilon) $ که $\vert f'(x^*) \vert \le M<1 $ برای هر $x\in I$ (چرا؟) با استفاده از قضیه مقدار میانی برای هر $x_0 \in I$ وجود دار $c$ بین $x_0$ و $x^*$ که \begin{equation}\label{1.1} \vert f(x_0)-x^* \vert= \vert f(x_0)-f(x^*) \vert= \vert f'(c)\vert \vert x_0 -x^* \vert \le M \vert x_0 -x^* \vert \end{equation} از $M<1 $ ،نامعادله \eqref{1.1} نشان می دهد که $f(x_0)$ به $x^*$ نزدیک تر است تا به $x_0 $ .در نتیجه $f(x_o)\in I $ . باتکرار استدلال بالا روی $f(x_o) $ به جای $x_0 $ می توان نشان داد که \begin{equation}\label{1.2} \vert f^2 (x_0)-x^* \vert \le M \vert f(x_0)-x^* \vert \le M^2 \vert x_0 -x^* \vert \end{equation} با استقرای ریاضی برای هر $ n\in \mathbb{Z}^+ $ نشان داد \begin{equation}\label{1.3} \vert f^n (x_0)-x^* \vert \le M^n \vert x_0 -x^* \vert \end{equation} براث اثبات پایداری $x^*$ برای هر $ \varepsilon>0 $ ،فرض کنید که $ \delta=\varepsilon $ ،آنگاه $ \vert x_0 -x^*\vert<\delta $ پس \begin{equation*} \vert f^n (x_0)-x^* \vert \le M^n \vert x_0 -x^* \vert < \varepsilon \end{equation*} که پایداری را ایجاد می کند. علاوه بر این از نامعادله \ \eqref{1.3} ، $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\vert f^n (x_0)-x^*\vert=0 $ و سپس $\displaystyle \lim_{n \to \infty}f^n (x_0)-x^ =x^* $ پس نتیجه مگریم که پایدار مجانبی است. اثبات قسمت دوم به عهده شما به عنوان مسئله 13 است. \end{proof} مثال های زیر توصیفی از کاربرد قضیه بالا است. \begin{exam}\label{1.1} نگاشت درجه دوم $ Q_{\lambda}(x)=1-\lambda ax^* $ تعریف شده و روی بازه $ [1,-1] $ را در نظر میگیریم.جایی که $ \lambda\in(0,2] $ نقاط ثابت $ Q_{\lambda} $ را پیدا کنید و ثبات انها را تعیین کنید. \end{exam} \begin{roof} برای پیدا کردن نقاط ثابت $ Q_\lambda $ معادله $ \lambda x^2=x-1=0 $ را حل میکنیم.دو نقطه ثابت وجود دارد: \begin{equation*} x_1^*=\frac{-1-\sqrt{1+4\lambda}}{2\lambda} ,\quad x_2^*=\frac{-1+\sqrt{1+4\lambda}}{2\lambda} \end{equation*} مشاهده میکنیم که $ Q_\lambda '(x)=-2\lambda x $ پس $ \vert Q_\lambda '(x_1^*)\vert=1+\sqrt{1+4\lambda}>1 $ از اینرو $ x_1^* $ برای همه $ \lambda\in (0,2) $ ناپایاست.به علاوه $ \vert Q_\lambda '(x_1^*)\vert=1+\sqrt{1+4\lambda}<1 $ اگر و تنها اگر $ \sqrt{1+4\lambda}<2 $ نامعادله را برای $ \lambda $ حل میکنیم.بدست می اوریم $ \lambda<\frac{3}{4} $. از قضیه \ref{thm1.1} به طور متناوب پایاست اگر $ 0 <\lambda<\frac{3}{4} $ و ناپایاست اگر $ \lambda>\frac{3}{4} $ (به شکل ... نگاه کنید) جایی که $ Q_\lambda '(x_2^*)=-1-\lambda=\frac{3}{4} $ .این مورد دربخش \ref{1.2} مورد بررسی قرار می گیرد. \end{roof} \begin{exam}\label{1.2} (روش نیوتن-رافسون) روش نیوتن رافسون یکی از ساده ترین و قدیمی ترین روش های عددی برای یافتن ریشه های مغادله $ g(x)=0 $ است.الگوریتم نیوتن برای یافتن صقر $r$ با معادله متناوب داده میشود. \begin{equation}\label{1.4} x(n+1)=x(n)-\frac{g(x(n))}{g'(x(n))} \end{equation} جایی که $ x(0)=x_0 $ اولین حدس ما از ریشه $r$ است.معادله \eqref{1.4} از فرم معادله \eqref{1.1} با \begin{equation}\label{1.5} f_N (x)=x-\frac{g(x)}{g'(x)} \end{equation} است که $ f_N $ تابع نیوتن نامیده میشود. \end{exam} مشاهده میکنیم که $r$ یک ریشه از $ g(x)$ باشد یعنی $ g(r)=0 $ .پس از معادله \eqref{1.5} $f_N (r)=r$ و $r$ نقطه ثابت $ f_N $ است.(با فرض اینکه $ g'(r)\neq0 $) به عبارت دیگر اگر $x^*$ نقطه ثابت $ f_N $ باشد انگاه از معادله \eqref{1.5} $ \frac{g(x^*)}{g'(x)}=0 $ را بدست می اوریم .این به این معنی است که $ g(x^*)=0 $ یعنی $x^*$ صفر $g(x)$ است.اکنون با نقطه $x_0$ نزدیک به ریشه $r$ از $ g(x)=0 $ شروع میکنیم. سپس نامعادله \eqref{1.4} ، $ x(1) $ ریشه تقریبی بعدی $r$ را نشان میدهد.با استفاده از تکرار الگوریتم دنباله تقریبی زیر را بدست میاوریم: $$ x_0 =x(0),x(1),x(2),\dots,x(n),\dots $$ (به شکل ... نگاه کنید)سوال این است که آیا این دنباله به ریشه $n$ همگرا میشود یا نه ؟ به عبارت دیگر،باید به طور تقریبی پایداری نقطه ثابت $ x^* =r$ از $ f_N $ را چک کنیم.به این ترتیب $ f_N^\prime(r) $ را محاسبه میکنیم و از قضیه \ref{thm1.1} استفاده میکنیم. $ \vert f_N ^\prime(r)\vert=\vert 1-\frac{[g'(r)]^2 -g(r)g''(r)}{[g'(r)]^2}=0از g(r)=0$ به این ترتیب با استفاده از قضیه \ref{thm1.1} $\displaystyle \lim_{n \to \infty} x(n)=r$ .با توجه به اینکه $x_0$ به اندازه کافی به $r$ نزدیک است.برای $g(x)=x^2 -1 $ دو عنصر 1 و -1 را داریم.در این مورد تابع نیوتن داده میشود با $f_N (x)=x-\frac{x^2 -1}{2x}=\frac{x^2 +1}{2x} $ نمودار $ f_N $ نشان میدهد که الگوریتم نیوتن به سرعت به هر دو ریشه نزدیک میشود.(به شکل ... نگاه کنید) \section{نقاط ثابت غیرهذلولوی} معیار های پایداری، برای ثبات نقاط ثابت غیرهذلولوی بیشتر درگیر هستند، در دو نتیجه بعد خلاصه می شوند. اولین مورد مربوط به $ f'(x^*)=1 $ و دومین مربوط به $ f'(x^*)=-1 $ است. \begin{thm}\label{thm1.2} فرض کنید $x^*$ نقطه ثابت از نگاشت $f$ است به طوریکه $ f'(x^*)=1 $ اگر $ f'''(x^*)\neq0 $ و پیوسته باشد،آنگاه عبارات زیر قابل بیان است، 1) اگر $ f''(x^*)\neq0 $ انگاه $x^*$ ناپایدار است. 2) اگر $ f''(x^*)=0 $ و $ f''(x^*)>0 $ آنگاه $x^*$ ناپایدار است. 3) اگر $ f''(x^*)=0 $ و $ f''(x^*)<0 $ آنگاه $x^*$ به طور متناوب پایدار است. \end{thm} \begin{proof} فرض کنید $ f'(x^*)=1 $ و $ f''(x^*)\neq0 $ آنگاه منحنی $ f(x)=y $ روبه بالا (مقعر) است ( $ f''(x^*)>0 $ ) یا رو به پایین(محدب) است ( $ f''(x^*)<0 $) . اکنون اگر $ f''(x^*)>0 $ انگاه $ f'(x) $ در زیربازه ای شامل $x^*$ است.از این رو $ f'(x)>1 $ برای همه $ x\in(x^*,x^* =\delta) $ . برا هر $ \delta>0 $ (شکل 1.19 راببینید) با استفاده از اثبات قضیه \ref{thm1.1} نتیجه میگیریم که $x^*$ ناپایا است.به طور مشابه اگر $ f''(x^*)<0 $ انگاه $ f'(x) $نزولی در همسایگی $x^*$ است.بنابراین $ f'(x)>1 $ برای همه $ x\in[x^* -\delta,x^*) $ برای هر $ \delta>0 $ و دوباره نتیجه می گیریم $x^*$ ناپایا است.(به شکل 1.16 نگاه کنید).اثبات قسمت 2 و 3 به عنوان مسئله 14 به عهده خودتان است. \end{proof} قضیه قبل ممکن است برای تعیین ضریب پایداری مورد استفاده قرار گیرد.هنگامی که $ f'(x^*)=-1 $ اما قبل از انجام این کار باید مشتق شوارتزی را معرفی کنیم. \begin{defn}\label{1.1} (مشتق شوارتزی) $ Sf $ از یک تابع $f$ به صورت زیر تعریف می شود. \begin{equation}\label{1.18} Sf(x)=\frac{f'''(x)}{f'(x)}-\frac32 \Big[\frac{f''(x)}{f'(x)}\Big]^2 \end{equation} \end{defn} (\begin{thm}\label{thm1.3} فرض کنید $x^*$ نقطه ثابت از نگاشت $f$ باشد به طوریکه $f'(x^*)=-1$ . اگر $f'''(x^*)$ پیوسته باشد نتایج زیر را بدنبال دارد. 1) اگر $Sf(x^*)<0$ آنگاه $x^*$ به طور متناوب پایدار است. 2)اگر $Sf(x^*)>0$ آنگاه $x^*$ ناپایدار است. \end{thm} \begin{proof} ایده اصلی اثبات این است که یک تابع مرتبط $ g$ با ویژگی $g'(x^*)=1$ ایجاد شود به طوریکه بتوانیم از قضیه \ref{thm1.2} استفاده کنیم.این تابع در واقع $g=f\circ f=f^2$ است.دو واقعیت هم باید در اینجا مشاهده شود. اول اینکه اگر $x^*$ نقطه ثابت از $f$ باشد،آنگاه نقطه ثابت $ g$ نیز است. دوم اینکه اگر $x^*$ به طور متناوب پایدار (ناپایدار)باشد.با توجه به $ g$ آن نیز به طور متناوب پایدار(ناپایدار) است. با توجه به $f$ (چرا؟ مسئله 15).با استفاده از قانون زنجیره ای : \begin{equation}\label{1.7} g'(x)=\frac{d}{dx}f(f(x))=f"(f(x))f'(x) \end{equation} از اینرو $$ g'(x^*)=[f'(x^*)]^2=1 $$ و قضیه \ref{thm1.2} اکنون اعمال می شود. به همین منظور $g''(x^*)$ را محاسبه میکنیم. از معادله 1.19 داریم \begin{align} g''(x)&=f'(f(x))f''(x)+f''(f(x))[f'(x)]^2 \notag\\ g''(x^*)&=f'(x^*)f''(x^*)+f''(x^*)[f'(x^*)]^2 \notag\\ &=0(f'(x^*)=-1) \label{1.8} \end{align} از معادله \eqref{1.8} $g'''(x)$ را محاسبه می کنیم \begin{align} g'''(x^*)&=-2f'''(x^*)-3[(f''(x^*)]^2 \notag\\ &=2Sf(x^*) \label{1.9} \end{align} عبارات 1 و 2 از قضیه \ref{thm1.2} بدست می آید. \end{proof} \begin{rem}\label{1.2} توجه کنید که اگر $f'(x^*)=-1$ آنگاه مشتق شوارتزی $ Sf(x^*) $ به \begin{equation}\label{1.10} Sf(x^*)=-f'''(x^*)-\frac32 \Big[f''(x^*)\Big]^2 \end{equation} کاهش پیدا میکند. \end{rem} .اکنون مثالی از نقطه ثابت غیرهذلولوی بیان میکنیم \begin{exam}\label{ex1.3} نگاشت درجه دوم $ Q(x)=x^2+3x $ روی بازه $ [-3,3]$ را نظر می گیریم. نقاط تعادل را پیدا و پایداری آنها را محاسبه کنید. \end{exam} \begin{proof} نقاط ثابت $Q$ با حل معادله $ x^2+3x=x $ بدست می آید.پس دو نقطه ثابت موجود است. $ x_1^* $ و $x_2^*$ .برای $x_1^*$ ، $Q'(0)=3$ که بر اساس قضیه \ref{thm1.1} ، $x_1^*$ ناپایدار است. برای $x_2^*$ داریم $Q'(-2)=-1$ که با استفاده از قضیه \ref{thm1.3} مشاهده می کنیم. \begin{equation*} SQ(-2)=-Q'''(-2)-\frac32 [Q''(-2)]^2=-6<0 \end{equation*} از اینرو $x_2^*$ به طور متناوب پایدار است.(به شکل 1.17 توجه کنید) \end{proof} \section{ نقاط تناوبی و پایداریشان} مفهوم تناوبی،دومین مفهوم مهم در زمینه سیستم های دینامیکی است.اهمیت آن ناشی از این واقعیت است که بسیاری از پدیده های فیزیکی الگوی مشخصی دارند که خودشان را تکرار می کنند،این الگوها چرخه هایی را تولید می کنند که در آن از یک چرخه به عنوان مدار شناخته می شود. در این بخش به سوالات مربوط به وجود و ثبات نقاط تناوبی می پردازیم. \begin{defn}\label{1.2} فرض کنید $\overline{x}$ در دامنه نگاشت $f$ باشد،آنگاه 1) $\overline{x}$ نقطه تناوبی $f$ با دوره $k$ گفته می شود،اگر $f^k (\overline{x} )=\overline{x}$ به ازای اعداد صحیح مثبت $k$ .در این مورد $\overline{x}$, $k\_$تناوب نیز گفته می شود. به علاوه اگر $f^r (\overline{x})\neq\overline{x}$ به ازای $01 \end{equation} \end{thm}\label{thm1.4} \begin{proof} با استفاده از قاعده زنجیری میتوانیم نشان دهیم که \eqref{1.13} و \eqref{1.14} کاربرد قضیه \ref{1.3} برای نگاشت مرکب $g=f^k$ است.(مسئله 9) \end{proof} \begin{exam}\label{ex1.4} معادله اختلاف $x(n+1)=f(x(n))$ را جایی که $f(x)=1-x^2$ روی بازه $[-1,1]$ تعریف می شود را در نظر بگیرید. تمام 2$\_$دوره ها و 3$\_$دوره ها و 4$\_$دوره ها را از معادله اختلاف پیدا کنید و پایداری آن ها را محاسبه کنید. \end{exam} \begin{proof} اول نقاط ثابت $f$ را بدست می آوریم.معادله $x^2 +x-1=0 $ را حل می کنیم.نقاط ثابت $f$ ، $x_1^*=\frac{-1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}$و $x_2^*=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}$ هستند. فقط $x_2^*$ در دامنه $f$ قرار دارد. نقطه ثابت $x_2^*$ ناپایدار است.برای پیدا کردن 2$\_$دوره ،$f^2$ را پیدا می کنیم وقرار می دهیم $f^2 (x)=x$ . اکنون $f^2(x)=1-(1-x^2)^2=2x^2-x^4$ و $f^2(x)=x$ حاصل معادل زیر است: \begin{equation*} x(x^3 -2x+1)=x(x-1)(x^2+x-1)=0 \end{equation*} از این رو 2$\_$دوره $\{0,1\}$ داریم. دو ریشه نقاط ثابت $f$ هستند. برای بررسی پایداری این چرخه $\vert f'(0)f'(1)\vert =0<0$ را محاسبه می کنیم. پس طبق قضیه \ref{thm1.4} به طور صحیح پایدار است.(شکل 1.19) سپس 3$\_$دوره را پیدا می کنیم.این شامل حل معادله جبری شش درجه است که در اکثر موارد امکان پذیر نیست.بنابراین به تجزیه و تحلیل گرافیکی یا عددی می پردازیم. شکل 1.20 نشان می دهد که هیچ 3$\_$دوره ای وجود ندارد.علاوه بر این شکل 1.21 نشان می دهد که 4$\_$دوره نیز وجود ندارد. در فصل 3 ثابت می کنیم که این نمودار دارای نقاط دوره ای غیر از 2$\_$دوره نیست. \end{proof} \begin{exam}[نگاشت خیمه]\label{ex1.5} نگاشت خیمه به صورت زیر تعریف می شود:\\ \begin{equation*} T(x)= \begin{cases} 2x; &0\le x \le \frac{1}{2}\\ 2(1-x); &\frac{1}{2} 1$ این 2-دوره ناپایدار است. (قضیه \ref{thm1.6}) از شکل 1.22 مشاهده می کنیم که $T^3$ 8 نقطه ثابت دارد که فقط دوتای آن ها نقاط ثابت $T$ . هستند.بنابراین 2 دوره از تناوب 3 وجود دارد.به سادگی آن ها $c_1 =\{\frac{2}{7},\frac{4}{7},\frac{6}{7}\}$,$c_2 =\{\frac{2}{9},\frac{4}{9},\frac{8}{9}\}$ هستند که هر دو ناپایدارند. \end{proof} \newpage \bf{تمرین1.1}\\ در مسئله های 1 الی 8 نقاط تعادل را پیدا و ثباتشان را محاسبه کنید. \begin{enumerate} \item $x(n+1)=x^2 (n)$ \item $x(n+1)=\frac12 x^3 (n)+x(n)$ \item $x(n+1)=tan^{-1} x(n)$ \item $x(n+1)=3x(x)(1-x(n))$ \item $x(n+1)=x(n)\exp (1.5 (1-x(n))$ \item \begin{equation*} x(n+1)= \begin{cases} 0.8(n); &if x(n)<\frac{1}{2}\\ 0.8(1-x(n)); &if x(n)>\frac{1}{2}\\ \end{cases} \end{equation*} \item $x(n+1)=-x^3 (n)-x(n)$ \item \begin{equation*} x(n+1)= \begin{cases} 2x(n); & if 0 \le x \le \frac{1}{2}\\ 2x(n)-1; & if \frac{1}{2}< x \le 1\\ \end{cases} \end{equation*} \item نقاط تعادل را در معادله زیر پیدا کنید. \begin{equation*} x(n+1)= \frac{\alpha x(n)}{1+ \beta x(n)} , \alpha >1 و \beta>0 . \end{equation*} \\سپس مقدار پارامتر های آلفا و بتا را به گونه ای مشخص کنید که نقاط تعادل به طور متناوب پایدار یا ناپایدار تعین شود. \item نشان دهید که اگر , به ازای نقاط ثابت از $f$ ،آنگاه بازه $I=(x^* -\eta ,x^* +\eta)$ به قسمی موجود است که به ازای همه $x \in I$ و برخی از ثابت $M$, $\vert f'(x)\vert \le M <1$ . \item فرض کنید $Q(x)=ax^2+bx+c$ , $a\neq 0$ و $x^*$ یک نقطه ثابت $Q$ است. عبارت های زیر را ثابت کنید:\\ الف) اگر $Q'(x)=1$ آنگاه $x^*$ ناپایدار است.\\ ب) اگر $Q'(x)=-1$ آنگاه $x^*$ یک نقطه پایدار مجانبی است.\\ \item فرض کنید $x$ یک ریشه معادله $g$ است و $g(x^*)=g'(x^*)=0$ و $g''(x^*)\neq 0$ . نشان دهید که معادله نیوتون $f_N$ توسط معادله \eqref{1.5} تعریف می شود.( \eqref{1.5} تعریف شده توسط $x^*$).\\ (راهنمایی : از قانون هوپیتال استفاده کنید.) \item نقطه تعادل معادله زیر را پیدا کنید.\\ \begin{equation*} x(n+1)=\alpha x(n)\Big(\frac{1+\alpha}{\alpha}-x(n)\Big) \end{equation*} سپس مقدار پارامتر های آلفا و بتا را به گونه ای مشخص کنید که نقاط تعادل به طور متناوب پایدار یا ناپایدار تعیین شود. \item قضیه \ref{thm1.1} قسمت 2 را ثابت کنید. \item قضیه \ref{thm1.2} قسمت های 2 و 3 را ثابت کنید. \item فرض کنید $x^*$ نقطه ثابت نگاشت پیوسته $f$ باشد.نشان دهید که اگر $x^*$ یک نقطه ثابت مجانبی با نگاشت $g=f^2$ باشد،آنگاه $x^*$ یک نقطه ثابت مجانبی برای نگاشت $f$ نیز هست. \item \begin{defn}{نیمه پایدار} : $A$ یک نقطه ثابت $x^*$ از نگاشت $f$ یک نیمه پایدار(از راست) است،اگر به ازای هر $\varepsilon>0$ وجود داشته باشد یک $\delta>0$ که $00$ آنگاه $x^*$ یک نقطه نیمه پایدار(از راست)نامیده میشود. نیمه پایدار از چپ نیزبه همین ترتیب تعریف میشود. \end{defn} فرض کنید $f'(x^*)=1$ و $f''(x^*)\neq 0$ ثابت کنید که $x^*$ (آ)نیمه پایدار از راست است اگر $f''(x^*)< 0$. (ب)نیمه پایدار از چپ است اگر $f''(x^*)> 0$. \end{enumerate} در مسِئله های 18 و 19 مشخص کنید که نقظه تعادل $x^*=0$ نیمه پایدار از راست یا چپ است. \begin{enumerate} \item $x(n+1)=x^3+(n)x^2 (n)+x(n)$ \item $x(n+1)=x^3-(n)x^2 (n)+x(n)$ \end{enumerate}