\documentclass{report}‎ 

\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{xepersian}
\settextfont{XB Yas}
\setdigitfont{XB Yas}

\theoremstyle{plain}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{تعریف}[section]
%\theoremstyle{theorem}
\newtheorem{theorem}[definition]{قضیه}
\newtheorem{corollary}[definition]{نتیجه}
\newtheorem{lem}[definition]{لم}

\begin{document}

\begin{abstract}


امروزه تقریب خطاها   برای حل معادلات روزن-برگر به روش عناصر متناهی بی-اسپلاین گالرکین مورد توجه قرار گرفته اند.  طرح های بی-اسپلاین گالرکین در دو بخش گسسته و شبه گسسته بررسی می شوند. طرح بی-اسپلاین شبه گسسته با استفاده از پرتاب های مناسب مورد مطالعه فرار می گیرند. از طرف دیگر برای طرح های بی-اسپلاین کاملا گسسته به روش کرانک-نیکلسون عمل و تقریب خطاهای متناظر را تحلیل می کنیم. 
\end{abstract}

\chapter{مقدمه}


معادله ی شناخته شده      

    به منظور مطالعه ی پدیده ی تکثیر غیر خطی امواج به طور وسیعی مورد توجه قرار گرفته است. با این وجود این معادله قادر نیست اثرهای متقابل موج-موج و موج-مانع را در حرکت  سیستم های گسسته به خوبی توصیف کند. معادله ی روزن به صورت

\begin{equation}\label{m1}
u_{t}+u_{xxxxt}+u_{x}+uu_{x}=0
\end{equation}


برای توصیف تکثیر دو سویه یک موج ، برخوردهای غیر خطی دو موج و برخورد های موج-مانع  ارائه شده است. اگرچه وجود و یکتایی معادله روزن قابل اثبات است ، یافتن پاسخ تحلیلی برای آن ساده نیست بنابراین بیشترین تلاش ها برای یافتن پاسخ این معادله با کمک روش های عددی صورت گرفته است. به منظور توجه به اتلاف امواج در فضا برای سیستم های دینامیکی مانند انتشار امواج آب و پدیده انتشار از یک سوراخ عبارت   
\begin{equation}
\alpha u_{xx}
\end{equation}
به معادله روزن افزوده می شود. نتیجه به صورت
\begin{equation}\label{m2}
u_{t}+u_{xxxxt}+u_{x}+uu_{x}=\alpha u_{xx}
\end{equation}
خواهد بود که آن را معادله ی روزن-برگر می نامیم چون اثرات ناشی از اتلاف امواج در آن مشابه معادله برگر است.
در سال های اخیر پاسخ های عددی معادله روزن-برگر با به کارگیری روش های تفاضلات متناهی مورد مطالعه قرار گرفته اند. هدف اصلی این مقاله استفاده از آنالیز های تئوری برای به دست آوردن تقریب  گالرکین عناصر متناهی بی اسپلاین های درجه 2  برای معادله روزن-برگر به فرم زیر  است:

\begin{align}‎\label{m3}
 \Bigg \{ 
 u_{t}+(\psi (x+t)u_{xxt})_{xx}-\alpha u_{xx}+f_{x}(u)=0, & \textnormal{ x \in \Omega,  \quad  t \in (0,T]} , \\
  u(x,t)=0, \quad u_{x}(x,t)=0, & \textnormal{ x \in \partial \Omega, \quad t \in (0,T]} , \\
  u(x,0)=u_{0}(x), \textnormal{ x \in \Omega }
 \Bigg\} 
  \end{align*}‎



که در آن 
$\alpha >0$      و
$ f ( u ) = \frac {1}{2} u^2 + \beta u$ .

در این مقاله فرض می کنیم که 
$\psi (x,t)  $   و  $\psi_{t} (x,t) $
با ثابت های زیر کران دار شده اند:

  1. دو ثابت مثبت 
  $M_{1}$ و $M_{2}$   وجود دارند به طوری که 
  
  \begin {equation}
  0<M_{1} \le \psi(x,t) \le M_{2} ,  \quad  (x,t) \in \Omega \times  [0,T]. 
  \end {equation}
 
 2.ثابت 
 $ M_{3} >0$
 وجود دارد به طوری که 
 \begin {equation}
                       \quad | \psi _{t}(x,t) | \le M_{3} , \quad (x,t) \in \Omega \times [0,T].
 \end {equation}              
                                                         
\chapter{مفاهیم اولیه}   
\section{فضای سوبولف}
     
\begin{definition}                                            
                                                                       
          
  برای عدد صحیح نامنفی k، 
  $ H^k (\Omega)$
  را به عنوان فضای سوبولوف توابع حقیقی مقدار بر فضای 
  $ \Omega = (0,1)$
  در نظر می گیریم. ما فضای سوبولوف را به صورت زیر تعریف می کنیم :
  \begin {equation}
  (H_{0})^k=\{\nu \in H ^k (\Omega) : \frac{d^j \nu}{dx^j}=0\quad on \quad \partial \Omega,\quad j=0,1,...,k-1\}
  \end {equation}
  
  \end{definition}
  لازم به ذکر است که نرم های 
 $ L^2(\Omega)$ ، 
  $ L^\infty(\Omega)$ و
 $ H^k(\Omega)$ 
  به ترتیب با نمادهای 
  $|| . ||$ ،  $ || . ||_{\infty}$ و
  $ || . ||_{k}$
   نمایش داده می شوند. علاوه بر این 
  $(\nu,\omega)=\int_{\Omega}\nu \omega dx $
  بیانگر ضرب داخلی توابع در 
  $L^2(\Omega)$
 است.

در این گزارش فرض می کنیم که $u$ در طول زمان     است ، همچنین $C$ بیانگر یک ثابت مثبت و مستقل از گاه های زمانی است.
                                                                      
\chapter{وجود و یکتایی }
\section{فرم ضعیف معادله}
دز این فصل وجود و یکتایی پاسخ ضعیفی از معادله 
\ref{m3}
   را ثابت می کنیم، بدین منظور لازم است ابتدا فرم ضعیف این معادله را به دست آوریم:

در گام اول با تعریف ضرب داخلی  $ 2^L $ متغیر
 $\chi \in  H_{0}^2$
در معادله ضرب می شود، سپس با تبدیل ضرب داخلی به انتگرال گیری جزء به جزء معادله به صورت زیر به دست می آید:

\label{m4}





\begin{lem}
اگر 
$\nu \in H_{0}^2 $ ،
آنگاه ثابت مثبت C وجود دارد به طوری که 
$ || \nu_{x} || ^2 \leq C(|| \nu ||^2+|| \nu _{xx}||^2).$

\proof
با استفاده از تعریف نرم و انتگرال جزء به جزء داریم:
\begin{equation}
 || \nu_{x}||^2 = \int \nu_{x}^2 d_{x}= \nu \nu_{x}- \int \nu \nu_{xx} d_{x} \leq ||\nu ||. ||\nu_{xx} ||
\end{equation}
 
حال با بهره گیری از فرض مسئله مبنی بر
$ \nu \in H_{0}^2  $
و
$ \frac {d v }{dx}=0$
و نامساوی کوشی-شوارتز نتیجه می گیریم:
\begin{equation}
|| \nu_{x}||^2=\nu \nu_{x}- \int \nu \nu_{xx} d_{x} \leq ||\nu ||. ||\nu_{xx} || \leq C( || \nu ||^2 + || \nu_{xx}||^2)
\end{equation}
\end{lem}

\begin{theorem}
                                                                                                                                                                                      .$u \in H_{0}^2 $ فرض کنیم
                                                                                                                                                                                                    ، $  T>0$ برای هر
جواب یکتای معادله
\ref{m4} با 
$ (u(x,0),\chi)=(u_{0},\chi)$
وجود دارد. علاوه براین ثابت C (مستقل از T) موجود است به طوری که
$|| u||_{L^\infty(H^2(\Omega)) \leq C|| u_{0}||_{2}}$ ،
که در آن 
$|| u||_{L^\infty(H^2(\Omega))= sup_{t \in [0,T]} || u(.,t)||_{H^2(\Omega)} $
\proof
ابتدا وجود جواب را ثابت می کنیم. فرض کنید 
${\nu _{i}}_{i=1}^ \infty$
                                                                                                                                                             $H_{0}^2(\Omega)$      پایه ای متعامد برای 
                                                                                                                                 $V^m = span{\nu_{1}, \nu_{2},...,\nu_{m}}$باشد ، و فرض کنید    
                                                                                                                                                                                            $t>0 $     ما برای هر
\begin{equation}
u^m(t)= \sum
\end{equation}
را به عنوان جواب 



\end{theorem}













\end{document}