\documentclass[openany,twocolumn]{book}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{geometry,graphicx}
\geometry{textheight=23cm,right=1.5cm, textwidth=18cm,columnsep=1cm,headheight=7mm,headsep=7mm,}
\usepackage{amsmath,amssymb,fmultico,mathrsfs,fancybox,amsthm}
\RequirePackage[]{graphicx}
\graphicspath{{figures/}}
\RequirePackage{xcolor}
\RequirePackage{tikz} 
\usetikzlibrary{shadows}
\RequirePackage[framemethod=TikZ,]{mdframed}


\newcommand{\q}[1]{\vskip5pt\noindent\hskip-30pt{\bf #1}\ }
\usepackage{multienum}
\usepackage{multirow}
\usepackage[Kashida]{xepersian}
\settextfont{Persian Modern}
\setlatintextfont[Scale=1.2]{Times New Roman}
\setdigitfont[Scale=1.0]{Yas}



\newtheorem{theorem}{قضیه}[chapter]
\newtheorem{lemma}{لم}[chapter]
\newtheorem{proposition}{گزاره}[chapter]
\newtheorem{corollary}{نتیجه}[chapter]
\newtheorem{remark}{یادداشت}[chapter]
\newtheorem{notation}{نمادگذاری}[chapter]
\newtheorem{note}{نکته}[chapter]
\newtheorem{example}{مثال}
\newcounter{example}[section]
\setcounter{example}{0}
\def\thefig{\arabic{example}}
%----------------------------------------------------------------------------------------
\renewcommand\proofname{\textbf{حل}}
\newtheorem*{solu}{حل}
\newenvironment{solution}
{\begin{solu}}
{\hfill$\blacksquare $\end{solu}}
 


\makeatletter
\renewcommand\theequation
{\@arabic\c@equation}
\@addtoreset{equation}{section}


\newcounter{fcon}
\newenvironment{premind}[1][\empty]{\par\begin{mdframed}[roundcorner=10pt,userdefinedwidth=\textwidth,align=center,skipabove=.9\baselineskip,
skipbelow=.3\baselineskip,innertopmargin=.2cm,
innerbottommargin=.2cm,
innerrightmargin=5pt,innerleftmargin=5pt,
%backgroundcolor=red
%outerlinewidth=0pt,
%middlelinewidth=0pt,
%innerlinewidth=2.4pt,
]\baselineskip=.7cm
\refstepcounter{fcon}\noindent\textbf{یادآوری~\thechapter\@SepMark\thefcon\ifx%
\empty#1\space\relax\else\space(#1)\space\fi}%\\[.2cm]%
\noindent\ignorespaces%
\noindent}{\end{mdframed}}
\@addtoreset{fcon}{chapter}


% تعریف قاب رنگی ptheorem1 برای نوشتن تعریف

\newenvironment{pbox}[1][\empty]{\par\begin{mdframed}[roundcorner=10pt,userdefinedwidth=\columnwidth,align=center,skipabove=.9\baselineskip,
skipbelow=.3\baselineskip,innertopmargin=.2cm,
innerbottommargin=.15cm,
innerrightmargin=5pt,innerleftmargin=5pt,
backgroundcolor=pink!20,
outerlinewidth=1pt,
%middlelinewidth=0pt,
%innerlinewidth=2.4pt,
%shadow=true,
%shadowsize=8pt,
%shadowcolor=red!100,
]%\mysmallfont
\baselineskip=.7cm
\noindent\textbf{\if#1\@empty\relax\relax\else~(#1)\fi}%
\noindent\ignorespaces%
\noindent}{\end{mdframed}}
\makeatother


\newenvironment{definition}[1][\empty]{\par\begin{mdframed}[roundcorner=10pt,userdefinedwidth=\columnwidth,align=center,skipabove=.6\baselineskip,
skipbelow=.1\baselineskip,innertopmargin=.2cm,
innerbottommargin=.15cm,
innerrightmargin=5pt,innerleftmargin=5pt,
backgroundcolor=gray!20,
outerlinewidth=1pt,
%middlelinewidth=0pt,
%innerlinewidth=2.4pt,
%shadow=true,
%shadowsize=8pt,
%shadowcolor=red!100,
]%\mysmallfont
\baselineskip=.7cm
\noindent\textbf{تعریف\if#1\@empty\relax\relax\else~(#1)\fi:~}%
\noindent\ignorespaces%
\noindent}{\end{mdframed}}



\makeatother


% تعریف قاب رنگی pdefinition1 برای نوشتن تعریف
\newenvironment{cccc}[1][\empty]{\par\begin{mdframed}[roundcorner=10pt,userdefinedwidth=\columnwidth,align=left,skipabove=.9\baselineskip,
skipbelow=.3\baselineskip,innertopmargin=0pt,
innerbottommargin=0pt,
innerrightmargin=10pt,innerleftmargin=0pt,
outermargin=-1pt,
%backgroundcolor=green,
 topline=false,bottomline=false,leftline=false,
middlelinewidth=8pt,
middlelinecolor=magenta,
]
\baselineskip=.7cm
\refstepcounter{definition}
\noindent\textbf{\thedefinition\ifx\empty#1\space\relax\else\space(#1)\space\fi}%\\[.2cm]%
\noindent\ignorespaces%
\noindent}{\end{mdframed}}
\makeatother







\numberwithin{figure}{chapter}
\numberwithin{table}{chapter}
\graphicspath{{aks/}}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[LO]{\mbox{بخش} \rightmark/ \thepage}
\fancyhead[RE]{\thepage/\leftmark }
\baselineskip=.7cm
\setcounter{tocdepth}{3}
\setcounter{chapter}{4}
\tableofcontents
\chapter{انتگرال گیری}
\section*{چشم انداز}
 یکی از موفقیت‌های مهم در هندسه ی کلاسیک بدست آوردن فرمول‌هایی جهت مساحت و حجم مثلث‌ها، کره‌ها و مخروط هاست. در این فصل، روشی جهت محاسبه مساحت‌ها و حجم‌های بیشتر اجسام عمومی ارائه می‌شود.
این روش به نام انتگرال گیری ابزاری جهت محاسبه مساحت‌ها و مساحت‌ها و حجم‌های بیشتری از اجسام می‌باشد. انتگرال گیری اساسا در آمار و علوم مهندسی از اهمیت خاصی برخوردار است. انتگرال گیری جهت محاسبه کمیت‌هایی که حدود آن ها از احتمال شروع می‌شود تا متوسط مصرف انرژی و در نیروی بکار رفته در مهار دروازه سیل یعنی سدها استفاده می شود. در فصل آینده با نوعی از این کاربردها آشنا خواهید شد. اما در این فصل فقط به مفهوم انتگرال خواهیم پرداخت و استفاده از آن را جهت مسافت های مختلف با مرز ناحیه منحنی مورد بررسی قرار خواهیم داد.
\section{مساحت و تخمین آن با حاصل جمع‌های متناهی}
انتگرال معین یک ابزار کلیدی در حساب دیفرانسیل و انتگرال می‌باشد که برای تعریف و محاسبه‌ی کمیت‌های مهم در ریاضیات و علوم، به کار می‌رود. علاوه بر آن محاسبه طول مسیر منحنی‌ها، احتمالات اوزان اشیا مختلف مثال های اندکی از کاربرد آن است. اصول انتگرال گیری بر این ایده استوار است که می‌توان چنین کمیت‌هایی را با تقسیم آن‌ها به قسمت‌های کوچکتر  و جمع سهم حاصل از کمیات فوق بدست آورد. سپس این موضوع را در نظر می‌گیریم که اگر در فرایند مجموع یابی تعداد این قسمت‌ها بیش تر و بیش‌تر شود، و در واقع این قسمت ها کوچک‌تر و کوچک‌تر شوند، چه اتفاقی می‌افتد. در نهایت وقتی تعداد قطعات کوچک سهیم در جمع به سمت بی نهایت میل می‌کند و حد این مجموع را طبق روش تشریح شده در بخش 3-5 بدست خواهیم آورد. که نتیجه آن، یک انتگرال معین خواهد بود. 
\\
در بخش 4-5، ثابت می‌شود که انتگرال معین به پاد مشتق ها بستگی دارد و این ارتباط یکی از مهم ترین رابطه‌ها در حساب دیفرانسیل و انتگرال می‌باشد.
پایه و اساس فرمول بندی انتگرال معین، بر ساختار مناسب مجموع استوار است. اگر چه جهت بیان منظور دقیق مساحت ناحیه‌ی کلی در صفحه یا مقدار میانگین یک تابع در یک بازه ی بسته را به طور دقیق تعریف کنیم. یک ایده‌ی شهودی جهت بیان معنی این نمادها ارائه خواهیم داد. در بخش های بعدی با تعریف این کمیت‌ها با حاصل جمع متناهی دید خود را در انتگرال گیری شروع خواهیم کرد. در بخش های بعدی وقت خود را به حد گرفتن از این مجموع، وقتی که تعداد جملات به 
$\infty$
میل کند، معطوف خواهیم کرد که نتیجه آن منجر به ارائه تعریف دقیق کمیت های مورد تقریب در اینجا می‌شود.
\subsubsection{مساحت}
 اگر بخواهید مساحت ناحیه‌ی سایه دار
$R$
  را که بالای محور
$x$ها
و زیر نمودار 
$y=1-x^2$
 و بین خطوط عمودی 
$x=0$ و $x=1$
واقع است را حساب کنیم (شکل 1-5). متاسفانه فرمول هندسی ساده‌ای جهت محاسبه مساحت شکل‌های کلی که مرزهای منحنی شکل (چون ناحیه‌ی $R$) وجود ندارد پس چگونه مساحت $R$ را بیابیم؟
\begin{figure}[h]
\centerline{\includegraphics[width=5.6cm]{5-1.png}}
\caption{\label{sh5-1}\small نمی‌توان مساحت ناحیه‌ی $R$ را با یک فرمول ساده بدست آورد.}
\end{figure}
\begin{figure}[h]
\centerline{\includegraphics[width=5.4cm]{5-2.png}}
\caption{\label{sh5-2}\small الف. تخمین بالای مساحت $R$  با استفاده از دو مستطیل شامل $R$ بدست می‌‌آمد. ب. چهار مستطیل برآورد بهتری را ارائه می‌‌کند. هر دو برآورد و تخمین فوقانی مقدار دقیق مساحت است.}
\end{figure}
\begin{figure}[h]
\centerline{\includegraphics[width=5.1cm]{5-3.png}}
\caption{\label{sh5-3}\small .الف مستطیل‌هایی که درون  $R$  هستند، برآوردی کوچکتر از مقدار مساحت ناحیه   $R$  ارائه می‌کنند. ب. قاعده‌ی میانی از مستطیل‌هایی استفاده می‌‌کند که ارتفاع آن‌ها با $R$  در نقطه‌ی وسط قاعده‌ی هر دو مستطیل برابر است. مقدار تخمین ظاهر شده به ازای مقدار واقعی نزدیکتر است. زیرا مساحت فوقانی با رنگ قرمز متعادل با مساحت‌های تحتانی آبی رنگ است.}
\end{figure}

هنوز تخمین دیگری با استفاده از مستطیل‌هایی که ارتفاع مقادیر $f$ در نقاط میانی قاعده‌های آن‌ها است وجود دارد (شکل 3-5 ب). این روش تخمین، قاعده نقطه‌ی میانی برای تقریب مساحت است. قاعده‌ی نقطه‌ی میانی تخمینی ارائه می‌‌کند که بین مجموع پایینی و مجموع بالایی قرار دارد.اما دقیقا مشخص نیست که این تقریب، بیش تر از مساحت واقعی است با کم تر از آن. با چهار مستطیلی که عرض  آن‌ها، مثل قبل، 4/1 است، قاعده‌ی نقطه‌ی میانی، مساحت $R$ را به اندازه‌ی زیر تقریب می‌‌زند:
$$A\approx \frac{63}{64}\cdot\frac{1}{4}+\frac{55}{64}\cdot\frac{1}{4}+\frac{39}{64}\cdot\frac{1}{4}+\frac{15}{64}\cdot\frac{1}{4}=\frac{172}{64}\cdot\frac{1}{4}=0.671875$$
در هر کدام از مجموع‌های محاسبه شده، فاصله
$[a,b]$
 که روی تابع 
$f$
  تعریف شده است، به 
$n$
  زیر فاصله با طول  (یا پهنای) مساوی،
$\Delta x=(b-a)/n$
  تقسیم شده است و $f$ در هر نقطه‌ای در هر زیر فاصله مورد ارزیابی قرار گرفت: $c_1$ در زیر فاصله اول، $c_2$ در زیر فاصله دوم و ... بنابراین، حاصل جمع‌های متناهی، همگی به صورت
$$f(c_1)\Delta x+f(c_2)\Delta x+f(c_3)\Delta x+\cdots+f(c_n)\Delta x$$
هستند. با بیشتر و بیشتر کردن تعداد مستطیل‌ها، که مستطیل‌ها هر بار باریک تر از قبل می‌‌شوند، به نظر می‌‌رسد که این جمع‌های متناهی  تقریب‌های بهتر و بهتری برای مساحت واقعی ناحیه‌ی $R$ از ارائه می‌‌دهند.

شکل 4-5 الف تقریب  نقصانی مساحت $R$ را، با استفاده از 16 مستطیل با عرض‌های مساوی نشان می‌‌دهد. مجموع مساحت‌های آن‌ها
$0.634765625$
است، که به نظر می‌‌رسد به مقدار واقعی نزدیک باشد؛ اما هم چنان کوچکتر است، زیرا مستطیل‌ها داخل $R$ هستند.
شکل 4-5 ب، تقریب اضافی با استفاده از 16 مستطیل با پهنای مساوی را نشان می‌‌دهد، مجموع مساحت‌های آن‌ها $0.697265625$ است، که مقداری بیشتر از مقدار واقعی است؛ زیرا همگی مستطیل‌ها محیط بر $R$ هستند. قاعده‌ی میانی برای 16 مستطیل، تقریب کلی 
$0.6669921875$
 را می‌‌دهد ولی بلافاصله معلوم نیست که این تخمین، بزرگ‌تر از مساحت واقعی یا کوچک‌تر از آن است.
\begin{example}
جدول 1-5 مقادیر تقریب‌های اضافی  و نقصانی  مساحت $R$ را با استفاده از یک هزار مستطیل نشان می‌‌دهد، در بخش 2-5 خواهید دید که چگونه می‌‌توان مقدار دقیق مساحت ناحیه‌هایی همچون $R$ را با گرفتن حد، وقتی عرض قاعده‌ی مستطیل به صفر میل می‌‌کند و تعداد مستطیل‌ها به سمت بی نهایت می‌‌رود، محاسبه کرد.
با روش‌هایی که معرفی می‌‌شوند، می‌‌توان نشان داد که مساحت $R$ دقیقا برابر 
$2/3$
 است.
\end{example}
\begin{table}[h]
\caption{تقریب‌های متناهی برای مساحت ناحیه $R$}
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
\text{مجموع بالایی}&\text{مجموع میانی}&\text{مجموع پایینی}&\text{تعداد زیربازه‌ها}\\
\hline
0.875&0.675&0.375&2\\
\hline
0.78125&0.671875&0.53125&4\\
\hline
0.697265625&0.6669921875&0.634765625&16\\
\hline
0.6766&0.6667&0.6566&50\\
\hline
0.67165&0.666675&0.66165&100\\\hline
0.6671665&0.66666675&0.6661665&1000\\
\hline
\end{array}
$$
\end{table}
\begin{figure}[h]
\centerline{\includegraphics[width=5cm]{5-4.png}}
\caption{\label{sh5-4}\small الف. تقریب نقصانی با استفاده از 16 مستطیل با عرض‌های مساوی
$\Delta x=1/16$
ب. جمع بالا با استفاده از 16 مستطیل.}
\end{figure}
\subsubsection{مسافت طی شده}
فرض کنید تابع سرعت 
$v(t)$
 اتومبیلی که از ارتفاعی به سمت پایین می‌‌آید در اختیار داریم و می‌‌خواهیم بدانیم بین زمان‌های 
$t=a$
 تا 
$t=b$
 چه مسافتی را طی خواهد کرد؟ اگر از قبل، یک پاد مشتق چون
$F(t)$
از تابع $v(t)$ را بدانیم، تابع مکان اتومبیل به صورت
$s(t)=F(t)+C$
 محاسبه می‌‌شود. 
آن گاه فاصله پیموده شده را با محاسبه‌ی تغییر در موقعیت 
$s(b)-s(a)=F(b)-F(a)$
می‌‌توان یافت. اگر تابع سرعت، با خواندن مقدار در زمان‌های مختلف سرعت شمار در اتومبیل خوانده شود. فرمولی در اختیار نداریم که بتوان از آن تابع پاد مشتق جهت سرعت را بدست اورد. در این شرایط چه باید کرد؟

وقتی پاد مشتق تابع سرعت 
$v(t)$
 مشخص نیست برای تقریب مسافت طی شده با جمع‌های متناهی، می‌‌توان به شیوه‌ای مشابه آن چه که قبل از این درباره‌ی تقریب مساحت ذکر شد، عمل کرد. فاصله 
$[a,b]$
را به فواصل زمانی کوتاهی تقسیم کنیم موری که در هنر یک از آن‌ها بتوان سرعت را تقریبا ثابت فرض کرد، سپس مسافت طی شده در هر فاصله زمانی را با فرمول معمولی مسافت تقریب بزنید و تمامی نتایج به دست آمده در سرتاسر 
$(a,b]$
 را با یکدیگر جمع کنید. 

فرض کنید که فاصله تقسیم بندی شده، مطابق شکل زیر، به صورت زیر فواصل با طول مساوی 
$\Delta t$
 باشد.
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{5-4-1.png}
\end{center}
عدد
$t_1$
در اولین فاصله را انتخاب می‌‌کنیم. اگر
$\Delta t$
 به طوری کوچک باشد که سرعت، در فاصله زمانی کوتاهی با طول مدت $\Delta t$، تغییرات اندکی داشته باشد، آن گاه مسافت طی شده در فاصله زمانی اول، بطور تقریبی مساوی
$v(t_1)\Delta t$
 است. اگر $t_2$ عددی در فاصله دوم باشد، مسافت طی شده در فاصله زمانی دوم  بطور تقریبی برابر است با 
$v(t_2)\Delta t$.
 مجموع مسافت‌های طی شده در همه‌ی فواصل  زمانی ، برابر است با 
$$D\approx v(t_1)\Delta t+v(t_2)\Delta t+\cdots+v(t_n)\Delta t$$
 که در آن،
$n$
  تعداد کل زیر فاصله هاست.
\begin{example}
تابع سرعت پرتابه‌ای که به طور مستقیم به هوا پرتاب می‌‌شود، به صورت
$f(t)=160-9.8t$
است. با استفاده از روش جمع بستن (که پیشتر توضیح داده شد). تقریب بزنید که پرتابه طی 3 ثانیه‌ی اول تا چه ارتفاعی بالا می‌‌رود. این جمع‌ها تا چه اندازه به مقدار واقعی 
$435.9$
نزدیک می‌‌شوند؟
\end{example}
\begin{solution}
نتایج را برای اعداد مختلف از فاصله و انتخاب‌های مختلف نقاط ارزیابی و استخراج خواهیم کرد. مشاهده می‌‌کنید که 
$f(t)$
نزولی است بنابراین انتخاب نقاط انتهایی چپ، تقریب جمع بالا به دست می‌‌آید و حاصل انتخاب نقاط انتهایی راست، تقریب نقصانی خواهد بود.
\begin{enumerate}
\item[الف.]
 سه زیرفاصله با طول 
$l$،
  که مقدار $f$ در نقاط انتهایی چپ آن‌ها تعیین می‌‌شود، یک تقریب اضافی ارائه می‌‌دهند.
\begin{center}
\includegraphics[width=3.5cm]{5-4-2.png}
\end{center}
 با تعیین $f$ در 
$t=0,1$
  خواهید داشت.
\item[ب.] 
سه زیرفاصله با طول $l$، که $f$ در نقاط انتهایی راست ارزیابی شده است، یک جمع پایین را ارائه می‌‌کند.
\begin{center}
\includegraphics[width=3.5cm]{5-4-3.png}
\end{center}
 با تعیین $f$ در 
$t=1,2,3$
  خواهید داشت 
\begin{align*}
D&\approx f(t_1)\Delta t+f(t_2)\Delta t+f(t_3)\Delta t\\
&=[160-9.8(1)](1)+[160-9.8(2)](1)+[160-9.8(3)](1)\\
&=421.2
\end{align*}
\item[پ.]
 با شش زیر فاصله به طول 
$1.2$
دارید:
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{5-4-4.png}
\end{center}
\end{enumerate}
 این تخمین‌ها، با استفاده از نقاط انتهایی چپ، تقریب اضافی 
$D\approx443.25$
  و با استفاده از نقاط انتهایی راست، تقریب نقصانی 
$D\approx428.55$
  حاصل می‌‌شود. تقریب‌های شش فاصله، نسبت به تقریب‌های سه فاصله ، اندکی به مقدار واقعی نزدیکتر هستند. هرچه زیر فواصل کوچک‌تر شوند تقریب بهتری حاصل می‌‌شود.
\begin{table}[h]
\caption{برآورد فاصله مسافت}
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
\text{\small تعداد زیربازه‌ها}&\text{\small طول هر زیربازه}&\text{\small مجموع بالایی}&\text{\small مجموع پایینی}\\
\hline
3&1&450.6&421.2\\
\hline
6&1.2&443.25&428.55\\
\hline
12&1.4&439.58&432.23\\
\hline
24&1.8&437.74&434.06\\
\hline
48&1.16&436.82&434.98\\
\hline
96&1.32&436.36&435.44\\
\hline
192&1.64&436.13&435.67\\
\hline
\end{array}$$
\end{table}
 همان طور که در جدول 2-5 می‌‌توان دید، مجموع بالایی با نقاط انتهایی چپ، به مقدار واقعی 
 $435.9$
  از بالا میل می‌‌کند، در حالی که مجموع پایینی نقاط انتهایی راست، از پایین به آن نزدیک می‌‌شود. مقدار واقعی، بین این‌ها مقدار مجموع بالا و پایین است. مقدار خطا در نزدیکترین درایه‌ها 
 $0.23$
  است، که در صد کوچکی از مقدار واقعی است.
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
\text{اندازه خطا}&=|\text{مقدار درست}-\text{مقدار محاسبه شده}|\\
&=|439.9-435.67|=0.23\\
\text{درصد خطا}&=\frac{0.23}{435.9}\approx0.05\text{درصد}
\end{align*}
 منطقی خواهد بود که از آخرین درایه ها‌ی جدول نتیجه گرفت که پرتابه در 3  ثانیه اول پرواز خود،
$436m$
  بالا می‌‌رود.
\end{solution}
\subsubsection{جابه‌جایی بر حسب مسافت}
اگر شئی با تابع مکان 
$s(t)$
 در امتداد یکی از خطوط مختصات بدون تغییر جهت حرکت کند، می‌‌توان کل مسافت پیموده شده  آن را از 
$t=a$
 تا
$t=b$،
 با جمع بندی مسافت پیموده شده بر روی فواصل کوتاه تر همانند مثال 2، محاسبه نمود. اگر شئی یک یا چند بار  جهت حرکت خود را تغییر دهد، آن گاه برای یافتن کل مسافت طی شده باید از تندی جسم، 
$|v(t)|$،
 که قدر مطلق مقدار تابع سرعت آن،
$v(t)$،
است، استفاده کنیم. بجای آنکه جابجای شئی یعنی
$s(b)-s(a)$
را ارائه دهد، تفاضل مکان‌های آغازین و نهایی را می‌‌دهد.\\
جهت ملاحظه اینکه چرا استفاده از تابع سرعت در فرآیند مجموع تنها برآوردی از تغییر مکان را ارائه می‌‌کند. فاصله زمانی
$[a,b]$
را به
$n$
 زیر فاصله یکسان
 تقسیم کنید. مقدار $\Delta t$ را به اندازه‌ی کافی کوچک در نظر بگیرید تا سرعت جسم از زمان 
$t_{k-1}$ تا $t_k$
تغییر قابل ملاحظه‌ای نداشته باشد. در این صورت $v(t_k)$ تقریب خوبی برای سرعت جسم در این فاصله است و بنابراین تغییر مختصات مکان  جسم در طول این فاصله زمانی، تقریبا برابر
$$v(t_k)\Delta t$$
است. اگر $v(t_k)$ مثبت باشد، این تعییر مثبت است، و اگر $v(t_k)<0$ منفی باشد، منفی است.\\
 در هر مورد، مسافت طی شده جسم در طی زیرفاصله $\Delta t$ برابر
 $|v(t_k)|\Delta t$
 است.
 مسافت کل طی شده تقریبا برابر با حاصل جمع
$$|v(t_1)|\Delta t+|v(t_2)|\Delta t+\cdots+|v(t_n)|\Delta t$$
 است.
 در بخش 4-5 به بررسی این موضوع بازگشت می‌‌شود.
\begin{example}
در مثال 4 بخش 4-3، حرکت سنگ سنگینی به سمت بال توسط انفجار دینامیت انجام می‌‌شود، مورد تحلیل قرار خواهد گرفت. در آن مثال، سرعت سنگ  در هر لحظه از حرکت به صورت 
$v(t)=160-32t~{\rm ft}/{\rm s}$
 به دست آمد. در 2 ثانیه بعد از انفجار، سنگ در ارتفاع 
$256$
بالای سطح زمین قرار داشت و به حرکت خود ادامه می‌‌داد و 5 ثانیه پس از انفجار به ماکسیمم ارتفاع خود، یعنی ارتفاع اوج
$400$
 رسید. سپس به سمت زمین برگشت در 8 ثانیه بعد از انفجار، دوباره با ارتفاع $256$ فوتی رسید (شکل 5-5).
\end{example}
\begin{figure}[h]
\centerline{\includegraphics[width=5cm]{5-5.png}}
\caption{\label{sh5-5}\small مثال3. سنگ در 
$t=2$
 ثانیه و 
 $t=8$
  ثانیه با ارتفاع $256$ فوتی رسید در $t=8$ ثانیه، سنگ به اندازه‌ی 144 فوتی از ارتفاع اوج خود سقوط کرده است.}
\end{figure}
 اگر از روشی مشابه مثال2، استفاده کنید و تابع سرعت 
$v(t)$
 را در شیوه جمع بندی در فاصله زمانی
$[0,8]$
 به کار ببرید.
تقریبی معادل $256$،
 برای ارتفاع سنگ از سطح زمین در 
$t=8$
به دست می‌‌آورید. حرکت مثبت به سمت بالا (که تغییر مثبت مساحت 144 فوت از ارتفاع $256$ تا ارتفاع اوج است) با حرکت منفی به سمت پایین حذف می‌‌شود (حرکت منفی 144 فوت است که از ارتفاع اوج تا ارتفاع $256$ اندازه گیری شده است). بنابراین، جابجایی با ارتفاع از سطح زمین با تابع سرعت تقریب زده می‌‌شود.\\
از طرف دیگر اگر از قدر مطلق 
$|v(t)|$
در روند جمع بندی  استفاده شود تخمینی به کل مسافت طی شده توسط سنگ را بدست می‌‌آید: ماکزیمم ارتفاع  اوج
$400{\rm ft}$
به اضافه مسافت اضافی $144{\rm ft}$ (مسافتی که سنگ از نقطه‌ی اوج تا برگشتن به ارتفاع
$256$
 طی می‌‌کند). یعنی  با استفاده از مقدار مطلق  تابع سرعت در روند جمع بندی  در فاصله‌ی زمانی $[0,8]$، تقریب $544{\rm ft}$ به دست می‌‌آید که مسافت کل حرکت سنگ در طی 8  ثانیه  حرکت به سمت بالا  و پایین است. در این جا، هیچ حذفی از تغییر فاصله که مرتبط با تغییر علامت تابع سرعت باشد، رخ نمی دهد؛ به همین دلیل  وقتی از  قدر مطلق تابع سرعت (که تندی سنگ است) استفاده می‌‌شود، مسافت طی شده تقریب زده می‌‌شود نه جابجایی.\\
 جهت نشان دادن این بحث فاصله $[0,8]$ را به شش زیرفاصله با طول 
$\Delta t=1/2$
  تقسیم کرده و نقاط انتهایی راست هر زیرفاصله در محاسبات به کار برده می‌‌شود. جدول 3-5 مقدار تابع سرعت در نقاط انتهایی را نشان می‌‌دهد.
\begin{table}[h]
\caption{تابع سرعت}
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
t&v(t)&t&v(t)&t&v(t)\\
\hline
0&160&3.0&64&6.0&-32\\
\hline
0.5&144&3.5&48&6.5&-48\\
\hline
1.0&128&4.0&32&7.0&-64\\
\hline
1.5&112&4.5&16&7.5&-80\\
\hline
2.0&96&5.0&0&8.0&-96\\
\hline
2.5&80&5.5&-16&&\\
\hline
\end{array}
$$
\end{table}
\begin{figure*}[h]
\centerline{\includegraphics[width=13cm]{5-6.png}}
\caption{\label{sh5-6}\small الف. مقدار متوسط
$f(x)=C$ روی $[a,b]$
 برابر است با مساحت مستطیل تقسیم بر 
$(b-a)$
 ب. مقدار متوسط
$g(x)$ روی $[a,b]$
 برابر است با مساحت زیر نودار تقسیم بر  
$b-a$.}
\end{figure*}
 با استفاده از $v(t)$  در روند جمع بندی، جابه جایی در $t=8$ تخمین زده می‌‌شود.
\begin{align*}
&\frac{1}{2}\cdot(144+128+112+96+80+64+48+32+16+0\\
&-16-32-48-64-80-96)=192\\
&\text{اندازه خطی}=256-192=64
\end{align*}
با استفاده از 
$|v(t)|$
 در روند جمع بندی، مسافت کل پیموده شده در فاصله زمانی 
$[0,8]$
 تقریب زده می‌‌شود.
\begin{align*}
&(144+128+112+96+80+64+48+32+16+0\\
&+16+32+48+64+80+96)\cdot\frac{1}{2}=528\\
&\text{اندازه خطی}=544-528=16
\end{align*}
اگر تعداد زیر فواصل  را در
$[0,8]$
 محاسبات خود در نظر بگیرید تخمین 
$256{\rm ft}$ و $544{\rm ft}$
بهتر می‌‌شود و به مقادیر واقعی آن همانطور که در جدول 4-5 نشان داده شده است، میل می‌‌کند.
\begin{table}[h]
\caption{مسافت پیموده شده برای یک سنگ در پرتاب عمودی طی بازه $[0,8]$}
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{\small تعداد زیربازه‌ها}&\text{\small طول هر زیربازه}&\text{\small جایجایی}&\text{\small مسافت کل}\\
\hline
16&1.2&192&528\\
\hline
32&1.4&224&536\\
\hline
64&1.8&240&540\\
\hline
128&1.16&248&542\\
\hline
256&1.32&252&543\\
\hline
512&1.64&254&543\\
\hline
\end{array}
$$
\end{table}
\subsubsection{مقدار متوسط یک تابع پیوسته‌ی نامنفی }
مقدار متوسط مجموعه‌ی تابعی از 
$n$
 عدد
$x_n,\cdots,x_2,x_1$
با جمع کردن آن‌ها با هم و تقسیم بر $n$ حاصل می‌‌شود. اما  مقدار متوسط  یک تابع پیوسته‌ی $f$ در فاصله 
$[a,b]$
 چیست؟ چنین تابعی را می‌‌توان به صورت
$\infty$
عدد تصور کرد. مثلا دمای یک نقطه‌ی خاص در یک شهر، تابع پیوسته‌ای است که هر روز بالا و پایین می‌‌رود. این که گفته می‌‌شود "متوسط دمای شهر در طی یک روز 73 درجه است`` چه معنایی دارد؟

وقتی تابعی، ثابت باشد، پاسخ این پرسش آسان است. یک تابع با مقدار ثابت $c$ در فاصله $[a,b]$، مقدار متوسط $c$ را دارد. وقتی $c$ مثبت است نمودار آن در $[a,b]$ به شکل مستطیلی با ارتفاع $c$ است. آن گاه از لحاظ هندسی، مقدار میانگین تابع  به صورت تقسیم مساحت بر عرض آن 
$b-a$
تعبیر می‌‌شود (شکل 6-5 الف).

 اما اگر بخواهید مقدار متوسط یک تابع غیر ثابت، مثل تابع $g$ در شکل 6-5ب، را بدست آورید، چه کار باید کرد؟ این نمودار را می‌‌توان تصویر لحظه‌ای ارتفاع مقداری آب متلاطم محصور در تانکی محصور به دیواره 
$x=a$ و $x=b$
  در نظر گرفت. وقتی آب حرکت می‌‌کند ارتفاع آن در هر لحظه تغییر می‌‌کند ؛ اما ارتفاع آن ثابت است. جهت بدست آوردن ارتفاع آب صبر کنید تا آب ساکن شده ، سطح آن یکسان و ارتفاع آن ثابت شود. ارتفاع $c$ به دست آمده، به تعریف مقدار متوسط یک تابع نامنفی در بازه‌ی $[a,b]$  منتهی می‌‌شود که برابر با مساحت زیر نمودار تابع تقسیم بر $b-a$ است. برای آن که نمودار معتبر باشد، باید به طور دقیق مشخص شود که منظور از سطح زیر نمودار چیست. این موضوع در بخش 3-5 بررسی می‌‌شود؛ ولی جهت آن چه که اکنون مورد نیاز است، به مثال بعدی توجه کنید.
\begin{example}
مقدار متوسط تابع 
$f(x)=\sin x$
 را در بازه‌ی 
$[0,\pi]$
برآورد کنید.
\end{example}
\begin{solution}
با نگاه به نمودار 
$\sin x$
 بین صفر تا
$\pi$
(شکل 7-5) می‌‌توان دید که مقدار متوسط آن بین 0 تا 1 است. جهت یافتن مقدار متوسط نیازبه محاسبه مساحت
$A$
 زیر نمودار و سپس تقسیم این مساحت بر طول فاصله
$\pi-0=\pi$
است.

راه ساده‌ای جهت تعیین مساحت نیست بنابراین آن را با مجموع متناهی تقریب می‌‌کنیم. جهت بدست آوردن تقریب جمع فوقانی ، مساحت‌های 8 مستطیل با پهنای مساوی 
$\pi/8$
که همگی شامل ناحیه زیر نمودار 
$y=\sin x$
 و بالای محور
$x$
 در بازه 
$[0,\pi]$
 واقع است در  نظر می‌‌گیریم.
ارتفاع هر مستطیل را بیشترین مقدار آن در هر زیر بازه در نظر بگیرید. در یک زیر بازه‌ی خاص، این مقدار ممکن است در نقطه‌ی انتهایی چپ، نقطه‌ی انتهایی راست یا نقطه‌ای بین این دو قرار داشته باشد. مقدار $\sin x$ در این نقطه را به عنوان ارتفاع مستطیل  در نظر بگیرید تا  تقریب اضافی بدست آید. آن گاه  مجموع  مستطیل ‌ها ، کل مساحت را تقریب می‌‌زند (شکل 7-5).
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
A&\approx \left(\sin\frac{\pi}{8}+\sin\frac{\pi}{4}+\sin\frac{3\pi}{8}+\sin\frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi}{2}+\frac{\sin5\pi}{8}\right.\\
&\left.+\sin\frac{3\pi}{4}+\sin\frac{7\pi}{8}\right)\cdot\frac{\pi}{8}\\
&\approx(0.38+0.71+0.92+1+1+0.92+0.71+0.38)\frac{\pi}{8}\\
&=2.365
\end{align*}
مساحت  تقریب زده شده بر 
$\pi$
 تقسیم می‌‌شود و برای متوسط $\sin x$ مقدار 
$(2.365)/\pi\approx0.753$
 تقریب زده می‌‌شود.

\begin{figure}[h]
\centerline{\includegraphics[width=6cm]{5-7.png}}
\caption{\label{sh5-7}\small با استفاده از 8 مستطیل سطح زیر نمودار
$f(x)=\sin x$
 از صفر تا
$\pi$
تقریب زده  و مقدار متوسط $\sin x$ در 
$[0,\pi]$
 محاسبه می‌‌شود (مثال4).}
\end{figure}
چون مجموع  بالایی را در تقریب مساحت بکار بردید، این تخمین از مقدار  متوسط واقعی$\sin x$ در 
$[0,\pi]$
 بیشتر است. اگر مستطیل‌های بیشتری را بکارببرید که هر مستطیل هر بار باریک تر می‌‌شود، مقدار  نزدیک تری نسبت به مقدار واقعی بدست خواهید آورد.  با استفاده از روش‌های معرفی شده در بخش 3-5 نشان داده خواهد شد که مقدار واقعی متوسط عبارت است از:
$2/\pi\approx0.64$.\\
طبق روال قبل  می‌‌توانستید مستطیل‌های واقع  در زیر نمودار $y=\sin x$ را بکاربرید و تقریب جمع پایینی  را محاسبه کنید، یا قاعده‌ی نقطه‌ی میانی را بکار برید. در بخش 3-5، خواهید دید در هر حال، اگر همه‌ی مستطیل‌ها به اندازه‌ی کافی نازک باشند، تقریب حاصل به مقدار واقعی نزدیکتر خواهد بود.
\end{solution}
\begin{table}
\caption{مقدار میانگین $\sin x$ روی $0\leq x\leq \pi$}
$$
\begin{array}{c|c}
\text{تعداد زیربازه‌ها}&\text{مقدار تخمین زده شده}\\
\hline
8&0.75342\\
16&0.69707\\
32&0.65212\\
50&0.64657\\
100&0.64161\\
1000&0.63712\\
\end{array}
$$
\end{table}

 \subsubsection{خلاصه}
 سطح زیر نمودار یک تابع مثبت، مسافت پیموده شده توسط شئی  که تغییر جهت نمی دهد و مقدار میانگین یک تابع نامنفی در یک فاصله همگی توسط مجموع  متناهی قابل تقریب اند. ابتدا فاصله به زیرفواصل  تقسیم می‌‌شود و با تابع $f$  چنان رفتار می‌‌شود که گویی در هر یک از زیر فواصل خاص، ثابت باشد. آن گاه پهنای هر زیرفاصله را در مقدار $f$ در بعضی نقاط داخل ضرب کرده و سپس حاصل ضرب‌ها را با هم جمع کنید. اگر فاصله 
$[a,b]$
  به 
$n$
 زیر فاصله با طول مساوی 
$\Delta x=(b-a)/n$
 تقسیم شود و اگر 
$f(c_k)$
 مقدار $f$ در نقطه‌ی انتخاب شده‌ی $c_k$ در زیرفاصله $k$ام باشد، این روند جمع متناهی را تشکیل می‌‌دهد:
$$f(c_1)\Delta x+f(c_2)\Delta x+\cdots+f(c_n)\Delta x$$
انتخاب
$c_k$،
 مقدار ماکسیمم یا مینیمم 
$f$
 یا مقداری بین این دو را در زیرفاصله $k$ام به دست می‌‌دهد. مقدار واقعی، بین تقریب‌های اضافی و نقصانی واقع می‌‌شود. در صورتی که از زیرفواصل با پهنای کوچکتر استفاده شود. تقریب‌های جمع متناهی، تقریب‌های بهتری خواهند بود.       
\section*{تمرین 1-5}
\addcontentsline{toc}{section}{تمرین 1-5}
\subsubsection*{مساحت}
در تمرین‌های 1 تا 4 تقریب‌های متناهی را جهت برآورد سطح زیر نمودار با بکار بردن موارد زیر بدست آورید.
 \begin{enumerate}
\item[(الف)]
 مجموع پایینی با دو مستطیل با عرض‌های مساوی
\item[(ب)] 
مجموع پایینی با چهار مستطیل با عرض‌های مساوی
\item[(ج)] 
مجموع بالایی با دو مستطیل با عرض‌های مساوی
\item[(د)]
مجموع بالایی با چهار مستطیل با عرض‌های مساوی
\item $f(x)=x^2$ بین $x=0$ و $x=1$ 
\item $f(x)=x^3$ بین $x=0$ و $x=1$ 
\item $f(x)=1/x$ بین $x=1$ و $x=5$ 
\item $f(x)=4-x^2$ بین $x=-2$ و $x=2$ 
 \end{enumerate}
 در تمرین‌های 5 تا 8 با استفاده از مستطیل‌هایی که ارتفاع آن‌ها با مقدار تابع در نقاط میانی قاعده‌ی مستطیل قرار داده می‌‌شود. مساحت زیر نمودار تابع‌های داده شده را تقریب بزنید. ابتدا از دو مستطیل و سپس از چهار مستطیل استفاده کنید.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{4}
\item $f(x)=x^2$ بین $x=0$ و $x=1$ 
\item $f(x)=x^3$ بین $x=0$ و $x=1$ 
\item $f(x)=1/x$ بین $x=1$ و $x=5$ 
\item $f(x)=4-x^2$ بین $x=-2$ و $x=2$ 
\end{enumerate}
\subsubsection*{مسافت}
 \begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{8}
\item 
\textbf{مسافت پیموده شده.}
جدول زیر، سرعت یک موتور شبیه سازی شده‌ی قطار را نشان می‌‌دهد که در مدت 10 ثانیه در امتداد مسیری حرکت می‌‌کند. مسافت طی شده‌ی موتور را با استفاده از 10 زیر بازه با طول 1 و
\item[(الف)]
مقادیر نقطه‌ی انتهایی چپ
\item[(ب)] 
مقادیر نقطه‌ی انتهایی راست

تقریب بزنید.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{زمان}&\text{سرعت}&\text{زمان}&\text{سرعت}\\
\text{\small (ثانیه)}&\text{\small (سانتیمتر بر ثانیه)}&\text{\small (ثانیه)}&\text{\small (سانتیمتر بر ثانیه)}\\
\hline
0&0&6&11\\\hline
1&12&7&6\\\hline
2&22&8&2\\\hline
3&10&9&6\\\hline
4&5&10&0\\\hline
5&13&&\\
\hline
\end{array}$$
\item 
\textbf{مسافت طی شده در جهت مخالف جریان رود خانه.}
فرض کنید که در ساحل یک رود خانه‌ی مواج نشسته اید ویک بطری را تماشا می‌‌کنید که موجی آن را در جهت مخالف جریان رود خانه حرکت می‌‌دهد. همچنین فرض کنید که سرعت جریان آب را طی یک ساعت، هر 5 دقیقه یک بار در جدول زیر ثبت کرده اید. 
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
\text{زمان}&\text{سرعت}&\text{زمان}&\text{سرعت}\\
\text{\small (برحسب دقیقه)}&\text{\small (متر بر ثانیه)}&\text{\small (برحسب دقیقه)}&\text{\small (متر بر ثانیه)}\\
\hline
0&1&35&1.2\\\hline
5&1.2&40&1.0\\\hline
10&1.7&45&1.8\\\hline
15&2.0&50&1.5\\\hline
20&1.8&55&1.2\\\hline
25&1.6&60&0\\\hline
30&1.4&&\\
\hline
\end{array}$$
در این یک ساعت، بطری چه مسافتی را به سمت بالای رودخانه طی می‌‌کند؟ با استفاده از 12 زیربازه به طول 5 و
\item[(الف)]
مقادیر نقطه‌ی انتهایی چپ 
\item[(ب)] 
مقادیر نقطه‌ی انتهایی راست

این مسافت راتقریب بزنید.
\item 
\textbf{طول جاده.}
فرض کنید در یک جاده‌ی خاکی پر از پیچ و خم رانندگی می‌‌کنید؛ سرعت سنج اتومبیل‌تان کار می‌‌کند، اما کیلومتر شمار آن شکسته است. برای آن که طول این جاده‌ی خاکی را بیابید، سرعت اتومبیل را در بازه‌های 10 ثانیه‌‌ای، در جدول زیر، ثبت کرده اید. طول جاده را با استفاده از:
\item[(الف)]
مقادیر نقطه‌ی انتهایی چپ،
\item[(ب)] 
مقادیر نقطه‌ی انتهایی راست، تقریب بزنید.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
\text{زمان}&\text{سرعت}&\text{زمان}&\text{سرعت}\\
\text{\small (ثانیه)}&\text{\small (به متر بر ثانیه }&\text{\small (ثانیه)}&\text{\small (به متر بر ثانیه }\\
&\text{\small تبدیل شده)}&&\text{\small تبدیل شده)}\\
\hline
0&0&70&15\\\hline
10&44&80&22\\\hline
20&15&90&35\\\hline
30&35&100&44\\\hline
40&30&110&30\\\hline
50&44&120&35\\\hline
60&35&&\\
\hline
\end{array}$$
\item 
مسافت با استفاده از داده‌های سرعت. جدول ضمیمه، اطلاعات مربوط به سرعت یک اتومبیل ویژه‌ی مسابقه را نشان می‌‌دهد که در 36 ثانیه (یک ده هزارم ساعت) از صفر به
$142{\rm mil}/{\rm h}$
مایل بر ساعت شتاب می‌‌گیرد.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline\text{زمان}&\text{سرعت}&\text{زمان}&\text{سرعت}\\
\text{\small (ثانیه)}&\text{\small (به فوت بر ثانیه }&\text{\small (ثانیه)}&\text{\small (به فوت بر ثانیه }\\
&\text{\small تبدیل شده)}&&\text{\small تبدیل شده)}\\
({\rm sec})&(30{\rm mil}/{\rm h}=44{\rm ft}/{\rm s})&({\rm sec})&(30{\rm mil}/{\rm h}=44{\rm ft}/{\rm s})\\
\hline
0&0&70&15\\\hline
10&44&80&22\\\hline
20&15&90&35\\\hline
30&35&100&44\\\hline
40&30&110&30\\\hline
50&44&120&35\\\hline
60&35&&\\
\hline
\end{array}$$
\item[(الف)]
با استفاده از مستطیل ها، مسافتی را که سرعت اتومبیل در 36 ثانیه طی می‌‌کند تا از صفر به
$142{\rm mil}/{\rm h}$
 برسد، تقریب بزنید.
\item[(ب)] 
تقریبا چند ثانیه طول می‌‌کشد تا اتومبیل به نقطه‌ی میانی راه برسد؟ در آن لحظه، تندی اتومبیل چه قدر بوده است؟
\includegraphics[width=7cm]{5-7-1.png}
\item 
\textbf{سقوط آزاد با در نظر گرفتن مقاومت هوا.}
جسمی از درون یک بالگرد پرتاب می‌‌شود. با گذشت زمان، سرعت جسم بیش تر و بیش تر می‌‌شود. اما شتاب آن (یعنی آهنگ تغییر سرعتش) به علت مقاومت هوا کاهش می‌‌یابد. شتاب بر حسب فوت بر ثانیه اندازه گیری شده و به مدت 5 ثانیه پس از سقوط در هر ثانیه مطابق جدول زیر ثبت شده است.
$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
t&0&1&2&3&4&5\\
\hline
a&32.00&19.41&11.77&7.14&4.33&2.63\\
\end{array}
$$
\item[(الف)]
تقریب بالا را برای تندی در 
$t=5$
بیابید.
\item[(ب)] 
تقریب پایین را برای تندی در
$t=5$
 بیابید.
\item[(ج)]
تقریب بالا را برای مسافت سقوط در $t=3$ بیابید.
\item 
\textbf{مسافت پیموده شده یک پرتابه.}
جسمی از سطح دریا با سرعت اولیه‌ی 
$400{\rm ft}/{\rm sec}$
 به طور مستقیم به طرف بالا پرتاب می‌‌شود.
\item[(الف)]
فرض کنید که گرانش، تنها نیرویی باشد که بر جسم اثر می‌‌گذارد. یک تقریب بالا برای سرعت پرتابه 5 ثانیه پس از سقوط بیابید. شتاب گرانش را $g=32{\rm ft}/{\rm sec}^2$ در نظر بگیرید.
\item[(ب)] 
یک تقریب پایین را برای ارتفاع پرتابه پس از 5 ثانیه به دست آورید.
\end{enumerate}
\subsubsection*{مقدار متوسط تابع}
در تمرین‌های 15 تا 18 با افراز فاصله داده شده به  زیر فاصله با طول برابر و با ارزیابی 
$f$
 در نقاط میانی زیر فاصله مجموع متناهی طول‌های مساوی تقسیم کنید و مقدار $f$ را در نقاط میانی هر زیر بازه تعیین کنید.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{14}
\item $f(x)=x^3$ روی $[0,2]$
\item $f(x)=1/x$ روی $[1,9]$
\item $f(x)=(1/2)+\sin^2\pi t$ روی $[0,2]$\\
\includegraphics[width=5.5cm]{5-7-2.png}
\item $f(x)=1-(\cos(\pi t)/4)^4$ روی $[0,4]$\\
\includegraphics[width=5.3cm]{5-7-3.png}
\end{enumerate}
مثال‌های از تقریب زدن
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{18}
\item 
\textbf{آلودگی آب.}
از یک تانکر آسیب دیده در دریا، نفت چکه می‌‌کند. با توجه به این که نشت نفت در هر ساعت بیش تر می‌‌شود (بنا بر جدول زیر) به نظر می‌‌رسد که آسیب دیدگی تانکر در حال بیش تر شدن است.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
\text{زمان}&\text{نشتی}&\text{زمان}&\text{نشتی}\\
\text{\small (ساعت)}&\text{\small (گالن در ساعت)}&\text{\small (ساعت)}&\text{\small (لیترگالن در }\\
\hline
0&50&5&265\\\hline
1&70&6&369\\\hline
2&97&7&516\\\hline
3&136&8&720\\\hline
4&190&&\\
\hline
\end{array}$$
\item[(الف)]
 یک تقریب بالا و یک تقریب پایین برای مقدار کل نفتی که پس از 5 ساعت نشت کرده است ، بیابید.
\item[(ب)] 
قسمت الف را برای مقدار نشت پس از 8 ساعت تکرار کنید.
\item[(ج)] 
پس از 8 ساعت اول، نشت نفت از تانکر با آهنگ 
$720{\rm gal}/{\rm h}$
 ادامه پیدا می‌‌کند. اگر تانکر در ابتدا حاوی 
$25,000$
 گالن نفت باشد، تقریبا چند ساعت دیگر طول می‌‌کشد تا در بدترین شرایط تمام نفت از تانکر نشت کند؟ در بهترین شرایط، چه طور؟
\item 
آلودگی هوا. یک نیروگاه برق، با سوزاندن نفت، الکتریسیته تولید می‌‌کند. مواد آلاینده‌ی تولیده شده در اثر سوزاندن نفت، توسط فیلترهای دودکش جذب می‌‌شود. با گذشت زمان، کارآیی فیلترها کم شده و هنگامی که میزان آلودگی از سطح استاندارد بیش تر شود، فیلترها تعویض می‌‌شوند.
میزان آلودگی در پایان هر ماه، با تعیین آهنگ انتشار مواد آلاینده به  جو، مطابق جدول زیر اندازه گیری می‌‌شود.
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{ماه}&\text{آهنگ آلودگی}&\text{ماه}&\text{آهنگ آلودگی}\\
&\text{متر تن در روز}&&\text{متر تن در روز}\\
\hline
\text{ژانویه}&0.20&\text{جولای}&0.63\\\hline
\text{فوریه}&0.25&\text{آگوست}&0.70\\\hline
\text{مارس}&0.25&\text{سپتامبر}&0.70\\\hline
\text{آوریل}&0.25&\text{اکتبر}&0.70\\\hline
\text{می}&0.25&\text{نوامبر}&0.70\\\hline
\text{ژوئن}&0.25&\text{دسامبر}&0.70\\\hline
\end{array}
$$
\item[(الف)]
با فرض 30 روز بودن ماه و اینکه مکنده جدید تنها – اجازه رها شدن می‌‌دهد کران بالایی از شناژ آلاینده رها شده تا پایان ما ژوئن ارائه می‌‌کند. کران پایین آن چقدر است؟
\item[(ب)] 
در بهترین شرایط تقریبا چه موقع 125 تن از مواد آلاینده به جو رها شده است؟
\item 
یک 
$n$
 وجهی منتظم را درون دایره‌ای به شعاع 1 محاط کنید و جهت مقادیر زیر از $n$ مساحت چند وجهی را بیابید.
\item[(الف)] $n=4$
(مربع)
\item[(ب)] $n=8$
(هشت ضلعی)
\item[(ج)] 
$n=16$
\item[(د)]
 مساحت‌های حاصل در قسمت‌های الف و ب و پ را با مساحت دایره مقایسه کنید.
\item 
(ادامه‌ی تمرین 21)
\item[(الف)]
یک $n$ وجهی منتظم را در داخل دایره‌ای به شعاع 1 محاط کنید و تنها مساحت یکی از مثلث‌های  تشکیل شده از رسم شعاع‌های دایره به رئوس چند وجهی را بیابید.
\item[(ب)] 
وقتی $n\to\infty$ حد مساحت چند ضلعی محاط شده را محاسبه کنید.
\item[(پ)] 
محاسبات خود را در قسمت‌های الف و ب را برای دایره‌ای به شعاع $r$ تکرار کنید.
\end{enumerate}
\subsubsection*{کاوش کامپیوتری}
در تمرین‌های 23 تا 26 از
\lr{CAS}
  برای انجام مراحل زیر استفاده کنید.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{22}
\item[(الف)]
تابع را در فاصله داده شده رسم کنید.
\item[(ب)] 
فاصله را به 
$n=100,200,1000$
 زیر فاصله با فواصل مساوی تقسیم نموئده و مقدار تابع را در نقطه‌ی میانی هر زیر فاصله تعیین کنید.
\item[(پ)] 
مقدار متوسط مقادیر تابع را در قسمت ب به دست آورده اید محاسبه کنید.
\item[(ت)]
معادله‌ی
$(f(x)=\text{مقدار میانگین})$
را برای
$n=1000$
  حل کنید؛ بدین ترتیب که از مقدار متوسطی که در قسمت پ برای 
$f$
 محاسبه کرده اید استفاده کنید.
\item $f(x)=\sin x$ روی $[0,\pi]$
\item $f(x)=\sin^2 x$ روی $[0,\pi]$
\item $f(x)=x\sin x(1/x)$ روی $[\pi/4,\pi]$
\item $f(x)=x\sin^2(1/ x)$ روی $[\pi/4,\pi]$
\end{enumerate}
\section{نماد سیگما و حدود مجموع‌های متناهی}
در برآورد با مجموع‌های متناهی در بخش 1-5، با مجموع‌هایی با تعداد جملات بیشمار مواجه می‌‌شویم (برای مثال، در جدول 1-5، هزار جمله). در این بخش، نماد مناسب جهت مجموع‌هایی با تعداد جملات بزرگ معرفی می‌‌شود. پس از معرفی نماد و ذکر برخی از خواص آن، تقریب جمع متناهی را به عنوان تعدادی جمله که به بی نهایت میل می‌‌کنند، در نظر گرفته و بررسی می‌‌شوند.
\subsubsection{مجموع‌های متناهی و نماد سیگما}
نماد سیگما ما را قادر می‌‌سازد که مجموعی با تعداد جملات زیاد را در شکل فشرده بنویسیم:
$$\sum^n_{k=1}a_k=a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n$$
 حرف یونانی 
$\sum$
 (سیگمای بزرگ، متناظر با حرف $S$)، جهت مجموع بکار می‌‌رود. زیرنویس جمع بندی 
$k$
  زیر نماد سیگما بیان می‌‌کند که سیگما از کجا شروع شده و در کجا پایان می‌‌یابد. هر حرفی جهت بیان سیگما بکار می‌‌رود و سه حرف 
$i,j,k$
  مصطلح ترند.
\begin{center}
\includegraphics[width=8.5cm]{5-7-4.png}
\end{center}
 بنابراین، می‌‌توان نوشت:
$$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+9^2+10^2+11^2=\sum^{11}_{k=1}k^2$$
 و 
$$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(100)=\sum^{100}_{i=1}f(i)$$
 لزومی ندارد که حد پایین سیگما عدد 1 باشد؛ بلکه می‌‌تواند هر عددی باشد.
\begin{example}
\begin{footnotesize}
$$\begin{array}{ccc}
\hline
\text{یک مجموع}&\text{مجموع نوشته شده به ازای}&\text{مقدار مجموع}\\
\text{در نماد سیگما}&\text{یک جمله}~k\text{هر مقدار }&\\
\hline
\displaystyle\sum^5_{k=1}k&1+2+3+4+5&15\\
\hline
\displaystyle\sum^3_{k=1}(-1)^kk&(-1)^1(1)+(-1)^2(2)+(-1)^3(3)&-1+2-3=-2\\
\hline
\displaystyle\sum^2_{k=1}\frac{k}{k+1}&\dfrac{1}{1+1}+\dfrac{2}{2+1}&\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{7}{6}\\
\hline
\displaystyle\sum^5_{k=4}\frac{k^2}{k-1}&\dfrac{4^2}{4-1}+\dfrac{5^2}{5-1}&\dfrac{16}{3}+\dfrac{25}{4}=\dfrac{139}{12}\\
\hline
\end{array}$$
\end{footnotesize}
\end{example}
\begin{example}
مجموع
$1+3+5+7+9$
 را در نماد سیگما بیان کنید.
\end{example}
\begin{solution}
فرمول تولید کننده جملات با حد پایین جمع بندی تغییر می‌‌کند اما جملات تولید شده یکسان هستند اغلب ساده‌ترین روش شروع با 
$k=0$ یا $k=1$
 است؛ اما می‌‌توان با هر عددی شروع کرد.\\
اگر با $k=0$ شروع کنیم 
$\displaystyle 1+3+5+7+9=\sum^4_{k=0}(2k+1)\hfill$\vspace{3mm}\\
اگر با $k=1$ شروع کنیم 
$\displaystyle 1+3+5+7+9=\sum^5_{k=1}(2k-1)\hfill$\vspace{3mm}\\
 اگر با $k=2$ شروع کنیم 
$\displaystyle 1+3+5+7+9=\sum^6_{k=2}(2k-3)\hfill$\vspace{3mm}\\
اگر با $k=3$ شروع کنیم 
$\displaystyle 1+3+5+7+9=\sum^1_{k=-3}(2k+7)\hfill$
\end{solution}
وقتی مجموع به صورت 
$$\sum^3_{k=1}(k+k^2)$$
است.
جملات آن را به طریق زیر مجددا آرایش می‌‌کنیم 
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
\sum^3_{k=1}(k+k^2)&=(1+1^2)+(2+2^2)+(3+3^2)\\
&=(1+2+3)+(1^2+2^2+3^2)\\
&=\sum^3_{k=1}k+\sum^3_{k=1}k^2
\end{align*}
این عمل یک قاعده‌ی کلی جهت مجموع‌های متناهی را نشان می‌‌دهد.
$$\sum^n_{k=1}(a_k+b_k)=\sum^n_{k=1}a_k+\sum^n_{k=1}b_k$$
 4 نوع از این قواعد داده شده اند. دلیل معتبر بودن این قواعد می‌‌تواند از استقرای ریاضی بدست آید (پیوست 2).
\begin{pbox}
\textbf{قواعد جبری جهت مجموع‌های متناهی}
\begin{enumerate}
\item  
قاعده‌ی جمع 
$$\sum^n_{k=1}(a_k+b_k)=\sum^n_{k=1}a_k+\sum^n_{k=1}b_k$$
\item 
قاعده‌ی تفاضل
$$\sum^n_{k=1}(a_k-b_k)=\sum^n_{k=1}a_k-\sum^n_{k=1}b_k$$ 
\item 
قاعده‌ی مضرب ثابت
$$\sum^n_{k=1}Ca_k=C\sum^n_{k=1}a_k$$ 
\item 
قاعده‌ی مقدار ثابت 
$$\sum^n_{k=1}C=n.C$$
\end{enumerate}
\end{pbox}
\begin{example}
استفاده از قواعد جبری را اثبات می‌‌کنیم.
\begin{enumerate}
\item[(الف)]
قوانین تفاضل و مضرب ثابت
$$\sum^n_{k=1}(3k-k^2)=3\sum^n_{k=1}k-\sum^n_{k=1}k^2$$
\item[(ب)] 
قانون مضرب ثابت 
$$\sum^n_{k=1}(-a_k)=\sum^n_{k=1}(-1)\cdot a_k=-\sum^n_{k=1}a_k=-\sum^n_{k=1}a_k$$
\item[(پ)]  
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
\sum^3_{k=1}(k+4)&=\sum^3_{k=1}+\sum^3_{k=1}4&\text{قانون مجموع}\\
&=(1+2+3)+(3\cdot 4)&\text{قانون مقدار ثابت}\\
&=6+12=18
\end{align*}
\item[(ت)] 
قانون مقدار ($1/n$ 
ثابت است)
$\displaystyle\sum^n_{k=1}\frac{1}{n}=n:\frac{1}{n}=1\hfill$
\end{enumerate}
\end{example}
در طول سالیان متمادی که مردمان فرمول‌های متنوعی رامقادیر مجموع متناهی بدست می‌‌آوردند. مهمترین فرمول‌ها مربوط به 
$n$
 عدد صحیح اول گفته شده است که گاوس آن را در سن هشت سالگی بیان کرد، و فرمول‌های مجموع مربعات و مجموع مکعبات $n$ عدد صحیح اول بود.
\begin{example}
نشان دهید که مجموع $n$ عدد صحیح اول برابر 
$$\sum^n_{k=1}k=\frac{n(n+1)}{2}$$
 است.
\end{example}
\begin{solution}
فرمول فوق می‌‌گوید مجموع چهار عدد اول، برابر 
$\dfrac{(4)(5)}{2}=10$
است.
این چهار عدد این ادعا را تایید می‌‌کند
$$1+2+3+4=10$$
 جهت اثبات فرمول در حالت کلی، جملات در مجموع  را دو بار، یک بار از اول به آخر و بار دیگر از آخر به اول به تفضیل می‌‌نویسیم
\begin{align*}
&1+2+3+\cdots+n\\
&n+(n+1)+(n+2)+\cdots+1
\end{align*}
اگر دو جمله در ستون اول را با هم جمع کنیم خواهیم داشت:
$1+n=n+1$
 و جمع 2 جمله در هر ستون برابر 
$n+1$
  است و داریم:
  $2+(n-1)=n+1$
گویی که مجموع هر دو جمله در هر ستون، برابر 
$n+1$
است. بدین ترتیب، اگر $n$ ستون را با هم جمع کنیم، $n$ جمله خواهیم داشت که هر یک برابر  $n+1$ است، و در نتیجه، مجموع آن‌ها برابر 
$n(n+1)$
 خواهد شد. از آن جا که جمله‌های اصلی دو بار نوشته شده اند، مجموع نخستین $n$ عدد صحیح اول باید برابر با نصف حاصل $n(n+1)/2$ باشد.
\end{solution}
با استفاده از استقرای ریاضی فرمول‌های مجموع مربعات و مکعب‌های نخستین $n$ عدد صحیح اثبات می‌‌شود (پیوست 2). این فرمول‌ها در اینجا بیان می‌‌شوند.
\begin{pbox}
مجموع نخستین $n$ عدد مربع 
$$\sum^n_{k=1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
مجموع نخستین $n$ عدد مکعب 
$$\sum^n_{k=1}k^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$$
\end{pbox}
\subsubsection{حد مجموع‌های متناهی}
 تقریب‌های مجموع‌های متناهی که در بخش 1-5 در نظر گرفتیم با افزایش تعداد جملات  و باریک تر شدن پهنای زیرفاصله‌ها دقیق تر می‌‌شوند. مثال بعدی، نشان می‌‌دهد وقتی پهنای زیر فواصل به سمت صفر میل کند تعداد جملات به بی نهایت افزایش می‌‌یابد چگونه مقدار حد را محاسبه کنیم.
\begin{example}
مقدار حدی تقریب‌های مجموع پایینی مساحت ناحیه‌ی 
$R$
 را بدست آورید که زیر نمودار 
$y=1-x^2$
 و در فاصله 
$[0,1]$
 بالای محور $x$‌ها واقع است. با استفاده از مستطیل‌هایی که پهنای آن‌ها به صفر  و تعداد آن‌ها به  بی نهایت میل می‌‌کند (شکل 4-5 الف).
\end{example}
\begin{solution}
با استفاده از $n$ مستطیل با پهنای ساده و مساوی
$\Delta x=(1-0)/n$
 تقریب مجموع پایینی محاسبه می‌‌شود. آن گاه وقتی 
$n\to\infty$
 ملاحظه می‌‌کنید، چه اتفاقی خواهد افتاد. با تقسیم
$[0,1]$
 به $n$ زیربازه با پهنای مساوی کار را شروع کنید.
$$\left[0,\frac{1}{n}\right],~~~~\left[\frac{1}{n},\frac{2}{n}\right]~,~\cdots~,~\left[\frac{n-1}{n},\frac{n}{n}\right]$$
در هر زیر فاصله 
$1/n$
 است. تابع 
$1-x^2$ روی $[0,1]$
 نزولی است و کم ترین مقدار آن  در هر زیر فاصله، نقاط راست زیر فاصله اتفاق می‌‌افتد. بنابراین یک مجموع پایینی با مستطیل‌هایی که ارتفاع آ ن‌ها هم در زیر فاصله‌ی 
$[(k-1)/n,k/n]$
برابر 
$f(k/n)=1-(k/n)^2$
 است. این جمع عبارت است از:
\begin{align*}
\left[f\left(\frac{1}{n}\right)\right]\left(\frac{1}{n}\right)+\left[f\left(\frac{2}{n}\right)\right]\left(\frac{1}{n}\right)+\cdots+~~~~~~~~~~~~~\\
\left[f\left(\frac{k}{n}\right)\right]\left(\frac{1}{n}\right)+\cdots+\left[f\left(\frac{n}{n}\right)\right]\left(\frac{1}{n}\right)
\end{align*}
 این نتیجه را با نماد سیگما می‌‌نویسیم و آن را ساده می‌‌کنیم:
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
\sum^n_{k=1}f\left(\frac{k}{n}\right)\left(\frac{1}{n}\right)&=\sum^n_{k=1}\left[1-\left(\frac{k}{n}\right)^2\right]\left(\frac{1}{n}\right)\\
&=\sum^n_{k=1}\left[\frac{1}{n}-\frac{k^2}{n^3}\right]\\
&=\sum^n_{k=1}\frac{1}{n}-\sum^n_{k=1}\frac{k^2}{n^3}~~~\text{قانون تفاضل}\\
&=n\cdot\frac{1}{n}-\frac{1}{n^3}\sum^n_{k=1}k^2\\
&~~~~~\text{قاعده‌ی مقدار ثابت و مضرب ثابت }\\
&=1-\left(\frac{1}{n^3}\right)\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\
&~~~~~\text{قانون جموع توان دوم‌های اعداد طبیعی}\\
&=1-\frac{2n^3+3n^2+n}{6n^3}\text{بسط صورت کسر}\\
\end{align*}
 عبارتی جهت مجموع پایینی  بدست آوردیم  به ازای هر 
$n$
  برقرار است. با حد گرفتن از این عبارت، وقتی $n\to\infty$ خواهیم دید  تعداد زیر فواصل افزایش می‌‌یابد و پهنای زیر فواصل به صفر میل می‌‌کند، مجموع پایینی همگرا خواهد شد.
$$\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{2n^3+3n^2+n}{6n^3}\right)=1-\frac{2}{6}=\frac{2}{3}$$
 تقریب‌های مجموع پایینی  به 3/2 همگراست. محاسبات مشابهی نشان می‌‌دهد که تقریب‌های مجموع بالایی نیز به 3/2 همگراست. هر تقریب مجموع متناهی 
 $$\sum^n_{k=1}f(c_k)(1/n)$$
  نیز، به همام مقدار 3/2 همگراست. این اتفاق به این علت می‌‌افتد که می‌‌توان نشان داد  هر تقریب مجموع متناهی بین تقریب‌های مجموع بالایی و پایینی  قرار دارد. به این دلیل به سمتی حرکت  کنید که ناحیه‌ی 
 $R$
  را این مقدار حد تعریف کنید. در بخش 3-5 حدود یک چنین تقریب‌های مجموع‌ها دروضعیت کلی بررسی خواهد شد.
\end{solution}
\subsubsection{مجموع‌های ریمانی}
نظریه‌ی حدود تقریب‌های متناهی به صورت جامع و دقیق تر، توسط ریاضی دان آلمانی، برنارد ریمان 
\lr{Riemann sum}
ساخته شد.

اکنون نماد ریمان  معرفی می‌‌شود که زیر بنای تئوری  انتگرال معین است که در بخش آینده مطالعه شده است. با یک تابع دلخواه و کران دار
$f$
  که در بازه‌ی بسته
$[a,b]$
تعریف شده است، شروع کنید. مشابه تابع به تصویر کشیده شده  در شکل 8-5 ممکن است $f$ مقادیر مثبت، مقادیر منفی  را نیز اختیار کند. بازه‌ی 
$[a,b]$
 را به زیر فواصل $n$ نه الزاما با پهنای مساوی تقسیم می‌‌کنیم  و به همان طریقی  که جهت تقریب‌های متناهی  در بخش 1-5 عمل کردیم. مجموعه‌ها را تشکیل می‌‌دهیم. جهت انجام این کار، $(n-1)$ نقطه‌ی 
$\{x_1,x_2,\cdots,x_{n-1}\}$
 را بین $a$ و $b$ انتخاب می‌‌کنیم  که در رابطه زیر صدق می‌‌کند:
$$a<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<b$$
\begin{figure}[h]
\centerline{\includegraphics[width=6cm]{5-8.png}}
\caption{\label{sh5-8}\small نمودار تابع پیوسته‌ای مانند 
$y=f(x)$
در یک بازه‌ی بسته
$[a,b]$.}
\end{figure}
جهت هماهنگی نماد $a$ با $x_0$ و $b$ با $x_n$ نشان داده شده است بنابراین
$$a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<=b$$
 مجموعه‌ی 
$$P=\{x_0,x_1,x_2,\cdots,x_{n-1},x_n\}$$
 یک افراز از $[a,b]$ نامیده می‌‌شود.
 
 افراز 
$P$،
  بازه‌ی $[a,b]$ را به $n$ زیربازه تقسیم بندی می‌‌کند:
$$[x_0,x_1],[x_1,x_2],\cdots,[x_{n-1},x_n]$$
 اولین زیربازه 
$[x_0,x_1]$،
 دومین زیربازه 
$[x_1,x_2]$
 و 
$k$امین 
 زیربازه $P$، عبارت است از $[x_{n-1},x_n]$، که k عدد صحیح است بین 1 و $n$.\\
طول اولین زیربازه
$[x_0,x_1]$
را با 
$\Delta x_1$
 و دومین زیربازه $[x_1,x_2]$ با $\Delta x_2$ نشان داده شده است. طول $k$امین  زیربازه 
$\Delta x_k=x_k-x_{k-1}$
 است . اگر طول $n$ زیرفاصله، یکسان باشد، این طول مشترک برابر
$\Delta x=(b-a)/n$
 است.
\begin{center}
\includegraphics[width=8.5cm]{5-8-1.png}
\end{center}
 در هر زیرفاصله نقطه را انتخاب کنید. نقطه‌ای  را که در زیربازه 
$[x_{k-1},x_k]$
  انتخاب می‌‌شود 
 $c_k$
  بنامید. 
\begin{center}
\includegraphics[width=8.5cm]{5-8-2.png}
\end{center}
 سپس در هر زیربازه، یک مستطیل قائم از محور 
$x$
  تا رسیدن به منحنی در نقطه‌ی 
$(c_k,f(c_k))$
  رسم کنید. بسته به آن که $f(c_k)$ مثبت باشد یا منفی، این مستطیل‌ها بالا و پایین محور $x$ قرار می‌‌گیرند، یا اگر 
$f(c_k)=0$
  مستطیل روی محور $x$ واقع می‌‌شود. (شکل 9-5)
\begin{figure}[h]
\centerline{\includegraphics[width=8.5cm]{5-9.png}}
\caption{\label{sh5-9}\small مستطیل‌ها، ناحیه‌ی بین نمودار تابع 
$y=f(x)$
 و محور 
$x$
 را بطور تقریبی ارائه می‌‌کند. شکل 8-5 بزرگ شده است تا افراز 
$[a,b]$
 و انتخاب نقاط 
$c_k$،
 که مستطیل‌ها  رابه وجود می‌‌آورند، بهتر انجام شود.}
\end{figure}
\begin{figure*}[h]
\centerline{\includegraphics[width=14cm]{5-10.png}}
\caption{\label{sh5-10}\small منحنی شکل 9-5 با مستطیل‌های حاصل از افراز  ظریف تر 
$[a,b]$،
 افراز‌های  ظریف تر، مستطیل‌هایی با قاعده‌ی  باریک تر را تشکیل می‌‌دهند که ناحیه‌ی بین نمودار $f$ و محور $x$ را با دقت بیشتری تقریب می‌‌زند.}
\end{figure*}


در هر زیربازه، حاصل ضرب 
$f(c_k)\cdot\Delta x_k$
 را تشکیل دهید. مرتبط با علامت 
$f(c_k)$
 این حاصل ضرب  می‌‌تواند، مثبت، منفی یا صفر باشد. وقتی
$f(c_k)>0$،
 حاصل ضرب 
$f(c_k)\cdot\Delta x_k$
 مساحت مستطیلی به ارتفاع
 $[-f(c_k)]$
  و عرض $\Delta x_k$ است وقتی $f(c_k)<0$ حاصل ضرب $f(c_k)\cdot\Delta x_k$ عددی منفی است؛ منفی مساحت مستطیلی به عرض $\Delta x_k$ که ارتفاع آن از  محور
 $x$
  تا عدد منفی
  $f(c_k)$
   امتداد دارد.
  
 سرانجام، همه‌ی این حاصل ضرب‌ها را با هم جمع کنید:
$$S_P=\sum^n_{k=1}f(c_k)\Delta x_k$$
 جمع
$S_P$،
  جمع ریمان برای
 $f$
  در بازه‌ی
$[a,b]$
  نامیده می‌‌شود. تعداد این جمع‌ها زیاد است و به افراز
 $P$
   و انتخاب نقاط 
 $c_k$
 در زیربازها بستگی دارد. برای مثال، می‌‌توان برای تشکیل جمع ریمانی 
 (مثال5)
 $n$،
 زیربازه با طول مساوی 
 $\Delta=(b-a)/n$
 برای افراز $P$ انتخاب کنید و نقطه‌ی $c_k$ را نیز نقطه‌ی انتهایی سمت راست هر بازه  در نظر بگیرید. این انتخاب به فرمول  جمع ریمانی  
$$S_n=\sum^n_{k=1}f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)\cdot\left(\frac{b-a}{n}\right)$$
منتهی می‌‌شود.
فرمول‌های مشابهی با انتخاب $c_k$ در نقاط  انتهایی چپ و راست و یا نقاط میانی در هر زیربازه بدست می‌‌آید.\\
 در حالاتی  که در آن‌ها زیربازها دارای پهنای یکسان  $\Delta x=(b-a)/n$ باشند. با افزایش تعداد $n$  به سادگی می‌‌توان آن‌ها را باریک تر کرد. وقتی  افرازی شامل زیرفواصل با طول‌های متفاوت است، با کنترل کردن طول بلندترین زیرفاصله، می‌‌توان از باریک بودن همه‌ی زیرفواصل اطمینان حاصل کرد. نرم افراز
$P$
  را که به صورت 
 $||P||$
 نوشته می‌‌شود، به صورت بزرگ ترین زیرفاصله تعریف می‌‌کنیم .اگر  $||P||$ عدد کوچکی باشد، آن گاه همه‌ی زیر فواصل  افراز $P$ طول کوچکی دارند. به مثالی در این مورد توجه کنید.
\begin{example}
مجموعه‌ی
$P=\{0,0.2,0.6,1,1.5,2\}$
افرازی از 
$[0,2]$
 است. بنابراین پنج زیرفاصله به فرم 
$$[0,0.2],~[0.2,0.6],~[0.6,1],~[1,1.5],~[1.5,2]$$
وجود دارد.
\begin{center}
\includegraphics[width=8.5cm]{5-10-1.png}
\end{center}
 طول زیرفاصله‌ها برابر 
$$\Delta x_1=0.2,\Delta x_2=0.4,\Delta x_3=0.4,\Delta x_4=0.5,\Delta x_5=0.5$$
  است.
طول بزرگ ترین زیرفاصله
$0.5$
 است. بنابراین نرم افراز 
$||P||=0.5$
است. در این مثال، دو زیرفاصله  دارای چنین طولی هستند.
\end{example}
 هر مجموع ریمان متناظر با یک افراز از فاصله  بسته‌ی
 $[a,b]$
 مستطیل‌هایی را تعریف می‌‌کند که ناحیه‌ی بین  نمودار تابع پیوسته‌ی
$f$ 
  و محور $x$ را تعریف می‌‌کند. افرازهایی با نرم میل کننده به صفر، به مجموعه‌ای از مستطیل‌هایی منتهی می‌‌شوند که این ناحیه را با دقت بیشتر و بیشتری تقریب می‌‌زنند (شکل 10-5). در بخش بعد خواهید دید که اگر $f$ تابعی پیوسته در بازه‌ی بسته – باشد، آن گاه بدون توجه به این افراز 
$P$
  و نقاط 
 $c_k$
  را برای تشکیل  جمع ریمانی  چگونه در زیرفواصل انتخاب کنید. وقتی  طول زیرفواصل که توسط نرم افراز کنترل می‌‌شود، به صفر میل کند، جمع ریمانی به یک حد واحد میل می‌‌کند.
\section*{تمرین 2-5}
\addcontentsline{toc}{section}{تمرین 2-5}
\subsubsection*{نماد سیگما}
مجموعه‌های تمرین‌های 1 تا 6 را بدون نماد سیگما بنویسید؛ سپس آن را ارزیابی کنید.
\begin{multienumerate}
\renewcommand{\labelenumi}
{\addtocounter{enumi}{1}\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{0}
\mitemxx{$\displaystyle \sum^2_{k=1}\frac{6k}{k+1}$}{$\displaystyle \sum^3_{k=1}\frac{k-1}{k}$}
\mitemxx{$\displaystyle \sum^4_{k=1}\cos k\pi$}{$\displaystyle \sum^5_{k=1}\sin k\pi$}
\mitemxx{$\displaystyle \sum^3_{k=1}(-1)^{k+1}\sin\frac{\pi}{k}$}{$\displaystyle \sum^4_{k=1}(-1)^k\cos k\pi$}
\end{multienumerate}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{6}
\item 
کدام یک از نماد‌های سیگمای زیر بیان کننده 
$1+2+4+8+16+32$
می‌‌باشد.
\begin{multicols}{2}
\item[(الف)]
$\displaystyle \sum^6_{k=1}2^{k-1}$
\item[(ب)] 
$\displaystyle \sum^5_{k=0}2^k$
\item[(پ)] 
$\displaystyle \sum^4_{k=-1}2^{k+1}$
\end{multicols}
\item 
کدام یک از نماد‌های سیگما بیان کننده 
$1-2+4-8+16-32$
 می‌‌باشد.
\begin{multicols}{2}
\item[(الف)]
$\displaystyle \sum^6_{k=1}(-2)^{k-1}$
\item[(ب)] 
$\displaystyle \sum^5_{k=0}(-1)^k2^k$
\item[(پ)] 
$\displaystyle \sum^3_{k=-2}(-1)^{k+1}2^{k+2 }$
\end{multicols}
\item 
کدام یک از فرمول‌ها با  دو فرمول دیگر معادل نیست؟
\begin{multicols}{2}
\item[(الف)]
$\displaystyle \sum^4_{k=2}\frac{(-1)^{k-1}}{k-1}$
\item[(ب)] 
$\displaystyle \sum^2_{k=0}\frac{(-1)^k}{k+1}$
\item[(پ)] 
$\displaystyle \sum^1_{k=-1}\frac{(-1)^k}{k+2}$
\end{multicols}
\item 
کدام یک از فرمول‌ها با دو فرمول دیگر هم ارز نیست؟
\begin{multicols}{2}
\item[(الف)]
$\displaystyle \sum^4_{k=1}(k-1)^2$
\item[(ب)] 
$\displaystyle \sum^3_{k=-1}(k+1)^2$
\item[(پ)] 
$\displaystyle \sum^{-1}_{k=-3}k^2$
\end{multicols}
\end{enumerate}
مجموعه‌های تمرین‌های 11 تا 16 را با نماد سیگما بنویسید. دقت کنید که پاسخ شما به انتخاب حد پایین جمع بستگی دارد.
\begin{multienumerate}
\renewcommand{\labelenumi}
{\addtocounter{enumi}{1}\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{10}
\mitemxx{$\displaystyle 1+2+3+4+5+6$}{$\displaystyle 1+4+9+16$}
\mitemxx{$\displaystyle \dfrac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}$}{$\displaystyle2+4+6+8+10 $}
\mitemxx{$\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$}{$\displaystyle -\frac{1}{5}+\frac{2}{5}-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}-\frac{5}{5}$}
\end{multienumerate}
\subsubsection*{ارزیابی مجموعه‌های متناهی}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{16}
\item 
فرض کنید
$\sum^n_{k=1}a_k=-5$ و $\sum^n_{k=1}b_k=6$
باشد. مقادیر زیر را بیابید.
\begin{multicols}{2}
\item[(الف)]
$\displaystyle \sum^n_{k=1}3a_k$
\item[(ب)] 
$\displaystyle \sum^n_{k=1}\frac{b_k}{6}$
\item[(پ)] 
$\displaystyle \sum^n_{k=1}(a_k+b_k)$
\item[(ت)]
$\displaystyle \sum^n_{k=1}(a_k-b_k)$
\item[(ث)]
$\displaystyle \sum^n_{k=1}(b_k-2a_k)$
\end{multicols}
\item 
فرض کنید 
$\sum^n_{k=1}a_k=0$ و $\sum^n_{k=1}b_k=1$
 باشد. مقادیر زیر را بیابید.
\begin{multicols}{2}
\item[(الف)]
$\displaystyle \sum^n_{k=1}8a_k$
\item[(ب)] 
$\displaystyle \sum^n_{k=1}250b_k$
\item[(پ)] 
$\displaystyle \sum^n_{k=1}(a_k+1)$
\item[(ت)]
$\displaystyle \sum^n_{k=1}(b_k-1)$
\end{multicols}
\end{enumerate}
مجموعه‌های تمرین‌های 19 تا 32 را ارزیابی کنید.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{18}
\item 
\begin{multicols}{4}
\item[(الف)]
$\displaystyle\sum^{10}_{k=1}k$
\item[(ب)] 
$\displaystyle\sum^{10}_{k=1}k^2$
\item[(پ)] 
$\displaystyle\sum^{10}_{k=1}k^3$
\end{multicols}
\item 
\begin{multicols}{4}
\item[(الف)]
$\displaystyle\sum^{13}_{k=1}k$
\item[(ب)] 
$\displaystyle\sum^{13}_{k=1}k^2$
\item[(پ)] 
$\displaystyle\sum^{13}_{k=1}k^3$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\begin{multienumerate}
\renewcommand{\labelenumi}
{\addtocounter{enumi}{1}\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{20}
\mitemxx{$\displaystyle\sum^7_{k=1}(-2k)$}{$\displaystyle\sum^5_{k=1}\frac{\pi k}{15}$}
\mitemxx{$\displaystyle\sum^6_{k=1}(3-k^2)$}{$\displaystyle\sum^6_{k=1}(k^2-5)$}
\mitemxx{$\displaystyle\sum^5_{k=1}(3k+5)$}{$\displaystyle\sum^7_{k=1}k(2k+1)$}
\mitemxx{$\displaystyle\sum^5_{k=1}\frac{k^2}{225}+\left(\sum^5_{k=1}k\right)^3$}{$\displaystyle\left(\sum^7_{k=1}k\right)^2-\sum^7_{k=1}\frac{k^3}{4}$}
\end{multienumerate}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{18}
\item 
(الف)
$~~~~~~\displaystyle\sum^{7}_{k=1}3$
(ب)
$~~~\displaystyle\sum^{500}_{k=1}7$
(پ)
$\displaystyle\sum^{264}_{k=3}10$
\item 
(الف)
$~~~~~~\displaystyle\sum^{36}_{k=9}k$
(ب)
$~\displaystyle\sum^{17}_{k=3}k^2$
(پ)
$\displaystyle\sum^{71}_{k=18}k(k-1)$
\item 
(الف)
$~~~~~~\displaystyle\sum^{n}_{k=1}4$
(ب)
$~~~\displaystyle\sum^{n}_{k=1}c$
(پ)
$\displaystyle\sum^{n}_{k=1}(k-1)$
\item 
(الف)
$~\displaystyle\sum^{n}_{k=1}\left(\frac{1}{n}+2n\right)$
(ب)
$\displaystyle\sum^{n}_{k=1}\frac{c}{n}$
(پ)
$\displaystyle\sum^{n}_{k=1}\frac{k}{n^2}$
\end{enumerate}
\subsubsection*{مجموعه‌های ریمان}

در تمرین‌های 33 تا 36 نمودار هر تابع 
$f(x)$
 را در فاصله داده شده رسم کنید. هر فاصله را به چهار زیر فاصله با طول مساوی تقسیم کنید. سپس مستطیل‌های مربوط به جمع ریمانی
$\sum^4_{k=1}f(c_k)\Delta x_k$
را رسم کرده و
$c_k$
را 
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{32}
\item[(الف)]
 نقطه‌ی انتهایی چپ 
\item[(ب)] 
نقطه‌ی انتهایی راست 
\item[(پ)] 
نقطه‌ی میانی فاصله‌ی
$k$ام
در نظر بگیرید (برای هر مجموعه از مستطیل ها، نمودار مجزایی رسم کنید).

\item 
$f(x)=x^2-1$، $[0,2]$
\item 
$f(x)=-x^2$، $[0,1]$
\item 
$f(x)=\sin x$، $[-\pi,\pi]$
\item 
$f(x)=\sin x+1$، $[-\pi,\pi]$
\item 
نرم افراز
$P$
را بیابید.
$$P=\{0,1.2,1.5,2.3,2.6,3\}$$
\item 
نرم افراز $P$ را بیابید.
$$P=\{-2,-1.6,-0.5,0,0.8,1\}$$
\end{enumerate}
\subsubsection*{حد جمع ریمانی}
در تمرین‌های 39 تا 46 فرمولی برای مجموعه ریمان حاصل از تقسیم بازه‌ی 
$[a,b]$
 به $n$ زیر فاصله مساوی بنویسید. نقطه‌ی انتهایی راست را جهت،
$c_k$
کار برید. جهت محاسبه مساحت زیر نمودار بر روی $[a,b]$ وقتی $n\to\infty$  از این مجموعه حد بگیرید.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{4}
\item $f(x)=1-x^2$ روی بازه $[0,1]$
\item $f(x)=2x$ روی بازه $[0,3]$
\item $f(x)=x^2+1$ روی بازه $[0,3]$
\item $f(x)=3x^2$ روی بازه $[0,1]$
\item $f(x)=x+x^2$ روی بازه $[0,1]$
\item $f(x)=3x+2x^2$ روی بازه $[0,1]$
\item $f(x)=2x^3$ روی بازه $[0,1]$
\item $f(x)=x^2-x^3$ روی بازه $[-1,0]$
\end{enumerate}
\section{انتگرال معین}
 در بخش 2-5 دربازه‌ی حد یک مجموع متناهی جهت تابعی که روی فاصله بسته‌ی 
$[a,b]$
تعریف شده و درآن زیر خواص با پهنای مساوی 
$\dfrac{(b-a)}{n}$
 مورد را یافتیم. در این بخش، مجموعه‌های کلی تر ریمان را در نظر می‌‌گیریم که نرم افراز $[a,b]$ به صفر میل می‌‌کند. جهت مجموعه‌های ریمانی کلی تر نیازی نیست  طول فاصله‌ها با هم برابر باشند. آن گاه روند حد گیری به تعریف انتگرال معین یک تابع روی فاصله‌ی بسته $[a,b]$ منتهی می‌‌شود.
\subsubsection{تعریف انتگرال معین}
تعریف انتگرال معین مبتنی براین ایده است که جهت توابع معین، وقتی نرم افراز $[a,b]$ به صفر میل می‌‌کند، مقادیر مجموع ریمان متناظر به مقدار حدی J می‌‌دهد. منظور ما از این حد، این است که مجموع ریمان به عدد 
$J$
 نزدیک می‌‌شود. شروط بر آن که  نرم افراز به اندازه‌ی کافی کوچک باشد. (بطوری که تمام زیر فواصل آن  پهنای با اندازه‌ی کافی باریک داشته باشد.) نماد
$\epsilon$
 را به عنوان عدد مثبتی که مشخص می‌‌کند مجموع ریمان چقدر به $J$ نزدیک باشد، معرفی  می‌‌کنیم و نماد $\delta$، عدد مثبت دوم مشخص می‌‌کند جهت رخ دادن همگرایی نرم افراز چقدر کوچک باشد تا همگرایی رخ دهد. اکنون این حد را به طور دقیق تعریف می‌‌کنیم.
\begin{definition}
فرض کنید $f(x)$ تابعی باشد که روی فاصله بسته $[a,b]$ تعریف شده است. می‌‌گوییم که عدد $J$ انتگرال معین $f$ روی فاصله بسته  $[a,b]$، و $J$ حد جمع ریمانی 
$\sum^n_{k=1}f(c_k)\Delta x_k$
 است، اگر شرط زیر برقرار باشد: 

به ازای هر عدد
$\epsilon>0$
داده شده  متناظر
$\delta>0$
وجود دارد که به ازای  هر افراز 
$P=\{x_0,x_1,\cdots,x_n\}$
 از 
$[a,b]$،
 با 
$\big||P|\big|$
 و هر انتخاب 
$c_k$
داشته باشیم:
$$\left|\sum^n_{k=1}f(c_k)\Delta x_k-J\right|<\epsilon$$
\end{definition}
 این تعریف متضمن روند حدگیری است که در آن نرم افراز به صفر میل می‌‌کند. در حالاتی که تمام زیر فاصله‌ها پهنای یکسان 
$\Delta x=(b-a)/n$
 داشته باشند، می‌‌توان مجموع ریمانی را به صورت زیر تشکیل داد:
$$S_m=\sum^n_{k=1}f(c_k)\Delta x_k=\sum^n_{k=1}f(c_k)\left(\frac{b-a}{n}\right),~~~\Delta x_k=(b-a)/n$$
که در آن $c_k$ در زیر فاصله‌ی
$\Delta x_k$
– انتخاب شده است. اگر وقتی 
$n\to\infty$
 حد مجموع ریمان  موجود و برابر با $J$ باشد، آن گاه $J$ انتگرال معین $f$ روی $[a,b]$ است. بنابراین
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
J&=\sum^n_{k=1}f(c_k)\left(\frac{b-a}{n}\right)\\
&=\lim_{n\to\infty}\sum^n_{k=1}f(c_k)\Delta x,~~~~~~\Delta x_k=(b-a)/n
\end{align*}
 لایبنیتز نمادی جهت انتگرال معین معرفی کرده است. ساختار آن را به عنوان مجموعه‌های ریمان تسخیر می‌‌کند. او مجموعه‌های متناهی 
 $\sum^n_{k=1}f(c_k)\Delta x_k$
 را مجموعه نامتناهی از مقادیر تابع 
$f(x)$
  که درعدد" بی نهایت کوچک" پهنای
 $dx$
  زیر فاصله‌ها ضرب شود. نماد مجموع
 $\sum$
  یعنی در حد با  نماد انتگرال 
 $\int$
 یعنی جابجا می‌‌شود که از حرف 
 ``$S$"
  گرفته شده است.مقادیر تابع $f(c_k)$ با یک انتخاب  پیوسته از مقادیر تابع $f(x)$ جابجا می‌‌شود. این عمل مشابه آن است که همه‌ی حاصل ضرب‌هایی به شکل 
 $f(x)\cdot dx$
  را که در آن 
 $x$
  از 
 $a$ تا $b$
  تغییر می‌‌کند، با هم جمع کنیم. در حالیکه این نماد روند، ساختن انتگرال را تسخیر می‌‌کند. باز هم تعریف ریمان است که مفهوم دقیق تری را جهت انتگرال  می‌‌دهد.

نمادی که برای عدد
$J$
 در تعریف انتگرال معین به کار می‌‌رود، عبارت است از:
$$\int^b_af(x)dx$$
 که به این صورت خوانده می‌‌شود: " انتگرال  از‌ای تا اف اکس دی اکس`` یا گاهی به این صورت "انتگرال از‌ای تا بی اف اکس نسبت به اکس`` درنماد انتگرال هم، هر جزء نامی دارد:
\begin{center}
\includegraphics[width=8.5cm]{5-10-2.png}
\end{center}
هنگامی که مقدار انتگرال را می‌‌یابید، اصطلاحاً انتگرال را برآورد کرده اید.
 وقتی شرایط  در تعریف برقرار شود می‌‌گوییم مجموع ریمانی
 $f$
  روی
 $[a,b]$
  همگرا به انتگرال
 $J=\int^b_af(x)dx$
  می‌‌باشد و  $f$ در $[a,b]$ انتگرال  پذیر است.

جهت افراز 
$P$
 که نرم آن‌ها به صفر میل می‌‌کند و نقاط 
$c_k$
 در هر افراز انتخاب‌های متعددی وجود دارد. علیرغم همه  انتخاب‌های ممکن انتگرال معین وقتی موجود است که همیشه همان حد $J$ را داشته باشیم. وقتی حد وجود دارد، آن را به عنوان انتگرال  معین می‌‌نویسیم:
$$\lim_{\big||P|\big|}\sum^n_{k=1}f(c_k)\Delta x_k=J=\int^b_af(x)dx$$
 وقتی هر افراز 
$n$
  زیرفاصله  یکسان، با پهنای
$\Delta x=(b-a)/n$
 داشته باشد، به صورت زیر می‌‌توان نوشت:
$$\lim_{n\to\infty}\sum^n_{k=1}f(c_k)\Delta x_k=J=\int^b_af(x)dx$$
 حد مجموع ریمان با میل کردن نرم افرازها به صفر میل می‌‌کند و تعداد زیرفاصله‌ها به بی نهایت برود.

 مقدار انتگرال معین یک تابع در یک فاصله‌ی خاص، به تابع بستگی دارد و حرف نمایش متغیر مستقل آن بستگی ندارد.
 اگر بخواهیم به جای 
 $x$
  از $t$ یا $u$ استفاده کنیم، انتگرال را به ترتیب، به صورت زیر می‌‌نویسیم:
$$\int^b_af(x)dx~~\text{به جای}~~\int^b_af(u)du~~\text{یا}~~\int^b_af(t)dt$$
 مهم نیست  انتگرال را چگونه بنویسید و این انتگرال  همان عدد تعریف شده به عنوان مجموعه ریمان می‌‌باشد. چون حرف مورد استفاده مهم نیست بنابراین متغیر  انتگرال گیری، تصنعی نامیده می‌‌شود.
\subsubsection{توابع انتگرال پذیر و توابع انتگرال ناپذیر}
حتی اگر تابع  کران دار باشد روی فاصله بسته‌ی 
$[a,b]$،
 انتگرال پذیر نیست دلیل کافی برای  مجموعه‌های ریمان جهت تابعی ممکن است به حد یکسان یا به طور کلی به هیچ عددی همگرا نباشد.
 گسترش کامل و دقیق  که کدام تابع تعریف شده روی $[a,b]$ انتگرال پذیر هستند. توابعی که در $[a,b]$ تعریف شده اند نیاز به تحلیل مقدماتی دارند، اما خوشبختانه اغلب توابعی که عموما در کاربرد‌های ریاضیات با آن‌ها سرو کار داریم، انتگرال پذیرند. به ویژه هر تابع پیوسته روی $[a,b]$ در این فاصله انتگرال پذیر هم هست؛ همچنین هر تابعی  هم که تعداد ناپیوستگی‌های جهشی آن در $[a,b]$ تعداد متناهی باشد، انتگرال پذیر است. (این مورد اخیر، تابع تکه‌ای پیوسته نامیده می‌‌شود.) قضیه‌ی بعد که در واحدهای درسی پیشرفته تر اثبات می‌‌شود، این نتایج را بیان می‌‌کند.
\begin{theorem}[انتگرال پذیری توابع ناپیوسته]
اگر تابع
$f$
 روی فاصله‌ی $[a,b]$  پیوسته باشد، یا اگر تعداد ناپیوستگی‌های جهشی $f$، (بدون توجه به کمک و زیاد بودن  این تعداد) متناهی باشد، آن گاه انتگرال معین 
$\int^b_af(x)dx$
 وجود دارد و $f$ در $[a,b]$ انتگرال پذیر است.
\end{theorem}
ایده‌های پشتوانه قضیه‌ی 1 در توابع تمرین‌های 86و 87 بیان شده است. مختصر اینکه، وقتی $f$ پیوسته است هر 
$c_k$
 را به گونه‌ای انتخاب می‌‌کنیم که 
$f(c_k)$
 ماکسیمم مقدار $f$ را در زیر فاصله‌ی 
$[x_{k-1},x_k]$
 داشته باشد. که نتیجه آن یک مجموعه بالایی است. به همین ترتیب، می‌‌توان
 $c_k$
 را مینیمم مقدار $f$ روی 
 $[x_{k-1},x_k]$
 در نظر گرفت و مجموعه پایینی را بدست آورد.

می توان نشان داد که وقتی نرم افراز 
$P$
 به صفر میل می‌‌کند، جمع‌های بالا و پایین به یک مقدار حدی یکسان همگرا می‌‌شوند. علاوه بر آن، هر جمع ریمانی  نیز به همان مقدار حدی همگرا می‌‌شود. بنابراین، عدد
$J$
 در تعریف انتگرال معین وجود دارد و تابع پیوسته‌ی $f$ در 
$[a,b]$
 انتگرال پذیراست.

جهت انتگرال ناپذیری نیاز هست  تابع به اندازه‌ی کافی ناپیوستگی داشته باشد که ناحیه‌ی بین  نمودار آن و محور $x$‌ها با افزایش مستطیل‌های باریک  قابل تقریب نباشد. مثال بعدی تابعی را نشان می‌‌دهد در یک فاصله بسته، انتگرال پذیر نیست.
\begin{example}
تابع
$$f(x)=\left\{\begin{array}{lr}1&\text{گویا باشد}~x~\text{اگر}\\~\\0&\text{اصم باشد}~x~\text{اگر}\end{array}\right.$$
 در بازه‌ی 
 $[0,1]$
 دارای انتگرال ریمان نیست. این ادعا بر این ادعا استوار است که بین هر دو عدد گویا و هم یک عدداصم وجود دارد. بنابراین، تابع بی نهایت بار در  $[0,1]$ به سمت بالا و پایین جابجا می‌‌شود تا اجازه دهد. ناحیه‌ی زیرین نمودار آن و بالای محور $x$‌ها واقع است. با مستطیل‌ها صرف نظر از نازک بودن آن‌ها قابل تقریب می‌‌باشد. در واقع نشان می‌‌دهیم مجموع بالایی و پایینی  به مقادیر حدی متفاوتی میل می‌‌کنند.

اگر افراز p$P$ در  $[0,1]$ و عدد  $c_k$ را به گونه‌ای انتخاب می‌‌کنیم که ماکسیمم مقدار $f$ را در  $[x_{k-1},x_k]$ بدست دهد، آن گاه مجموع ریمانی متناظر به صورت زیر خواهد بود:
$$U=\sum^n_{k=1}f(c_k)\Delta x_k=\sum^n_{k=1}(1)\Delta x_k=1$$
 زیرا درهر زیر فاصله‌ی $[x_{k-1},x_k]$ نقطه 
 $f(c_k)=1$
  را شامل می‌‌شود که – است . توجه داشته باشید که طول بازه‌ها  در این افراز، در مجموع 1 می‌‌شود؛ 
$\sum^n_{k=1}\Delta x_k=1$.
 بنابراین، هریک از مجموع‌های ریمانی برابر است با 1 و حد مجموع‌های ریمانی، با استفاده از این انتخاب‌ها برابر با 1 است.

از سوی دیگر، اگر $c_k$ را طوری انتخاب کنیم که مقدار مینیمم $f$ را در 
$[x_{k-1},x_k]$
 به دست دهد، جمع ریمانی به صورت 
$$L=\sum^n_{k=1}f(c_k)\Delta x_k=\sum^n_{k=1}(0)\Delta x_k=0$$
 خواهد بود.
 زیرا هر زیرفاصله‌ی 
 $[x_{k-1},x_k]$
  شامل یک عدد گنگ 
 $c_k$
  است که در آن‌ها 
 $f(c_k)=0$
  است. حد جمع‌های ریمانی، با استفاده از این انتخاب‌ها برابر با صفر است. چون که این حد به انتخاب‌های  $c_k$ وابسته است تابع $f$ انتگرال پذیر نیست.
\end{example}
قضیه‌ی 1 می‌‌گوید مورد چگونگی محاسبه‌ی انتگرال‌های معین مطلبی برای گفتن وجود ندارد. در بخش 4-5، نگاهی به فرآیند مشتق گیری انداخته می‌‌شود بدان ترتیب، یکی از روش‌های محاسبه‌ی انتگرال‌های معین ارائه می‌‌شود.
\subsubsection{ویژگی‌های انتگرال معین}
در تعریف 
$\int^b_af(x)dx$
 به عنوان حد جمع
$\sum^n_{k=1}f(c_k)\Delta x_k$،
 از چپ به راست در سرتاسر بازه‌ی 
$[a,b]$
 حرکت می‌‌شود. اگر از راست به چپ حرکت کرده و از 
$x_0=b$
 شروع کرد و در 
$x_n=a$
به پایان رسید، چه اتفاقی می‌‌افتد؟ در این صورت، هر 
$\Delta x_k$
 در جمع ریمانی ، تغییر علامت می‌‌دهد؛ اکنون با 
$x_k-x_{k-1}$
 علامت منفی به جای علامت مثبت قرار می‌‌گیرد. به همان انتخاب‌های 
$c_k$
 در هر زیر بازه علامت جمع ریمانی، علامت حد و در نتیجه علامت انتگرال 
 $\int^b_af(x)dx$
  تغییر خواهد کرد.
 چون که پیش از این مفهومی  برای انتگرال گیری معکوس بیان نشده است، اکنون تعریف زیرارائه می‌‌شود:
$$\int^b_af(x)dx=-\int^b_af(x)dx$$
 اگرچه فقط انتگرال روی بازه‌ی
 $[a,b]$
  را وقتی 
 $a<b$
  است. تعریف کرده ایم، تعریف انتگرال  روی بازه‌ی  $[a,b]$، وقتی  $a=b$ است، نیز آسان است. این انتگرال در بازه‌ای به طول صفر گرفته می‌‌شود.چون که $a=b$ است و هر گاه 
 $f(a)$
  وجود داشته باشد، انتگرال زیر را تعریف می‌‌کنیم:
$$\int^b_af(x)dx=0$$
 قضیه‌ی 2، خواص اساسی انتگرال‌ها را همرا با 2 موردی که عینا مطرح شد بیان می‌‌کند. این قواعد در روند محاسبات انتگرال‌ها بسیار مفید است. جهت ساده کردن محاسبات مکررا به آن‌ها اشاره می‌‌کنیم .
 قواعد 2 تا 7  تعبیر هندسی دارند که در شکل 11-5 نشان داده شده است. نمودارها مربوط به توابع مثبت هستند، اما این قواعد در جهت توابع انتگرال پذیر به کار می‌‌روند.
\begin{figure*}[h]
\centerline{\includegraphics[width=18cm]{5-11.png}}
\caption{\label{sh5-11}\small تعابیر هندسی قوانین 2 تا 7 در جدول 5.5}
\end{figure*}
\begin{theorem}
 وقتی 
 $f$ و $g$
 روی فاصله‌ی
 $[a,b]$
  انتگرال پذیر باشند، انتگرال معین در قواعد جدول 5-5 صدق می‌‌کند.
\end{theorem}
\begin{table}[h]
\caption{قواعد برقرار شده در انتگرال‌های معین}\vspace{-5mm}
\end{table}
\begin{pbox}
\begin{enumerate}
\item  
ترتیب انتگرال گیری
$$\int^a_b-=-\int^b_af(x)dx$$
\item 
بازه‌ای با طول صفر
$$\int^a_af(x)dx=0$$ 
\item 
مضرب ثابت
$$\int^b_akf(x)dx=k\int^b_af(x)dx$$
\item 
جمع و تفاضل
$$\int^b_a(f(x)\pm g(x))dx=\int^b_af(x)dx\pm \int^b_ag(x)dx$$
\item
جمع پذیری
$$\int^b_af(x)dx+\int^c_bf(x)dx=\int^c_bf(x)dx$$
\item 
نامساوی ماکسیمم- مینیمم: اگر
$f$
 در بازه‌ی  
 $[a,b]$
  دارای مقدار ماکسیمم
 $f$
 و مینیمم  $f$ باشد، آن گاه:
$$\min f . (b-a)\leq \int^b_af(x)dx\leq \max f\cdot (b-a)$$
\item 
بزرگ‌تری: اگر به ازای 
$x\in [a,b]$ 
داشته باشیم 
$f(x)\geq g(x)$ 
آنگاه 
$$\int^b_af(x)dx\geq \int^b_ag(x)dx$$
و اگر به ازای 
$x\in [a,b]$
داشته باشیم 
$f(x)\geq0$ 
آنگاه 
$$\int^b_af(x)dx\geq0$$
\end{enumerate}
\end{pbox}
در حالیکه قواعد1 و 2  تعریف هستند و قواعد 3 تا 7 جدول 4-5 باید اثبات شوند مطلب زیر اثباتی از این قاعده است.\\
\textbf{اثبات قاعده‌ی 6.}
 قاعده‌ی 6 می‌‌گوید که انتگرال 
$f$
 روی $[a,b]$ هرگز از مینیمم مقدار $f$ ضرب در طول فاصله کمتر و از ماکزیمم $f$ ضرب در طول فاصله بیشتر نیست. دلیل آن این است که به ازای هر افراز $[a,b]$ و برای انتخاب نقطه‌ی 
$c_k$
 داریم:
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
\min f\cdot (b-a)&=\min f\cdot \sum ^n_{k=1}\Delta x_k&\sum \Delta x_k=b-a\\
&=\sum^n_{k=1}\min f\cdot \Delta x_k&\text{قانون مضرب ثابت}
\end{align*}
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
&\leq \sum^n_{k=1}f(c_k)\Delta x_k&\min f\leq f(c_k)\\
&\leq \sum^n_{k=1}\max f\cdot \Delta x_k&f(c_k)\leq \max f\\
&=\max f\cdot(b-a)
\end{align*}
 به طور خلاصه، همه‌ی مجموع‌های ریمانی برای $f$ در
$[a,b]$،
  در نامساوی زیر صدق می‌‌کنند:
$$\min f\cdot (b-a)\leq \sum ^n_{k=1}f(c_k)\Delta x_k\leq \max f\cdot (b-a)$$
این رو، حد آن‌ها، یعنی انتگرال، نیز همین طور است.
$\blacksquare\hfill$
\begin{example}
جهت نشان دادن بعضی از خواص فرض می‌‌کنیم که:
$$\int^1_{-1}h(x)dx=7~~\text{و}~~\int^4_1f(x)dx=-2~~\text{و}~~\int^1_{-1}f(x)dx=5$$
در این صورت: 
\begin{enumerate}
\item  قانون 1
$$\int^1_4f(x)dx=-\int^4_1f(x)dx=-(-2)=2$$
\item قوانین 3 و 4
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
\int^1_{-1}[2f(x)+3h(x)]dx&=2\int^1_{-1}f(x)dx_3\int^1_{-1}h(x)dx\\
&=2(5)+3(7)=31
\end{align*}
\item 
قانون 5 
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
\int^4_{-1}f(x)dx&=\int^1-{-1}f(x)dx+\int^4_1f(x)dx\\
&=5+(-2)=3
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{example}
\begin{example}
 نشان دهید مقدار
$\int^1_0\sqrt{1+\cos x}dx$
 کم تر از یا مساوی 
$\sqrt{2}$
  است.
\end{example}
\begin{solution}
نامساوی ماکسیمم – مینیمم جهت انتگرال‌های معین (قاعده‌ی 6) می‌‌گوید که 
$\min f\cdot (b-a)$
 یک کران پایین برای مقدار
$\int^b_af(x)dx$ و $\max f\cdot (b-a)$
یک کران بالا برای آن است. ماکسیمم مقدار 
$\sqrt{1+\cos x}$ روی $[0,1]$
 برابر است با 
$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$
 بنابراین 
$$\int^1_0\sqrt{1+\cos x}dx\leq \sqrt{2}(1-0)=\sqrt{2}$$
\end{solution}
\subsubsection{مساحت زیر نمودار یک تابع نامنفی}
اکنون به مساله‌ی شروع همین فصل برمی گردیم که منظور ما از مساحت ناحیه با داشتن کران منحنی بود. در بخش 1-5، مساحت زیر نمودار یک تابع ناپیوسته‌ی نامنفی را تقریب زدیم. این کار با استفاده از انواع مختلف  جمع‌های متناهی مساحت مستطیل‌هایی که این ناحیه را در بر می‌‌گرفتند انجام شد. این جمع‌ها (مجموع بالایی و مجموع پایینی) همگی حالت‌هایی از مجموعه‌های ریمانی هستند که به روش خاصی ساخته شده اند. قضیه‌ی 1 تضمین می‌‌کند که وقتی نرم افراز‌ها به صفر، و تعداد زیرفاصله‌ها به بی نهایت میل کند، همه‌ی جمع‌های ریمانی  به یک انتگرال  معین ساده همگرا می‌‌شوند. اکنون قادر به تعریف مساحت زیر نمودار یک تابع  انتگرال پذیر نامنفی به عنوان مقدار انتگرال معین هستیم.
\begin{definition}
 اگر 
 $y=f(x)$
 روی بازه‌ی بسته 
 $[a,b]$
  نامنفی و انتگرال پذیر باشد، آن گاه مساحت زیر منحنی
  $y=f(x)$
 روی بازه‌ی  $[a,b]$ برابر است با انتگرال 
 $f$
  از 
$a$ تا $b$:
$$A=\int^b_af(x)dx$$
\end{definition}
برای اولین بار، تعریف دقیقی جهت مساحت ناحیه‌ای که مرز ناحیه آن نمودار هر تابع پیوسته‌ای است، داریم. اکنون این تعریف را در یک مثال ساده که محاسبه مساحت زیر یک خط راست است را بکار می‌‌بریم. بدین ترتیب، می‌‌توانیم نشان دهیم که این تعریف جدید با مفهوم پیشین مساحت سازگار است.
\begin{example}
$\int^b_axdx$
را محاسبه کرده و مساحت 
$A$
 که زیر نمودار
$y=x$
 و روی فاصله 
$[0,1]$
 است را بیابید.
$(b>0)$
\end{example}
\begin{solution}
ناحیه‌ی مطلوب  یک مثلث است (شکل 12-5).
 مساحت این ناحیه را به دو طریق زیر محاسبه می‌‌کنیم.
\begin{figure}[h]
\centerline{\includegraphics[width=5cm]{5-12.png}}
\caption{\label{sh5-12}\small در مثال4، ناحیه‌ی مورد نظر به شکل یک مثلث است.}
\end{figure}
\begin{enumerate}
\item[(الف)]
جهت محاسبه‌ی انتگرال معین به عنوان حد مجموع‌های ریمانی 
$\lim_{\big||P|\big|\to0}\sum^n_{k=1}f(c_k)\Delta x_k$
 را برای افرازهایی محاسبه می‌‌کنیم که نرم آن به صفر میل می‌‌کند. بنابر قضیه‌ی 1، تا وقتی  که نرم افرازها به صفر میل کنند، اهمیتی ندارد که افرازها یا نقاط 
$c_k$
 را چگونه انتخاب کنیم. بنابراین، افراز
$P$
 را چنان انتخاب می‌‌کنیم که بازه‌ی 
$[0,b]$
 را به 
$n$
 زیربازه با طول مساوی
 $\Delta x=(b-0)/n=b/n$
 تقسیم کند و 
 $c_k$
  را نقاط انتهایی راست هر زیر بازه در نظر می‌‌گیریم. افراز به این صورت است:
$$P=\left\{0,\frac{b}{n},\frac{2b}{n},\cdots,\frac{nb}{n}\right\},~~~c_k=\frac{kb}{n}$$
بنابراین
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
\sum^n_{k=1}f(c_k)\Delta x&=\sum^n_{k=1}\frac{kb}{n}\cdot \frac{b}{n}\\
&=\sum^n_{k=1}\frac{kb^2}{n^2}\\
&=\frac{b^2}{n^2}\sum^n_{k=1}k&\text{قانون مضرب ثابت}\\
&=\frac{b^2}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2}&\text{عدد اول طبیعی}~n~\text{مجموع}\\
&=\frac{b^2}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)
\end{align*}
وقتی
$n\to\infty$ و $\big||P|\big|$،
عبارت سمت راست آخر حد 
$b^2/2$
دارد. بنابراین 
\item[(ب)] 
چون تابع نامنفی مساحت برابر با انتگرال معین دارد بلافاصله با استفاده از فرمول مساحت مثلث  که طول قاعده‌ی آن 
$b$
 و ارتفاع آن
$y=b$
 است، به دست می‌‌آوریم. مساحت برابر است با 
$A=(1/2)b\cdot b=b^2/2$
 و مجددا  به این نتیجه می‌‌رسیم که 
$\int^b_0xdx=b^2/2$.
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{figure*}[h]
\centerline{\includegraphics[width=17cm]{5-13.png}}
\caption{\label{sh5-13}\small مساحت این ناحیه‌ی ذوزنقه‌ای با
$A=(b^2-a^2)/2$
 برابر است. ب. انتگرال معین در معادله‌ی (1)، منفی مساحت این ناحیه‌ی ذوزنقه‌ای را بدست می‌‌دهد. پ. انتگرال معین معادله‌ی (1)، حاصل جمع مساحت ناحیه‌ی مثلثی  بالای محور و منفی مساحت ناحیه‌ی مثلثی پایین محور 
$x$
 را بدست می‌‌دهد.}
\end{figure*}

جهت  انتگرال گیری
$f(x)=x$
 روی هر فاصله بسته‌ی 
$[a,b]$، $0<a<b$
 انتگرال گیری کرد.
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
\int^b_0xdx&=\int^0_axdx+\int^b_0xdx\\
&=-\int^a_0xdx+\int^b_0xdx\\
&=-\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}
\end{align*}
 در نتیجه، قاعده‌ی زیر برای انتگرال گیری 
$f(x)=x$
  برقرار است.
\begin{align}
\int^b_axdx=\frac{b^2}{2}-\frac{a^2}{2}~~~~~~~a<b
\end{align}
 این محاسبات، مساحت یک ذوزنقه را بدست می‌‌دهد (کل 13-5الف). معادله‌ی (1) هنگامی که
 $a$ و $b$
 منفی باشند نیز معتبر است. وقتی
$a<b<0$،
  مقدار انتگرال معین،
 $(b^2-a^2)/2$
  یک عدد نامنفی است  که منفی مساحت یک ذوزنقه به سمت پایین تا خط
  $y=x$
   و  زیر محور $x$ها است (شکل 13-5ب). وقتی 
$a<0$ و $b>0$،
   معادله‌ی (1) همچنان معتبر است و انتگرال معین، تفاضل بین دو مساحت است که مساحت زیر نمودار و بالای
$[0,b]$،
   منهای مساحت زیر 
$[a,0]$
   و بالای نمودار $y=x$ (شکل 13-5پ).

نتایج زیر با استفاده از محاسباتی  مشابه مثال 4 که برای جمع ریمانی داشتیم، نتایج زیر را می‌‌توان به دست آورد. (تمرین‌های 63 و 65).
\begin{align}
&\int^b_acdx=c(b-a)&&\text{ثابت دلخواه}~c\\
&\int^b_ax^2dx=\frac{b^3}{3}-\frac{a^3}{3}&&a<b
\end{align}
\subsubsection{نگاهی دوباره به مقدار متوسط یک تابع پیوسته}
 در بخش 1-5 به صورت غیر رسمی، مقدار متوسط تابع پیوسته‌ی غیر منفی 
$f$
 را روی فاصله 
$[a,b]$
 بیان کردیم؛ که به ما آموخت این مقدار متوسط به عنوان مساحت زیر نمودار 
$y=f(x)$
 تقسیم بر 
$b-a$
 رهنمون شد. با نماد انتگرال، این مقدار را به صورت زیر می‌‌نویسیم:
$$\text{مقدار میانگین}=\frac{1}{b-a}\int^b_af(x)dx$$
 از این فرمول می‌‌توان جهت تعریف دقیق مقدار متوسط هر تابع پیوسته‌ی مثبت، منفی یا هر دو استفاده کرد.

بصورت دیگری می‌‌توان دلیل زیر را بکار برد. با ایده گرفتن از حساب که مقدار متوسط $n$ عدد جمع آن‌ها تقسیم بر 
$n$
  است. تابع پیوسته‌ی $f$ روی $[a,b]$ ممکن است بی نهایت مقدار داشته باشد، اما هم چنان می‌‌توان به طریقی مرتب آن‌ها را نمونه گیری کرد. $[a,b]$ را به  $n$ زیر بازه با پهنای یکسان
$\Delta x=(b-a)/n$
 تقسیم کرده و مقدار  $f$ را در نقطه‌ی
$c_k$
در هر یک از آن‌ها محاسبه می‌‌کنیم (شکل 14-5). متوسط $n$ مقدار نمونه برداری شده، برابر است با:
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
\frac{f(c_1)+f(c_2)+\cdots+f(c_n)}{n}&=\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}f(c_k)\\
&=\frac{\Delta x}{b-a}\sum^n_{k=1}f(c_k)\\
&~~~~~~~~\frac{1}{n}=\frac{\Delta x}{b-a}~\text{بنابراین}~\Delta x=\frac{b-a}{n}\\
&=\frac{1}{b-a}\sum^n_{k=1}f(c_k)\Delta x~\text{قانون مضرب ثابت}
\end{align*}
\begin{figure}[h]
\centerline{\includegraphics[width=7cm]{5-14.png}}
\caption{\label{sh5-14}\small نمونه‌ای از مقادیر  تابع روی بازه‌ی $[a,b]$}
\end{figure}
 متوسط $f$، از تقسیم جمع ریمانی  $f$ در $[a,b]$ بر
$b-a$
 به دست می‌‌آید. اگر اندازه‌ی این نمونه را افزایش دهیم و نرم افراز به صفر میل کند، متوسط نیز به
$$\frac{1}{(b-a)}\int^b_af(x)dx$$
  میل می‌‌کند. هر دو دیدگاه، به تعریف زیر منجر می‌‌شوند:
\begin{definition}
اگر $f$ روی 
$[a,b]$
انتگرال پذیر باشد، آن گاه مقدار متوسط آن روی بازه‌ی
$[a,b]$
که میانگین نیز نامیده می‌‌شود، برابر است با:
$${\rm av}(f)=f~\text{مقدار میانگین}=\frac{1}{b-a}\int^b_af(x)dx$$
\end{definition}
\begin{example}
مقدار متوسط $f(x)=\sqrt{4-x^2}$ را در $[-2,2]$ بیابید.
\end{example}
\begin{solution}
می‌‌دانیم که نمودار تابع 
$f(x)=\sqrt{4-x^2}$
 نیم دایره‌ای است بالای محور $x$ با شعاع 2 و به مرکز مبدا مختصات (شکل 15-5). مساحت بین نیم دایره و محور $x$ از 
$-2$
 تا 2 را می‌‌توان با استفاده از فرمول هندسی قابل استفاده است.
$$\text{مساحت}=\frac{1}{2}\cdot\pi r^2=\frac{1}{2}\pi(2)^2=2\pi$$
 چون $x$ نامنفی است، مساحت نیز با مقدار انتگرال $f$ در $-2$ تا 2 است.
$$\int^2_{-2}\sqrt{4-x^2}dx=2\pi$$
 بنابراین، مقدار متوسط $f$ برابر است با:
$$f~\text{میانگین}=\frac{1}{2-(-2)}\int^2_{-2}\sqrt{4-x^2}dx=\frac{1}{4}(2\pi)=\frac{\pi}{2}$$
 قضیه‌ی 3 در بخش آتی ادعا می‌‌کند که سطح نیم دایره‌ی بالایی روی $[-2,2]$ برابر بامساحت مستطیلی است که ارتفاع آن با مقدار متوسط $f$ در 
$[-2,2]$
  برابر است. (شکل 15-5)
\end{solution}
\begin{figure}[h]
\centerline{\includegraphics[width=6cm]{5-15.png}}
\caption{\label{sh5-15}\small مقدار متوسط $f(x)=\sqrt{4-x^2}$ روی $[-2,2]$ برابر است با  $\pi/2$ (مثال 5). }
\end{figure}
\section*{تمرین 3-5}
\addcontentsline{toc}{section}{تمرین 3-5}
\subsubsection*{تعبیر حد به عنوان انتگرال}
در تمرین‌های 1 تا 8 حد رابه عنوان انتگرال معین کنید.
\begin{enumerate}
\item  $P$ افرازی از 
$[0,2]$ است.
$\displaystyle\lim_{\big||P|\big|\to0}\sum^n_{k=1}c^2_k\Delta x_k$
\item $P$ افرازی از 
$[-1,0]$ است.

$\displaystyle\lim_{\big||P|\big|\to0}\sum^n_{k=1}2c^3_k\Delta x_k$
\item $P$ افرازی از 
$[-7,5]$ است.

$\displaystyle\lim_{\big||P|\big|\to0}\sum^n_{k=1}(c^3_k-3c_k)\Delta x_k$
\item  $P$ افرازی از 
$[1,4]$ است.
$\displaystyle\lim_{\big||P|\big|\to0}\sum^n_{k=1}(1/c_k)\Delta x_k$
\item $P$ افرازی از 
$[2,3]$ است.
$\displaystyle\lim_{\big||P|\big|\to0}\sum^n_{k=1}\dfrac{1}{1-c_k}\Delta x_k$
\item $P$ افرازی از 
$[0,1]$ است.
$\displaystyle\lim_{\big||P|\big|\to0}\sum^n_{k=1}\sqrt{4-c_k^2}\Delta x_k$
\item $P$ افرازی از $[-\pi/4,0]$ است.

$\displaystyle\lim_{\big||P|\big|\to0}\sum^n_{k=1}(\sec c_k)\Delta x_k$
\item $P$ افرازی از $[0,\pi/4]$ است.
$\displaystyle\lim_{\big||P|\big|\to0}\sum^n_{k=1}(\tan c_k)\Delta x_k$
\end{enumerate}
\subsubsection*{کاربرد قواعدانتگرال معین}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{8}
\item 
فرض کنید
$f$ و $g$
 انتگرال پذیرند و
$$\int^5_1g(x)dx=8~~\text{و}~~\int^5_1f(x)dx=6~~\text{و}~~\int^2_1f(x)dx=-4$$
استفاده از قواعد جدول 4-5 مقادیر زیر را بیابید.
\begin{multicols}{2}
\item[(الف)] $\displaystyle \int^2_2g(x)dx$
\item[(ب)] $\displaystyle \int^1_5g(x)dx$
\item[(پ)] $\displaystyle \int^2_1f(x)dx$
\item[(ت)] $\displaystyle \int^5_2f(x)dx$
\item[(ث)] $\displaystyle \int^5_1[f(x)-g(x)]dx$
\item[(ج)] $\displaystyle \int^5_1[4f(x)-g(x)]dx$
\end{multicols}
\item 
فرض کنید $f$ و $h$ انتگرال پذیرند و
$$\int^9_7h(x)dx=4~~\text{و}~~\int^9_7f(x)dx=5~~\text{و}~~\int^9_1f(x)dx=-1$$
با استفاده از قواعد جدول 4-5 مقادیر زیر را بیابید.
\begin{multicols}{2}
\item[(الف)] $\displaystyle \int^9_1-2f(x)dx$
\item[(ب)] $\displaystyle \int^9_7[f(x)+h(x)]dx$
\end{multicols}
\begin{multicols}{2}
\item[(پ)] $\displaystyle \int^9_7[2f(x)-h(x)]dx$
\item[(ت)] $\displaystyle \int^1_9f(x)dx$
\item[(ث)] $\displaystyle \int^7_1f(x)dx$
\item[(ج)] $\displaystyle \int^7_9[h(x)-f(x)]dx$
\end{multicols}
\item 
فرض کنید
$\int^2_1f(x)dx=5$
 باشد. مقادیر زیر را بیابید.
\begin{multicols}{2}
\item[(الف)] $\displaystyle \int^2_1f(u)du$
\item[(ب)] $\displaystyle \int^2_1\sqrt{3}f(z)dz$
\item[(پ)] $\displaystyle \int^1_2f(t)dt$
\item[(ت)] $\displaystyle \int^2_1[-f(x)]dx$
\end{multicols}
\item 
فرض کنید 
$\int^0_{-3}g(t)dt=\sqrt{2}$
 باشد. مقادیر زیر را بیابید.
\item 
فرض کنید 
$f$
 انتگرال پذیر بوده و
$\int^3-0f(z)dz=3$ و $\int^4_0f(z)dz=7$
باشد. مقادیر زیر را بیابید.
\begin{multicols}{2}
\item[(الف)] $\displaystyle \int^4_3f(z)dz$
\item[(ب)] $\displaystyle \int^3_4f(t)dt$
\end{multicols}
\item 
فرض کنید 
$h$
 انتگرال پذیر بوده و 
$\int^1_{-1}h(r)dr=0$ و $\int^3_{-1}h(r)dr=6$
 باشد. مقادیر زیر را بیابید.
\begin{multicols}{2}
\item[(الف)] $\displaystyle \int^3_1h(r)dr$
\item[(ب)] $\displaystyle -\int^1_3h(r)dr$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\subsubsection{یافتن انتگرال‌ها با استفاده از مساحت‌های معین}
در تمرین‌های 15 تا 22، نمودار انتگرالده را رسم کرده و با استفاده از مساحت‌ها مقدار هر انتگرال را به دست آورید.
\begin{multienumerate}
\renewcommand{\labelenumi}
{\addtocounter{enumi}{1}\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{14}
\mitemxx{$\displaystyle\int^4_{-2}\left(\frac{x}{2}+3\right)dx$}{$\displaystyle\int^{3/2}_{1/2}(-2x+4)dx$}
\mitemxx{$\displaystyle\int^3_{-3}\sqrt{9-x^2}dx$}{$\displaystyle\int^0_{-4}\sqrt{16-x^2}dx$}
\mitemxx{$\displaystyle\int^1_{-2}|x|dx$}{$\displaystyle\int^1_{-1}(1-|x|)dx$}
\mitemxx{$\displaystyle\int^1_{-1}(2-|x|)dx$}{$\displaystyle\int^1_{-1}(1+\sqrt{1-x^2})dx$}
\end{multienumerate}
در تمرین‌های 23 تا 28 با استفاده از مساحت‌ها مقدار هر انتگرال را بدست آورید.
\begin{multienumerate}
\renewcommand{\labelenumi}
{\addtocounter{enumi}{1}\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{22}
\mitemxx{$\displaystyle\int^b_0\dfrac{x}{2}dx,~~~b>0$}{$\displaystyle\int^b_04xdx,~~~b>0$}
\mitemxx{$\displaystyle\int^b_a2sds,~~0<a<b$}{$\displaystyle\int^b_a3tdt,~~0<a<b$}
\mitemx{$f(x)=\sqrt{4-x^2}$ روی بازه (الف) $[-2,2]$ (ب) $[0,2]$}
\mitemx{$f(x)=3x+\sqrt{1-x^2}$ روی بازه (الف) $[-1,0]$ (ب) $[-1,1]$}
\end{multienumerate}
\subsubsection*{تعیین مقدار انتگرال معین}
در تمرین‌های 29 تا 40، با استفاده از معادلات (1) تا (3) مقدار هر انتگرال را به دست آورید.
\begin{multienumerate}
\renewcommand{\labelenumi}
{\addtocounter{enumi}{1}\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{28}
\mitemxx{$\displaystyle\int^{\sqrt{2}}_1xdx$}{$\displaystyle\int^{2.5}_{0.5}xdx$}
\mitemxx{$\displaystyle\int^{2\pi}_\pi\theta d\theta$}{$\displaystyle\int^{5\sqrt{2}}_{\sqrt{2}}rdr$}
\mitemxx{$\displaystyle\int^{\sqrt[3]{7}}_0x^2dx$}{$\displaystyle\int^{0.3}_0s^2ds$}
\mitemxx{$\displaystyle\int^{1/2}_0t^2dt$}{$\displaystyle\int^{\pi/2}_0\theta^2d\theta$}
\mitemxx{$\displaystyle\int^{2a}_axdx$}{$\displaystyle\int^{\sqrt{3a}}_axdx$}
\mitemxx{$\displaystyle\int^{\sqrt[3]{b}}_0x^2dx$}{$\displaystyle\int^{3b}_0x^2dx$}
\end{multienumerate}
در تمرین‌های 41 تا 50، با استفاده از قواعد جدول 4-5 و معالات (1) تا (3) مقدار هر انتگرال را به دست آورید.
\subsubsection*{یافتن مساحت با استفاه از انتگرال معین.}
\begin{multienumerate}
\renewcommand{\labelenumi}
{\addtocounter{enumi}{1}\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{40}
\mitemxx{$\displaystyle\int^1_37dx$}{$\displaystyle\int^2_05xdx$}
\mitemxx{$\displaystyle\int^2_0(2t-3)dt$}{$\displaystyle\int^{\sqrt{2}}_0(t-\sqrt{2})dt$}
\mitemxx{$\displaystyle\int^1_2\left(1+\frac{z}{2}\right)dz$}{$\displaystyle\int^0_3(2z-3)dz$}
\mitemxx{$\displaystyle\int^2_13u^2du$}{$\displaystyle\int^1_{1/2}24u^2du$}
\mitemxx{$\displaystyle\int^2_0(3x^2+x-5)dx$}{$\displaystyle\int^0_1(3x^2=x-5)dx$}
\end{multienumerate}
در تمرین‌های 51 تا 54، با استفاده از یک انتگرال معین، مساحت ناحیه‌ی بین هر منحنی و محور 
$x$
را روی بازه‌ی 
$[0,b]$
به دست آورید.
\begin{multienumerate}
\renewcommand{\labelenumi}
{\addtocounter{enumi}{1}\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{50}
\mitemxx{$y=3x^2$}{$y=\pi x^2$}
\mitemxx{$y=2x$}{$y=\dfrac{x}{2}+1$}
\end{multienumerate}
\subsubsection*{یافتن مقدار متوسط}
در تمرین‌های 55 تا 62 تابع را رسم کنید و مقدار متوسط آن را روی بازه‌ی مورد نظر بیابید.
\begin{enumerate}
\item  $f(x)=x^2-1$
روی 
$[0,\sqrt{3}]$
\item $f(x)=-\dfrac{x^2}{2}$
روی 
$[0,3]$
\item $f(x)=-3x^2-1$
روی 
$[0,1]$
\item  $f(x)=3x^2-3$
روی 
$[0,1]$
\item $f(t)=(t-1)^2$
روی 
$[0,1]$
\item $f(t)=t^2-1$
روی 
$[-2,1]$
\item  $g(x)=|x|-1$
روی (الف) 
$[-1,1]$ 
(ب) 
$[1,3]$ 
(ج) 
$[-1,3]$
\item $h(x)=-|x|$
روی (الف) 
$[-1,0]$ 
(ب) 
$[0,1]$ 
(ج) 
$[-1,1]$
\end{enumerate}
\subsubsection*{انتگرال معین به  عنوان حد}
در تمرین‌های 63 تا 70، با استفاده از روش مثال 4 الف، مقدار هر انتگرال معین را بیابید.
\begin{multienumerate}
\renewcommand{\labelenumi}
{\addtocounter{enumi}{1}\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{62}
\mitemxx{$\displaystyle \int^b_acdx$}{$\displaystyle \int^2_0(2x+1)dx$}
\mitemxx{$\displaystyle\int^b_ax^2dx~~~~a<b $}{$\displaystyle \int^0_{-1}(x-x^2)dx$}
\mitemxx{$\displaystyle\int^2_{-1}(3x^2-2x+1)dx $}{$\displaystyle \int^1_{-1}x^3dx$}
\mitemxx{$\displaystyle \int^b_ax^3dx,~~~a<b$}{$\displaystyle\int^1_0(3x-x^3)dx $}
\end{multienumerate}
\subsubsection*{مثال‌های نظری}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{70}
\item 
به ازای چه مقادیری از
$a$ و $b$
 مقدار
$$\int^b_a(x-x^2)dx$$
ماکسیمم می‌‌شود؟ (راهنمایی: در کجا انتگرالده مثبت است؟)
\item 
به ازای چه مقادیری از $a$ و $b$ مقدار
$$\int^b_a(x^4-2x^2)dx$$
مینیمم می‌‌شود؟
\item 
با استفاده از نامساوی ماکسیمم- مینیمم کران‌های بالا و پایین مقدار انتگرال زیر را بیابید.
$$\int^1_0\frac{1}{1+x^2}dx$$
\item 
(ادامه‌ی تمرین 73). با استفاده از نامساوی ماکسیمم- مینیمم کران‌های بالا و پایین انتگرال‌های زیر را بیابید.
$$\int^1_{0.5}\frac{1}{1+x^2}dx~~~~~\text{و}~~~~~\int^{0.5}_0\frac{1}{1+x^2}dx$$
انتگرال‌های بالا را با هم جمع کنید تا تقریب بهتری برای انتگرال زیر بدست آید.
$$\int^1_0\frac{1}{1+x^2}dx$$
\item 
نشان دهید مقدار 
$\int^1_0\sin(x^2)dx$
 نمی تواند به 2 برسد.
\item 
نشان دهید مقدار 
$\int^1_0\sqrt{x+8}dx$
 بین دو مقدار 
3 و 
$2\sqrt{2}\approx2.8$
 واقع می‌‌شود.
\item 
\textbf{انتگرال توابع نامنفی.}
با استفاده از نامساوی ماکسیمم- مینیمم نشان دهید که اگر 
$f$
 انتگرال پذیر باشد. آنگاه از نامنفی بودن 
$f$ روی $[a,b]$
$$\int^b_af(x)dx\geq$$
\item 
\textbf{انتگرال توابع نامثبت.}
نشان دهید که اگر $f$ انتگرال پذیر باشد، آنگاه:
$$\int^b_af(x)dx\leq0$$
\item 
با استفاده از نامساوی 
$\sin x\leq x$
 که برای 
$x\geq0$
برقرار است
یک کران بالا برای 
$\int^1_0\sin xdx$
 بیابید.
\item 
نامساوی 
$\sec x\geq 1+(x^2/2)$ در $x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$
 برقرار است. با استفاده از آن  یک کران پایین برای مقدار 
$\int^1_0\sec xdx$
بیابید.
\item 
 اگر متوسط $f$  واقعا یک مقدار نمونه از تابع انتگرال پذیر در 
$[a,b]$
 باشد. آن گاه تابع مثبت $f(x)$ هم باید در $[a,b]$ همان مقدار انتگرال را داشته باشد که $f$ دارد. آیا چنین است؟ یعنی، آیا
$$\int^b_a{\rm av}(f)dx=\int^b_af(x)d$$
برای پاسخ خود دلیل بیاورید.
\item 
اگرمقدار متوسط تابع انتگرال پذیر در بازه‌ی $[a,b]$ از قواعد زیر تبعیت کند.
\item[(الف)]
${\rm av}(f+g)={\rm av}(f)+{\rm av}(g)$
\item[(ب)] 
${\rm av}(kf)=k{\rm av}(f)$
\item[(پ)] 
اگر به ازای هر 
$x\in[a,b]$ 
داشته باشیم 
$f(x)\leq g(x)$ آنگاه ${\rm av}(f)\leq {\rm av}(g)$.\\
آیا این قواعد برقرارند؟ برای پاسخ خود دلیل بیاورید.
\item 
\textbf{ مجموعه‌های بالایی و پایینی برای توابع صعودی}
\item[(الف)]
 فرض کنید وقتی
$x$
 روی بازه‌ی 
$[a,b]$
(از چپ با راست)، نمودار پیوسته‌ی – صعود می‌‌کند. اگر $P$ به فرض افرازی از $[a,b]$ باشد که $n$ زیر فاصله با طول
$\Delta x=(b-a)/n$
دارد. با مراجعه به شکل زیر نشان دهید که تفاضل میان جمع‌های بالا و پایین $f$ در این افراز را می‌‌توان از نظر هندسی به صورت مساحت مستطیل 
$R$
 که ابعادش 
$\Delta x$ در $[f(b)-f(a)]$
 است، در نظر گرفت (راهنمایی: تفاضل 
$U-L$
برابر با مجموع مساحت مستطیل‌هایی است که قطر آن‌ها 
$$Q_n,Q_{n-1},\cdots,Q_1,Q_0$$
 در امتداد منحنی قرار می‌‌گیرد. وقتی این مستطیل‌ها را به صورت افقی تا ناحیه‌ی $R$ حرکت دهیم، هیچ تداخلی بین آن‌ها ایجاد نمی شود).
\item[(ب)] 
فرض کنید که طول  زیر بازه‌های افراز
$P$
 با یکدیگر متفاوت باشند. نشان دهید که
$$U-L\leq |f(b)-f(a)|\Delta x_{\max}$$
که 
$\Delta x_{\max}$
 نرم $P$ است و بنابراین 
$\lim_{\big||P|\big|}(U-L)=0$.
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{5-15-1.png}
\end{center}
\item 
\textbf{مجموعه‌های بالایی و پایینی جهت توابع نزولی} (ادامه‌ی تمرین 83).
\item[(الف)]
 شکلی مشابه شکل تمرین 83 جهت توابع پیوسته‌ی
$f(x)$
رسم کنید که مقادیر تابع با حرکت 
$x$
 روی بازه‌ی $[a,b]$ (از چپ به راست). به طور مدام کاهش یابد. $P$ را افرازی از $[a,b]$ با زیربازه‌هایی با طول مساوی در نظر بگیرید. عبارتی برای 
$U-L$
 بیابید که قابل مقایسه با چیزی باشد که در تمرین 83 الف برای $U-L$ یافتید.
\item[(ب)] 
فرض کنید بجای مساوی بودن  زیر فاصله‌های افراز $P$ دارای اندازه‌های متفاوت است.
$$U-L\leq \big|f(b)-f(a)\big|\Delta x_{\max}$$
که مربوط به تمرین 83 ب است، همچنان برقرار است و بنابراین
$$\lim_{\big||P|\big|}(U-L)=0$$
\item 
 از فرمول
$$\sin h+\sin 2h+\cdots+\sin mh=\frac{\cos(h/2)-\cos(m+(1/2)h)}{2\sin(h/2)}$$
مساحت زیر نمودار 
$y=\sin x$
 از 
$x=0$ تا $x=\pi/2$
 را در دو مرحله بدست آورید.
\item[(الف)]
فاصله 
$[0,\pi/2]$
را به 
$n$
 زیر فاصله با طول‌های مساوی تقسیم کنید و مجموع بالایی u را برای محاسبه آن بدست آورید؛ سپس
\item[(ب)] 
وقتی 
$\Delta x=(b-a)/n\to0$ و $n\to\infty$،
حد 
$U$
 را بدست آورید.
\item 
فرض کنید همچون در شکل زیر، 
$f$
 در $[a,b]$ پیوسته و نامنفی باشد. با درج نقاط
$x_1,x_2,\cdots,x_{k-1},x_k,\cdots,x_{n-1}$
را به $n$ زیربازه با طول‌های زیر، که لزومی ندارد مساوی باشند، تقسیم می‌‌کنیم.
$$\Delta x_1=x_1-a,\Delta x_2=x_2-x_1,\cdots,\Delta x_n=b-x_{n-1}$$
\item[(الف)]
اگر 
$m_k=\min\{\text{ام}k~\text{در زیربازه‌ی}~x~\text{برای}\}$
ارتباط میان جمع پایین
$$L=m_1\Delta x_1+m_2\Delta x_2+\cdots+m_n\Delta x_n$$
و نواحی سایه دار در بخش اول  را توضیح دهید.
\item[(ب)] 
اگر 
$M_k=\max\{\text{ام}k~\text{در زیربازه‌ی}~x~\text{برای}\}$
 ارتباط میان جمع بالا
$$U=M_1+\Delta x_1+M_2\Delta x_2+\cdots+M_n\Delta x_n$$
و نواحی سایه دار در بخش دوم را توضیح دهید.
\item[(پ)] 
 ارتباط میان 
$U-L$
 و نواحی سایه دار در امتداد منحنی بخش سوم شکل را توضیح دهید.
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{5-15-2.png}
\end{center}
\item 
تابع $f$ در
$[a,b]$
پیوسته یکنواخت است. اگر به ازای هر 
$\epsilon>0$، $\delta>0$
چنان وجود داشته باشد که اگر
$x_1,x_2\in[a,b]$
 در $[a,b]$ باشند و 
$|x_1-x_2|<\delta$
باشد. آن گاه $|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$ باشد، می‌‌توان نشان داد که یک تابع پیوسته در $[a,b]$ پیوسته $[a,b]$ یکنواخت است. با استفاده از این مطلب و شکل تمرین 86 نشان دهید که اگر $f$  پیوسته باشد و 
$\epsilon>0$
 داده شده باشد، می‌‌توان بزرگ ترین 
$\Delta x_k$
 را به اندازه‌ی کافی کوچک کرد و 
$U-L\leq \epsilon\cdot (b-a)$
 را تشکیل داد.
\item 
اگر در یک سفر 
$150mi$
 موقع رفت سرعت 
$30mi/h$
 را داشته باشید . هنگام برگشت سرعت به 
$50mi/h$
 برسد. سرعت متوسط شما در این سفر چه قدر است؟ برای پاسخ خود دلیل بیاورید.
\end{enumerate}
\subsubsection*{کاوش کامپیوتری}
اگر
\lr{CAS}
بتواند مستطیل‌های متناظر به مجموعه‌های ریمانی را ترسیم کند. جهت رسم مستطیل‌های متناظر با مجموعه‌های ریمانی که همگرا به انتگرال‌های تمرین‌های 89 تا 94 هستند، را بوسیله‌ی آن رسم کنید. در هر مورد، زیر بازه‌هایی با طول مساوی و تعداد
$n=4,10,20,50$
 در نظر بگیرید.
\begin{multienumerate}
\renewcommand{\labelenumi}
{\addtocounter{enumi}{1}\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{88}
\mitemxx{$\displaystyle \int^1_0(1-x)dx=\frac{1}{2}$}{$\displaystyle\int^1_0(x^2+1)dx=\frac{4}{3} $}
\mitemxx{$\displaystyle\int^{\pi}_{-\pi}\cos xdx=0 $}{$\displaystyle \int^{\pi/4}_0\sec^2xdx=1$}
\mitemxx{$\displaystyle\int^1_{-1}|x|dx=1 $}{$\displaystyle \int^2_1\frac{1}{x}dx\approx0.693$}
\end{multienumerate}
در تمرین‌های 95 تا 98 با استفاده از \lr{CAS} گام‌های زیر را انجام دهید.
\begin{enumerate}
\item[(الف)]
هر تابع را روی بازه‌ی داده شده، رسم کنید.
\item[(ب)] 
هر بازه را به
$n=100,200,1000$
 زیر بازه با طول مساوی تقسیم کرده و مقدار تابع را در نقاط میانی هر زیربازه به دست آورید.
\item[(پ)] 
مقدار متوسط مقادیر تابع را که در قسمت ب به دست آورده اید محاسبه کنید.
\item[(ت)]
با استفاده از مقدار متوسطی که در بخش ج برای تقسیم بندی 
$f(x)$
محاسبه کردید، معادله‌ی زیر را برای 
$n=1000$
 حل کنید.
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{94}
\item $f(x)=\sin x$ روی $[0,\pi]$
\item $f(x)=\sin^2x$ روی $[0,\pi]$
\item $f(x)=x\sin\frac{1}{x}$ روی $[\pi/4,\pi]$
\item $f(x)=x\sin^2\dfrac{1}{x}$ روی $[\pi/4,\pi]$
\end{enumerate}
\section{قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال}
در این بخش، قضیه اساسی  حساب دیفرانسیل و انتگرال  معرفی می‌‌شود که قضیه‌ی مرکزی  حساب انتگرال به شمار می‌‌رود. این قضیه، انتگرال گیری را با مشتق گیری  مرتبط می‌‌کند و ما را قادر می‌‌سازد با استفاده از  پاد مشتق انتگرال تابع بجای استفاده از  حد گرفتن  مجموعه‌های ریمانی  مشابه بخش 3-5 انتگرال‌ها را محاسبه کنیم. لایبنیتز و نیوتون این رابطه را کشف کردند و آغازگر  پیشرفت‌هایی بودند که انقلاب علمی 200 سال بعد را رقم زد.

در این مسیر نتیجه  انتگرالی قضیه‌ی مقدار میانگین را معرفی می‌‌کنیم  که قضیه مهم  دیگری از حساب انتگرال است و برای اثبات قضیه‌ی اساسی به کار می‌‌رود.
\subsubsection{قضیه‌ی مقدار میانگین در انتگرال‌های معین}
در بخش قبل، مقدار متوسط  تابع پیوسته‌ای روی فاصله بسته‌ی
$[a,b]$
 را به عنوان  تقسیم انتگرال معین 
$\int^b_af(x)dx$
 بر طول فاصله
$(b-a)$
 تعریف کردیم. قضیه‌ی مقدار میانگین در انتگرال‌های معین، ادعا می‌‌کند که این مقدار  متوسط همیشه  حداقل یک بار، مقدار متوسط
$f$
در فاصله انتگرال گرفته می‌‌شود.\\
 \begin{figure}[h]
\centerline{\includegraphics[width=7cm]{5-16.png}}
\caption{\label{sh5-16}\small مقدار $f(c)$ در قضیه‌ی مقدار میانگین  از نظر مفهومی برابر با ارتفاع متوسط (میانگین) $f$ در $[a,b]$ است. وقتی $f>0$ باشد، مساحت مستطیل برابر با مساحت زیر نمودار $f$ از $a$ تا $b$ است. 
$f(c)(b-a)=\int^b_af(x)dx$.}
\end{figure}
 نمودار شکل 16-5، تابع پیوسته‌ی مثبت 
 $y=f(x)$
  را نشان می‌‌دهد که  روی فاصله $[a,b]$ تعریف شده است. از نظر هندسی، قضیه‌ی مقدار میانگین  می‌‌گوید که عددی چون 
$c$
  در $[a,b]$ به گونه‌ای وجود دارد که مستطیل با ارتفاع  برابر با مقدار متوسط  تابع،
$f(c)$
  و قاعده‌ی آن 
$b-a$
 است، مساحتی دقیقا برابر با ناحیه‌ی زیر نمودار $f$ از $a$ تا $b$ دارد.
\begin{theorem}[قضیه مقدار میانگین درانتگرال‌های معین]
اگر $f$ در $[a,b]$ پیوسته باشد، آن گاه نقطه‌ای چون
$f$
 در $[a,b]$ وجود دارد، به گونه‌ای که:
$$f(c)=\frac{1}{b-a}\int^b_af(x)dx$$
\end{theorem}
\textbf{اثبات:}
اگر  دو طرف نامساوی  ماکسیمم–مینیمم (قاعده‌ی 6  جدول 4-5) را بر 
$(b-a)$
 تقسیم کنیم، خواهیم داشت:
$$\min f\leq \frac{1}{b-a}\int^b_af(x)dx\leq \max f$$
 چون $f$ پیوسته است، قضیه مقدار میانی در توابع پیوسته (بخش 5-2)، $f$ می‌‌گوید که $f$ باید هر مقدار  بین 
$\max f$ و $\min f$
  را بپذیرد. بنابراین، $f$ باید مقدار 
 $$\frac{1}{(b-a)}\int^b_af(x)dx$$
  را درنقطه‌ای چون $c$ در $[a,b]$ بپذیرد.
$\blacksquare\hfill$

 در این جا، پیوستگی $f$ مهم است ممکن است یک تابع ناپیوسته، هرگز برابر با مقدار متوسط  نباشد (شکل 17-5).
\begin{figure}[h]
\centerline{\includegraphics[width=7cm]{5-17.png}}
\caption{\label{sh5-17}\small لزومی ندارد که یک تابع ناپیوسته، مقدار متوسط خود را بپذیرد.}
\end{figure}
\begin{example}
نشان دهید اگر $f$ در $[a,b]$
 پیوسته باشد.
$$\int^b_af(x)dx$$
آن گاه حداقل یک بار در
$x\in[a,b]$،
 داریم
$f(x)=0$.
\end{example}
\begin{solution}
مقدار متوسط  $f$ در $[a,b]$ برابر است با 
$${\rm av}(f)=\frac{1}{b-a}\int^b_af(x)dx=\frac{1}{b-1}\cdot 0=0$$
 با توجه به قضیه مقدار میانگین، $f$ این مقدار را در نقطه‌ای مانند 
$c\in[a,b]$
 می‌پذیرد.
\end{solution}
\subsubsection*{قضیه‌ی اساسی، بخش 1}
اگر
$f(t)$
 تابعی انتگرال پذیر روی بازه‌ی متناهی $I$ باشد، آن گاه انتگرال  از هر عدد ثابت 
$a\in I$
 تاعدد دیگر $x\in I$، تابع جدید 
$F$
 را چنان تعریف می‌‌کند که مقدار آن در
$x$
 برابر 
\begin{align}
F(x)=\int^x_af(t)dt
\end{align}
 باشد. 
برای مثال، اگر $f$ نامنفی باشد و $x$ در سمت راست $a$ واقع باشد، آن گاه $F(x)$ برابر با مساحت زیر نمودار از $a$ تا $x$ است(شکل 18-5). متغیر $x$ حد بالای انتگرال گیری یک انتگرال است، اما $F$ درست شبیه  هر تابع حقیقی با متغیر حقیقی است. برای هر مقدار از ورودی $x$، یک خروجی عددی وجود دارد، که در این حالت انتگرال معین $f$ از $a$ تا $x$ است.\\
\begin{figure}[h]
\centerline{\includegraphics[width=7cm]{5-18.png}}
\caption{\label{sh5-18}\small اگر 
$f$
 نامنفی بوده و 
$x>a$
  باشد، تابع 
$F(x)$
  که متوسط معادله‌ی (1) تعریف می‌‌شود، برابر بامساحت زیر نمودار  $f$ از $a$ تا $b$ است.}
\end{figure}
معادله‌ی (1) روشی جهت تعریف توابع جدید ارائه می‌‌کند.(بخش 2-7)، اما اهمیت آن در ارتباط دادن بین انتگرال‌ها و مشتق‌ها برقرار است. اگر $F$ تابعی مشتق پذیر از $x$ است که مشتق آن، خود $f$ است. بنا براین قضیه، به ازای هر مقدار $x$:
 $$\dfrac{d}{dx}F(x)=f(x)$$
 جهت کسب بصیرت که چگونه این نتیجه برقرار است باید به هندسه ‌ی ماورای آن نظری بیندازید.
 اگر روی بازه‌ی
 $[a,b]$، $f>0$
 باشد، آن گاه محاسبه‌ی $F'(x)$ با استفاده از تعریف مشتق ، به معنای گرفتن حد از خارج قسمت تفاضلی است، وقتی که
$$\frac{F(x+h)-F(x)}{h}$$
\begin{figure}[h]
\centerline{\includegraphics[width=7cm]{5-19.png}}
\caption{\label{sh5-19}\small در معادله‌ی (1)، 
$F(x)$
برابر با مساحت سمت چپ 
$x$
 است؛ هم چنین 
$F(x+h)$
 برابر با مساحت سمت چپ 
$x+h$
است. بدین ترتیب، خارج قسمت تفاضلی 
$[F(x+h)-F(x)]/h$
 تقریبا برابر با
$f(x)$،
 یعنی ارتفاع مستطیل نشان داده شده است.}
\end{figure}
 به ازای 
$h\to0$،
  صورت کسر برابر است با تفاضل دو مساحت، و از این رو، برابر با مساحت زیر نمودار
$f$
  از 
$x$ تا $x+h$
  است (شکل 19-5). اگر $h$ کوچک باشد، این مساحت با مساحت مستطیلی با ارتفاع 
$f(x)$
 و پهنای $h$ برابر است که در شکل 19-5 قابل مشاهده است به این معنا که:
$$F(x+h)-F(x)\approx hf(x)$$
 اگر دو طرف این تقریب را بر $h$ تقسیم کرده و بگذاریم که $h\to0$ میل کند، معقول به نظر می‌‌رسد که انتظار داشته باشیم:
$$F''(x)=\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x)$$
 این نتیجه، درست است؛ حتی اگر $f$ مثبت نباشد و این نتیجه، بخش اول قضیه‌ی اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را تشکیل می‌‌دهد.
\begin{theorem}[قضیه‌ی اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال، بخش 1]
اگر $f$ روی بازه‌ی 
$[a,b]$
 پیوسته باشد، آن گاه 
$$F(x)=\int^x_af(t)dt$$
روی بازه‌ی 
$[a,b]$
 پیوسته و روی 
$(a,b)$
 مشتق پذیر است، و مشتق آن برابر با 
\begin{align}
F'(x)=\frac{d}{dx}\int^x_af(t)dt=f(x)
\end{align}
 است.
\end{theorem}
قبل  از اثبات قضیه‌ی 4 چند مثال را جهت درک بهتر آنچه می‌‌گوییم در نظر می‌‌گیریم. در هر مثال توجه کنید که متغیر مستقل  در حدی از انتگرال ظاهر می‌‌شود.
\begin{example}
قضیه‌ی اساسی را جهت یافتن
$dy/dx$
 به کار ببرید اگر \\
(الف) 
$\displaystyle  y=\int^x_a(t^3+1)dt$ 
(ب) 
$\displaystyle  y=\int^3_x3t\sin tdt$\vspace{3mm} \\
(ج) 
$\displaystyle  y=\int^{x^2}_1\cos tdt$

\end{example}
\begin{solution}
مشتقات را نسبت به متغیر مستقل
$x$
 محاسبه می‌‌کنیم.
\begin{enumerate}
\item[(الف)] 
معادله (2) با 
$f(t)=t^3+1$
$$ \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\int^x_a(t^3+1)dt=x^3+1$$
\item[(ب)] 
قانون 1 جدول 6.5 
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
\frac{dy}{dx}&=\frac{d}{dx}\int^5_x3t\sin tdt=\frac{d}{d}\left(-\int^x_53t\sin tdt\right)\\
&=-\frac{d}{dx}\int^x_53t\sin tdt\\
&=-3x\sin x
\end{align*}
\item[(پ)] 
حد بالای انتگرال به جای 
$x$
 عبارت است از $x^2$؛ بدین ترتیب
$y$،
 ترکیبی است از دو تابع:
$$y=\int^u_1\cos tdt~~~~~\text{و}~~~~~u=x^2$$
 بنابراین برای یافتن 
$dy/dx$،
  باید از قاعده‌ی زنجیره‌ای استفاده کنیم.
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
\frac{dy}{dx}&=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{du}{dx}\\
&=\left(\frac{d}{du}\int^u_1\cos tdt\right)\cdot\frac{du}{dx}\\
&=\cos u\cdot\frac{du}{dx}\\
&=\cos(x^2)\cdot2x\\
&=2x\cos x^2
\end{align*}\vspace{-7mm}
\end{enumerate}
\end{solution}
\textbf{اثبات قضیه‌ی 4.}
در بخش 1 قضیه‌ی اساسی را با بکار بردن تعریف مستقیم مشتق برای تابع
$F(x)$،
 وقتی 
$x$ و $x+h$
 در بازه‌ی $(a,b)$ هستند، اثبات می‌‌کنیم. بدین معنا که خارج قسمت تفاضلی 
\begin{align}
\dfrac{F(x+h)-F(x)}{h}
\end{align}
 را نوشته و نشان می‌‌دهیم که برای هر $x$ در
$(a,b)$،
  حد این عبارت وقتی $h\to0$ برابر با عدد
 $f(x)$
 است. بنابراین:
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
F'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\\
&=\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\left[\int^{x+h}_af(t)dt-\int^x_af(t)dt\right]\\
&=\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\int^{x+a}_xf(t)dt~~\text{قانون 5 از جدول 6.5}
\end{align*}
 طبق قضیه‌ی مقدار میانگین در انتگرال‌های معین، مقدار آخرین عبارت، پیش از حد گرفتن، یکی از مقادیری است که 
 $f$
  روی بازه‌ی میان $x$ و 
  $x+h$
   اختیار می‌‌کند. به این معنا که برای عددی مانند $c$ در این بازه،
\begin{align}
\frac{1}{h}\int^{x+h}_xf(t)dt=f(c)
\end{align}
وقتی 
$h\to0$، $x+h$
نیز به $x$ میل می‌‌کند $c$ نیز به اجبار به $x$ میل می‌‌کند (زیرا $c$  بین $x$ و $x+h$ است.) چون که $f$ در $x$ پیوسته است،
$f(c)$ به $f(x)$
 میل می‌‌کند:
\begin{align}
\lim_{h\to0}f(c)=f(x)
\end{align}
درنتیجه، خواهیم داشت:
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
F'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\int^{x+h}_xf(t)dt\\
&=\lim_{h\to0}f(c)&\text{معادله (4)}\\
&=f(x)&\text{معادله (5)}
\end{align*}
اگر 
$x=a$ یا $x=b$
 باشد، حد عبارت (3) به عنوان حد یک طرفه به ترتیب با
$h\to0^+$ یا $h\to0^-$
 تعبیر می‌‌شود. آن گاه قضیه‌ی 1 بخش 2-3 نشان می‌‌دهد که 
 $F$
  به ازای همه نقاط بازه‌ی
$[a,b]$
  پیوسته است. و بدین ترتیب، قضیه ثابت می‌‌شود.
$\blacksquare\hfill$
\subsubsection*{قضیه‌ی اساسی، قسمت 2 (تعیین مقدار)}
 اکنون، به قسمت دوم اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال  می‌‌رویم. این قسمت توضیح می‌‌دهد که چگونه می‌‌توان بدون محاسبه‌ی حد مجموع‌های ریمانی، مقدار انتگرال‌های معین را محاسبه کرد. در این روش، به جای محاسبه‌ی حد جمع‌های ریمانی، مقدار یک پاد مشتق را در حد بالا و حد پایین انتگرال گیری می‌‌یابیم.\\
\textbf{قضیه 4.5}(ادامه)  قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال، بخش 2.
\\
 اگر $f$ در هر نقطه از $[a,b]$ پیوسته باشد و $F$ پادمشتقی از $f$ در $[a,b]$ باشد،  آن گاه:
$$\int^b_af(x)dx=F(b)-F(a)$$
اثبات: بخش 1 قضیه‌ی اساسی میگوید که یک پادمشتق $f$ به فرم
$$G(x)=\int^x_af(t)dt$$
 وجود دارد.
 بنابراین اگر $F$ هر پاد مشتقی از $f$ باشد، آن گاه به ازای
 $a<x<b$
  داریم
$F(x)=G(x)+C$،
  که در آن، $c$ یک عدد ثابت است (با استفاده از نتیجه ی2 مقدار میانگین برای مشتق ها، بخش 2-4). چون   $F$ و $G$ هر دو در $[a,b]$ پیوسته هستند، می‌‌بینید که $F(x)=G(x)+C$ وقتی 
$x=a$ یا $x=b$
  باشد با گرفتن حد یک طرفه، (وقتی $x\to a^+$ یا $x\to b^-$) برقرار است. با تعیین مقدار 
 $F(b)-F(a)$
  داریم:
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
F(b)-F(a)&=[G(b)+C]-[G(a)+C]\\
&=G(b)-G(a)\\
&=\int^b_af(t)dt-\int^a_af(t)dt\\
&=\int^b_af(t)dt-0\\
&=\int^b_af(t)dt
\end{align*}
 قضیه‌ی مقدار از این لحاظ مهم است که می‌‌گوید جهت محاسبه‌ی انتگرال معین 
$f$
  روی بازه‌ی $[a,b]$، به دو چیز نیاز داریم:
\begin{enumerate}
\item  
یافتن یک پاد مشتق $F$ برای $f$، و 
\item 
محاسبه‌ی عدد 
$F(b)-F(a)$،
 که برابر است با 
$\int^b_af(x)dx$.
\end{enumerate}
یک روش، بسیار آسان تر از محاسبه‌ی مجموع ریمانی است. قدرت این قضیه از درک این مطلب ناشی می‌‌شود که صرفا با دانستن مقادیر یک پادمشتق $F$ فقط در دو نقطه‌ی انتهایی a وb، می‌‌توان انتگرال معین را (که طی یک فرآیند پیچیده، شامل همه‌ی مقادیر تابع $f$ روی بازه‌ی $[a,b]$ تعریف می‌‌شود) به دست آورد. نماد رایج برای تفاضل $F(b)-F(a)$، بسته به آن که 
$F$
 یک جمله داشته باشد یا بیش از یک جمله، به این صورت نوشته می‌‌شود:
$$F(x)\bigg]^b_a~~~~\text{یا}~~~~\bigg[F(x)\bigg]^b_a$$
\begin{example}
با استفاده از قضیه‌ی تعیین مقدار بجای گرفتن با حد مجموع‌های ریمانی  چند انتگرال را محاسبه  می‌‌کنیم.\\
\textbf{(الف)}
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
\int^\pi_0\cos xdx&=\sin x\bigg]^\pi_0~~~~~~~~~\frac{d}{dx}\sin x=\cos x\\
&=\sin \pi-\sin 0=0-0=0
\end{align*}
\textbf{(ب)}
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
\int^0_{-\pi/4}\sec x\tan xdx&=\sec x\bigg|^0_{-\pi/4}\\
&~~~~~~~~~~~~\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x\\
&=\sec 0-\sec(-\pi/4)=1-\sqrt{2}
\end{align*}
\textbf{(ج)}
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
\int^4_1\left(\frac{3}{2}\sqrt{x}-\frac{4}{x^2}\right)dx&=\left[x^{3/2}+\frac{4}{x}\right]^4_1\\
&~~~~~\frac{d}{dx}\left(x^{3/2}+\frac{4}{8}\right)=\frac{3}{2}x^{1/2}-\frac{4}{x^2}\\
&=\left[(4)^{3/2}+\frac{4}{4}\right]-\left[(1)^{3/2}+\frac{4}{1}\right]\\
&=[8+1]-[5]=4
\end{align*}
\end{example}
تمرین 66 اثبات دیگری از قضیه‌ی تعیین مقدار ارائه می‌‌کند. با آوردن هم زمان ایده‌های مجموع‌های ریمانی، قضیه‌ی مقدار میانگین و تعریف انتگرال صورت می‌‌گیرد.
\subsubsection{انتگرال یک مشتق}
 قسمت 2 قضیه‌ی اساسی  را به طریق  دیگری نیز می‌‌توان تفسیر کرد. اگر 
$F$
 پاد مشتق $f$ باشد، آن گاه $F'=f$ معادله‌ی در این قضیه می‌‌توان به این صورت بازنویسی شود.
$$\int^b_aF'(x)dx=F(b)-F(a)$$
 اکنون 
 $F'(x)$
  آهنگ رشد تغییر تابع  $F(x)$ را نسبت به 
 $x$
  نمایش می‌‌دهد. بنابراین انتگرال $F'$ دقیقا تغییر خالص $F$ برحسب $x$ است که از $a$ تا $b$ تغییر می‌‌کند. به صورت غیر رسمی قضیه‌ی (5) را داریم.
\begin{theorem}
قضیه‌ی تغییر خالص. تغییر خالص در یک تابع 
$F(x)$
 روی یک فاصله
$a\leq x\leq b$
  برابر است با آهنگ تغییر خود آن تابع:
\begin{align}
F(b)-F(a)=\int^b_aF'(x)dx
\end{align}
\end{theorem}
\begin{example}
چندین تفسیر از  قضیه‌ی تغییر خالص ارائه می‌‌شود.
\begin{enumerate}
\item[(الف)]
اگر 
$c(x)$
ارزش تولید 
$x$
 واحد از کالای خاصی باشد، $c'(x)$ ارزش حاشیه‌ای است (بخش 4-3) خواهد بود.
 با توجه به قضیه‌ی 5:
$$\int^{x_2}_{x_1}c'(x)dx=c(x_2)-c(x_1)$$
 که هزینه‌ی افزایش تولید از $x_1$ واحد اولیه به $x_2$ واحد است.
\item[(ب)] 
اگر  شیی با موقعیت مکان
$s(t)$
در امتداد یکی از محورهای مختصات حرکت کند، سرعتش به صورت 
$v(t)=s'(t)$
 خواهد بود.
بنابر قضیه‌ی 5:
$$\int^{t_2}_{t_1}v(t)dx=s(t_2)-s(t_1)$$
\end{enumerate}
پس انتگرال سرعت برابر با جابه جایی در فاصله زمانی 
$t_1\leq t\leq t_2$
 است. از طرف دیگر، انتگرال گیری 
$|v(t)|$
 برابر است با کل مسافت طی شده در این فاصله‌ی زمانی؛ که با مبحث بخش 1-5 سازگار است.
\end{example}
اگر معادله‌ی (6) را به صورت 
$$F(b)=F(a)+\int^b_aF'(x)dx$$
 مرتب کنیم، قضیه‌ی تغییر خالص می‌‌گوید که مقدار نهایی یک تابع 
 $F(x)$
 روی فاصله‌ی 
$[a,b]$
 برابر با حاصل جمع مقدار اولیه‌ی آن $F(a)$ با تغییر خالصش در این فاصله است. بنابراین اگر 
 $v(t)$
  سرعت تابع  یک شئی در حال حرکت در امتداد یکی از محورهای مختصات را نمایش می‌‌دهد. مفهوم آن این است که موقعیت نهایی شئی 
$s(t_2)$
  روی فاصله زمانی 
$t_1\leq t\leq t_2$
 برابر موقعیت آغازی آن $s(t_1)$ بعلاوه‌ی تغییر خالص در موقعیت  آن در راستای محور است .
\begin{example}
درمثال3، بخش 1-5، تحلیلی از حرکت تکه سنگینی که با انفجار دینامیت از سطح زمین مستقیما به بالا پرتاب می‌‌شود، ارائه کردیم. با توجه به این تحلیل، سرعت تکه سنگ در هر لحظه‌ی 
$t$
 از حرکتش، با رابطه‌ی 
 $v(t)=49-9.8t$
 به دست می‌‌آید.
\begin{enumerate}
\item[(الف)]
جابه جایی سنگ را در فاصله‌ی زمانی 
$0\leq t\leq 8$
 بیابید.
\item[(ب)] 
کل مسافت طی شده را در این فاصله‌ی زمانی بیابید.
\end{enumerate}
\end{example}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item[(الف)]
با توجه به مثال 4 ب، جابه جایی با انتگرال زیر برابر است:
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
\int^8_0v(t)dt&=\int^8_0(49-9.8t)dt=\big[49t-4.9t^2\big]^8_0\\
&=(49)(8)-(4.9)(64)=78.4
\end{align*}
 بدین معنا که ارتفاع سنگ از سطح زمین، 8 ثانیه پس از انفجار، برابر با 
 $78.4$
  است؛ که با نتیجه‌ی مثال3؛ بخش 1-5 سازگار است.
\item[(ب)] 
همانطور که در جدول 3-5 تذکر دادیم تابع سرعت 
$v(t)$
 در فاصله‌ی زمانی 
$[0,5]$
 مثبت است و در فاصله‌ی
$[5,8]$
 منفی است. بنابراین مثال4ب، کل مسافت پیموده شده انتگرال زیر است.
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
\int^8_0|v(t)|dt&=\int^5_0|v(t)|dt+\int^8_5|v(t)|dt\\
&=\int^5_0(49-9.8t)dt-\int^8_5(49-9.8t)dt\\
&=\big[49t-4.9t^2\big]^5_0-\big[49t-4.9t^2\big]^8_5\\
&=\big[(49)(5)-(4.9)(25)\big]\\
&-\big[(49)(8)-(4.9)(64)-(49)(5)-(4.9)(25)\big]\\
&=122.5-(-44.1)=166.6
\end{align*}
\end{enumerate}
مجددا این نتیجه گیری با نتیجه گیری در مثال2 بخش 1-5 مطابقت دارد. یعنی جمع فاصله کل مسافت 
 طی شده توسط سنگ در فاصله‌ی زمانی 
$0\leq t\leq 8$
 برابر است با $166.6$ ارتفاع ماکسیمم $122.5$، که سنگ در فاصله‌ی زمانی $[0,5]$ به آن می‌‌رسد، بعلاوه‌ی مسافت اضافه شده‌ی $44.1$، که سنگ در فاصله زمانی $[5,8]$ سقوط می‌‌کند.
\end{solution}
\subsubsection{ارتباط میان انتگرال گیری و مشتق گیری}
نتیجه گیری قضیه‌ی اساسی چندین مطلب دارد. معادله‌ی (2) می‌‌تواند به صورت زیر
$$\frac{d}{dx}\int^x_af(t)dt=f(x)$$
 بازنویسی شود که می‌‌گوید: اگر از تابع 
$f$
  انتگرال گرفته و سپس از نتیجه بدست آمده مشتق بگیریم، تابع $f$ را مجددا بدست خواهیم آورد. به طریق مشابه  با تعریف، $b$ را با $x$ و $x$ را با $t$ در معادله‌ی (6) جایگزین می‌‌کینم و نتیجه می‌‌دهد:
$$\int^x_aF'(t)dt=F'(x)-F(a)$$
به طوری که اگر از تابع $F$ ابتدا انتگرال گرفته و سپس از نتیجه‌ی حاصل مشتق بگیریم؛ تابع $F$ را مجددا بدست آورده ایم (که با ثابت انتگرال گیری تنظیم می‌‌شود). از لحاظ مفهومی، فرآیندهای انتگرال گیری و مشتق گیری "معکوس`` یگدیگرند. قضیه‌ی اساسی  می‌‌گوید که هر تابع پیوسته $f$ یک پادمشتق $F$ دارد. این قضیه اهمیت یافتن پادمشتق‌ها را به منظور محاسبه‌ی مقدار انتگرال‌های معین، به آسانی نشان می‌‌دهد. علاوه بر آن، این قضیه می‌‌گوید که معادله‌ی دیفرانسیلی
$dy/dx=f(x)$
برای هر تابع پیوسته‌ی $f$ جوابی دارد(برای مثال، هر تابع 
$y=F(x)+C$).
\subsubsection{مساحت کل}
مجموع ریمان، شامل  جملاتی چون 
$f(c_k)\Delta x_k$
 است که وقتی 
$f(c_k)$
  مثبت است. مساحت مستطیل را نشان  می‌‌دهد. اگر 
$f(c_k)$
 منفی باشد، حاصل ضرب 
 $f(c_k)\Delta x_k$
  برابر با منفی مستطیل است. وقتی برای یک تابع منفی، این جمله‌ها را با هم جمع می‌‌کنیم، منفی مساحت ناحیه‌ی بین منحنی و محور $x$ را بدست می‌‌آوریم. بنابراین، اگر قدر مطلق  این مقدار را محاسبه کنیم، مقدار درست مساحت را به دست آورده ایم.
\begin{example}
شکل 20-5 نمودار تابع 
$f(x)=x^2-4$
 و تصویر آینه‌ای آن  را نسبت به محور
$x$،
 یعنی
$g(x)=4-x^2$
 نشان می‌‌دهد. برای هر تابع، کمیت‌های زیر را محاسبه کنید.الف. انتگرال معین روی بازه‌ی 
$[-2,2]$
 و 
ب. مساحت ناحیه‌ی میان نمودار و محور $x$  روی فاصله‌ی $[-2,2]$.
\end{example}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item[(الف)]
$\displaystyle\int^2_{-2}f(x)dx=\left[\frac{x^3}{3}-4x\right]^2_{-2}=\left(\frac{8}{3}-8\right)-\left(-\frac{8}{3}+8\right)=-\frac{32}{3}~~$
و 
$$\int^2_{-2}g(x)dx=\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]^2_{-2}=\frac{32}{3}$$
\item[(ب)] 
 در هر دو حالت، مساحت بین منحنی و محور $x$‌ها روی 
 $[-2,2]$
  برابر $32.3$ واحد است. اگرچه انتگرال معین 
$f(x)$
  منفی است، مساحت همچنان مثبت است.
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{figure}[h]
\centerline{\includegraphics[width=5cm]{5-20.png}}
\caption{\label{sh5-20}\small این نمودارها یک مقدار از مساحت با محور $x$ها را پوشش می‌‌دهد اما انتگرال‌های معین دو تابع رو  فاصله‌ی $[-2,2]$ متفاوت است (مثال6).}
\end{figure}
هنگامی که تابع مقادیر مثبت و منفی را اختیار می‌‌کند برای محاسبه‌ی مساحت ناحیه ‌های بین نمودار تابع
$y=f(x)$
و محور $x$  واقع شده اند، ابتدا باید دقت داشته باشیم  که فاصله‌ی 
$[a,b]$
 را به زیربازه‌هایی تقسیم کنیم که تابع در آن‌ها تغییر علامت ندهد. درغیر این صورت، مساحت‌هایی که دارای علامت‌های مثبت و منفی هستند، در محاسبه با  یکدیگر حذف می‌‌شوند و مساحت کل درست محاسبه نمی شود. مساحت کل را می‌‌توان با جمع کردن قدر مطلق انتگرال معین در زیرفاصله‌ای که $f(x)$ در آن تغییر علامت نمی دهد، محاسبه کرد. از این پس ، واژه‌ی "مساحت`` را به معنای "مساحت کل`` به کار می‌‌بریم.
\begin{example}
شکل 21-5 نمودار تابع 
$f(x)=\sin x$
 را بین 
$x=0$ و $x=2\pi$
 نشان می‌‌دهد. کمیت‌های زیر رارمحاسبه کنید.
\begin{enumerate}
\item[(الف)]
انتگرال معین
$f(x)$
در فاصله‌ی
$[0,2\pi]$.
\item[(ب)] 
مساحت ناحیه‌ی میان نمودار $f(x)$ و محور $x$ روی بازه‌ی $[0,2\pi]$.
\end{enumerate}
\end{example}
\begin{solution}
انتگرال معین $f(x)=\sin x$ به صورت زیر محاسبه می‌‌شود:
$$\int^{2\pi}_0\sin xdx=-\cos x\big]^{2\pi}_\pi=-[\cos2\pi-\cos0]=-[1-1]=0$$
 این انتگرال معین، صفر است؛ زیرا دو بخش از نمودار که در بالا و پایین محور $x$  قرار دارند، یکدیگر را حذف می‌‌کنند.
\\
 مساحت ناحیه‌ی میان نمودار $f(x)$ و محور  $x$  روی فاصله‌ی $[0,2\pi]$ را با تقسیم دامنه‌ی $\sin x$ به دو بخش محاسبه می‌‌کینم: فاصله‌ی $[0,\pi]$ که در آن، تابع نامنفی است و فاصله‌ی $[\pi,2\pi]$ که در آن، تابع نامثبت است.
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
\int^\pi_0\sin xdx&=-\cos x\big]^\pi_0=-[\cos x-\cos 0]=\\
&-[-1-1]=2\\
\int^{2\pi}_0\sin xdx&=-\cos x\big]^{2\pi}_0=-(\cos2\pi-\cos\pi)\\
&=-[1-(-1)]=-2
\end{align*}
 دومین انتگرال، یک مقدار منفی را به دست می‌‌دهد. مساحت ناحیه‌ی بین نمودارو محور با حاصل جمع قدر مطلق مقادیر به دست می‌‌آید:
$$\text{مساحت}=|2|+|-2|=4$$
\begin{figure}[h]
\centerline{\includegraphics[width=7cm]{5-21.png}}
\caption{\label{sh5-21}\small جمع مساحت‌های بین
$y=f(x)$
 و محور $x$  برای
$0\leq x\leq 2\pi$
 برابر با مجموع قدرمطلق‌های دو انتگرال است (مثال7).}
\end{figure}
\end{solution}
\begin{pbox}\vspace{-7mm}
\subsubsection{خلاصه}
جهت یافتن مساحت بین نمودار 
$y=f(x)$
 و محور $x$   روی فاصله
$[a,b]$:
\begin{enumerate}
\item  $[a,b]$
را در صفرهای  نمودار  $f$  به زیربازه‌ها تجزیه کنید.
\item 
از $f$ در هر زیر فاصله، انتگرال بگیرید.
\item 
قدر مطلق  انتگرال را با هم جمع کنید.
\end{enumerate}
\end{pbox}
\begin{example}
مساحت ناحیه‌ی بین محور $x$‌ها و نمودار 
$f(x)=x^3-x^2-2x$
 را در 
 $-1\leq x\leq 2$
  و محور $x$ بیابید.
\end{example}
\begin{solution}
ابتدا صفرهای $f$ را می‌‌یابیم چون 
$$f(x)=x^3-x^2-2x=x(x^2-x-2)=x(x+1)(x-2)$$
 صفرها 
 $x=0,-1,2$
  هستند (شکل 22-5). صفرها، فاصله‌ی 
 $[-1,2]$
  را به دو زیر فاصله تقسیم می‌‌کنند:
$[-1,0]$
  که در آن 
$f\geq0$
  است و 
$[0,2]$
  که در آن 
$f\leq0$
  است. از $f$ در هر یک از زیرفواصل، انتگرال می‌‌گیریم و سپس قدرمطلق انتگرال‌های محاسبه شده را با هم جمع می‌‌کنیم:
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
\int^0_{-1}(x^3-x^2-2x)dx&=\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}-x^2\right]^0_{-1}\\
&=0-\left[\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-1\right]=\frac{5}{12}\\
\int^2_0(x^3-x^3-2x)dx&=\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}-x^2\right]^2_0\\
&=\left[4-\frac{8}{3}-4\right]-0=-\frac{8}{3}
\end{align*}
 مساحت کل محصور شده برابر با حاصل جمع قدرمطلق‌های انتگرال‌های محاسبه شده است.
\end{solution}
\begin{figure}[h]
\centerline{\includegraphics[width=7cm]{5-22.png}}
\caption{\label{sh5-22}\small ناحیه‌ی میان منحنی 
$y=x^3-x^2-2x$
 و محور $x$ (مثال8).}
\end{figure}
\section*{تمرین 4-5}
\addcontentsline{toc}{section}{تمرین 4-5}
\subsubsection*{محاسبه مقدار انتگرال}
در تمرین‌های 1 تا 28 مقدار هر انتگرال را محاسبه کنید.
\begin{multienumerate}
\renewcommand{\labelenumi}
{\addtocounter{enumi}{1}\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{0}
\mitemxx{$\displaystyle\int^2_0x(x-3)dx $}{$\displaystyle\int^1_{-2}(x^2-2x+3)dx $}
\mitemxx{$\displaystyle\int^2_{-2}\frac{3}{(x+3)^4}dx$}{$\displaystyle\int^1_{-2}x^{299}$}
\mitemxx{$\displaystyle\int^4_0\left(3x-\frac{x^3}{4}\right)dx $}{$\displaystyle\int^3_{-2}(x^3-2x+3)dx $}
\mitemxx{$\displaystyle\int^1_0(x^2+\sqrt{x})dx $}{$\displaystyle\int^{32}_1x^{-6/5}dx $}
\mitemxx{$\displaystyle\int^{\pi/3}_02\sec^2xdx $}{$\displaystyle\int^\pi_0(1+\cos x)dx $}
\mitemxx{$\displaystyle\int^{3\pi/4}_{\pi/4}\csc\theta\cot\theta d\theta $}{$\displaystyle\int^{\pi/3}_04\sec u\tan udu $}
\mitemxx{$\displaystyle\int^0_{\pi/2}\frac{1+\cos2t}{2}dt $}{$\displaystyle\int^{\pi/3}_{-\pi/3}\frac{1-\cos2t}{2}dt $}
\mitemxx{$\displaystyle\int^{\pi/4}_0\tan^2xdx $}{$\displaystyle\int^{\pi/6}_0(\sec x+\tan x)^2dx $}
\mitemxx{$\displaystyle\int^{\pi/8}_0\sin2xdx $}{$\displaystyle\int^{-\pi/4}_{-\pi/3}\left(4\sec^2t+\frac{\pi}{t^2}\right)dt $}
\mitemxx{$\displaystyle \int^{-1}_1(r+1)^2dr$}{$\displaystyle\int^{\sqrt{3}}_{-\sqrt{3}}(t+1)(t^2+4)dt $}
\mitemxx{$\displaystyle\int^1_{\sqrt{2}}\left(\frac{u^7}{2}-\frac{1}{5}\right)du $}{$\displaystyle\int^{-1}_{-3}\frac{y^5-2y}{y^3}dy $}
\mitemxx{$\displaystyle\int^{\sqrt{2}}_1\frac{s^2+\sqrt{2}}{s^2}ds $}{$\displaystyle\int^8_1\frac{(x^{1/3}+1)(2-x^{2/3})}{x^{1/3}}dx $}
\mitemxx{$\displaystyle\int^\pi_{\pi/2}\frac{\sin2x}{2\sin x}dx $}{$\displaystyle\int^{\pi/3}_0(\cos x+\sec x)^2dx $}
\mitemx{$\displaystyle\int^4_{-4}|x|dx $}
\mitemx{$\displaystyle\int^\pi_0\frac{1}{2}(\cos x+|\cos x|)dx $}
\end{multienumerate}
؟؟؟؟؟؟ ترجمه نشده
\begin{multienumerate}
\renewcommand{\labelenumi}
{\addtocounter{enumi}{1}\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{28}
\mitemxx{$\displaystyle\int^{\sqrt{\pi/2}}_0x\cos x^2dx$}{$\displaystyle\int^{\pi^2}_1\frac{\sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx$}
\mitemxx{$\displaystyle\int^5_2\frac{xdx}{\sqrt{1+x^2}}$}{$\displaystyle\int^{\pi/3}_0\sin^2x\cos xdx$}
\end{multienumerate}
\subsubsection*{مشتق انتگرال}
مشتقات را در تمرین‌های 3329 تا 38 بیابید. بطریق\\
\textbf{الف.} با محاسبه‌ی انتگرال و مشتق گرفتن از حاصل آن\\
\textbf{ب.} با مشتق گیری مستقیم از انتگرال\\
\begin{multienumerate}
\renewcommand{\labelenumi}
{\addtocounter{enumi}{1}\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{32}
\mitemxx{$\displaystyle\frac{d}{dx}\int^{\sqrt{x}}_0\cos tdt $}{$\displaystyle\frac{d}{dx}\int^{\sin x}_13t^2dt $}
\mitemxx{$\displaystyle\frac{d}{dt}\int^{t^4}_0\sqrt{u}du $}{$\displaystyle \frac{d}{d\theta}\int^{\tan\theta}_0\sec^2ydy$}
\mitemxx{$\displaystyle\frac{d}{dx}\int^{x^3}_0t^{-2/3}dt$}{$\displaystyle\frac{d}{dt}\int^{\sqrt{t}}_0\left(x^4+\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\right)dx$}
\end{multienumerate}
در تمرین‌های 39 تا 46، مقدار 
$dy/dx$
 را بیابید.
\begin{multienumerate}
\renewcommand{\labelenumi}
{\addtocounter{enumi}{1}\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{38}
\mitemxx{$\displaystyle y=\int^x_0\sqrt{1+t^2}dt$}{$\displaystyle y=\int^x_1\frac{1}{t}dt,~~x>0$}
\mitemxx{$\displaystyle y=\int^0_{\sqrt{x}}\sin(t^2)dt$}{$\displaystyle y=x\int^{x^2}_2\sin(t^3)dt$}
\mitemx{$\displaystyle y=\int^x_{-1}\frac{t^2}{t^2+4}dt-\int^x_3\frac{t^2}{t^2+4}$}
\mitemx{$\displaystyle y=\left(\int^x_0(t^3+1)^{10}dt\right)^3$}
\mitemx{$\displaystyle y=\int^{\sin x}_0\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}},~~|x|<\frac{\pi}{2}$}
\mitemx{$\displaystyle y=\int^0_{\tan x}\frac{dt}{1+t^2}$}
\end{multienumerate}
\subsubsection*{مساحت}
در تمرین‌های 47 تا 50، مساحت کل ناحیه‌ی میان نمودار هر تابع و محور 
$x$
 را بیابید.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{46}
\item $y=-x^2-2x,~~-3\leq x\leq 2$
\item $y=3x^2-3,~~-2\leq x\leq 2$
\item $y=x^3-3x^2+2x,~~~0\leq x\leq 2$
\item $y=x^{1/3}-x,~~~-1\leq x\leq 8$
\end{enumerate}
در تمرین ها‌ی 51 تا 54، مساحت ناحیه‌ی سایه دار را بیابید.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{50}
\item 
\includegraphics[width=5.5cm]{5-22-1.png}
\item 
\includegraphics[width=7cm]{5-22-2.png}
\item 
\includegraphics[width=5cm]{5-22-3.png}
\item 
\includegraphics[width=5cm]{5-22-4.png}
\end{enumerate}
\subsubsection*{مسائل مقدار اولیه}
هر یک از توابع زیر، یکی از مسائل مقدار اولیه در تمرین‌های 55 تا 58 است. هر تابع جواب کدم مسأله است؟ دلایل خود را به طور خلاصه بیان کنید.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{54}
\begin{multicols}{2}
\item[(الف)]
$\displaystyle y=\int^x_y1\frac{1}{t}dt-3$
\item[(ب)] 
$\displaystyle y=\int^x_0\sec tdt+4$
\item[(پ)] 
$\displaystyle y=\int^x_{-1}\sec tdt+4$
\item[(د)] 
$\displaystyle y=\int^x_\pi\frac{1}{t}dt-3$
\end{multicols}
\item  $\frac{dy}{x}=\frac{1}{x},~~~y(\pi)=-3$
\item $y'=\sec x,~~~y(-1)=4$
\item $y'=\sec x,~~~y(0)=4$
\item $y'=\dfrac{1}{x},~~y(1)=-3$
\end{enumerate}
در تمرین‌های 59 و 60، جواب‌های مسائل مقدار اولیه را بر حسب انتگرال‌ها بیان کنید.
\begin{multienumerate}
\renewcommand{\labelenumi}
{\addtocounter{enumi}{1}\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{58}
\mitemx{$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\sec x,~~~y(2)=3$}
\mitemx{$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\sqrt{1+x^2},~~~y(1)=-2$}
\end{multienumerate}
\subsubsection*{مثال‌های نظری}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{60}
\item 
فرمول مساحت ارشمیدس برای کمان‌های سهموی. ارشمیدس
$(287-212)$،
 مخترع، مهندس نظامی، فیزیکدان و بزرگ ترین ریاضی دان عهد باستان در جهان غرب است. او کشف کرد که مساحت زیر یک کمان سهموی برابر است با حاصل ضرب دو سوم قاعده در ارتفاع آن. کمان سهموی 
$y=h-(4h/b^2)x^2$
 را که
$-(b/2)\leq x\leq (b/2)$،
 رسم کنید؛ فرض کنید که 
$b$ و $h$
مثبت باشند. سپس با استفاده از حساب  دیفرانسیل و انتگرال، مساحت ناحیه‌ی میان کمان و محور $x$ را بیابید.
\item 
نشان دهید اگر $k$ یک عدد ثابت مثبت باشد، آن گاه مساحت بین محور $x$ و یکی از کمان‌های منحنی 
$y=\sin kx$
 برابر با 
$2/k$
 است.
\item 
یافتن هزینه با استفاده از هزینه‌ی نهایی. هزینه‌ی نهایی چاپ یک پوستر، وقتی که تعداد $x$ پوستر چاپ شده باشد، بر حسب دلار برابر است با:
$$\frac{dc}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
هزینه‌ی چاپ 2 تا 100 پوستر، یعنی
$c(100)-c(1)$
را بیابید.
\item 
یافتن درآمد با استفاده از درآمد نهایی. فرض کنید که درآمد نهایی یک شرکت، از ساخت و فروش دستگاه همزن تخم مرغ به صورت زیر باشد:
$$\frac{dr}{dx}=2-\frac{2}{(x+1)^2}$$
که در آن،
$r$
 بر حسب دلار و $x$ بر حسب هزار واحد اندازه گیری می‌‌شود. شرکت، چه مبلغی را می‌‌تواند از تولید
$x=3$
هزار همزن انتظار داشته باشد؟ برای یافتن پاسخ، از درآمد نهایی از 
$x=0$ تا $x=3$
 انتگرال بگیرید.
\item 
 دمای 
$T^0$
 یک اتاق، در لحظه‌ی $t$ دقیقه به صورت زیر است:
$$T=\frac{265}{9}-\frac{5}{3}\sqrt{25-t}~~~;~~~0\leq t\leq 25$$
\item[(الف)]
دمای اتاق را وقتی 
$t=0$، $t=16$ و $t=25$
 است، بیابید.
\item[(ب)] 
میانگین دمای اتاق را برای 
$0\leq t\leq 25$
 بیابید.
\item 
ارتفاع 
$H(m)$
یک درخت نخل، $t$ سال پس از گذشت آن، با فرمول زیر داده  می‌‌شود.
$$H=0.3\sqrt{t+1}+1.5t^{1/3}~~~~~~~0\leq t\leq 8$$
\item[(الف)]
ارتفاع درخت را در $t=0$، $t=4$ و $t=8$ بیابید.
\item[(ب)] 
 میانگین ارتفاع درخت را برای $0\leq t\leq 8$ بیابید.
\item 
فرض کنید 
$\int^x_1f(t)dt=x^2-2x+1$
 باشد.
$f(x)$
را بیابید .
\item 
 اگر 
$\int^x_0f(t)dt=x\cos\pi x$
باشد،
$f(4)$
را بیابید.
\item 
حالت خطی
$f(x)$
را در 
$x=1$
 بیابید.
$$f(x)=2-\int^{x+1}_2\frac{9}{1+t}dt$$
\item 
حالت خطی
$g(x)$
رادر  $x=-1$ بیابید.
$$g(x)=3+\int^{x^2}_1\sec(t-1)dt$$
\item 
فرض کنید به ازای همه‌ی مقادیر 
$x$،
 مشتق $f$ مثبت، و نیز 
$f(1)=0$
 باشد. کدام یک از گزاره‌های زیر باید برای تابع
$$g(x)=\int^x_0f(t)dt$$
درست باشد؟ برای پاسخ خود دلیل بیاورید.
\item[(الف)] $g$
تابعی مشتق پذیر از $x$ است.
\item[(ب)] $g$
تابعی پیوسته از $x$ است.
\item[(پ)] 
نمودار $g$ یک مماس افقی در $x=1$ دارد.
\item[(ت)] $g$
در نقطه‌ی $x=1$ یک ماکسیمم نسبی دارد.
\item[(ث)] $g$
در نقطه‌ی $x=1$ یک مینیمم نسبی دارد.
\item[(ج)] $g$
در $x=1$ یک نقطه‌ی عطف دارد.
\item[(چ)]
نمودار $g$ در
$x=1$
از محور $x$ می‌‌گذرد.
\item 
\textbf{اثبات دیگری برای قضیه‌ی برآورد.}
\item[(الف)]
فرض کنید
$a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$
افرازی از $[a,b]$ بوده و $F$ نیز یک از پادمشتق‌های $F$ باشد. نشان دهید که:
$$F(b)-F(a)=\sum^n_{i=1}[F(x_i)-F(x_{i-1})]$$
\item[(ب)] 
قضیه‌ی مقدار میانگین را برای هر جمله به کار ببرید. تا نشان دهید که به ازای عددی مانند – در بازه‌ی – داریم:
$$F(x_i)-F(x_{i-1})=f(c_i)(x_i-x_{i-1})$$
سپس نشان دهید که 
$F(b)-F(a)$
 یک جمع ریمانی برای 
$f$
 روی بازه‌ی 
$[a,b]$
است.
\item[(پ)]
 با توجه به قسمت ب و تعریف انتگرال معین، نشان دهید:
$$F(b)-F(a)=\int^b_af(x)dx$$
\item 
ترجمه نشده
\begin{center}
\includegraphics[width=6.5cm]{5-22-5.png}
\end{center}
\item 
ترجمه نشده

\end{enumerate}
\subsubsection*{کاوش کامپیوتری}
در تمرین‌های 75 تا 78، فرض کنید که برای تابع خالص $f$ و بازه‌ی $[a,b]$ داشته باشیم
$F(x)=\int^x_af(t)dt$.
 با استفاده از
\lr{CAS}
  مراحل زیر را انجام دهید و به پرسش‌های مطرح شده، پاسخ دهید.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{74}
\item[(الف)]
توابع
$f$ و $F$
را در بازه‌ی
$[a,b]$
 با یکدیگر رسم کنید.
\item[(ب)] 
معادله‌ی
$F'(x)=0$
را حل کنید چه چیزهایی را در رابطه با نمودارهای $f$ و $F$ در نقاطی که $F'(x)=0$ است، مشاهده می‌‌کنید؟ آیا مشاهدات شما، با بخش 1 قضیه‌ی اساسی در رابطه با اطلاعاتی که از مشتق اول به دست می‌‌آید، مطابقت دارد؟ پاسخ خود را توضیح دهید.
\item[(پ)] 
در چه بازه‌ای (به صورت تقریبی) تابع $F$ صعودی و در چه بازه‌ای نزولی است؟ در این بازه‌ها چه واقعیتی در باره‌ی $f$ وجود دارد؟
\item[(ت)]
مشتق $f'$ را محاسبه کرده و آن را همراه با $F$ رسم کنید. چه چیزهایی را در رابطه با نمودار $F$ در نقاطی که $f'(x)=0$ است، مشاهده می‌‌کنید؟ آیا مشاهدات شما، بخش 1 قضیه‌ی اساسی را تایید می‌‌کند؟ پاسخ خود را توضیح دهید.
\item $f(x)=x^3-4x^2+3x$، $[0,4]$
\item $f(x)=2x^4-17x^3+46x^2-43x+12$
\item $f(x)=\sin2x\cos(x/3)$، $[0,2\pi]$
\item $f(x)=x\cos\pi x$، $[0,2\pi]$
\end{enumerate}
در تمرین‌های 79 تا 82، فرض کنید که به ازای
$a$، $u$ و $f$
تعیین شده – باشد. با استفاده از
\lr{CAS}
  مراحل زیر را انجام دهید و به پرسش‌های مطرح شده ، پاسخ دهید.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{78}
\item[(الف)]
دامنه‌ی $F$ را بیابید.
\item[(ب)] $F''(x)$
را محاسبه کرده و صفرهای آن را تعیین کنید. 
$F$ 
در کجا صعودی یا نزولی است؟
\item[(پ)] $F''(x)$
را محاسبه کرده و صفرهای آن را تعیین کنید. 
اکسترمم‌های نسبی و نقاط عطف $F$ را تعیین کنید.
\item[(ت)]
با استفاده از اطلاعات قسمت‌های الف تا پ. نمودار تقریبی 
$y=F(x)$
 را در دامنه‌ی آن، به صورت دستی رسم کنید. سپس نمودار $y=F(x)$ را در \lr{CAS} رسم کنید، تا نمودار دستی شما را تایید کند.
\item $f(x)=\sqrt{1-x^2}$، $u(x)=x^2$، $a=1$
\item $f(x)=\sqrt{1-x^2}$، $u(x)=x^2$، $a=0$
\item $f(x)=x^2-2x-3$، $u(x)=1-x$، $a=0$
\item $f(x)=x^2-2x-3$، $u(x)=1-x^2$، $a=0$
\end{enumerate}
در تمرین‌های 83 و 84 فرض کنید که
$f$
  پیوسته و 
$u(x)$
 نیز دو بار مشتق پذیر باشد.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{82}
\item $\frac{d}{dx}\int^{u(x)}_af(t)dt$
را محاسبه کرده و پاسخ خودرا با استفاده از
\lr{CAS}
 بررسی کنید.
\item $\frac{d^2}{dx^2}\int^{u(x)}_af(t)dt$
را محاسبه کرده و پاسخ خود را با استفاده از
\lr{CAS}
  بررسی کنید.
\end{enumerate}
\section{انتگرال‌های نامعین و روش جانشانی}
 قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال  می‌‌گوید که اگر بتوانیم پیوسته در صورت پیدا کردن پادمشتق تابع مستقیما قابل یافتن است. در بخش 7-4، انتگرال نامعین 
$f$
 را نسبت به $x$، به عنوان مجموعه‌ای از تمام پادمشتق‌های $f$ تعریف کردیم؛ و آن را با نماد زیر نشان دادیم:
$$\int f(x)dx$$
چون هر دو پاد مشتق $f$ به اندازه‌ی یک عدد ثابت با هم تفاوت دارند، نماد انتگرال $\int$ به این معنی است که برای هر پادمشتق $F$ تابع $f$ داریم:
$$\int f(x)dx=F(x)+C$$
که در آن $C$ یک ثابت اختیاری است. 

ارتباط بین پاد مشتق‌ها و انتگرال معین در قضیه‌ی اساسی این نمادگذاری را تشریح می‌‌کند. بخاطر داشته باشید وقتی انتگرال نامعین تابع $f$ را پیدا می‌‌کنیم  همیشه شامل یک ثابت اختیاری $C$ دلخواه است.

باید به دقت، انتگرال‌های نامعین تشخیص دهیم. انتگرال معین
$\int^b_af(x)dx$
یک عدد است؛ اما انتگرال  نامعین 
$\int f(x)dx$
 یک تابع است به اضافه‌ی یک عدد ثابت دلخواه.

تاکنون فقط می‌‌توانستیم  پادمشتق توابعی را بیابیم که به وضوح به عنوان مشتق شناخته شده اند. در این بخش، شیوه‌های عمومی تری را برای یافتن پادمشتق‌ها بسط می‌‌دهیم.
\subsubsection{جانشانی: قاعده‌ای زنجیره‌ای به صورت معکوس}
 اکر $u$ تابع مشتق پذیری از $x$ باشد و $n$ هر عددی به غیر از
$-1$،
 بنابر قاعده زنجیره‌ای داریم:
$$\frac{d}{dx}\left[\frac{u^{n+1}}{n+1}\right]=u^n\frac{du}{dx}$$
از دیدگاهی دیگر، این معادله می‌‌گوید که 
$u^{n+1}/(n+1)$
یکی از پادمشتق‌های تابع 
$u^n(du/dx)$
 است .بنابراین،
\begin{align}
\int u^n\frac{du}{dx}dx=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C
\end{align}
انتگرال معادله‌ی (1) با انتگرال ساده تر زیر برابر است:
$$\int u^ndu=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C$$
 که به این موضوع اشاره دارد که عبارت ساده تر 
$du$
  می‌‌تواند در محاسبه‌ی انتگرال، جانشین 
$(du/dx)dx$
  شود. لایبنیتز، یکی از بنیان گذاران حساب دیفرانسیل و انتگرال ، رد کرده بود که این جانشینی در حقیقت شدنی است؛ چیزی که به ارائه‌ی روش جانشانی برای محاسبه‌ی  انتگرال‌ها منتهی شد. همچون محاسبه‌ی دیفرانسیل ها، در محاسبه‌ی انتگرال‌ها هم داریم:
$$du=\frac{du}{dx}dx$$
\begin{example}
انتگرال 
$\int(x^3+x)^5(3x^2+1)dx$
 را بیابید.
\end{example}
\begin{solution}
$u$
 را به صورت 
$u=x^3+x$
  تعیین می‌‌کنیم . آن گاه
$$du=\frac{du}{dx}dx=(3x^2+1)dx$$
 با جانشانی خواهیم داشت:
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
\int(x^3+x)^5(3x^2+1)dx&=\int u^5du\\
&du=(3x^2+1)dx~\text{و}~u=x^3+x\text{\small فرض کنید}\\
&=\frac{u^6}{6}+C~~~u~\text{انتگرال نسبت به}\\
&\text{قرار دهید.}~u~\text{را جای}~x^3+x\\
&=\frac{(x^3+x)^6}{6}+C
\end{align*}
\end{solution}
\begin{example}
انتگرال  
$\int\sqrt{2x+1}dx$
را محاسبه کنید.
\end{example}
\begin{solution}
این انتگرال با فرمول
$\int u^ndu$
 با 
 $u=2x+1$، $n=1/2$
  هماهنگ نیست، زیرا رابطه‌ی 
$$du=\frac{du}{dx}dx=2dx$$
 دقیقا برابر 
 $dx$
  نیست. عامل ثابت2، درانتگرال نیست اما می‌‌توان این عامل را بعد از انتگرال معرفی کرد و اگر می‌‌خواهیم برای آن عامل  2/1 پیش از علامت انتگرال ، دستکاری خود را جبران کنیم. بنابراین می‌‌نویسیم:
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
\int\sqrt{2x+1}dx&=\frac{1}{2}\int\underbrace{\sqrt{2x+1}}_u\cdot \underbrace{2dx}_{du}\\
&\text{فرض کنید.}~du=2dx~\text{و}~u=2x+1\\
&=\frac{1}{2}\int u^{1/2}du\\
&\text{انتگرال بگیرید.}~u~\text{نسبت به}\\
&=\frac{1}{2}\frac{u^{3/2}}{3/2}+C\\
&\text{قرار دهید}~u~\text{را به جای}~2x+1\\
&=\frac{1}{3}(2x+1)^{3/2}+C
\end{align*}
\end{solution}
 جانشانی در مثال‌های 1 و 2، نمونه‌هایی از قاعده‌ی کلی هستند .
\begin{theorem}
قضیه‌ی جانشانی.  اگر 
$u=g(x)$
 یک تابع مشتق پذیر بوده که برد آن بازه‌ی 
$I$
 باشد  و $f$ روی بازه‌ی $I$ پیوسته باشد، آن گاه:
$$\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du$$
\end{theorem}
اثبات: با قاعده‌ی زنجیره‌ای، 
$F(g(x))$
 پادمشتقی جهت 
$f(g(x))g'(x)$
 است، هرگاه $F$ یکی از پاد مشتق‌های $f$ باشد:
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
\frac{d}{dx}F(g(x))&=F'(g(x))\cdot g'(x)&\text{قانونی زنجیری}\\
&=f(g(x))\cdot g'(x)&F=f'
\end{align*}
 اگر جانشانی 
 $u=g(x)$
  را انجام دهیم، آن گاه 
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
\int f(g(x))g'(x)dx&=\int\frac{d}{dx}F(g(x))dx\\
&=F(g(x))+C&\text{قضیه اساسی}\\
&=F(u)+C&u=g(x)\\
&=\int F'(u)du&\text{قضیه اساسی}\\
&=\int f(u)du&F'=f
\end{align*}
 بدین ترتیب، با استفاده از قاعده‌ی جانشانی، برای محاسبه‌ی انتگرال 
$$\int f(g(x))g'(x)dx$$
 وقتی
$f$ و $g'$
  توابعی پیوسته هستند. قاعده‌ی جانشانی زیر تدوین می‌‌شود:
\begin{enumerate}
\item  
جانشانی‌های 
$u=g(x)$ و $du=(du/dx)=g'(x)dx$
 را انجام دهید تا انتگرال 
$\int f(u)du$
بدست آید.
\item 
نسبت به
$u$
انتگرال بگیرید.
\item 
نتیجه حاصل $u$ را با 
$g(x)$
 جایگزین کنید .
\end{enumerate}
\begin{example} $\int\sec^2(5t+1)\cdot 5dt$
رابیابید.
\end{example}
\begin{solution}
قرار می‌‌دهیم 
$u=5t+1$ 
 و 
 $du=5dt$.
 بنابراین
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
\int \sec^2(5t+1)\cdot 5dt&=\int\sec^2 udu\\
&\text{،}u=5t+1~\text{و}~du=5t\text{\small قرار دهید}\\
&=\tan u+C~~\frac{d}{du}\tan u=\sec^2u\\
&\text{قرار دهید}~u~\text{را به جای}~5t+1\\
&=\tan (5t+1)+C
&=\tan(5t+1)+C
\end{align*} 
\end{solution}
\begin{example}
انتگرال 
$\int\cos(7\theta+3)d\theta$
 رابیابید.
\end{example}
\begin{solution}
قرار می‌‌دهیم 
$u=7\theta+3$
 بنابراین
$du=7d\theta$.
 در انتگرال ضریب7 در جمله‌ی
$d\theta$
وجود ندارد. این نقص را با ضرب انتگرال در 7 و سپس تقسیم آن بر 7 جبران می‌‌کنیم، و همان فرآیند مثال3، رابه کار می‌‌گیریم. بنابراین:
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
\int\cos(7\theta+3)&=\frac{1}{7}\int\cos(7\theta+3)\cdot7d\theta\\
&\text{\small در پشت انتگرال قرار دهید.}~\frac{1}{7}\\
&=\frac{1}{7}\int\cos udu\\
&du=7\theta d\theta~\text{و}~u=7\theta+3~\text{فرض کنید}\\
&=\frac{1}{7}\sin u+C~\text{انتگرال بگیرید}\\
&\text{؛}u=7\theta+3~\text{قرار دهید}~u~\text{به جای}\\
&=\frac{1}{7}\sin(7\theta+3)+C
\end{align*}
 این مساله را می‌‌توان  به شیوه‌ی دیگری نیز حل کرد. با 
 $u=7\theta+3$ و $du=7d\theta$
  مثل قبل، این معادله را برای 
  $d\theta=(1/7)du$
  حل می‌‌کنیم و  بنابراین انتگرال به این صورت نوشته می‌‌شود:
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
\int\cos(7\theta+3)d\theta&=\int\cos u(1/7)du\\
&=(1/7)\sin u+C\\
&=(1/7)\sin(7\theta+3)+C
\end{align*}
 درستی این پاسخ را می‌‌توانیم با مشتق گیری از آن  و بررسی این که آیا تابع اصلی
 $\cos(7\theta+3)$
  را بدست می‌‌آوریم یا نه، تعیین کنیم.
\end{solution}
 \begin{example}
گاهی مشاهده می‌‌شود  توابعی از 
$x$
 در انتگرال‌ها ظاهر می‌‌شود که یک واحد کمتر از توان $x$ است که در مسئله  تابعی است که می‌‌خواهیم از آن انتگرال بگیریم . چنین مشاهده‌ای بلافاصله پیسنهاد می‌‌کند که سعی در جانشانی تابع بالاتراز $x$ را داشته باشیم. چنین وضعیتی  در انتگرال گیری زیر افتاده است:
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
\int x^2\sin(x^3)dx&=\int\sin(x^3)\cdot x^2dx\\
&(1/3)du=x^2dx\text{و}du=3x^2dx\text{و}u=x^3~\text{فرض کنید}\\
&=\int\sin u\cdot(1/3)du\\
&=\frac{1}{3}\int\sin udu\\
&=\frac{1}{3}(-\cos u)+C\\
&\text{قرار دهید}~u~\text{را به جای}~x^3\\
&=-\frac{1}{3}\cos(x^3)+C
\end{align*}
\end{example}
 هنگامی که از جانشانی
 $u=g(x)$
  استفاده می‌‌کنیم، این احتمال وجود دارد که ضریب اضافی  $x$  در انتگرالده ظاهر شود. در این شرایط، احتمالا می‌‌توانیم معادله‌ی  $u=g(x)$ را برای  $x$  بر حسب  $u$  حل کنیم. پس از جایگزینی ضریب اضافی $x$  با این عبارت، احتمالا به یک انتگرال قابل حل می‌‌رسیم. اکنون مثالی از این شرایط را حل می‌‌کنیم.
\begin{example}
 انتگرال
$\int x\sqrt{2x+1}dx$
 را محاسبه کنید.
\end{example}
\begin{solution}
 انتگرال قبلی درمثال2، جانشانی 
 $u=2x+1$ و $du=2dx$
  را پیشنهاد می‌‌کند. 
بنابراین 
$$\sqrt{2x+1}=\frac{1}{2}\sqrt{u}du$$
اما در این مثال، انتگرالده شامل یک ضریب اضافی  $x$  است که در 
$\sqrt{2x+1}$
 ضرب شده است. برای آن که جانشانی فوق را  برای این انتگرال تنظیم کنیم، معادله‌ی جانشانی 
$u=2x+1$
را برای  $x$  حل کرده و به نتیجه 
$x=(u-1)/2$
 می‌‌رسیم، و بدین ترتیب انتگرالده به شکل 
$$x\sqrt{2x+1}dx=\frac{1}{2}(u-1)\cdot\frac{1}{2}\sqrt{u}du$$
 درمی آید.
 اکنون انتگرال به صورت زیر به دست می‌‌آید:
\end{solution}
 موفقیت روش جانشانی، منوط به یافتن جانشینی است که بدان وسیله بتوان انتگرالی را که مستقیما برآورد شدنی نیست، به انتگرالی  تبدیل کرد که قابل حل باشد. اگر جانشانی اول موفقیت آمیر نبود، سعی کنید که با جانشانی‌های اضافی، انتگرالده را ساده تر کنید(تمرین 51 و 52).
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


\end{document}