\documentclass{report}

\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{xepersian}
\settextfont{XB Zar}
\setdigitfont{XB Zar}

%\numberwithin{equation}{section}
\theoremstyle{plain}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{تعریف}[section]
%\theoremstyle{theorem}
\newtheorem{theorem}[definition]{قضیه}
\newtheorem{corollary}[definition]{نتیجه}
\newtheorem{lem}[definition]{لم}
\newtheorem{remark}[definition]{تبصره}

\begin{document}

\begin{abstract}


امروزه تقریب خطاها   برای حل معادلات روزن-برگر به روش عناصر متناهی بی-اسپلاین گالرکین مورد توجه قرار گرفته اند.  طرح های بی-اسپلاین گالرکین در دو بخش گسسته و شبه گسسته بررسی می شوند. طرح بی-اسپلاین شبه گسسته با استفاده از پرتاب های مناسب مورد مطالعه فرار می گیرند. از طرف دیگر برای طرح های بی-اسپلاین کاملا گسسته به روش کرانک-نیکلسون عمل و تقریب خطاهای متناظر را تحلیل می کنیم. 
\end{abstract}

\chapter{مقدمه}


معادله ی شناخته شده      
    به منظور مطالعه ی پدیده ی تکثیر غیر خطی امواج به طور وسیعی مورد توجه قرار گرفته است. با این وجود این معادله قادر نیست اثرهای متقابل موج-موج و موج-مانع را در حرکت  سیستم های گسسته به خوبی توصیف کند. معادله ی روزن به صورت

\begin{equation}\label{m1}
u_{t}+u_{xxxxt}+u_{x}+uu_{x}=0
\end{equation}


برای توصیف تکثیر دو سویه یک موج ، برخوردهای غیر خطی دو موج و برخورد های موج-مانع  ارائه شده است. اگرچه وجود و یکتایی معادله روزن قابل اثبات است ، یافتن پاسخ تحلیلی برای آن ساده نیست بنابراین بیشترین تلاش ها برای یافتن پاسخ این معادله با کمک روش های عددی صورت گرفته است. به منظور توجه به اتلاف امواج در فضا برای سیستم های دینامیکی مانند انتشار امواج آب و پدیده انتشار از یک سوراخ عبارت   
\begin{equation}
\alpha u_{xx}
\end{equation}
به معادله روزن افزوده می شود. نتیجه به صورت
\begin{equation}\label{m2}
u_{t}+u_{xxxxt}+u_{x}+uu_{x}=\alpha u_{xx}
\end{equation}
خواهد بود که آن را معادله ی روزن-برگر می نامیم چون اثرات ناشی از اتلاف امواج در آن مشابه معادله برگر است.
در سال های اخیر پاسخ های عددی معادله روزن-برگر با به کارگیری روش های تفاضلات متناهی مورد مطالعه قرار گرفته اند. هدف اصلی این مقاله استفاده از آنالیز های تئوری برای به دست آوردن تقریب  گالرکین عناصر متناهی بی اسپلاین های درجه 2  برای معادله روزن-برگر به فرم زیر  است:


\begin{align} \label{m3}
\begin{cases}
 u_{t}+(\psi (x+t)u_{xxt})_{xx}-\alpha u_{xx}+f_{x}(u)=0,  x \in \Omega,  \quad  t \in (0,T], \\
 u(x,t)=0, \quad u_{x}(x,t)=0,  x \in \partial \Omega, \quad t \in (0,T] , \\
 u(x,0)=u_{0}(x), x \in \Omega 
\end{cases}
 \end{align}‎




که در آن 
$\alpha >0$      و
$ f ( u ) = \frac {1}{2} u^2 + \beta u$ .

در این گزارش فرض می کنیم که 
$\psi (x,t)  $   و  $\psi_{t} (x,t) $
با ثابت های زیر کران دار شده اند:

  1. دو ثابت مثبت 
  $M_{1}$ و $M_{2}$   وجود دارند به طوری که 
  
  \begin {equation}
  0<M_{1} \le \psi(x,t) \le M_{2} ,  \quad  (x,t) \in \Omega \times  [0,T]. 
  \end {equation}
 
 2.ثابت 
 $ M_{3} >0$
 وجود دارد به طوری که 
 \begin {equation}
                       \quad | \psi _{t}(x,t) | \le M_{3} , \quad (x,t) \in \Omega \times [0,T].
 \end {equation}              
                                                         
\chapter{مفاهیم اولیه}   
\section{فضای سوبولف}
\begin{definition}
فرض کنید 
$(X,F,\mu)$
نشان دهنده ی یک فضای اندازه باشد که در آن $X$ بیانگر فضای اساسی ، $F$ یک $\sigma$-جبر از مجموعه های اندازه پذیر و $\mu$ یک اندازه است.اگر 
$1 \leq p < \infty$،
فضای
$L^p(X,F,\mu)$
شامل تمام توابع مختلط مقدار اندازه پذیر روی $X$ است که در رابطه زیر صدق کنند:
\begin{equation}
\int_{X}|f(x)|^p d\mu(x)<\infty.
\end{equation}
برای ساده تر شدن نمایش زمانی که فضای اساسی مشخص است ، فضای 
$L^p(X,F,\mu)$
را با 
$L^p$
نشان می دهیم. همچنین اگر 
$f \in L^p $
ما نرم $f$ در این فضا را به صورت زیر تعریف می کنیم:
\begin{equation} 
|| f ||_{L^p(X,F,\mu)}=|| f ||_{p}=(\int_{X}|f(x)|^p d\mu(x))^{1/p}.
\end{equation}
لازم به ذکر است هنگامی که
$p=1$،
فضای 
$L^1(X,F,\mu)$
شامل تمام توابع انتگرال پذیر روی $X$ است و زمانی که 
$p=2$،
$L^2(X,F,\mu)$
بیانگر فضای هیلبرت است.
\end{definition}
\begin{definition}
فضای هیلبرت یک فضای ضرب داخلی 
$(H,<.,.>)$
است، به طوری که این فضای حاصل از نرم القا شده کامل است.
\end{definition}

\begin{definition}                                            
فرض کنید $\Omega$ یک زیر مجموعه ی باز 
$\mathbb{R}^N$
باشد. برای 
$m \in \mathbb{N}$        و                           $1 \leq p < \infty$،
فضای سوبولف با نماد 
$W^{m,p}(\Omega)$
شامل توابع عضو
$L^p(\Omega)$
است که مشتقات پاره ای تا مرتبه $m$ آنها نیز در 
$L^p(\Omega)$           قرار دارد.

علاوه براین ما برای 
$\alpha=(\alpha_{1},...,\alpha_{N})$      و       $ |\alpha|=\Sigma_{1}^N \alpha_{i}$
از نمایش 
\begin{equation}
D^{\alpha}u=\frac{\partial^{|\alpha|}u}{\partial^{\alpha_{1}} x_{1}...\partial^{\alpha_{N}} x_{N}}.
\end{equation}
برای مشتقات پاره ای استفاده می کنیم.

تعریف بالا می تواند به صورت زیر بیان شود:
\begin{equation}
   W^{m,p}(\Omega)=\{u \in L^p(\Omega)| \forall \alpha \in \mathbb{N}, |\alpha| \leq m \Rightarrow D^\alpha u \in L^p(\Omega)\}                                                                 
 \end{equation}     
 \end{definition}
\begin{remark}
  برای $p=2$، 
     $ W^{m,2}(\Omega)$                          با           $ H^m (\Omega)$
جایگزین می شود و تعریف می کنیم:
 \begin {equation}
  H^m_{0}=\{\nu \in H ^m (\Omega) : \frac{d^j \nu}{dx^j}=0\quad on \quad \partial \Omega,\quad j=0,1,...,m-1\}.
 \end {equation}
  
\end{remark}
  لازم به ذکر است که نرم های 
 $ L^2(\Omega)$ ، 
  $ L^\infty(\Omega)$ و
 $ H^k(\Omega)$ 
  به ترتیب با نمادهای 
  $|| . ||$ ،  $ || . ||_{\infty}$ و
  $ || . ||_{k}$
   نمایش داده می شوند. علاوه بر این 
  $(\nu,\omega)=\int_{\Omega}\nu \omega dx $
  بیانگر ضرب داخلی توابع در 
  $L^2(\Omega)$
 است.

در این گزارش فرض می کنیم که $u$ در طول زمان     است ، همچنین $C$ بیانگر یک ثابت مثبت و مستقل از گام های زمانی است.


حال زیرفضای 
$S_{h}$
از فضای سوبولوف 
$H_{0}^2$
را به صورت زیر تشکیل می دهیم:

یک تقسیم بندی از عناصر بازه $[0,1]$ به شکل 
$0=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=1$
در نظر می گیریم که به ازای هر $i$ در $[0,1]$ ،
$J_{i}=(x_{i-1},x_{i})$.
قرار می دهیم 
$h=max_{0\leq i \leq n}(x_{i}-x_{i-1})$.
یک زیر فضای
$H_{0}^2$
تعریف می شود:
\begin{equation}
S_{h}={\nu \in C^1(\Omega), \nu |_{J_{i}} \in P_{2}(J_{i}), i=1,...,n, \nu|_{\partial \Omega}=0, \nu'|_{\partial \Omega}=0},
\end{equation}
که در آن 
$P_{2}(J_{i})$
بیانگر مجموعه چندجمله ای ها روی 
$J_{i}$
است که درجه آنها کمتر یا مساوی 2 باشد و 
$C^1$
مجموعه توابع تا حداکثر درجه 1 پیوسته است.
\begin{definition}
در دستگاه معادلات 
 \begin{align}
\begin{cases} 
 X'=f(t,X) \\
X(t_{0})=X_{0}
 \end{cases}‎
\end{align}
اگر تابع 
$f(t,x)$
در مستطیل 
\begin{equation}
D=\{(t,x) \in \mathbb{R} \times (\mathbb{R})^n: |t-t_{0}| \leq a, |x-X_{0}| \leq b \}
\end{equation}
پیوسته و نسبت به $x$ لیپ شیتز با ضریب  $K$ باشد، آنگاه دستگاه بالا دارای جواب یکتای 
$X(t)$
است که حداقل در بازه ی 
$[t_{0} - \delta , t_{0}+\delta]$
تعریف شده است ،
$M=max_{(t,x) \in D} |f(t,x)|$   و
$\delta=min(a,\frac{b}{M})$.
\end{definition}
\begin{theorem}( قضیه نقطه ثابت بروور)
هر تابع پیوسته 
$f:D_{n} \rightarrow D_{n}$
یک نقطه ثابت دارد.
\end{theorem}
\begin{theorem}(نامساوی سوبولوف)
فرض کنید U یک زیرمجموعه باز کران دار از $R^n$ باشد و $u \in W^{k,p}(U)$ ، اگر $k<n/p$ ، 
$\frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{k}{n}$  و
$u \in L^q(U)$  آنگاه
\begin{align}
||u||_{L^q(U)} \leq C||u||_{W^{k,p}(U)}.
\end{align}
\end{theorem}



                                                                      
\chapter{وجود و یکتایی جواب }
\section{فرم ضعیف معادله}
دز این فصل وجود و یکتایی پاسخ ضعیفی از معادله 
\ref{m3}
   را ثابت می کنیم، بدین منظور لازم است ابتدا فرم ضعیف این معادله را به دست آوریم:

در گام اول با تعریف ضرب داخلی  $ 2^L $ متغیر
 $\chi \in  H_{0}^2$
در معادله ضرب می شود، سپس با تبدیل ضرب داخلی به انتگرال گیری جزء به جزء معادله به صورت زیر به دست می آید:

\begin{align} 
\begin{cases}
(u_{t}, \chi)+ (\Psi(x,t)u_{xxt}, \chi_{xx})+ \alpha(u_{x}, \chi_{x}) \\
 = (f(u), \chi_{x}), \quad \forall \chi \in H_{0}^2(\Omega), \\
 u(0)=u_{0}
\end{cases}
\end{align}

\begin{lem}
اگر 
$\nu \in H_{0}^2 $ ،
آنگاه ثابت مثبت C وجود دارد به طوری که 
$ || \nu_{x} || ^2 \leq C(|| \nu ||^2+|| \nu _{xx}||^2).$

\proof
با استفاده از تعریف نرم و انتگرال جزء به جزء داریم:
\begin{equation}
 || \nu_{x}||^2 = \int \nu_{x}^2 dx= \nu \nu_{x}- \int \nu \nu_{xx} dx \leq ||\nu ||. ||\nu_{xx} ||
\end{equation}
 
حال با بهره گیری از فرض مسئله مبنی بر
$ \nu \in H_{0}^2  $
و
$ \frac {d v }{dx}=0$
و نامساوی کوشی-شوارتز نتیجه می گیریم:
\begin{equation}
|| \nu_{x}||^2=\nu \nu_{x}- \int \nu \nu_{xx} dx \leq ||\nu ||. ||\nu_{xx} || \leq C( || \nu ||^2 + || \nu_{xx}||^2)
\end{equation}
\end{lem}

\begin{theorem}
فرض کنیم
$u \in H_{0}^2 $ .
برای هر
                                                                                                                                                                                                     $  T>0$ ،
جواب یکتای معادله   (1,3) با  \\
$ (u(x,0),\chi)=(u_{0},\chi)$
وجود دارد. علاوه براین ثابت C (مستقل از T ) موجود است به طوری که
$|| u||_{L^\infty(H^2(\Omega)) \leq C|| u_{0}||_{2}}$ ،
که در آن 
$|| u||_{L^\infty(H^2(\Omega))= sup_{t \in [0,T]} || u(.,t)||_{H^2(\Omega)} }$
\proof
در گام اول وجود جواب را ثابت می کنیم. فرض کنید 
$\{\nu _{i}\}_{i=1}^ \infty$
پایه ای متعامد برای                                                                                                                                              
    $H_{0}^2(\Omega)$     
 باشد و فرض کنید
    $V^m = span\{\nu_{1}, \nu_{2},...,\nu_{m}\}$    .
ما برای هر
                                                                                                                                            $t>0 $  
\begin{equation}
u^m(t)= \sum g_{im}(t)\nu_{i}  \in V^n,
\end{equation}
را به عنوان جواب 
\begin{align}
\begin{cases}
(u_{t}^m, \chi)+ (\Psi(x,t)u_{xxt}^m, \chi_{xx})+ \alpha(u_{x}^m, \chi_{x})  \\
 \quad = (f(u^m), \chi_{x}), \quad \chi \in V^m, \\
 u^m(0)=u_{0,m}
\end{cases}
\end{align}
تعریف می کنیم که در آن  
$u_{0,m}$ ،             تصویر
                                                                                                                                                                                                   $u_{0}$    
بر  $V^m$  و در  
$H_{0}^2(\Omega)$
به   
 $u_{0}$ 
  همگرا است. بنابراین  (5,3)
به یک سیستم معادلات دیفرانسیل غیرخطی معمولی تبدیل می شود. در نتیجه بنابر قضیه وجودی پیکارد زمان 
$t_{m} \in (0,T]$
وجود دارد به طوری که سیستم غیرخطی دارای جواب یکتای $u^m$ است.

برای اثبات وجود جواب در حالت کلی ما به کران های زیر نیاز خواهیم داشت. فرض می کنیم در (5,3)     
    $\chi = u^m $
 و یک تابع مشتق  به صورت 
$\Phi ' : u^m \mapsto f(u^m) $
تعریف می کنیم.
چون بر 
$\Omega$ داریم  $u^m=0$ ، با انتگرال جزء به جزء
نتیجه می گیریم:
\begin{equation}
-\int_{0}^1 u_{x}^m f(u^m) dx = \int_{0}^1 u^m f_{x}(u^m)dx  = \int_{0}^1  \{ [ f(u^m)u^m ] - \phi_{x}(u^m) \} dx = 0.
\end{equation}
حال با توجه به معادله ی  (5,3) ، شرط (7,1) و $\alpha >0$ \\
$ \frac{d}{dt} \Bigg[||u^m||^2 + \int_{\Omega} \psi(x,t)(u_{xx}^m)^2 dx \Bigg]$ \\
\begin{align}
=  \int _{\Omega} 2u^m u_{t}^m dx +\int_{\Omega} \psi_{t}(x,t) (u_{xx}^m)^2 dx+ 2\int_{\Omega} \psi(x,t) u_{xx}^m u_{xxt}^m dx \\
= -2\alpha ||u_{x}^m||^2 + \int_{\Omega} \psi_{t}(x,t) (u_{xx}^m)^2 dx \\
\leq -2\alpha ||u_{x}^m||^2 + M_{3}||u_{xx}^m||^2 \\
\leq C (||u^m||^2 +||u_{xx}^m||^2) 
\end{align}
در ادامه با انتگرال گیری از (10,3) نسبت به زمان از 0 تا t و با استفاده از (7,1) ، خواهیم داشت:
\begin{align}
min \{1,M_{1} \} (||u^m(t)||^2 +||u_{xx}^m(t)||^2) \leq ||u^m(t)||^2 + M_{1}||u_{xx}^m(t)||^2 \\
\leq ||u^m(t)||^2 + \int_{\Omega} \psi_{t}(x,t) (u_{xx}^m(t))^2 dx\\
\leq max \{ 1,M_{2} \} (||u^m(0)||^2 +||u_{xx}^m(0)||^2) + \int_{0}^t  (||u^m(s)||^2 +||u_{xx}^m(s)||^2) ds.
\end{align}
بنابراین،
\begin{align}
||u^m(t)||^2 +||u_{xx}^m(t)||^2 \leq C \Bigg( ||u^m(0)||^2 +||u_{xx}^m(0)||^2) + \int_{0}^t  (||u^m(s)||^2 +||u_{xx}^m(s)||^2) ds \Bigg).
\end{align}
با استفاده از نامساوی گرونوال و لم(1.1.3) ، داریم:
\begin{align}
||u^m(t)||_{2}^2 \leq C exp(Ct) ||u^m(0)||_{2}^2.
\end{align}
حال اگر $t_m$ عضوی دلخواه در $[0,T)$ باشد ، براساس قضیه نامساوی سوبولوف نتیجه می گیریم:
\begin{align}
||u^m||_{L^\infty(L^\infty(\Omega))} \leq C||u^m||_{L^\infty(H^2\Omega))} \leq C(T) ||u_{0,m}||_{2}.
\end{align} 
در گام بعد با جایگذاری $\chi =u^m_{t}$ در  (5,3) داریم:
\begin{align}
(u^m_{t},u^m_{t})+(\psi (x,t)u^m_{xxt},u^m_{xxt})+\alpha (u^m_{x},u^m_{xt})=(f(u^m),u^m_{xt}).
\end{align}
از انتگرال گیری جزء به جزء ، (7,1) و نامساوی پایه ای زیر
\begin{align} 
ab \leq \epsilon a^2 + \frac{1}{4\epsilon}b^2،  \quad \quad  a,b \in \mathbb{R}, \quad \quad  \epsilon >0,
\end{align}
برای 
$\alpha>0$  خواهیم داشت:
\begin{align}
||u^m_{t}||^2 + ||u^m_{xxt}||^2 \leq C \Bigg[ \epsilon \Bigg( \alpha + \frac{1}{2} \Bigg) ||u^m_{t}||^2 + \frac{\epsilon}{2} ||u^m_{xxt}||^2 + \frac{\alpha}{4\epsilon} ||u^m_{xx}||^2 + \frac{1}{4\epsilon} ||f(u^m)||^2 \Bigg].
\end{align}
بنابراین با انتخاب
 $\epsilon >0$ مناسب، تقریب زیر حاصل می شود:
\begin{align}
||u^m_{t}||^2 + ||u^m_{xxt}||^2 \leq C (||u^m_{xx}||^2+ ||f(u^m)||^2).
\end{align}
در نظر می گیریم که از (16,3) 
\begin{align}    %%%%%%%%%%%%%%%
||f(u^m)|| =\Bigg [ \int_{\Omega} \Bigg( \frac{1}{2}u^m + u^m \Bigg)^2 dx \Bigg]^{\frac{1}{2}} \\
\leq \Bigg [ \frac{1}{2} \int_{Omega}(u^m)^4 dx + 2\int_{Omega}(u^m)^2 dx \Bigg] ^{\frac{1}{2}} \\
\leq C||u_{0,m}||_{2}.
\end{align} 
اکنون با توجه به لم (1.1.3) ، (15,3) و (23,3) ، نامساوی (20,3) به صورت زیر حاصل می شود:




%%%%%%%%%%%%

در گام دوم ، یکتایی جواب را ثابت می کنیم.
فرض کنیم u و v دو جواب دستگاه (1,3) باشند و w=u-v
خواهیم داشت:
\begin{align}
(w_{t},\chi) + (\psi(x,t)w_{xxt},\chi_{xx}) + \alpha(w_{t},\chi_{x}) = (f(u)-f(v), \chi_{x}), \quad \quad \chi \in H^2_{0}(\Omega)
\end{align}
از کران داری 
$||u||_{\infty}$ و $||v||_{\infty}$
می توان نتیجه گرفت که $f(u)$ در شرط لیپ شیتس صدق می کند. با انتخاب $\chi =w$ در (24.3) و با استفاده از لم (1.1.3) و شرایط (7.1) و (8.1) ، برای هر $\alpha > 0$
داریم:
\begin{align}
||w(t)||^2 + ||w_{xx}(t)||^2 \leq C \int_{0}^1 (||w(s)||^2 + ||w_{xx}(s)||^2 ds) .
\end{align}
قرار می دهیم 
\begin{align}
G(t) =  \int_{0}^1 (||w(s)||^2 + ||w_{xx}(s)||^2 ds) .
\end{align}
و (25.3) را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:
\begin{align}
G'(t) - CG(t) \leq 0.
\end{align}
و بنابراین 
\begin{align}
(e^{-Ct}G(t))' \leq 0.
\end{align}
حال با انتگرال گیری از (26.3) نسبت به t ، خواهیم داشت:
\begin{align}
G(t) \leq 0.
\end{align}
به علاوه طبق فرض
$G(t) \geq 0$ ،
داریم:
\begin{align}
G(t) = 0.
\end{align}
و این نتیجه می دهد، 
\begin{align}
w(t) = 0.
\end{align}
بنابراین ، یکتایی جواب برای $ t>0$
حاصل می شود و این اثبات قضیه را تکمیل می کند.
\end{theorem}
\chapter{حل معادله روزن با طرح کرانک-نیکلسون}
\section{طرح کرانک-نیکلسون}
در اینجا ما معادله (4.1)را با استفاده از طرح تفاضلی کرانک-نیکلسون از نظر زمانی به حالت گسسته تبدیل می کنیم. در ادامه با بهره گیری از قضیه نقطه ثابت Brouwer وجود و یکتایی نتایج را بررسی و تقریب خطاهای حاصل را ارائه می کنیم.

فرض کنید $L$ یک عدد صحیح و مثبت باشد و هر گام زمانی با $k$ نشان داده شود که در آن $k=T/N$. علاوه براین در نظر بگیرید $t^n=nk$ ,
$(0 \leq n \leq N)$.
برای تابع هموار 
$\zeta$
روی                                
     $[0,T] $  
فرض می کنیم:
\begin{equation}
\zeta^n = \zeta(t^n), \quad \partial_{t} \zeta^n = \frac{\zeta^n - \zeta^{n-1}}{k}, \quad \zeta^{n-1/2} = \frac{\zeta^n + \zeta^{n-1}}{2}.
\end{equation}

تقریب گالرکین عناصر متناهی و از نظر زمان گسسته ی 
$U^n$
از 
$u(t^n)$
به عنوان جواب دستگاه زیر تعریف می شود:
\begin{align}
\begin{cases}
(\partial_{t} U^n, \chi)+ (\Psi(x,t^n)U_{xx}^n, \chi_{xx})+ \alpha(U_{x}^{n-1/2}, \chi_{x})  \\
 \quad = (f(U^(n-1/2)), \chi_{x}), \quad \chi \in S_{h}, \\
 U(0)=u_{0}^h,
\end{cases}
\end{align}
که در آن  
$S_{h} \subset H_{0}^2$  و $u_{0}^h \in S_{h}$
یک تقریب مناسب از 
$u_{0}$
است.
\section{تقریب های گالرکین-کرانک-نیکلسون}
به منظور به دست آوردن خطای تقریب های حاصل از روش کاملا گسسته ی گالرکین-کرانک-نیکلسون، کران زیر مفید خواهد بود.
\begin{theorem}
اگر
$U^n$
یک جواب دستگاه (4.1) باشد ، آنگاه یک ثابت مثبت C وجود دارد به طوری که
\begin{equation}
|| U^n ||_{\infty} \leq C|| U^0||_{2}, \quad n \geq 1.
\end{equation}
\proof
فرض کنیم در دستگاه (4.1) ،
$\chi = U^{n-1/2}$
داریم:
\begin{equation}
(\partial_{t} U^n,U^{n-1/2} )+ (\Psi(x,t^n)U_{xx}^n,U^{n-1/2} _{xx})+ \alpha(U_{x}^{n-1/2}, U^{n-1/2}_{x})  = (f(U^{n-1/2}), U^{n-1/2}_{x}). \nonumber
\end{equation}
با استفاده از (7.1) و 
$ (f(U^{n-1/2}), U^{n-1/2}_{x})=0،$ ،
برای $\alpha >0$نتیجه می گیریم:
\begin{equation}
|| U^n ||^2 + M_{1}|| U^n_{xx}||^2 \leq || U^{n-1}||^2 + M_{2}|| U^{n-1}_{xx}||^2 \nonumber
\end{equation}
و به سادگی نتیجه می شود:
\begin{align}
|| U^n ||^2 + || U^n_{xx}||^2 \leq C(|| U^{n-1}||^2 + M_{2}|| U^{n-1}_{xx}||^2). \nonumber
\end{align}
بنابراین
\begin{align}
|| U^n ||^2 + || U^n_{xx}||^2 \leq C||U^0_{xx}||_{2}^2. \nonumber
\end{align}
در ادامه مشابه لم (7.1) ، می توان ثابت کرد
\begin{align}
||U^n_{x}||^2 \leq C(|| U^n ||^2 + || U^n_{xx}||^2).
\end{align}
با استفاده از (8.4) و قضیه هم پوشانی سوبولوف ، اثبات (3.4) حاصل می شود.

\end{theorem}
\section{وجود و یکتایی جواب }
با بهره گیری از نسخه ی شناخته شده ی قضیه بروور ، وجود جواب برای دستگاه m6 را بررسی می کنیم.
\begin{lem}
فرض کنید H یک فضای هیلبرت با بعد متناهی و ضرب داخلی  $(.,.)_{H}$ و نرم القایی $||.||_{H}$ باشد. علاوه براین، فرض کنید F یک نگاشت پیوسته از فضای H به خودش باشد، که  برای هر 
$W \in H $ و $||W||_{H}=\sigma \geq 0$
داشته باشیم 
$(F(W),W)_{H} \geq 0$ ،
آنگاه
$W^* \in H$ با  $||W^*||_{H} \leq \sigma$
وجود دارد به طوری که 
$F(W^*)=0.$
\end{lem}  
\begin{theorem}
فرض کنید 
$U^0,U^1,...,U^{n-1}$
داده شده باشند، آنگاه یک جواب یکتا $U^n,n \geq 0$ برای دستگاه  m6 وجود دارد.
\proof
ابتدا فرض کنید 
$F: S_{h} \rightarrow S_{h}$
به شکل زیر تعریف شود:
\begin{align}
(F(W),\chi)= (W,\chi)+(\psi(x,t^n)W_{xx},\chi_{xx})+\frac{\alpha k}{2}(W_{x},\chi_{x})-(U^{n-1},\chi) \nonumber \\ 
\quad \quad -(\psi(x,t^n)U^{n-1}_{xx},\chi_{xx})-\frac{k}{2}(f(W),\chi_{x}), \quad  \forall W, \chi \in S_{h}.         
\end{align}
با قرار دادن $\chi=W$ و استفاده از شرایط (7.1) و (8.1) ، برای $\alpha>0$
داریم:
\begin{align}
(F(W),\chi) \geq ||W||^2 + M_{1}||W_{xx}||^2 + \frac{\alpha k}{2}||W_{x}||^2 - (U^{n-1},W)  \nonumber\\
 \quad \quad -(\psi(x,t^n)U^{n-1}_{xx},W_{xx}) \geq C ||W||_{2}(||W||_{2} - C||U^{n-1}||_{2}).
\end{align}
برای 
$||W||_{2}=C||U^{n-1}||_{2}+1$ ،
به سادگی می توان بررسی کرد که                                         
$(F(W),W) > 0$.
در ادامه با استفاده از لم (1.3.4) نتیجه می شود  $W^*$  وجود دارد به طوری که $F(W^*)=0 $ . در واقع ، 
$U^n=2W^*-u^{n-1}$
در دستگاه معادلات (2.4) صدق می کند و این اثبات وجود جواب را تکمیل می کند.

به منظور اثبات یکتایی جواب ، فرض کنید
$U^n$ و $V^n$ جواب های دستگاه (2.4) باشند. قرار می دهیم $W^n=U^n-V^n$ ، بنابراین
\begin{align}
(\partial_{t} W^n , \chi)+ (\psi(x,t^n) \partial_{t} W^n_{xx}, \chi_{xx}) + \alpha \Bigg\(W_{x}^{n-1/2} , \chi_{x}\Bigg\) = \Bigg\(f \Bigg\(   U^ {n-1/2} \Bigg\) - f\Bigg\(V^{n-1/2} \Bigg\) , \chi_{x} \Bigg\).
\end{align}
حال فرض کنید $W^{n-1}$ و 
$\chi = W^{n-\frac{1}{2}}$ ،
بنابر شرط (7.1) و $\alpha>0$
نتیجه می گیریم
\begin{align}
\frac{min{1}{M_{1}}}{2} \partial_{t} (||W^n||^2+||W_{xx}^n||) \nonumber \\
\quad \frac{M_{2}-M_{1}}{2k} ||W_{xx}^{n-1}|| + ||f(U^{n-1/2}) - f(v^{n-1/2})|| ||w_{x}^{n-1/2}||.

                                     















\end{theorem}










\end{document}