\pagestyle{fancy} \linespread{1.8} \chapter{ وسیله ی تابع معرفی یک عملگر انتگرالی } این فصل از دو بخش تشکیل شده است . در بخش اول به معرفی عملگر دیفرانسیلی جدیدی که از ضرب هادامارد دو عملگر دیفرانسیلی می پردازیم و در بخش دوم به بررسی عملگر انتگرالی روی مجموعه دلخواه می پردازیم .\\ \section {مقدمات} در این بخش ابتدا به تعریف چند مجموعه مورد نیاز و تعریف عملگر دیفرانسیلی و بیان گزاره مورد نیاز می پردازیم \\ \textbf{تعریف}: فرض کنید $R$ کلاس همه ی توابع $\phi$ باشد که در $U$ تحلیلی و تک ارز باشد که $\phi(U)$ تابعی محدب با $\phi (0)=1$ باشد به طوری که : $$ Re \phi(z) > 0 \qquad z \in U . $$ \textbf{تعریف} گ $S(\varepsilon,\phi)$ \phiزیر کلاسی از مجموعه $A$ است که برای $ 0 \leq \varepsilon <1 $ و $\phi \in R$ به صورت زیر تعریف می شود : $$ S(\varepsilon,\phi) = \{ f \in A:\dfrac{1}{1-\varepsilon} \Big( \dfrac{zf'(z)}{f(z)}-\zeta \Big) \prec \phi(z), \qquad z \in U \}.$$ \textbf{تعریف} فرض کنید $\lambda \geq 0$ و $m,n \in N$ . عملگر دیفرانسیلی $DR_{\lambda}^{m,n} : A \rightarrow A $ به وسیله ضرب هادامارد عملگر دیفرانسیلی سالاگون $D_{\lambda}^{m}$و عملگر دیفرانسیلی راش وی $R^{n}$ مشخص می شود : $$DR_{\lambda}^{m,n} =(D_{\lambda}^{m} * R^{n}) f(z), \qquad z \in U, m,n \in Z^{> 0}$$ \textbf{ توجه $1$ } اگر $f \in A$ و $f(z) = z+\Sigma_{j=2}^{\infty} a_{j} z^{j}$ ، آن گاه : $$DR_{\lambda}^{m,n}f(z) =z + \Sigma_{j=2}^{\infty} [1+ (j-1) \lambda ]^{m} \dfrac{(n+j-1)!}{n!(j-1)!} \times a_{j}^{2} z^{j},\qquad z \in U.$$ \textbf{گزاره} برای $m,n \in N$ و برای $\lambda \geq 0$ داریم : \begin{align} z (DR_{\lambda}^{m+1 , n} f(z))' = (n+1) DR_{\lambda}^{m , n+1} f(z) - n DR_{\lambda}^{m , n} f(z). \end{align} \begin{align} DR_{\lambda}^{m , n} f(z) )'= (1 -\lambda) DR_{\lambda}^{m , n} f(z) + \lambda z (DR_{\lambda}^{m , n} f(z))' \end{align} با استفاده از عملگر $DR_{\lambda}^{m,n}f(z)$ زیر کلاس های توابع تحلیلی زیر را برای $ 0 \leq \zeta < 1$ و $\phi \in R$ تعریف می کنیم : $$ S_{\lambda}^{m,n}(\varepsilon) =\{f \in A : DR_{\lambda}^{m,n} f \in S(\varepsilon)\}$$ $$ S_{\lambda}^{m,n}(\varepsilon ,\phi) =\{f \in A : DR_{\lambda}^{m,n} f \in S(\varepsilon , \phi)\}$$ به خصوص قرارداد می کنیم : $$ S_{\lambda}^{m,n}(\varepsilon ,\dfrac{1+Az}{1+Bz}) = S_{\lambda}^{m,n}(\varepsilon ,A,B) \qquad -1 < B 0$\\ ج. $Re\varph i (i\mu_{2},\nu_{1}) \leq 0 , \quad i (\mu_{2},\nu_{1}) \in D , \nu_{1} \leq - \dfrac{1}{2}(1+\mu_{2}^{2}) $. \end{flushright} صدق کند و فرض کنید $ h(z)=1+c_{1}z+c_{2}z^{2}+ ...$ در $U$ تحلیلی باشد،به طوری که $(h(z),zh'(z)) \in D, \forall z \in U$. اگر $Re{\varphi h(z) , zh'(z)} > 0\quad z \in U$ آن گاه $Re{h(z)} > 0$. \end{lem} \begin{lem}$[24]$ فرض کنید $\phi$ در $U$ تک ارز محدب باشد به طوری که $\phi(0)=1$ و $Re{k\phi(z)+\nu} >0 k,\nu \in C$ .\\ اگر $p$ در $U$ تحلیلی باشد به طوری که $p(0)=1$ آن گاه: \begin{align*} p(z)+\dfrac{zp'(z)}{kp(z)+\nu} \prec \phi(z), \quad z \in U, \end{align*} ایجاب می کند $p(z) \prec \phi(z), z \in U$ . \end{lem} \begin{theorem} اگر $f \in A$ ، $0 \leq \varepsilon < 1$ ، $m,n \in N$ ، $\lambda > 0$ آن گاه : \begin{align*} S_{\lambda}^{m,n+1}(\varepsilon) \subseteq S_{\lambda}^{m,n}(\varepsilon) \subseteq S_{\lambda}^{m,n-1}(\varepsilon). \end{align*} \end{theorem} \begin{proof} فرض کنید $f \in S_{\lambda}^{m,n+1}(\varepsilon)$ و فرض کنید که \\ \begin{align*} \dfrac{z(DR_{\lambda}^{m,n+1}f(z))'}{DR_{\lambda}^{m,n}f(z)} = \varepsilon +(1-\varepsilon) h(z). \end{align*} از $1.3$ \\ \begin{align*} (n+1)\dfrac{DR_{\lambda}^{m,n+1}f(z)}{DR_{\lambda}^{m,n}f(z)} = n+\varepsilon +(1-\varepsilon) h(z). \end{align*} داریم : \begin{align*} (1-\varepsilon)h'(z) &=(n+1)[\dfrac{(DR_{\lambda}^{m,n+1}f(z))'}{DR_{\lambda}^{m,n}f(z)} - \dfrac{DR_{\lambda}^{m,n+1}f(z)}{DR_{\lambda}^{m,n}f(z)} . \dfrac{(DR_{\lambda}^{m,n}f(z))'}{DR_{\lambda}^{m,n}f(z)}], \end{align*} \begin{align*} (1-\varepsilon)h'(z) &=(n+1) \dfrac{DR_{\lambda}^{m,n+1}f(z)}{DR_{\lambda}^{m,n}f(z)}[\dfrac{z(DR_{\lambda}^{m,n+1}f(z))'}{DR_{\lambda}^{m,n+1}f(z)} -\varepsilon-(1-\varepsilon)h(z), \end{align*} \begin{align*} \dfrac{(1-\varepsilon)h'(z) z}{n+\varepsilon +(1-\varepsilon) h(z)} &=\dfrac{z(DR_{\lambda}^{m,n+1}f(z))'}{DR_{\lambda}^{m,n+1}f(z)} -\varepsilon-(1-\varepsilon)h(z), \end{align*} \begin{align*} \dfrac{z(DR_{\lambda}^{m,n+1}f(z))'}{DR_{\lambda}^{m,n+1}f(z)} -\varepsilon &=(1-\varepsilon)h(z)+\dfrac{(1-\varepsilon)h'(z) z}{n+\varepsilon +(1-\varepsilon) h(z)}, \end{align*} در نظر بگیرید $ h(z)=\mu=\mu_{1}+i\mu_{2}$ و $zh'(z)=\nu=\nu_{1}+i\nu_{2}$ در اینصورت تابع $\varphi(\mu,\nu)$ را با $$\varphi(\mu,\nu) = (1-\varepsilon)h(z)+\dfrac{(1-\varepsilon)h'(z) z}{n+\varepsilon +(1-\varepsilon) h(z)}$$ تعریف می کنیم و :\\ $$Re{\varphi(i\mu_{2},\nu_{1}) =\dfrac{(1-\varepsilon)(n+\varepsilon)\nu_{1}}{(n+\varepsilon)^{2}+(1-\varepsilon)^{2}\mu_{2}^{2}}$$ $$\hspace{1cm}Re{\varphi(i\mu_{2},\nu_{1}) \leq - \dfrac{(1-\varepsilon)(n+\varepsilon)(1+\mu_{2}^{2}}{2[(n+\varepsilon)^{2}+(1-\varepsilon)^{2}\mu_{2}^{2}]} < 0.$$ واضح است که $\varphi(\mu,\nu)$ در شرط لم $2.1$ صدق می کند بنابراین $Re{h(z)} >0, z \in U$ و حکم به دست می آید . به طور مشابه \begin{align*} S_{\lambda}^{m,n}(\varepsilon) \subseteq S_{\lambda}^{m,n-1}(\varepsilon). \end{align*} \end{proof} \begin{theorem} اگر $ f \in A$ و $\phi \in R$ به طوری که \\ \begin{align*} R{\phi(z)} < \dfrac{\varepsilon-1+\dfrac{1}{\lambda}}{1-\varepsilon} \end{align*} آن گاه : $$S_{\lambda}^{m+1, n}(\varepsilon,\phi) \subset S_{\lambda}^{m, n}(\varepsilon,\phi) \subset S_{\lambda}^{m-1, n}(\varepsilon,\phi) . $$ \end{theorem} \begin{proof} فرض کنید $f(z) \in S_{\lambda}^{m+1, n}(\varepsilon,\phi)$ و در نظر بگیرید : $$p(z) = \dfrac{1}{1-\varepsilon} \Big(\dfrac{z(DR_{\lambda}^{m,n} f(z))'}{DR_{\lambda}^{m,n} f(z)} -\varepsilon \Big),$$ به طوری که $p$ در $U$ تحلیلی است و $p(0)=1$ . با استفاده از $1.2$ : $$\dfrac{z(DR_{\lambda}^{m,n} f(z))'}{DR_{\lambda}^{m,n} f(z)} = \dfrac{1}{\lambda}\dfrac{DR_{\lambda}^{m+1,n} f(z)}{DR_{\lambda}^{m,n} f(z)} -\dfrac{1-\lambda}{\lambda}.$$ با استفاده از $2.2$ داریم :\\ $$ p'(z) = \dfrac{1}{1-\varepsilon}\Big( \dfrac{1}{\lambda}\dfrac{DR_{\lambda}^{m+1,n} f(z)}{DR_{\lambda}^{m,n} f(z)} -\dfrac{1-\lambda}{\lambda} -\varepsilon \Big),$$ \begin{equation} \dfrac{1}{\lambda}\dfrac{DR_{\lambda}^{m+1,n} f(z)}{DR_{\lambda}^{m,n} f(z)} =\varepsilon + \dfrac{1-\lambda}{\lambda} +(1 -\varepsilon)p(z). \end{equation} \begin{align*} zp'(z) = \dfrac{1}{1-\varepsilon} . \dfrac{1}{\lambda} [\dfrac{z(DR_{\lambda}^{m+1,n} f(z))'}{DR_{\lambda}^{m,n} f(z)} -\dfrac{DR_{\lambda}^{m+1,n} f(z)}{DR_{\lambda}^{m,n} f(z)}.\dfrac{z(DR_{\lambda}^{m,n} f(z))'}{DR_{\lambda}^{m,n} f(z)}] , \end{align*} \begin{align*} (1-\varepsilon)zp'(z) = \dfrac{1}{\lambda} .\dfrac{z(DR_{\lambda}^{m+1,n} f(z)}{DR_{\lambda}^{m,n} f(z)} [\dfrac{z (DR_{\lambda}^{m+1,n} f(z))'}{DR_{\lambda}^{m+1,n} f(z)}-\dfrac{z(DR_{\lambda}^{m,n} f(z))'}{DR_{\lambda}^{m,n} f(z)}] , \end{align*} \begin{align*} (1-\varepsilon)zp'(z) = [\zeta -1+\dfrac{1}{\lambda}+(1-\varepsilon)p(z)] [\dfrac{z(DR_{\lambda}^{m+1,n} f(z))'}{DR_{\lambda}^{m+1,n} f(z)}-(1-\varepsilon)p(z)-\varepsilon] , \end{align*} \begin{align*} \dfrac{(1-\varepsilon)zp'(z)}{(1-\varepsilon)p(z)+\zeta -1+\dfrac{1}{\lambda}}=\dfrac{z(DR_{\lambda}^{m+1,n} f(z))'}{DR_{\lambda}^{m+1,n} f(z)}-\varepsilon -(1-\varepsilon)p(z). \end{align*} و بنابراین \begin{align} \dfrac{1}{(1-\varepsilon)}[\dfrac{z(DR_{\lambda}^{m+1,n} f(z))'}{DR_{\lambda}^{m+1,n} f(z)}-\varepsilon] =p(z)+\dfrac{zp'(z)}{(1-\varepsilon)p(z)+\zeta -1+\dfrac{1}{\lambda}}. \end{align} چون $Re{\phi(z)} < \dfrac{\varepsilon-1+\dfrac{1}{\lambda}}{1-\varepsilon}$ ، بنابراین $Re{(1-\varepsilon)p(z)+\zeta -1+\dfrac{1}{\lambda}} > 0$\\ با استفاده لم $2.2$برای $2.4$ داریم : $f \in S_{\lambda}^{m,n}(\varepsilon, \phi)$. به طور مشابه و با به کار بردن رابطه $1.3$ و تکنیک مشابه برای قسمت بعد حکم به دست می آید. \end{proof}. \textbf{نکته} اگر برای $-1 < B < A \leq 1$، $\dfrac{1+A}{1+B} < \dfrac{\varepsilon-1+\dfrac{1}{\lambda}}{1 -\varepsilon}$ آن گاه : $$S_{\lambda}^{m+1, n}(\varepsilon,A,B) \subset S_{\lambda}^{m, n}(\varepsilon,A,B) \subset S_{\lambda}^{m-1, n}(\varepsilon,A,B) . $$ کافی است در قضیه فوق $\phi(z)=\dfrac{1+A}{1+B}$ ، $-1 < A < B \leq$ نتیجه حاصل می شود. \section{ویژگی های انتگرال $preserving$} دراین بخش ویژگی های انتگرال $preseving$ ،برای زیر کلاس های توابع تحلیلی تعریف شده در بخش قبل را ارائه می دهیم . عملگر انتگرالی برناردی-لیبرا-لیوینگتون تعریف شده در زیر را یادآوری می کنیم : \begin{align} F_{c}[f(z)] = \dfrac{c+1}{z^{c}} \int_{0}^{z} t^{c-1} f(t) dt = z+\Sigma_{j=2}^{\infty}\dfrac{c+1}{j+c} a_{j}z^{c},\quad f\in A , c > -1, \end{align} که در برابری زیر صدق می کند: \begin{align} cDR_{\lambda}^{m,n} F_{c} [f(z)] + z [DR_{\lambda}^{m,n} F_{c} (f(z))]' = (c+1) DR_{\lambda}^{m,n} f(z). \end{align} \begin{theorem} فرض کنید $ c > -1$ و $0 \leq \varepsilon < 1$ .اگر $f \in S_{\lambda}^{m,n}(\varepsilon)$ آن گاه: $$F_{c} f \in S_{\lambda}^{m,n}(\varepsilon).$$ \end{theorem} \begin{proof} فرض کنید $f \in S_{\lambda}^{m,n}(\varepsilon)$ . با استفاده از $3.2$ داریم: \begin{align*} \dfrac{z[DR_{\lambda}^{m,n}F_{c}[f(z)]]'}{DR_{\lambda}^{m,n}F_{c}[f(z)]}=(c+1)\dfrac{DR_{\lambda}^{m,n}f(z)}{DR_{\lambda}^{m,n}F_{c}[f(z)]} - c. \end{align*} قرار دهید : \begin{align*} &\dfrac{z[DR_{\lambda}^{m,n}F_{c}[f(z)]]'}{DR_{\lambda}^{m,n}F_{c}[f(z)]}=\varepsilon + (1 -\varepsilon)h(z),\\ & h(z) = 1+ c_{1} z + c_{2}z^{2} + .... \end{align*} و بنابراین \begin{align*} \varphi(\mu,\nu) = (1- \varepsilon) \mu + \dfrac{(1-\varepsilon)\nu}{c +\varepsilon+(1-\varepsilon)\mu} \end{align*} مشابه قضیه $2.1$ و $$Re{\varphi(i\mu_{2},\nu_{1}) =\dfrac{(1-\varepsilon)(n+\varepsilon)\nu_{1}}{(n+\varepsilon)^{2}+(1-\varepsilon)^{2}\mu_{2}^{2}}$$ $$\hspace{1cm}Re{\varphi(i\mu_{2},\nu_{1}) \leq - \dfrac{(1-\varepsilon)(n+\varepsilon)(1+\mu_{2}^{2}}{2[(n+\varepsilon)^{2}+(1-\varepsilon)^{2}\mu_{2}^{2}]} < 0$$ از لم $2.1$ و قضیه $2.1$ داریم $Ff \in S_{\lambda}^{m,n}(\varepsilon)$ . \begin{theorem} فرض کنید $c > -1$ و $\phi \in R$ به طوری که : $$Re{\phi(z)} < \dfrac{c+\varepsilon}{1 -\varepsilon}.$$\\ اگر $f \in S_{\lambda}^{m,n}(\varepsilon,\phi)$ ، آن گاه $Ff \in S_{\lambda}^{m,n}(\varepsilon,\phi)$ . \end{proof} \begin{proof} فرض کنید $f(z) \in S_{\lambda}^{m,n}(\varepsilon,\phi)$ و قرار دهید :\\ $$ p(z) = \dfrac{1}{1 - \varepsilon} \Big(\dfrac{z[DR_{\lambda}^{m,n}F_{c}[f(z)]]'}{[DR_{\lambda}^{m,n}F_{c}[f(z)]} - \varepsilon \Big),$$ به طوری که $p$ در $U$ تحلیلی است و $p(0)=1$ . \\ با استفاده از $3.2$ و $3.3$ داریم :\\ $$ (c+1)\dfrac{z[DR_{\lambda}^{m,n}F_{c}[f(z)]]'}{[DR_{\lambda}^{m,n}F_{c}[f(z)]} = c+\varepsilon+(1 -\varepsilon)p(z).$$ و با استفاده از $3.2$ و $3.3$ و $3.4$ خواهیم داشت:\\ $$ \dfrac{1}{1 - \varepsilon} \Big(\dfrac{z[DR_{\lambda}^{m,n}F_{c}[f(z)]]'}{[DR_{\lambda}^{m,n}F_{c}[f(z)]} - \varepsilon \Big) = p(z) + \dfrac{p'(z)}{(1-\varepsilon)p(z)+c+}$$ با استفاده از لم $2.2$ برای $3.5$ حکم به دست می آید. \end{proof} فرض کنید $(X,d)$ فضای متریک کامل و $T:X\to X$ یک نگاشت انقباضی با ثابت لیپشیتز $L$ باشد،دراین صورت $T$، نقطه ی ثابت منحصر بفرد $x_0$ دارد. به علاوه به ازای هر $x\in X$ داریم \begin{equation*} \lim_{n\to \infty}T^n(x)=x_0 \end{equation*} و \begin{equation*} d(T^n(x), x_0)\leq {L^n\over 1-L}d(x, T(x)) \hspace{2cm} n=1,2,3,... \end{equation*} \end{theorem} در سال $1968$ دیاز و مارگولیز \cite{41} با استفاده از متریک تعمیم یافته، اصل انقباضی باناخ را تعمیم دادند. در زیر صورت قضیه را بیان می کنیم. \begin{theorem}{(قضیه نقطه ثابت تعمیم یافته)}\label{T.D} فرض کنیم $(\Omega,d)$ یک فضای متریک کامل تعمیم یافته باشد و $T:\Omega\rightarrow\Omega$ یک نگاشت اكيدا انقباضي با ثابت لیپشیتز $L$ باشد. در اين صورت برای هر$x\in\Omega$ داريم $$ d(T^n x, T^{n+1} x)=\infty,\quad\forall n\geq0, $$ وجود دارد یک عدد طبیعی $n_{0}$ به طوری که \\ \\ $(1)$ برای هر $n \geq n_{0}$، $d(T^n x, T^{n+1} x)<\infty ~$;\\ \\ $(2)$دنباله $\{T^n x\}$ به یک نقطه ثابت $y^*$ از $~T$همگرا است;\\ \\ $(3)$ $y^*$ یک نقطه ثابت یکتا از مجموعه $\Lambda=\{y\in\Omega:d(T^{n_{0}} x, y)<\infty\};$ است;\\ \\ $(4)$ برای همه $y\in\Lambda$ ، $d(y,y^*)\leq\frac{1}{1-L}d(y, Ty)$ .\\ \end{theorem}}\label{t2.1} \textbf{تذکر}: تابع $T$ را یک تابع انقباضی می نامیم هرگاه در شرط لیپشیتز صدق کند. به علاوه اگر ثابت لیپشیتز کمتر از $1$ باشد آنگاه تابع $T$، یک تابع انقباضی اکید نامیده می شود. \\ \\ \section {پایداری همريختي هاي سه تايي ژوردان روی جبرهای باناخ سه تايي} در این بخش، با استفاده از روش نقطه ثابت پايداري هايرز- اولام- راسياس، همريختي هاي سه تايي ژوردان روی جبرهای باناخ سه تایی را بررسی می کنیم. \\ پيش از بيان قضيه اصلي اين فصل لم زير را كه در فصل دوم به اثبات آن پرداختيم (براي بيان قضيه اصلي اين فصل به آن نياز داريم) بيان مي كنيم. \begin{lem} فرض كنيم $f : A\rightarrow B$ يك نگاشت جمعي باشد. در اين صورت به ازاي هر $a,b,c \in A$ احكام زير معادل هستند. \begin{equation}\label{e30} \ f([a,a,a]) = [f(a),f(a),f(a)], \end{equation} \begin{equation}\label{e31} \begin{split} &\quad f([a,b,c]+ [b,c,a]+ [c,a,b])\\ &= [f(a),f(b),f(c)]+ [f(b),f(c),f(a)]+ [f(c),f(a),f(b)]. \end{split} \end{equation} \end{lem} \begin{proof} ر.ك. به لم (2.2.2) \end{proof} \begin{theorem}\label{T.3.1} فرض کنیم توابع $f:A\rightarrow B$ $\varphi:A\times A \rightarrow [0,\infty)$ و$\psi:A\times A\times A \rightarrow [0,\infty)$ وجود داشته باشند به طوری که به ازاي هر $x,y,z \in A$ خواهيم داشت \begin{equation}\label{e31} \Phi(x,y)=\sum^{\infty}_{k=0}2^{-k-1}\varphi(2^{k}x,2^{k}y), \end{equation} \begin{equation}\label{e32} \|f(x,y)-f(x)-f(y)\|\leq\varphi(x,y) \end{equation} \begin{equation}\label{e33} \begin{split} &\quad \|f([x,y,z]+ [y,z,x]+ [z,x,y])\\ &- [f(x),f(y),f(z)]- [f(y),f(z),f(x)]- [f(z),f(x),f(y)]\|\leq\psi(x,y,z), \end{split} \end{equation} به علاوه $0m>0$، خواهيم داشت \begin{eqnarray*} & &\|2^{-n}f(2^{n}x)-2^{-m}f(2^{m}x)\| \\&&= 2^{-m}\|2^{-(n-m)}f(2^{(n-m)}x)-f(2^{m}x)\| \\&&\leq 2^{-m}\sum^{n-m-1}_{k=0}2^{-k-1}\varphi(2^{k+m}x,2^{k+m}x)\\&&= \sum^{n-1}_{k=m}2^{-k-1}\varphi(2^{k}x,2^{k}x), \end{eqnarray*} از معادله بالا حد $m$ به سمت بي نهايت مي گيريم و با توجه به معادله (\ref{e31}) داريم \begin{equation*} \lim_{m\rightarrow\infty} \|2^{-n}f(2^{n}x)-2^{-m}f(2^{m}x)\|=0 , \end{equation*} از اين رو دنباله ی $\{2^{-n} f(2^{n}x)\}$ به ازاي هر $x \in A $ همگرا است. \begin{equation}\label{e61} \Im(x)= \lim_{n\rightarrow\infty}2^{-n}f(2^{n}x), \end{equation} پس $\lim_{n\rightarrow\infty} d(T^{n},\Im)=0$ . با استفاده از نتايج \cite{27},\cite{29},\cite{30}، $ \Im$یک نگاشت ژوردان سه تایی است و از تعریف $\Im$ و نامعادله هاي (\ref{e33}) و (\ref{e38}) به ازاي هر $x, y, z \in A $ نتيجه مي گيريم \begin{align*}\label{e62} &\|\Im([x,y,z]+ [y,z,x]+ [z,x,y])\\ &- [\Im(x),\Im(y),\Im(z)]- [\Im(y),\Im(z),\Im(x)]- [\Im(z),\Im(x),\Im(y)]\|\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\|f(2^{3n}[\frac{x,y,z}{2^{3n}}]+2^{3n}[\frac{y,z,x}{2^{3n}}]+2^{3n}[\frac{z,x,y}{2^{3n}}])\\ &-2^{3n}[f(\frac{x}{2^{n}}),f(\frac{y}{2^{n}}),f(\frac{z}{2^{n}})]-2^{3n}[f(\frac{y}{2^{n}}),f(\frac{z}{2^{n}}),f(\frac{x}{2^{n}})]-[f(\frac{z}{2^{n}}),f(\frac{x}{2^{n}}),f(\frac{y}{2^{n}})]\|\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}2^{3n}\|f([\frac{x,y,z}{2^{3n}}]+[\frac{y,z,x}{2^{3n}}]+[\frac{z,x,y}{2^{3n}}])\\ &-[f(\frac{x}{2^{n}}),f(\frac{y}{2^{n}}),f(\frac{z}{2^{n}})]-[f(\frac{y}{2^{n}}),f(\frac{z}{2^{n}}),f(\frac{x}{2^{n}})]-[f(\frac{z}{2^{n}}),f(\frac{x}{2^{n}}),f(\frac{y}{2^{n}})]\|\\&\leq \lim_{n\rightarrow\infty}2^{-3n}\psi(2^{n}x,2^{n}y,2^{n}z)=0, \end{align*} بنابراین \begin{align*} &\Im([x,y,z]+ [y,z,x]+ [z,x,y])\\ &= [\Im(x),\Im(y),\Im(z)]+ [\Im(y),\Im(z),\Im(x)]+ [\Im(z),\Im(x),\Im(y)]. \end{align*} اكنون طبق قضیه (2.1.4) نگاشت $\mathfrak{F} : A\longrightarrow B$ وجود دارد به طوري كه $\\(1$ $\Im$ نقطه ثابت $T$ است نگاشت $\Im$ یک نقطه ثابت منحصر بفرد از $T$ در \begin{equation*} \Lambda=\{g \in \Omega: d(f, g) < \infty\}, \end{equation*} است. بنابراين $\Im$ یک نگاشت منحصر بفرد است، که براي هر $x \in A$ وجود دارد $0 1$، $\frac{r-3p}{2}\geq1$ و $f:A\rightarrow B$ نگاشتي باشد به طوری که به ازاي هر $x, y, z \in A$ \begin{equation}\label{e63} \|f(x+y)- f(x)- f(y)\|\leq \theta(\|x\|^r+\|y\|^r) \end{equation} و \begin{equation}\label{e64} \begin{split} &\quad \|f([x,y,z]+ [y,z,x]+ [z,x,y])\\ &- [f(x),f(y),f(z)]- [f(y),f(z),f(x)]- [f(z),f(x),f(y)]\|\\ &\leq \theta(\|x\|^{p}. \|y\|^{p}. \|z\|^{p}). \end{split} \end{equation} در اين صورت نگاشت همريختي حلقه ای سه تايي ژوردان منحصر بفرد $\mathfrak{F}:A\rightarrow B$ وجود دارد به طوري كه به ازاي هر $x \in A$ \begin{equation*} \|f(x)-\mathfrak{F}(x)\| \leq\frac{\theta}{(2^r-2)}\|x\|^r . \end{equation*} \end{cor}\vskip 2mm \begin{proof} کافی است در قضیه (\ref{T.3.1}) به ازای هر $x, y, z \in A$ قرار دهيم \\ \\($1$)$\varphi(x,y):=\theta(\|x\|^r+\|y\|^r)$; \\ \\($2$)$\psi(x,y,z):=\theta(\|x\|^{p}. \|y\|^{p}. \|z\|^{p})$; \\ \\($3$)$L=2^{1-r}$. \\ \\در اين صورت نتيجه لازم به دست مي آيد. \end{proof}\vskip 2mm %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{cor}\label{c3.4} {\rm فرض کنیم $f :A \rightarrow B$ نگاشتي با شرط $f(0)=0$ باشد و توابع $\varphi:A\times A \rightarrow [0,\infty)$ و $\psi:A\times A\times A \rightarrow [0,\infty)$ وجود داشته باشند و در نامعادله هاي (\ref{e32}) و (\ref{e33}) صدق كنند. فرض كنيم $00, p<1$ و $\frac{r-3p}{2}\geq1$) همريختي حلقه ای سه تايي ژوردان منحصر بفرد $\Im:A\rightarrow B$ وجود دارد که به ازاي هر $x \in A $ در نامعادله \begin{equation*} \|f(x)-\mathfrak{F}(x)\| \leq\frac{\delta}{(2-2^{r})}+\frac{\theta}{(2-2^{r})}\|x\|^{r}, \end{equation*} صدق مي كند. \end{rk}\vskip 2mm %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section {ابر پایداری همريختي هاي سه تايي ژوردان} در این بخش، به حل قضيه و اثبات ابر پايداري همريختي هاي حلقه ای سه تايي ژوردان را مي پردازيم. \begin{theorem} فرض کنیم تابع $\psi:A\times A\times A \rightarrow [0,\infty)$ و ثابت$01$، $s>3$ . فرض كنيم $f:A\rightarrow B$ نگاشتي باشد به طوري كه به ازاي هر $x,y,z \in A$ \begin{equation*} \begin{split} &\quad \|f([x,y,z]+ [y,z,x]+ [z,x,y])\\ &- [f(x),f(y),f(z)]- [f(y),f(z),f(x)]- [f(z),f(x),f(y)]\|\\ &\leq \theta(\|x\|^s+ \|y\|^s+ \|z\|^s) \end{split} \end{equation*} در اين صورت $f$ يک همريختي حلقه ای سه تايي ژوردان است. \end{cor}\vskip 2mm %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{cor}\label{c3.7}{\rm فرض کنیم $\theta,r$ اعداد حقیقی نامنفی و $r<1$ باشند و $\psi:A^{3}\rightarrow[0,\infty)$ نگاشتي با ثابت $0