% !TEX TS-program = XeLaTeX % Commands for running this example: % xelatex demodoc % End of Commands \documentclass[a4paper,12pt]{article} \renewcommand{\baselinestretch}{1.5} \usepackage{mathpazo} \usepackage{graphicx} \usepackage{amsmath} \usepackage[margin=1.5cm, vmargin={1.5cm,1.5cm}, nohead]{geometry} \usepackage{xepersian} \title{روی BOجبر} \begin{document} \maketitle \section{B جبر} \subsection{تعریف} یک مجموعه ی غیر تهی X با ثابت صفر و یک عملگر دو تایی$\ast$ که در اصول موضوعه زیر صدق کند:\begin{flushleft} $\forall x,y, z \epsilon X$\\ $1.x \ast x = 0$ \\ $2.x \ast 0 = x$\\ $3.\left( x \ast y \right) \ast z = x \ast \left( z \ast \left( 0 \ast y \right) \right) $ \end{flushleft} \subsection{مثال} فرض کنید $X:=\lbrace 0,1,2 \rbrace $ با جدول زیر تعریف شده باشد در این صورت $\\left( X,\ast,0 \right) $ یک Bجبر است .\\ \begin{tabular}{c | c | c | c }\hline \ast& 0& 1& 2&\hline 0& 0&2& 1& \hline 1& 1&0& 2& \hline 2&2&1&0&\hline \end{tabular} \subsection{لم} برای هر y,z متعلق بهX ،اگر $\left( X,\ast,0 \right) $ یک Bجبر باشد آنگاه $y \ast z = y \ast \left( 0\ast \left( 0 \ast z \right) \right)$\\ \proof{اثبات} : با استفاده ار اصول 2 و 3 خواهیم داشت: \begin{flushleft} $y \ast z = \left( y \ast z \right) \ast 0 = y \ast \left( 0\ast \left( 0 \ast y \right) \right) $ \end{flushleft} \subsection{لم} برای هر x و y متعلق بهx ، اگر $\left( X,\ast ,0\right) $ یک Bجبر یاشد آنگاه داریم :$\left( x \ast y \right) \ast \left( 0 \ast y\right) =x $\\ \proof{اثبات} : با استفاده از اصل 3 و قراردادن $z=0 \ast y$ خواهیم داشت : \\ \begin{flushleft} $\left( x \ast y \right) \ast \left( 0 \ast y \right) =x \ast \left( \left( 0 \ast y \right) \ast \left( 0 \ast y \right) \right) = x \ast 0 = x $\\ \end{flushleft} \subsection{لم} برای هر x, y, z متعلق به X فرض می کنیم $\left( X, \ast , 0\right) $یک Bجبر باشد دراین صورت اگر $x \ast z = y \ast z $ باشد آنگاه داریم : $x = y$ \proof{اثبات} :اگر $x \ast z = y \ast z $ آنگاه داریم :\begin{flushleft} $\left( x \ast y \right) \ast \left( 0 \ast z\right) =\left( y \ast z \right) \ast \left( 0 \ast z \right) $ \end{flushleft} وبنابر لم $4\cdot1$ خواهیم داشت: $x = y$ \subsection{لم} فرض کنیم$\left( X,\ast ,0\right) $ باشد آنگاه برای هر x و y که به X تعلق داشته یاشد داریم :\begin{flushleft} $1. x \ast y= 0 \Longrightarrow x = y$\\ $2. 0 \ast x = 0 \ast y \Longrightarrow x = y$\\ $3. 0 \ast \left( 0 \ast x \right) = x $ \end{flushleft} \proof{اثبات} 1. چون $x \ast y = 0$ پس با توجه به تعریف Bجبر داریم : $x \ast y = y \ast y $ ، حال با استفاده از لم $5\cdot1$حواهیم داشت : $x = y$ \\ 2. اگر $0 \ast y = 0 \ast x$ باشد، آنگاه با استفاده از تعریف Bجبر و قسمت اول لم $6\cdot1$خواهیم داشت: \begin{flushleft} $0 = x \ast x = \left( x \ast x \right) \ast 0 = x \ast \left( 0 \ast \left( 0 \ast x \right) \right) = x \ast \left( 0 \ast \left( 0 \ast y \right) \right) = \left( x \ast y \right) \ast 0 = x \ast y \Longrightarrow x = y $ \end{flushright} 3. برای هر x متعلق به X و با استفاده از اصول موضوعه ی 2 و 3 تعریف Bجبر، به دست خواهیم آورد : \begin{flushleft} $0 \ast x =\left( 0 \ast x \right) \ast 0 = x \ast \left( 0 \ast \left( 0 \ast x \right) \right) \Longrightarrow 0 \ast x = 0 \ast \left( 0 \ast \left( 0 \ast x \right) \right) $ \end{flushleft} حال بنابر قسمت دوم لم $6\cdot1$ وبا قرار دادن $y= \left( 0 \ast \left( 0 \ast x \right) \right) $ داریم: \begin{flushleft} $ x = \left( 0 \ast \left( 0 \ast x \right) \right) $ \end{flushleft} \subsection{تعریف} فرض کنیم $(\left X , \ast ,0 \right ) $ یک B جبر و همچنین$g \epsilon X$ باشد، تعریف می کنیم : $g^n:=g^{n-1} \ast \left ( 0 \ast \right g)$ $\left (n \geq 1\right)$ و$g^0:=0$ \subsection{لم} فرض کنیم $(\left X , \ast ,0 \right ) $ یک B جبر و همچنین$g \epsilon X$ باشد، در این صورت $g^n \ast g^m = g^{n-m}$ هنگامی که $n\geq m$\\ \proof{اثبات} اگر X یک Bجبر باشد آنگاه با توجه به لم $6\cdot1$خواهیم داشت : \begin{flushleft} $g^2 \ast g = \left ( g^1 \ast \left (0 \ast g \right) \right ) \ast g = \left( g \ast \left( 0 \ast g \right) \right) \ast g = g \ast \left( g \ast \left( 0 \ast g \right) \right) \right) = g \ast \left( g \ast g \right) = g \ast 0 = g $ \end{flushleft} فرض کنیم که $g^{n+1} \ast g = g^n $ $\left( n \geq 1 \right) $در این صورت \begin{flushleft} $g^{n+2} \ast g = (g^ {n+1} \ast (0 \ast g )) \ast g = g^{n+1} \ast (g \ast (0 (0 \ast g))) = g^{n+1} \ast 0 = g^{n+1} $ \end{flushleft} حال فرض می کنیم که$g^n \ast g^m =g^{n-m}$ هنگامی که $n-m \geq 1 $ در این صورت خواهیم داشت : \begin{flushleft} $g^n \ast g^{m+1} = (g^n \ast (g^m \ast (0 \ast g)) = (g^n \ast g) \ast g^m = g^{n-1} \ast g^m = g^{n-(m+1)}$ \end{flushleft} زیرا $n-m-1 \geq 0 $ و لم ثابت شد. \subsection{لم} فرض می کنیم که $(X, \ast , 0)$ یک Bجبر و $g \epsilon X$باشد آتگاه $g^m \ast g^n = 0 \ast g^{n-m} $ هنگامی که $n>m$\\ \proof{اثبات} اگر X یک B جبر باشد آنگاه با استفاده از لم $6\cdot1$ و به روش استقرا حکم را ثابت می کنیم: \begin{flushleft} $g \ast g^2 =g \ast ( g^1 \ast (0 \ast g ) ) = (g \ast g ) \ast g^1 = 0 \ast g $ \end{flushleft} حال فرض می کنیم که $g \ast g^n = g^{n-1}$ هنگامی که $n \geq 1 $ در این صورت داریم : \begin{flushleft} $g \ast g^{n+1} = g \ast ( g^n \ast (0 \ast g )) = ( g \ast g ) \ast g^n = 0 \ast g^n $ \end{flushleft} فرض می کنیم که $g^m \ast g^n = g^{n-m}$هنگامی که $n-m \geq 1 $ پس خواهیم داشت : \begin{flushleft} $g^{m+1} \ast g^n = (g^m \ast (0 \ast g)) \ast g^n= g^m \ast ( g^n \ast g ) = g^m \ast g^{n-1} = 0 \ast g^{n-m-1}$ \end{flushleft} لم های $8\cdot1$ و$9\cdot1$ را در قضیه زیر می آوریم : \subsection{قضیه} فرض می کنیم $(\left X , \ast ,0 \right )$ بک Bجبر و همچنین $g \epsilon X$باشد آنگاه \begin{flushleft} $g^m \ast g^n = \begin{cases} g^{m-n} & m \geq n \\ 0 \ast g^{n-m} & otherwise \end{cases}$ \end{flushleft} \subsection{گزاره} اگر $\left( X,\ast,0 \right) $ یک Bجبر باشد آنگاه $\forall x \epsilon X $ $\left( a \ast b\right) \ast b = a \ast b ^2 $\\ \proof{اثبات} :با استفاده از اصل موضوعه سوم تعریف Bجبر داریم : \begin{flushleft} $\left( a \ast b\right) \ast b = a \ast \left( b \ast \left( 0 \ast b \right) \right) = a \ast b \ast b = a \ast b ^2 $ \end{flushleft} \subsection{گزاره} اگر $\left( X,\ast,0 \right) $ یک Bجبر باشد آنگاه$(a \ast b) \ast (0 \ast b) = 0 \ast a$ برای هر a,b متعلق به X\\ \proof{اثبات} ایتدا به کمک لم $1\cdot3$وا صل موضوعه دوم تعریف Bجبر داریم : \begin{flushleft} $(x \ast (0 \ast z)) \ast y = x \ast( y \ast ( 0 \ast (0 \ast z ) ) ) = x \ast (y \ast z) $ \end{flushleft} حال با توجه به رابطه بالا و اصل موضوعه اول تعریف B جبر خواهیم داشت : \begin{flushleft} $( 0 \ast b) \ast (a \ast b) = ( ( 0 \ast b) \ast (a \ast b) ) \ast a = 0 \ast a$ \end{flushleft} \subsection{تعریف} یک Bجبر $(\left X , \ast ,0 \right )$ را جابه جایی گویند اگر $a \ast ( 0 \ast b) = b \ast (0 \ast a )$ یاشد برای هر a,b متعلق به X \subsection{قضیه} اگر $\left( X,\ast,0 \right) $ یک Bجبرجابه جایی باشد آنگاه $a \ast ( a \ast b) = b $ $ \forall a,b \epsilon X$ \\ \proof{اثبات} : چون X جابه جایی است پس داریم : \begin{flushleft} $a \ast ( a \ast b )= ( a \ast ( 0 \ast b ) ) \ast a = ( b \ast ( 0 \ast a ) ) \ast a = b \ast ( a \ast a ) = b $ \end{flushleft} \subsection{نتیجه} اگر $\left( X,\ast,0 \right) $ یک Bجبرجابه جایی باشد آنگاه قانون حذف از چپ و راست برقرار است، یعنی \begin{flushleft} $a \ast b = a \ast b_{1} \Longrightarrow b = b_{1} $ {(حذف از چپ)} {و} $a \ast b = a _{1} \ast b \Longrightarrow a = a _{1 } ${( حذف از راست )} \end{flushleft} \proof{اثبات} : طبق قضیه $1 \cdot 14$ می توان نوشت : \begin{flushleft} $b = a \ast ( a \ast b ) = a \ast ( a \ast b_{1} = b _{1} $ \end{flushleft} \subsection{گزاره} اگر $\left( X,\ast,0 \right) $ یک Bجبرجابه جایی باشد آنگاه $(0 \ast a ) \ast ( a \ast b ) = b \ast a ^{ 2} $ $\forall a,b \epsilon X$ \proof{اثبات} : اگر $\left( X,\ast,0 \right) $ یک Bجبرجابه جایی باشد آنگاه خواهیم داشت \begin{flushleft} $( 0 \ast a ) \ast ( a \ast b ) = ( ( 0 \ast a ) \ast ( 0 \ast b ) ) \ast a = ( b \ast a ) \ast a = b \ast a ^{2} $ \end{flushleft} \subsection{تعریف} فرض می کنیم $\left( X,\ast,0 \right) $ و $\left( X , \circ , 0 \right) $ یک جبر باشند، تعریف می کنیم $\left( X , \ast , 0 \right) \Longrightarrow \left( X , \circ ,0 \right) $ برای هر x , y متعلق به X داشته باشیم :$x \circ y = x \ast ( 0 \ast y ) $ در این صورت جبر $\left( X , \circ , 0 \right) $ را مشتق شده از $\left( X,\ast,0 \right) $ گوییم \subsection{قضیه} فرض کنیم $\left( X , \ast , 0 \right) $ یک Bجبر یاشد، اگر $\left( X , \ast , 0 \right) \Longrightarrow \left( X , \circ ,0 \right) $ با $x \circ y = x \ast ( 0 \ast y ) $ باشد آنگاه $\left( X , \circ , 0 \right) $ یک گروه است . \\ \proof{اثبات} :گر $\left( X , \ast , 0 \right) \Longrightarrow \left( X , \circ ,0 \right) $ باشد آنگاه با $x \circ y = x \ast ( 0 \ast y ) $ $\forall x,y \epsilon X$ وبا توجه به $6\cdot1$ برای هر xمتعلق به X داریم: $0 \ast ( 0 \ast x ) = x $یعنی اینکه $x = 0 \circ x $ زیرا $x \circ 0 = x \ast ( 0 \ast 0 ) = x \ast 0 = x$ وحقیقت این است که صفر عنصر اصلی X است و همین نشان می دهد که $\left( X , \circ , 0 \right) $ یک گروه است . \subsection{گزاره} جبر مشتق شده از یک گروه ف خود یک گزوه است .\\ \proof{اثبات} فرض کنیم $\left( X , \ast , 0 \right) $ یک گروه با عتصر اصلی صفر باشد و اگر $\left( X , \ast , 0 \right) \Longrightarrow \left( X , \circ ,0 \right) $ باشد آنگاه $x \circ y = x \ast ( 0 \ast y ) = x \ast y $ زیرا 0 یک عنصر حقیقی X است، برای هر x که عضو X باشد . \section{BCI جبر} \subsection{تعریف} یک سیستم جبری $\left( X , \ast , 0 \right) $ را یک BCI جبر گویند اگر دارای شرایط زیر باشد: \begin{flushleft} $1. (x \ast y ) \ast (x \ast z ) \leq x \ast y$ \\ $2. x \ast ( x \ast y ) \leq y$ \\ $3. x \leq x $ \\ $4. x \leq y ؛ y \leq x \Longrightarrow x = y $ \end{flushleft} و هنگامی که $x \leq y $ به صورت $x \ast y = 0$ تعریف شود نیز یک BCI جبر است. \subsection{تعریف} یک BCI جبر یک BCK جبر نامیده می شود اگر برای همه ی xهای متعلق به X داشته باشیم : $0 \leq x $ یعنی $x \ast 0 = 0$ \subsection{تعریف} یک کلاس خاص از BCI جبر ها ، p نیمه ساده نامیده می شود اگر داشته باشیم : $0 \ast ( 0 \ast x ) = x $ یا $X_{+} = \left\lbrace 0 \right\rbrace $ به ازای هر x ای عضو X ، همچنین برای هر BCI جبر X مجموعه $X_{+} : = \left\lbrace x \epsilon X \mid 0 \leq x \right\rbrace $ یک بخش BCK از X خوانده می شود. \subsection{تعریف} یک B جبر $\left( X , \ast , 0 \right) $ ، صفر جا به جایی پذیر گفته می شود اگر $x \ast ( 0 \ast y ) = y \ast ( 0 \ast x ) $ با $\forall x , y \epsilon X$ \subsection{گزاره} اگر $\left( X , \ast , 0 \right) $ یک صفر جا به جایی Bجبر باشد آنگاه $(0 \ast X ) \ast ( 0 \ast y) = y \ast x $ و با $\forall x , y \epsilon X$ فرض می کنیم که a یک عنصر در BCI جبری X است دراین صورت شرایط زیر معادلند \begin{flushright} $ 1 $ $\cdot $ {a مینیمال است.}\\ $2$ $\cdot $ $0 \ast ( 0 \ast a)= a$\\ $3$ $ \cdot $ {وجود دارد x ای متعلق به X به طوری که }$a = 0 \ast x$ \end{flushright} \begin{proof}{اثبات}\\ $1 \Longrightarrow 2$ با نوجه به تعریف BCI جبر داریم $(0 \ast ( 0 \ast a )) \ast a) = 0 $ و چون a مینیمال است پس $0 \ast ( 0 \ast a) = a$\\ $2 \Longrightarrow 3$ با استفاده از 2 داریم : $a = 0 \ast (0 \ast a )= 0 \ast x $ هنگامی که $x = 0 \ast a$\\ $3 \Longrightarrow 1$ فرض کنیم که $ a= 0 \ast x$ برای کمی از $x \epsilon X$ وبرای هر $y \epsilon X$ اگر $y \ast a =0 $ آنگاه $ y \ast ( 0 \ast x) = 0$ ودر این صورت ما خواهیم داشت : \begin{flushleft} $a \ast y = ( 0 \ast x ) \ast y= ( 0 \ast ( 0 \ast ( 0 \ast x ))) \ast y = (0\ast y ) \ast ( 0 \ast ( 0 \ast x )) $ \end{flushleft} حال ما داریم : \begin{flushleft} $( 0 \ast y ) \ast ( 0 \ast ( 0 \ast x ))= 0 \ast ( y \ast ( 0 \ast x) ) = 0 \ast 0 = 0$ \end{flushleft} از این رو $a \ast y = 0$ و همچنین $y \ast a = 0 $ در نتیجه طبق تعریف BCIجبر $ y = a $بنابراین a یک عنصر مینیمال است. \end{proof}\\ با توجه به قضیه ی بالا می توان نتایج زیر را به دست آورد: \subsection{قضیه} \begin{theorem} فرض کنید X یک BCI جبر باشد، آنگاه عبارات زیر معادلند : \begin{flushright} $1$ $ \cdot $ {X یک p نیمه ساده است}\\ $2$ $ \cdot $ {هر عنصر x در X مینیمال است}\\ $3$ $ \cdot $ $ X = \left\lbrace 0 \ast x \mid x \epsilon X \right\rbrace $ \end{flushright} \end{theorem} \begin{proof}{ اثبات } $1 \Longrightarrow 2$ چون X یک p - نیمه ساده است هر عنصر در Xمینینال است .\begin{flushleft} $x \ast (0 \ast y ) = ( x \ast (0 \ast ( 0 \ast ( 0 \ast y ) ))= ( 0 \ast ( 0 \ast y)) \ast (0 \ast x )= y \ast ( 0 \ast x ) $ \end{flushleft} $2 \Longrightarrow 3 $ اگر $0 \ast x = 0$ آتگاه 2 نتیجه می دهد که \begin{flushleft} $x = x \ast ( 0 \ast 0 ) = 0 \ast (0 \ast x) = 0 \ast 0 = 0$ \end{flushleft} $3 \Longrightarrow 1$ برای هر $x \epsilon X$و طبق گزاره $2 \cdot 5 $ داریم : \begin{flushleft} $ 0 \ast ( 0 \ast ( 0 \ast x) ) = (0 \astx ) \ast (0 \ast ( 0 \ast (0 \ast x ) ) ) = (0 \ast x) \ast ( 0 \ast x) = 0 $ \end{flushleft} توجه می شود که : $x \ast ( 0 \ast ( 0 \ast x )))$ یک عبارت مثبت است ، پس داریم : $0 \ast ( x \ast (0 \ast ( 0 \ast x))) =0$آنگاه با توجه به 3 خواهیم داشت : $x \ast ( 0 \ast ( 0 \ast x)) =0$چون $0 \ast ( 0 \ast x)$ یک عنصر مینی مال از Xاست پس آن : $x = 0 \ast (0 \ast x) $ بنابراین X یک p نیمه ساده است . \end{proof} \subsection{قضیه} اگر $\left( X , \ast , 0 \right) $ یک صفر جابه جایی B جبر باشد آنگاه $\forall x, y ,a, b \epsilon X$ $( x \ast a ) \ast ( y \ast b ) = ( b \ast a ) \ast ( y \ast x) $ \\ \begin{proof}{ اثبات } : برای هر $x, y , a, b \epsilon X$ به دست خواهیم آورد : \begin{flushleft} \begin{align} $( x \ast a ) \ast ( y \ast b ) & = x \ast \left[ ( y \ast b ) \ast ( 0 \ast a ) \right] = \nonumber \\ & x \ast \left[ y \ast \left\lbrace (0 \ast a ) \ast ( 0 \ast b ) \right\rbrace \right ]\nonumber \\ & = x \ast ( y \ast ( b \ast a) ) \nonumber \\ &= \left[ x \ast ( 0 \ast (b \ast a) ) \right] \ast y \nonumber \\ & = \left[ ( b \ast a) \ast ( 0 \ast x ) \right] \ast y \\nonumber \\ &= ( b \ast a ) \ast \left[y \ast (0 \ast ( 0 \ast x ) ) \right] \nonumber \\ & = ( b \ast a ) \ast ( y \ast x) $ \end{align} \end{flushleft} \end{document}