%Seyyed Ahmad Hosseini; 14001225; 20200327;
% دو بار پردازش با زی‌لاتک
\PassOptionsToPackage{pdfpagemode=FullScreen,hyperfootnotes=false}{hyperref}
%\documentclass[t,10pt,xcolor=dvipsnames,professionalfont]{beamer}
\documentclass[10pt, compress, xcolor=dvipsnames, professionalfont]{beamer}
\usepackage{ragged2e}
\usepackage{etoolbox}
\apptocmd{\frame}{}{\justifying}{}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts} 
\usepackage{xecolor}
\usepackage{tikz, graphicx, environ} 
\usepackage{tikzpagenodes}
\usetikzlibrary{tikzmark}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{listings}
\usepackage{ptext}
\usepackage{multicol,color}
\usepackage{beamerthemesplit}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{comment}
\usepackage{lipsum}
\swapnumbers
%\setbeamertemplate{navigation symbols}{}
%@@@@@
%@@@@@
%@@@@@
\mode<presentation>
{
\usetheme{Warsaw}
%\usetheme{CambridgeUS}
%\usetheme{AnnArbor}
%\usetheme{}
%\usetheme{}
\usefonttheme{serif}
%\usecolortheme{wolverine}
%\usecolortheme{beaver}
%\usecolortheme{}
%\usecolortheme{}
%\usecolortheme{seahorse}
%\usepackage[font=Times, timeinterval=1, timeduration=15]{tdclock}\setbeamertemplate{background}{\hspace{.5em}\textcolor{white}{\tiny\bfseries\crono}}
%\usepackage[font=Helv,timeinterval=60]{tdclock}
%\setbeamertemplate{headline}{\initclock\large{\tdyear-\tdmonth-\tdday\quad\tdhours:\tdminutes}}

\NewEnviron{subframe}[3][base west]{\node[anchor=#1, draw=black, inner sep=5pt] at (#2) {\begin{minipage}{#3}\BODY\end{minipage}};}


%\usepackage[font=Times,timeinterval=10, timeduration=2.0, timedeath=0, fillcolorwarningsecond=white!60!yellow,
%timewarningfirst=50,timewarningsecond=80,resetatpages=2]{tdclock}
%\usecolortheme[named=blue]{structure}
%rose
%\useoutertheme{tree}


 \definecolor{darkblue}{rgb}{0,0,0.8}

    \setbeamercolor{alerted text}{fg=white}
    %رنگ فونت عنوان اسلاید + سمت چپ: هم بالا هم پایین +++bg=سمت چپ: هم بالا هم پایین
    \setbeamercolor*{palette primary}{fg=black,bg=cyan}
    %وسط پایین
    \setbeamercolor*{palette secondary}{fg=black,bg=brilliantrose}
    %راست: هم بالا هم پایین    %brightmaroon+
    \setbeamercolor*{palette tertiary}{bg=palemagenta,fg=black}%@@@
    %
    \setbeamercolor*{palette quaternary}{fg=black,bg=hotpink!55}

    \setbeamercolor*{sidebar}{fg=darkblue,bg=orange!75!white}

    \setbeamercolor*{palette sidebar primary}{fg=darkblue!10!black}
    \setbeamercolor*{palette sidebar secondary}{fg=white}
    \setbeamercolor*{palette sidebar tertiary}{fg=darkblue!50!black}
    \setbeamercolor*{palette sidebar quaternary}{fg=magenta!10!orange}

    \setbeamercolor*{titlelike}{parent=palette primary}
    \setbeamercolor{frametitle}{bg=white}
    \setbeamercolor{frametitle right}{bg=aqua!35}

    \setbeamercolor*{separation line}{}
    \setbeamercolor*{fine separation line}{}
    
      \setbeamercolor{background canvas}{bg=darkpastelpurple!3}
}
 	\definecolor{palemagenta}{rgb}{0.98, 0.52, 0.9}
\definecolor{hotpink}{rgb}{1.0, 0.41, 0.71}
 	\definecolor{darkpink}{rgb}{0.91, 0.33, 0.5}
 	\definecolor{darkpastelpurple}{rgb}{0.59, 0.44, 0.84}
\definecolor{brilliantrose}{rgb}{1.0, 0.33, 0.64}
 	\definecolor{applegreen}{rgb}{0.55, 0.71, 0.0}
%@@@@@
\definecolor{amber}{rgb}{1.0, 0.75, 0.0}
\definecolor{aqua}{rgb}{0.0, 1.0, 1.0}




%\includeonlyframes{de}


%@@@@@Colors
%@@@@@
%@@@@@
%%%%
%%%%Persian
%%%%
\definecolor{persianblue}{rgb}{0.11, 0.22, 0.73}
\definecolor{mediumpersianblue}{rgb}{0.0, 0.4, 0.65}
\definecolor{persiangreen}{rgb}{0.0, 0.65, 0.58}
\definecolor{persianindigo}{rgb}{0.2, 0.07, 0.48}
\definecolor{persianorange}{rgb}{0.85, 0.56, 0.35}
\definecolor{persianpink}{rgb}{0.97, 0.5, 0.75}
\definecolor{persianplum}{rgb}{0.44, 0.11, 0.11}
\definecolor{persianred}{rgb}{0.8, 0.2, 0.2}
\definecolor{persianrose}{rgb}{1.0, 0.16, 0.64}
%%%%
%%%%
%%%%
\definecolor{nttitle}{RGB}{0,177,235}
\definecolor{deepskyblue}{rgb}{0.0, 0.75, 1.0}
\definecolor{carminepink}{rgb}{0.92, 0.3, 0.26}
\definecolor{fashionfuchsia}{rgb}{0.96, 0.0, 0.63}
\definecolor{green(ncs)}{rgb}{0.0, 0.62, 0.42}
\definecolor{cyan}{rgb}{0.0, 1.0, 1.0}
\definecolor{mediumaquamarine}{rgb}{0.4, 0.8, 0.67}
\definecolor{mrsol}{rgb}{0.96, 0.0, 0.63} 
%@@@@@@@@@
%@@@@@@@@@Green
%@@@@@@@@@
\definecolor{islamicgreen}{rgb}{0.0, 0.56, 0.0}
\definecolor{junglegreen}{rgb}{0.16, 0.67, 0.53}
%@@@@@@@@@
%@@@@@@@@@
%@@@@@@@@@
\definecolor{darkspringgreen}{rgb}{0.09, 0.45, 0.27}
\definecolor{brightmaroon}{rgb}{0.76, 0.13, 0.28}
\definecolor{brickred}{rgb}{0.8, 0.25, 0.33}
\definecolor{brown(web)}{rgb}{0.65, 0.16, 0.16}
\definecolor{carnelian}{rgb}{0.7, 0.11, 0.11}
\definecolor{cerisepink}{rgb}{0.93, 0.23, 0.51}
\definecolor{cornellred}{rgb}{0.7, 0.11, 0.11}%ok
\definecolor{crimson}{rgb}{0.86, 0.08, 0.24}
\definecolor{darkcandyapplered}{rgb}{0.64, 0.0, 0.0}
\definecolor{darkred}{rgb}{0.55, 0.0, 0.0}
\definecolor{darkterracotta}{rgb}{0.8, 0.31, 0.36}
\definecolor{deepchestnut}{rgb}{0.73, 0.31, 0.28}
\definecolor{fireenginered}{rgb}{0.81, 0.09, 0.13}
\definecolor{indianred}{rgb}{0.8, 0.36, 0.36}
\definecolor{lava}{rgb}{0.81, 0.06, 0.13}
\definecolor{jasper}{rgb}{0.84, 0.23, 0.24}
\definecolor{maroon(x11)}{rgb}{0.69, 0.19, 0.38}%OK
\definecolor{darkpowderblue}{rgb}{0.0, 0.2, 0.6}
\usepackage{beamerthemeshadow}
\usepackage[most]{tcolorbox}

%@@@@@@@NewBlock
%@@@@@@@
%@@@@@@@
\newenvironment<>{blk01}[1]{%
  \setbeamercolor{block title}{fg=white,bg=persianrose!70}%
  \begin{block}#2{#1}}{\end{block}}
\newenvironment<>{blk02}[1]{%
\setbeamercolor{block title}{use=structure,fg=blue,bg=mediumaquamarine!25}
\setbeamercolor{block body}{use=structure,fg=black,bg=mediumaquamarine!15}%
  \begin{block}#2{#1}}{\end{block}}



%\logo{\includegraphics[scale=0.15]{arm.jpg} }
\newcommand{\nologo}{\setbeamertemplate{logo}{}} 



\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen}

\usepackage{bigints}

\usepackage{xepersian}
\settextfont{XB Zar}
\setlatintextfont{Times New Roman}
\setdigitfont{Yas}

\defpersianfont\nas[Scale=1.5]{IranNastaliq}
\defpersianfont\xb[Scale=1.3]{XB Zar}
\deflatinfont\tnr[Scale=1.2]{Times New Roman}




% برای قرار گرفتن شماره اسلاید
\expandafter\def\expandafter\insertshorttitle\expandafter{%
\insertshorttitle\hfill%
\inserttotalframenumber\,/\,\insertframenumber}
 %%%%%%%%%%%%%%

%\setbeamercolor{block title}{use=structure,fg=blue,bg=mediumaquamarine!25}
%\setbeamercolor{block body}{use=structure,fg=black,bg=mediumaquamarine!15}
%برای شماره خوردن قضیه،...

\setbeamertemplate{theorems}[numbered]
%\newtheorem{remark}{Remark} %for remark 
\renewcommand\thetheorem{\arabic{section}{{$\boldsymbol{\cdot}$}}\arabic{subsection}{{$\boldsymbol{\cdot}$}}\arabic{theorem}}
%\renewcommand\theremark{\arabic{lecture}.\arabic{remark}}
\makeatletter
\@addtoreset{theorem}{lecture}
\@addtoreset{remark}{lecture}
\makeatother
\providetranslation{Theorem}{\large \bf قضیه}
\providetranslation{Definition}{تعریف}
\providetranslation{Example}{مثال}
\providetranslation{Lemma}{لم}
\newtheorem{ex}[theorem]{مثال}
\newtheorem{cor}[theorem]{نتیجه}
\newtheorem{defn}[theorem]{تعریف}

\newtheorem*{sol}{\textcolor{mrsol}{حل:}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}

\def\w#1#2{w_{#1}^{(#2)}}

%\numberwithin{equation}{subsection}

\renewcommand\theequation{\arabic{section}{{$\boldsymbol{\cdot}$}}\arabic{subsection}{{$\boldsymbol{\cdot}$}}\arabic{equation}\!}

\input{command}


\let\olditemize=\itemize 
\renewenvironment{itemize}{\olditemize\justifying}{\endlist}

\newcommand*{\co}[1]{\nas\textcolor{blue}{#1}}
%\newcommand{\d}{\mathrm{d}} 
%\newcommand{\w#1#2}{w_{#1}^{(#2)}}

\title[روش هم‌محلی کسری گرانیگاهی برای معادلات انتگرال–دیفرانسیل ولترا ]
{\Huge{روش هم‌محلی کسری گرانیگاهی برای معادلات انتگرال–دیفرانسیل ولترا }}
%\subtitle{زیرعنوان اسلاید}

\vspace{1.5cm}

\author[مهین حسن قاسمی (دانشگاه گلستان)]{\co{ }}

\vspace{1.5cm}

\institute[دانشگاه گلستان]{{\Large{دانشگاه گلستان}}}
\vspace{0.1cm}
\date{29 تیر}

\setbeamertemplate{itemize item}{\color{nttitle}{$\blacktriangleleft$}}
\raggedleft


\begin{document}

\justifying
\newcommand{\di}{\mathrm{d}}
\def\hmath#1{\text{\scalebox{1.6}{$#1$}}}
\def\lmath#1{\text{\scalebox{1.4}{$#1$}}}
\def\mmath#1{\text{\scalebox{1.2}{$#1$}}}
\def\smath#1{\text{\scalebox{.8}{$#1$}}}
\def\hfrac#1#2{\hmath{\frac{#1}{#2}}}
\def\lfrac#1#2{\lmath{\frac{#1}{#2}}}
\def\mfrac#1#2{\mmath{\frac{#1}{#2}}}
\def\sfrac#1#2{\smath{\frac{#1}{#2}}}



%{\nologo
%\begin{frame}[plain,noframenumbering]
%برای عدم نمایش نوار بالایی و پایین در فرم آپشن plain و برای اینکه جزء شماره اسلاید محسوب نشود آپشن فرم noframenumbering قرار داده شده است.
%\centerline{\includegraphics[width=\paperwidth,height=\paperheight]{besm.jpg}}
%\end{frame}
%}

%{\nologo
%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}[plain,noframenumbering]
%برای عدم نمایش نوار بالایی و پایین در فرم آپشن plain و برای اینکه جزء شماره اسلاید محسوب نشود آپشن فرم noframenumbering قرار داده شده است.
\vspace{-0.2cm}
\centerline{\includegraphics[width=\paperwidth,height=\paperheight]{besm2.jpg}}
\end{frame}
%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\baselineskip=0.5cm
\def\hmath#1{\text{\scalebox{1.6}{$#1$}}}
\def\lmath#1{\text{\scalebox{1.4}{$#1$}}}
\def\mmath#1{\text{\scalebox{1.2}{$#1$}}}
\def\smath#1{\text{\scalebox{.8}{$#1$}}}
\def\hfrac#1#2{\hmath{\frac{#1}{#2}}}
\def\lfrac#1#2{\lmath{\frac{#1}{#2}}}
\def\mfrac#1#2{\mmath{\frac{#1}{#2}}}
\def\sfrac#1#2{\smath{\frac{#1}{#2}}}
%\setcounter{section}{1}
%===================================================================================
\definecolor{fuchsia}{rgb}{1.0, 0.0, 1.0}
\usebackgroundtemplate{\includegraphics[width=\paperwidth,height=\paperheight]{P1.jpg} }
\nologo
\begin{frame}[plain,noframenumbering]
\begin{center} 
\includegraphics[width=1.5cm]{arm.png}


دانشکده علوم (گروه ریاضی و علوم کامپیوتر)

\vspace{5mm}

\textbf{
روش هم‌محلی کسری گرانیگاهی برای معادلات انتگرال–دیفرانسیل ولترا
}

\vspace{.1cm}

 پژوهش و نگارش:

\vspace{.1cm}

مهین حسن قاسمی
\vspace{.1cm}

استاد راهنما:
\vspace{.1cm}

دکتر سید احمد حسینی
\vspace{0.1cm}

 استاد مشاور:
\vspace{0.1cm}

دکتر  علی پاکدامن                                                                                                                                                      
\\

\vspace{0.1cm}


\vspace{.2cm}
تیر $1401$

\end{center}
\end{frame}
%===================================================================================
\begin{frame}
\frametitle{\textcolor[rgb]{1.00,1.00,1.00}{کلیات}}
\invisible

\begin{itemize}
\onslide<1->
\item[$\blacktriangleleft$] \textcolor[rgb]{0.50,0.00,0.50}{پیش‌نیاز‌ها}
\begin{itemize}
\item
معادلات انتگرال
\item
وجود و یکتایی جواب
\item
معادلات انتگرال-دیفرانسیل
\end{itemize}
\onslide<2->
\item[$\blacktriangleleft$] \textcolor[rgb]{0.50,0.00,0.50}{روش‌های هم‌محلی ‌کسری گرانیگاهی برای معادلات انتگرال-دیفرانسیل ولترا }
\begin{itemize}
\item
درونیابی کسری گرانیگاهی
\item
روش هم‌محلی کسری گرانیگاهی
\item
همگرایی روش و تحلیل خطا
\item
نتایج عددی
\end{itemize}

\onslide<3->
\item[$\blacktriangleleft$]\textcolor[rgb]{0.50,0.00,0.50}{\small روش هم‌محلی کسری گرانیگاهی برای معادلات انتقال حرارت }

\begin{itemize}
\item
مقدمه
\item
روش هم‌محلی برای معادلات  انتقال حرارت
\item
همگرایی روش و تحلیل خطا برای معادلات انتقال حرارت
\item
نتایج عددی
\item
نتیجه‌گیری
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}
%===================================================================================
\begin{frame}[plain,noframenumbering]

\begin{center}
\Huge {
فصل اول:
}\\
\vspace{1cm}
\Large{
پیش نیازها}
\end{center}
\end{frame}
%===================================================================================
\begin{frame}
‌معادلات انتگرال-دیفرانسیل ولترا به دلیل کاربرد فراوان در علوم و مهندسی بسیار مورد توجه قرار گرفته‌اند. این معادلات در بسیاری از پدیده‌های فیزیکی مثل پویایی جمعیت، الکترواستاتیک، مکانیک و ... کاربرد دارند. 

از آن‌جا که حل عددی معادلات انتگرال-دیفرانسیل ولترا دشوار است ارائه روش عددی ضروری است. چندین روش عددی از جمله روش هم‌محلی، روش رانگ- کوتا، روش چندجمله‌ای خطی، روش تقریب‌های متوالی و ... وجود دارد. 

 هدف این پایان‌نامه، مطالعه روش هم‌محلی کسری گرانیگاهی مبتنی بر درونیاب‌های کسری گرانیگاهی برای حل معادلات انتگرال-دیفرانسیل ولترا است. در ادامه، تحلیل همگرایی به همراه مرتبه همگرایی روش‌ها با جزئیات بررسی خواهد شد. دقت و کارایی روش‌های پیشنهادی و صحت نتایج نظری با چندین مثال عددی در هر فصل نشان داده می‌شود.
 \end{frame}
%===================================================================================
\begin{frame}
\onslide<1-> \justifying
معادلات انتگرال رده‌ای از معادلات هستند که در آن تابع مجهول زیر علامت انتگرال ظاهر می‌شود. 
\onslide<2-> \justifying

دو رده مهم معادلات انتگرال

\begin{itemize}
\item معادلات انتگرال فردهلم:
 در معادلات فردهلم ناحیه انتگرال گیری ثابت است
\item معادلات انتگرال ولترا:
در معادلات ولترا ناحیه انتگرال‌گیری متغیر است
\end{itemize}
\end{frame}
%===================================================================================
\begin{frame}
\frametitle{معادلات انتگرال}
 \onslide<1-> \justifying
یک رده کلی از معادلات ولترا خطی نوع دوم به شکل
\begin{equation} \label{VIESK}
y(t)=f(t)+\int_a^t k(t,s)y(s)\,\mathrm{d}s, \quad a\leq t\le T,
\end{equation}
است که در آن $ y$ تابع مجهول و $f(\cdot)$ ,$k(\cdot,\cdot,\cdot)$ توابعی معلوم هستند. $k$ را هسته معادله انتگرال می‌نامند. 

\onslide<2-> \justifying

معادله \eqref{VIESK} یکی از چندین شکل معادلات ولترا نوع دوم است. شکل کلی معادلات ولترا را می‌توان به صورت زیر در نظر گرفت
\[
F\big(t,y(t),\int_a^t k(t,s,y(s))\big)\,\mathrm{d}s =0.
\]
\end{frame}
%===================================================================================
\begin{frame}
\frametitle{وجود و یکتایی جواب معادله انتگرال ولترا}
\onslide<1-> \justifying

رویکرد کلاسیک اثبات وجود و یکتایی جواب، \eqref{VIESK} روش تقریب متوالی پیکارد است. تکرار ساده
\begin{equation}\label{pikard}
y_n(t)=f(t)+\int_0^t k(t,s)y_{n-1}(s)\,\mathrm{d}s,\quad  n=1,2, \ldots 
\end{equation}
که$y_0(t)=f(t)$   را در نظر بگیرید.

\onslide<2-> \justifying
برای سادگی تابع  $\phi_n$ را به شکل زیر تعریف کنید
\begin{equation}\label{phi}
\phi _n(t)=y_n(t)-y_{n-1}(t),\quad  n=1,2,\ldots 
\end{equation} 
که در آن $ \phi_0(t)=f(t)$. 

\onslide<3-> \justifying
با جایگزینی $ n$ با $n-1$ در \eqref{pikard}  وتفاضل رابطه حاصل از \eqref{pikard} داریم
\begin{equation}\label{vus}
\phi_n(t)=\int_0^t k(t,s)\phi_{n-1}(s)\,\mathrm{d}s,\quad  n=1,2,\ldots
\end{equation}
همچنین، از \eqref{phi} داریم
\[
y_n(t)=\sum_{i=0}^n\phi_i(t)
\]
\end{frame}
%===================================================================================
\begin{frame}
\frametitle{ وجود و یکتایی جواب معادله انتگرال ولترا خطی}
\onslide<1-> \justifying
\begin{theorem}\label{ykta}
اگر $k(t,s)$ در $\Omega=\{(t,s):0\le s\le t\le T\}$  و $f(t)$ در $[0 ,T]$ پیوسته باشند آن‌گاه معادله انتگرال \eqref{VIESK}دارای جواب پیوسته یکتاست.
\end{theorem}

\end{frame}

%===================================================================================
\begin{frame}
\frametitle{ وجود و یکتایی جواب معادله انتگرال ولترا غیرخطی}
\onslide<1-> \justifying
در ادامه این بخش، به بررسی شرایط وجود و یکتایی جواب معادلات انتگرال ولترا غیرخطی به شکل 
\begin{equation}\label{nonlinear}
y(t)=f(t)+\int_0^t k(t,s,y(s))\,\mathrm{d}s, \quad 0\le t\le T,
\end{equation} 
می‌پردازیم. جواب این معادله را با فرضیات مختلف روی هسته بررسی می‌کنیم.

\onslide<2-> \justifying
\begin{theorem}\label{nonyektae}
فرض کنید $f$ و $k$ توابعی پیوسته در دامنه تعریفشان باشند و هسته $ k$ در شرط لیپشیتز نسبت به متغیر سومش صدق کند. در این صورت \eqref{nonlinear} به ازای هر $T$ متناهی دارای جواب پیوسته یکتایی است.
\end{theorem}
%===================================================================================
\begin{frame}
\onslide<1-> \justifying
استفاده از شرط لیپ‌شیتز تجزیه و تحلیل وجود جواب را ساده می‌کند اما نتایج را خیلی محدود می‌کند. برای هسته‌های بی‌شماری، شرط برقرار نیست و در نتیجه نیاز به بررسی دقیق‌تری داریم. بدین منظور، قضیه زیر را بیان می‌کنیم. 

\onslide<2-> \justifying
\begin{theorem}
فرض کنید تابع $ f$ در معادله انتگرال ولترا  \eqref{nonlinear}روی بازه $ [0,T]$ پیوسته باشد. همچنین فرض کنید ثابت‌های $ \alpha$، $ \beta$ و $ L$ وجود داشته باشند به‌طوری که
\begin{itemize}
\item[(الف)]
$ \alpha \le f(t) \le \beta , \quad 0 \leq t\leq T $
\item[(ب)]
به ازای هر $ 0\leq s \leq t \leq T$ و    $ \alpha \le u \le \beta $، هسته $ k(t,s,u)$ نسبت به نقاط متغیرهایش پیوسته باشد.
\item[(پ)]
به ازای هر $ 0\le s \le t\le T$ و $\alpha \le y \le \beta $ و $ \alpha \le z \le \beta $، هسته در شرط لیپ‌شیتز زیر صدق کند
\[
|K(t,s,y) - K(t,s,z)| \leq L|y-z|.
\]
\end{itemize}  
در این صورت، $\delta\textgreater{0}$ای وجود دارد به‌طوری که \eqref{nonlinear} دارای جواب پیوسته یکتایی در $0\le t \le \delta$  است.
\end{theorem}
\end{frame}

%===================================================================================
\section{معادلات انتگرال-دیفرانسیل }
%===================================================================================
\begin{frame}
\onslide<1-> \justifying
در حالت کلی، معادلات دیفرانسیل، معادلاتی هستند که شامل متغیرهای مستقل، تابع مجهول و مشتقات آن می‌باشند. همان‌طور که در بخش قبل ملاحظه شد، هنگامی‌که تابع مجهول زیر علامت انتگرال ظاهر شود، با یک معادله انتگرال مواجه هستیم. در برخی قالب‌بندی‌ها، علاوه بر وجود تابع مجهول و مشتقات آن در قالب، مجهول زیر علامت انتگرال نیز ظاهر می‌شود. چنین معادله‌ای را یک معادله انتگرال-دیفرانسیل می‌نامیم. 

\onslide<2-> \justifying
شکل کلی یک معادله انتگرال-دیفرانسیل ولترا غیرخطی را می‌توان به صورت زیر در نظر گرفت
\begin{equation}\label{nonlinearvoltrra}
\begin{aligned}
&y'(t)=f\Big(t,y(t),\int_0^t k(t,s,y(s)\Big)\,\mathrm{d}s, \quad 0 \le t \le T,\\
&y(0)=y_0,  
\end{aligned}
\end{equation}
که در آن $y$ تابع مجهول و $k$ و $ f$ توابعی معلومی هستند.

\onslide<3-> \justifying
برای تضمین وجود و یکتایی جواب، فرض می‌کنیم شرایط لیپ‌شیتز ساده زیر به ازای هر $ 0\le s \le t \le T$  و $ u$ ، $ v$ و $ w$ برقرار باشند
\begin{equation}\label{lips}
\begin{aligned}
&|k(t,s,y_1) - k(t,s,y_2)| \le L_1 |y_1-y_2|,\\
&| f(t,v_1,w) - f(t,v_2,w)| \le L_2|v_1 - v_2|,\\
&| f(t,v,w_1) - f(t,v,w_2)| \le L_3|w_1 - w_2|.
\end{aligned}
\end{equation}
در این صورت، \eqref{nonlinearvoltrra} دارای جواب به‌طور پیوسته مشتق‌پذیر یکتایی از بازه $ [0,T]$ است.
\end{frame}
%===================================================================================
\begin{frame}
\onslide<1-> \justifying
برای توسیع روش‌های عددی برای معادلات انتگرال-دیفرانسیل، بازنویسی \eqref{nonlinearvoltrra} به شکل زیر مناسب است
\begin{equation}\label{aq}
y'(t) = f(t,y(t) ,z(t)),
\end{equation}
که در آن
\[
z(t) = \int_0^t k(t,s,y(s))\,\mathrm{d}s.
\]

\onslide<2-> \justifying
با انتگرال‌گیری از\eqref{aq} از $ t_{n-1}$ تا $ t_n$ داریم
 \begin{equation}\label{eq12}
y(t_n)=y(t_{n-1})+\int_{t_{n-1}}^{t_n} f(s,y(s),z(s))\,\mathrm{d}s.
\end{equation}
 جایگزینی این انتگرال و انتگرال موجود در تعریف $z(t)$ با یک روش انتگرال‌گیری عددی، به رابطه‌ای برای محاسبه جواب تقریبی $ y_n \approx y(t_n)$ منجر می‌شود.
 
 \onslide<3-> \justifying
  به عنوان مثال، با استفاده از قاعده ذوزنقه‌ای برای تقریب انتگرال ظاهر شده در سمت راست \eqref{eq12} داریم 
\begin{equation}\label{eq3}
\begin{aligned}
&y_n=y_{n-1}+\frac{h}{2} \Big[f(t_{n-1},y_{n-1},z_{n-1}) + f(t_n,y_n , z_n)\Big] ,\\  
& y_0=y(0),
\end{aligned}
\end{equation}
که در آن $ z_0=0$ و  
\begin{equation}\label{eq4}
z_n=\frac{h}{2} k(t_n,t_0,y_0) +h\sum_{i=1}^{n-1} k(t_n,t_i , y_i)+\frac{h}{2} k(t_n,t_n,y_n),  \quad  n=1,2,\ldots
\end{equation}
معادلات \eqref{eq3} ,\eqref{eq4} را می‌توان به‌طور متوالی برای محاسبه $\ldots,y_2,y_1$ حل کرد.  
در حالت غیرخطی، $ {y_n}$ به‌طور ضمنی تعریف می‌شود و به ازای $ h$های به‌اندازه کافی کوچک، دارای جواب یکتایی است.

\end{frame}
%===================================================================================
\begin{frame}
 \onslide<1-> \justifying
\begin{theorem}
اگر شرایط \eqref{lips} برقرار باشند و علاوه بر این $k$ و $ f$ دو بار نسبت به آرگومان‌هایشان به طور پیوسته مشتق‌پذیر باشند آن‌گاه جواب تقریبی تعریف شده توسط \eqref{eq4} - \eqref{eq3} به جواب دقیق، \eqref{nonlinearvoltrra} با مرتبه دو همگرا می‌شود.
\end{theorem}
\end{frame}
%===================================================================================
\section{روش‌های هم‌محلی ‌کسری گرانیگاهی برای معادلات انتگرال-دیفرانسیل ولترا }
%===================================================================================
\begin{frame}
\frametitle{درونیابی کسری گرانیگاهی}
\onslide<1-> \justifying
درونیابی بی‌نهایت هموار توابع هموار در نقاط هم‌فاصله یا نقاط دلخواه روی یک بازه متناهی، یک مساله خیلی طبیعی است. با این حال کار ساده‌ای نیست. روش‌های بسیاری، از جمله ساده‌ترین آن، چندجمله‌ای‌های درونیاب، ناپایدار و حتی بدوضع هستند و از پدیده رانگ رنج می‌برند، یعنی، درونیاب توابع بسیاری در مرز بازه‌ها واگرا می‌شوند. روش‌های خطی ارائه شده توسط بروت در مرجع \cite{B} بسیار پایدار هستند اما سرعت همگرایی آن‌ها برای گره‌های دلخواه و متأسفانه برای حالت خیلی مهم گره‌های هم‌فاصله بسیار کند است. 

با این‌حال، هنگامی‌که گره‌ها را از پیش انتخاب کنیم، به عنوان مثال، دومین درونیاب کسری خطی معرفی شده در \cite{B} وقتی‌ که با گره‌هایی که از نگاشت هم‌دیس نقاط چبیشف هستند، ترکیب شوند، یک روش خیلی کارایی برای حل انواع مختلف معادلات دیفرانسیل ارائه می‌دهند. 
درونیاب‌های کسری گرانیگاهی خطی معرفی شده توسط فلوتر و هورمن \cite{FH}،  وضعیت بالا را به طور چمشگیری تغییر داد. درونیاب‌های فوق، دارای مرتبه بالای همگرایی برای بیشتر مجموعه نقاط درونیابی به‌ویژه مجموعه نقاط هم‌فاصله هستند. 
 در ادامه این بخش، به معرفی این درونیاب‌ها خواهیم پرداخت. 
 
 \onslide<2-> \justifying
 
 
 
%===================================================================================
\begin{frame}

\end{document}