\فصل{مدل‌سازی} \section{تعریف بازی و مفاهیم اولیه} برای نشان‌دادن تاثیر سواری رایگان بر بقای گروه، ابتدا نیاز به مطالعه رفتار‌ها و استراتژی‌های مختلف شرکت‌کنندگان وجود‌دارد. برای این منظور یک مدل بازی پیشنهاد‌شده‌است.\\ با استفاده از نظریه بازی‌ها، یک وضعیت همکاری و عدم‌همکاری، می‌تواند به عنوان یک بازی غیر همکارانه غیر صفر مدل شود \cite{A25}. این بازی به‌عنوان غیر صفر مدل می‌شود؛ زیرا یک سود می‌تواند به جای این‌که تنها به یک نفر انتقال یابد، به اشتراک گذاشته‌شود. همچنین به عنوان یک رفتار غیر همکارانه مدل می‌شود؛ زیرا هر فرد به طور مستقل از دیگری تصمیم می‌گیرد. چنین بازی‌هایی معمولا با بازی معروف معمای زندانی \LTRfootnote{Prisoners' dilemma game} مدل می‌شوند. بازی معمای زندانی نشان‌دهنده وضعیت دو جنایت‌کار است که به‌طور هم‌زمان توسط پلیس دستگیر‌شده‌اند و به جرم همدستی در یک جنایت، برای اعتراف به جرمشان بازجویی می‌شوند. این جنایت‌کاران دو استراتژی را به طور مستقل از یکدیگر انتخاب می‌کنند. آن‌ها می‌توانند با پلیس همکاری کرده و اعتراف کنند( با یکدیگر همکاری نکنند ) و یا با یکدیگر همکاری کرده و اعتراف نکنند.\\ در صورتی که تنها یکی از زندانیان اعتراف کند( یعنی با زندانی دیگر همکاری نکند ) او آزاد می‌شود و همدستش که با او همکاری کرده و اعتراف نکرده‌است ده سال زندانی خواهد‌شد؛ در صورتیکه هردو اعتراف کنند( یعنی با هم همکاری نکنند ) هر یک به مدت پنج سال و در صورتی که هیچ یک از این دو نفر اعتراف نکنند( یعنی با هم همکاری کنند ) هر یک به مدت یک سال زندانی می‌شوند.\\ نتایج ممکن در جدول \ref{T33} آمده است که در آن: \begin{itemize} \item $R$: پاداش یک سال زندانی شدن است. \item $P$: مجازات به مدت 5 سال زندانی شدن است. \item $S$: دریافت 10 سال زندانی شدن است. \item $T$: وسوسه به آزاد شدن است. \renewcommand{\baselinestretch}{2.1} \begin{flushleft} \begin{table}[!hbtp]\label{T33} %\begin{scriptsize} \begin{tabular}{|p{3.1cm}|p{3.1cm}|p{3.1cm}|} \hline \lr{Defect}&\lr{Cooperate}&\lr{}\\ \hline ($0$)\lr{T},($-10$)\lr{S}&($-1$)\lr{R},($-1$)\lr{R}&\lr{ Cooperate}\\ \hline ($-5$)\lr{P},($-5$)\lr{P}&($-10$)\lr{S},($0$)\lr{T}&\lr{ Defect}\\ \hline \end{tabular} %\end{scriptsize} \caption{\label{T33}\small{ماتریس نتایج بازی معمای زندانی}\cite{A1}} \end{table} \end{flushleft} \renewcommand{\baselinestretch}{2} این ثابت‌ها باید دو شرط زیر را برآورده‌ سازد: \begin{flushleft} $1. T>R>P>S$\\ $2. 2R>T+S$ \end{flushleft} برای راحتی کار در نظر می‌گیریم: $D=Defect$ و $C=Cooperate$. \\ همان‌طور که در جدول \ref{T33} مشاهده می‌کنید، استراتژی $D$، استراتژی غالب ضعیف بازیکن 1 است چون داریم: \begin{flushleft} $u_1(D,C)>u_1(C,C)$\\ $u_1(D,D)>u_1(C,D)$ \end{flushleft} علاوه‌بر‌‌‌‌‌‌‌این، استراتژی $D$، استراتژی غالب ضعیف بازیکن 2 است چون داریم: \begin{flushleft} $u_2(C,D)>u_2(C,C)$\\ $u_2(D,D)>u_2(D,C)$ \end{flushleft} بنابراین، ترکیب استراتژی $(D,D)$ یک موقعیت غالب ضعیف برای بازی معمای زندانی بالا است. پس با استفاده از تکنیک استراتژی غالب، بهترین استراتژی برای جنایت‌کاران زمانی است که هر دو جنایت‌کار بدون این‌که از تصمیم یکدیگر با خبر باشند، عدم‌همکاری را انتخاب کنند. در مورد اجرای این بازی در تعداد نامحدود تکرار، بهترین استراتژی همکاری خواهد‌بود.\\ در بازی معمای زندانی، بازیکنان به صورت جداگانه ولی در یک مرحله از بازی بازجویی می‌شوند ولی بازی مطرح‌شده در این‌جا، زمانی است که تصمیمات بین بازیکنان همزمان نیست و در دو مرحله متفاوت گرفته‌می‌شود و این نمی‌تواند شبیه به یک گروه همکارانه باشد. نسخه اصلاح شده بازی معمای زندانی که متاثر از بازی معمای زندانی ناهمزمان است \LTRfootnote{Asynchronous game model}، در ادبیات معرفی‌شده‌است\cite{BB13}, \cite{BB14}. برای اصلاح این تغییرات در بازی، مدل نواک و سیگموند \LTRfootnote{Nowak and Sigmund (1994)}\cite{A15} که به طور خلاصه در جدول \ref{T33} آمده‌است، ارائه می‌شود. \renewcommand{\baselinestretch}{2.2} \begin{center} \begin{table}[!hbtp]\label{T33} \begin{scriptsize} \begin{tabular}{|c c|} \hline &نتیجه نهایی\\ $R=a+b$ & $ R: $ پاداش\\ $P=c+d$ & $ P: $مجازات \\ $T=c+b$ &$ T: $وسوسه\\ $S=a+d$ & $ ُS: $ پمپاژ\\ & با توجه به این‌که \\ هزینه همکاری در یک نوبت& $a$\\ پاداش همکاری کردن در یک نوبت & $b$\\ هزینه همکاری نکردن در یک نوبت &$c$\\ هزینه همکاری نکردن با او & $d$\\ \hline \end{tabular} \end{scriptsize} \caption{\label{T33}\small{مدل بازی نا‌همزمان}\cite{A1}} \end{table} \end{center} \renewcommand{\baselinestretch}{2} این مقادیر باید طوری حساب شوند که معیار‌های ذکر شده قبلی در بازی معمای زندانی را نقض نکند. \section{تنظیمات بازی همکارانه} در این بخش، تنظیمات توضیح داده‌شده و پیش فرض‌هایی که هنگام فرموله کردن بازی در نظر گرفته‌شده، معرفی می‌شود. در نظر بگیرید که یک گروه در یک برنامه و کاربرد اجتماعی دارای $N$ شرکت‌کننده است. ارسال‌هایی که توسط شرکت‌کنندگان فرستاده می‌شود، محدود به گروه است. هر شرکت‌کننده قادر است به:\\ 1.ارسال یک درخواست.\\ 2.پاسخ دادن به درخواست دیگران.\\ 3.نادیده گرفتن یک درخواست زیرا او قادر به پاسخ دادن به آن نیست.\\ 4.نادیده گرفتن یک درخواست، هر چند او قادر به پاسخ باشد. چنین رفتاری با عنوان " خودخواه " یا " سواری رایگان " شناخته‌شده‌است.\\ ما همچنین فرض می‌کنیم که:\\ 1. برنامه اجتماعی تمام درخواست ها پیگیری می‌کند و پاسخ هر شرکت‌کننده را می‌دهد. \\ 2.در یک برنامه اجتماعی، هر شرکت‌کننده وضعیت همکاری شرکت‌کنندگان دیگر را در نظر می‌گیرد.\\ 3.طول عمر گروه، بینهایت است.\\ 4.تمام شرکت کنندگان فعال هستند.\\ 5.برای ایجاد یک جامعه خوب، فعال و هماهنگ، بیشتر نیاز به پاسخ دارد تا درخواست..\\ 6.هر درخواست ممکن است بیش از یک پاسخ داشته‌باشد.\\ بازی برای 10000 تکرار اجرا خواهد‌شد. در هر تکرار ($t$) ، $\dfrac{1}{10}$ شرکت‌کنندگان گروه به طور تصادفی انتخاب خواهند‌شد تا درخواست $Q_i(t)$ را بدهند. بقیه شرکت‌کنندگان هم می‌توانند چنین درخواست‌ها را پاسخ دهند یا آن ها را نادیده بگیرند. نادیده گرفتن درخواست می‌تواند اتفاق بیفتد، زیرا شرکت‌کنندگان می‌توانند خود‌خواه باشند و یا قادر به پاسخ دادن نباشند چون ممکن است شرکت‌کنندگان جواب درخواست را ندانند. مدل نادیده گرفتن یک درخواست، صرف نظر از دلیل آن، به عنوان یک عدم‌همکاری در نظر گرفته‌شده‌است. پس بنا بر فرض 1، یک درخواست حتما یک پاسخ را دارد و بنا بر فرض 6، یک درخواست ممکن است بیش از یک پاسخ داشته‌باشد.\\ در واقع در هر تکرار، ممکن است برخی از شرکت‌کنندگان درخواست همکاری داشته‌باشند و ممکن است برخی دیگر پاسخ دهند. شرکت‌کنندگان به این امید پاسخ می‌دهند که در تکرارهای بعدی به درخواست آن‌ها پاسخ داده‌شود. از این رو، مدل مورد استفاده برای توصیف رفتار شرکت‌کنندگان باید یا متناوب باشد و یا به‌طور‌کلی، معمای زندانی ناهمزمان باشد. تحت روش نواک و سیگموند\cite{A15}، دو شرکت‌کننده می‌توانند به نوبت درخواست همکاری کنند و پاسخ دهند. در‌این‌صورت، اگر یک شرکت‌کننده درخواست همکاری کند، شرکت‌کننده دیگر یا با او همکاری می‌کند و پاسخ او را می‌دهد و یا به سادگی همکاری نمی‌کند و حاضر به پاسخگویی نیست. بنابراین، برای هر یک از تعامل بین دو شرکت‌کننده، دو نوع استراتژی وجود‌دارد؛ درخواست همکاری دادن و درخواست همکاری ندادن و یا پاسخ دادن به درخواست و پاسخ ندادن به درخواست. برای روشن‌تر شدن، استراتژی همکاری، استراتژی های درخواست همکاری دادن و پاسخ دادن به درخواست است و استراتژی عدم همکاری، استراتژی‌های درخواست همکاری ندادن و پاسخ ندادن به درخواست می باشد. \\ در کل $N$ شرکت‌کننده وجود‌دارد که در آن $N_c$ شرکت‌کننده از آن‌ها همکاری می‌کنند و $N_s$ شرکت‌کننده ازآن‌ها خودخواه هستند که $N=N_c+N_s$. برای هر عمل متقابل بین دو شرکت‌کننده، در یک درخواست ندادن همکاری هم، شرکت‌کننده $j$، یک پاسخ مفید را با احتمال $P_a$ ارائه می‌دهد. هر شرکت‌کننده مقدار $P_a$ خود را در محدوده $0$ تا $\dfrac{1}{10}$ دارد $(00 \end{align} با توجه به پارامترهای بازی، میانگین سود همکاری، اکیدا مثبت است. زیرا برای $a=-1$و $ b=10$و $c=0$و $d=-10$ و با توجه به این‌که $N=100$ می‌باشد و 10000 تکرار وجود‌دارد و در هر تکرار $\dfrac{1}{10}$ شرکت‌کنندگان به طور تصادفی انتخاب می‌شوند تا درخواست بدهند، پس $\dfrac{1}{10}\times 100 =10$ نفر انتخاب می‌شوند تا درخواست بدهند، از طرفی چون در هر تکرار یک نفر انتخاب می‌شود تا درخواست بدهد، پس احتمال درخواست برابر است با $P_r=\dfrac{1}{10}$ در نتیجه داریم: \begin{flushleft} $\dfrac{1}{10}\times 10+(1-\dfrac{1}{10})\lbrace \dfrac{1}{20}\times (-1)+(1-\dfrac{1}{20})\times 0\rbrace =0.955>0$ \end{flushleft} برای این که نشان‌دهیم یک درخواست بیش از یک پاسخ دارد $N_c\times P_a$ به معادله اضافه می‌شود: \begin{align}\label{eqq2} P_r\times b\times N_c\times P_a+(1-P_r)\times N_c\times P_a\lbrace P_a\times a+(1-P_a)\times c\rbrace >0 \end{align} که این معادله نیز اکیدا مثبت است. زیرا داریم: \begin{flushleft} $\dfrac{1}{10}\times 10\times 100\times \dfrac{1}{20}+(1-\dfrac{1}{10})\times 100\times \dfrac{1}{20} \lbrace \dfrac{1}{20}\times (-1)+(1-\dfrac{1}{20})\times 0\rbrace =4.775>0$ \end{flushleft} شکل ساده این ایده این‌است که یک درخواست، یک جواب داشته‌باشد که همان معادله \ref{eqq1} می‌باشد. بنابراین، پارامترهای مدل بازی این اطمینان را حاصل می‌کنند که میانگین سود یک شرکت‌کننده همکار، مثبت خواهد‌بود.\\ تا این‌جا بخشی در نظر گرفته‌شده‌بود که شرکت‌کنندگان قادر به پاسخگویی بودند و به همین علت یک شرکت‌کننده همکار با شرکت کننده همکار دیگر به رسمیت‌شناخته‌شد. حال بخشی را هم که قادر به پاسخگویی نیستند در نظر گرفته‌شده‌است. یعنی فرض شد که همه شرکت‌کنندگان به جز یکی قادر به پاسخگویی نباشند. در‌این‌صورت، احتمال پاسخ ندادن همه شرکت‌کنندگان به جز یکی، $(1-P_a)^{Nc-1}$ می‌باشد. پس با این احتمال، ضرر نگرفتن پاسخ یعنی $(1-P_a)^{Nc-1}\times d$ به معادله اضافه می‌شود. از طرفی می‌دانیم یک درخواست توسط $N_c\times P_a$ شرکت‌کننده، پاسخ داده می‌شود. از این فرض، معادله بعدی را برداشت می‌شود: \begin{align}\label{eqq3} P_r\lbrace (1-(1-P_a)^{N_c-1})\times b\times N_c\times P_a+(1-P_a)^{N_c-1}\times d\rbrace \nonumber \\ +(1-P_r)\times N_c\times P_a\lbrace P_a\times a+(1-P_a)\times c\rbrace >0 \end{align} با توجه به پارامترهای بازی این معادله نیز اکیدا مثبت است، زیرا: \begin{flushleft} $\dfrac{1}{10}\lbrace (1-(1-\dfrac{1}{20})^{100-1})\times 10\times 100\times \dfrac{1}{20}+(1-\dfrac{1}{20})^{100-1}\times (-10)\rbrace +(1-\dfrac{1}{10})\times 100\times \dfrac{1}{20} \lbrace \dfrac{1}{20}\times (-1)+(1-\dfrac{1}{20})\times 0\rbrace =4.73761>0$ \end{flushleft} در‌نتیجه ثابت می‌شود که میانگین سود شرکت‌کننده همکار، همیشه مثبت است.\\ حال اگر فرض حداقل یک همکاری از تنظیمات بازی حذف شود و بیان‌شود که، یک درخواست ممکن است بی پاسخ بماند، در این صورت میانگین سود همکاری را بدست آمده‌است:\\ اگر شرکت‌کننده‌ایی همکاری درخواست ندادن را انتخاب کند، چون درخواست او ممکن است بی‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌پاسخ بماند، دو نوع احتمال وجود‌دارد؛ احتمال پاسخ دادن $P_a$ با سود $b$، و احتمال پاسخ ندادن $(1-P_a)$ با هزینه رد شدن درخواست $d$. پس میانگین سود همکاری برابر می‌شود با: \begin{align*} P_r\lbrace P_a\times b+(1-P_a)\times d\rbrace +(1-P_r)\lbrace P_a\times a+(1-P_a)\times c\rbrace <0 \end{align*} با توجه به پارامترهای مسئله، این معادله اکیدا منفی می‌باشد، زیرا: \begin{flushleft} $\dfrac{1}{10}\lbrace \dfrac{1}{20}\times 10+(1-\dfrac{1}{20})\times (-10)\rbrace +(1-\dfrac{1}{10})\ \lbrace \dfrac{1}{20}\times (-1)+(1-\dfrac{1}{20})\times 0\rbrace =-0.945<0$ \end{flushleft} اگر فرض کنیم که ممکن است یک درخواست بی‌پاسخ بماند ولی این امکان وجود‌دارد که $N_c\times P_a$ پاسخ داشته‌باشد، داریم: \begin{align*} P_r\lbrace P_a \times b\times N_c\times P_a+(1-P_a)\times d\rbrace +(1-P_r)\times N_c\times P_a\lbrace P_a\times a+(1-P_a)\times c\rbrace <0 \end{align*} با توجه به پارامترهای مسئله، این معادله نیز اکیدا منفی می‌باشد. زیرا: \begin{flushleft} $\dfrac{1}{10}\lbrace \dfrac{1}{20}\times 10 \times 100\times \dfrac{1}{20}+(1-\dfrac{1}{20})\times (-10)\rbrace +(1-\dfrac{1}{10})\times 100\times \dfrac{1}{20} \lbrace \dfrac{1}{20}\times (-1)+(1-\dfrac{1}{20})\times 0\rbrace =-1.125<0$ \end{flushleft} با فرض این‌که همه شرکت‌کنندگان به جز یکی پاسخ ندهند، همان معادله $(3\cdot 1)$ می‌باشد که نشان‌داده‌شد این معادله اکیدا مثبت است.\\ با مقایسه این دو فرض(حداقل یک همکاری وجود داشته‌باشد و حداقل یک همکاری وجود نداشته‌باشد.) معلوم می‌شود که فقط یک همکاری کافی است تا میانگین سود همکاری مثبت شود و درنتیجه انگیزه شرکت‌کنندگان به مشارکت بیشتر شود. \section{تاثیر سواری رایگان} در این قسمت برای اینکه تاثیر شرکت‌کنندگان خودخواه نشان‌داده‌شود، دو سناریو در نظر گرفته‌می‌شود:\\ 1. سناریویی که در آن 100 شرکت‌کننده وجود‌دارد و همه آنها همکار هستند. به این ترتیب، $N=N_c=100$ است.\\ 2. سناریویی که در آن 100 شرکت‌کننده وجود‌دارد که 80 درصد آن ها همکارند و بقیه خودخواه هستند. به این ترتیب، $N=100$ و $N_c=80$ است.\\ با مقایسه بین این دو سناریو، نشان داده‌می‌شود که شرکت‌کنندگان خودخواه در سود کل شرکت‌کنندگان همکار اثر منفی می‌گذارند.\\ برای مقایسه عادلانه، سود 80 درصد از شرکت‌کنندگان همکار در سناریوی اول که همه 100 شرکت‌کننده همکار هستند را با همان 80 درصد شرکت‌کنندگان همکار در سناریوی دوم که از 100 شرکت‌کننده، 20 درصد آنها خودخواه هستند، مقایسه شده‌است.\\ چون میانگین سود کل درخواست‌ها خواسته‌شده‌است، پس نیازی به محاسبه قسمت دوم معادله یعنی: \begin{align*} (1-P_r)\times N_c\times P_a\lbrace P_a\times a+(1-P_a)\times c\rbrace \end{align*} نیست.\\ ابتدا باید یک کران بالا برای تعداد درخواست‌هایی که داده‌می‌شود، در نظر گرفت. در هر تکرار $\dfrac{1}{10}$ شرکت‌کنندگان انتخاب می‌شوند تا درخواست بدهند و چون $N=100$ است، پس $\dfrac{1}{10}\times 100=10$ شرکت‌کننده انتخاب می‌شوند تا درخواست بدهند. در نتیجه $\dfrac{1}{P_r}=10$ درخواست در هر تکرار وجود‌دارد. در کل $10000$ تکرار وجود‌دارد. در سناریوی اول 80 شرکت‌کننده همکار را از 100 شرکت‌کننده همکار در نظر می‌گیرد، یعنی: $0.8\times \dfrac{N_c}{N}$. بنابراین، تعداد کل درخواست‌هایی که در سناریوی اول وجود‌دارد به طور متوسط برابر با $10000\times \dfrac{1}{P_r}\times (0.8\times \dfrac{N_c}{N})$ و تعداد کل درخواست‌هایی که در سناریوی دوم وجود‌دارد به طور متوسط برابر با $10000\times \dfrac{1}{P_r}\times (\dfrac{N_c}{N})$ می‌باشد. چون بخشی که قادر به پاسخگویی نیستند در نظر گرفته‌شد، یعنی فرض شد که همه شرکت‌کنندگان به جز یکی قادر به پاسخگویی نیستند در نتیجه هر درخواست یک شرکت‌کننده همکار توسط $(N_c-1)\times P_a$ شرکت‌کننده همکار، پاسخ داده می‌شود. با‌این‌حال، با توجه به این‌که ممکن است بازیکن همکار، دانش کافی نداشته‌باشد و یا درخواست را ندیده‌باشد، این درخواست با احتمال $(1-P_a)^{N_c-1}$ ، رد می‌شود که دارای هزینه رد شدن $d$ و هزینه نادیده گرفتن $c=0$ برای هر دو سناریو است. حال اگر درخواست با احتمال $(1-(1-P_a)^{N_c-1})$ رد نشود، دارای سود درخواست پاسخ داده‌شده $b$ و هزینه پاسخ $a$ برای هر دو سناریو است. \\ با توجه به این‌که $P_r=\dfrac{1}{10}$ ، $N_c=N=100$ ، $P_a=\dfrac{1}{20}$ ، $b=10$ ، $a=-1$ و $d=-10$ ، متوسط سود شرکت‌کنندگان در سناریوی اول برابر است با: \begin{align}\label{eqq4} 10000\times \dfrac{1}{P_r}\times (0.8\times \dfrac{N_c}{N})\lbrace (1-(1-P_a)^{N_c-1})\times (b+a)\times (N_c-1)\times P_a \nonumber \\ +(1-P_a)^{N_C-1}\times d\rbrace \simeq 353700 \end{align} و با توجه به این‌که $N=100$ و $N_c=80$ ، متوسط سود شرکت‌کنندگان در سناریوی دوم برابر است با: \begin{align}\label{eqq5} 10000\times \dfrac{1}{P_r}\times (\dfrac{N_c}{N})\lbrace (1-(1-P_a)^{N_c-1})\times (b+a)\times (N_c-1)\times P_a \nonumber \\ +(1-P_a)^{N_C-1}\times d\rbrace \simeq 278000 \end{align} با مقایسه این دو پیامد بدست آمده نتیجه می‌شود که وجود شرکت‌کنندگان خودخواه در گروه بر میانگین سود شرکت‌کنندگان تاثیر منفی دارد. این تاثیر در شکل \ref{fig1} به وضوح نشان داده‌شده‌است. \begin{figure}[!h]\label{fig1} \centerline{\includegraphics[width=10cm]{sh1.png}} \caption{\label{fig1}\small{کران بالای سود کل همکاری با 100 شرکت کننده از 0 تا 20 درصد شرکت کننده خودخواه \cite{A1}}} \end{figure} این شکل میانگین سود شرکت‌کنندگان را در هر تکرار نشان می‌دهد. نمودار بالایی سود شرکت‌کنندگان در یک گروه با $100$ شرکت‌کننده و $0$ درصد شرکت‌کننده خودخواه و نمودار پایینی سود شرکت‌کنندگان در یک گروه با $100$ شرکت کننده و $20$ درصد شرکت‌کننده خودخواه نشان می‌دهد. فاصله بین نمودارهای دو سناریو نشان‌دهنده ضرری است که شرکت‌کنندگان همکار با وجود شرکت‌کنندگان خودخواه می‌بینند. اگر کاربران خودخواه مجبور به همکاری شوند، این ضرر به سود تبدیل می‌شود. \section{استراتژی \lr{Tat For Tit}\LTRfootnote{The Tit for Tat strategies}} استراتژی \lr{Tat For Tit} یکی از استراتژی‌های شناخته شده‌ایی می‌باشد که در آن یک شرکت‌کننده تحت این استراتژی، باید در تکرار اول از این استراتژی، همکاری کند و پس از آن بر اساس حرکت قبلی حریف، همکاری یا عدم‌همکاری را انتخاب کند.\\ هدف اصلی این بخش، تعیین‌کردن بهترین استراتژی توسط شرکت‌کنندگان منطقی است و این که چگونه و تا چه حد، افزایش درصد سواران رایگان می‌تواند جامعه را تحت تاثیر قرار دهد. خلاصه این سناریوها در جدول \ref{T44} نشان داده‌شده‌است. \renewcommand{\baselinestretch}{2.4} \begin{center} \begin{table}[!hbtp]\label{T44} %\begin{scriptsize} \begin{tabular}{|r|} \hline \lr{Tat For Tit} کلاسیک: یکی از شرکت‌کنندگان با شرکت‌کننده دیگر همکاری خواهد‌کرد، تنها زمانی که\\ تاریخچه همکاری بین این دو بیشتر از تاریخچه فرار باشد.\\ \hline \lr{Tat For Tit} بخشنده: یکی از شرکت‌کنندگان با شرکت‌کننده دیگر همکاری خواهد‌کرد، مشروط به این که \\حداقل برای یک مدت خاص همکاری کند و بدون قید و به طور منظم از بن بست جلوگیری می‌کند.\\ \hline \lr{Tat For Tit} بر اساس اعتبار: یکی از شرکت‌کنندگان با شرکت‌کننده دیگر همکاری خواهد‌کرد، زمانی که\\ سطح اعتبار بین هر دوی آن ها بالاتر از سطح معینی باشد.\\ \hline \lr{Tat For Tit} بر اساس اعتبار گروه: یکی از شرکت‌کنندگان با شرکت‌کننده دیگر همکاری خواهد‌کرد،\\ زمانی که سطح اعتبار شرکت‌کننده دیگر در داخل گروه، بالاتر از سطح معینی باشد.\\ \hline \end{tabular} %\end{scriptsize} \caption{\label{T44}\small{خلاصه ایی از استراتژی‌های بازی}\cite{A1}} \end{table} \end{center} \renewcommand{\baselinestretch}{2} \subsection{\lr{Tat For Tit} مرسوم با پیشینه ثابت(کلاسیک) \LTRfootnote{traditional Tit for Tat with fixed history} ، مدل اول: } اولین مدل \lr{Tat For Tit} کلاسیک را بررسی می‌کند. در این مدل از بازی، شرکت‌کننده حرکت قبلی ارسال شده توسط شرکت‌کننده دیگر را در نظر می‌گیرد و بر اساس آن عمل می‌کند. در یک بازی تکراری، فرض‌شده‌است که شرکت‌کننده می‌تواند، تعداد $k$ حرکت پیشینه شرکت‌کننده دیگر را نگاه کند. $k$ حرکت پیشینه را می‌توان با یک حرکت و یا دو حرکت در نظر گرفت که به آن پیشینه یک حرکتی و یا پیشینه دو حرکتی می‌گویند. در هر صورت، $k$ تعداد حرکت پیشینه بازیکنی است که شرکت‌کننده دیگر آن را حفظ می‌کند. فرض شده‌است که شرکت‌کننده $j$ وجود‌دارد که پیشینه تاریخی $H_{ji}$ با شرکت‌کننده دیگر $i$ ، برای تعداد $k$ حرکت خاص، حفظ کرده‌است. بنابراین، $H_{ji}(t)$ پیشینه شرکت‌کننده $i$ با شرکت‌کننده $j$ در تکرار $t$ است. پیشینه شرکت‌کننده $i$ زمانی ساخته می‌شود که شرکت‌کننده $i$ تصمیم خود را به همکاری یا عدم‌همکاری با شرکت‌کننده $j$ انتخاب کرده‌است. بنابراین، هر مقدار پیشینه $H_{ji}(t)$ مربوط به تصمیمی است که شرکت‌کننده $i$ به همکاری یا عدم‌همکاری با شرکت‌کننده $j$ در تکرار $t$ گرفته‌است، یعنی: $D_{ij}(t)$. سپس بسته به سابقه تاریخی‌ایی که شرکت‌کننده $j$ برای شرکت‌کننده $i$ از تکرار اول تا $k$ حرکت بعدی حفظ کرده‌است، یعنی: از $H_{ji}(1)$ تا $H_{ji}(k)$، بازیکن $j$ یک تصمیم $D_{ji}(t)$ را به همکاری یا عدم‌همکاری با شرکت‌کننده $i$ را خواهد‌ساخت. اگر مجموع مقدار پیشینه از $H_{ji}(1)$ تا $H_{ji}(k)$، بزرگتر از $\dfrac{k}{2}$ باشد، شرکت‌کننده $i$ به‌عنوان شرکت‌کننده همکار شناخته می‌شود و شرکت‌کننده $j$ با شرکت‌کننده $i$ همکاری خواهد‌کرد و پاسخ $A_{ji}(t)$ را خواهد‌داد. در‌غیر‌این‌صورت، یعنی زمانی که مجموع مقدار پیشینه پاسخگویی از $H_{ji}(1)$ تا $H_{ji}(k)$، بزرگتر از $\dfrac{k}{2}$ نباشد، شرکت‌کننده $i$ به‌عنوان شرکت‌کننده خودخواه شناخته می‌شود و شرکت‌کننده $j$ با شرکت‌کننده $i$ همکاری نخواهد‌کرد. این می‌تواند به معادله زیر شباهت داشته‌باشد: \begin{align}\label{eqq6} D_{ji}(t)=min \lbrace A_{ji}(t) , max_{1\leqslant h \leqslant k}H_{ji}(h) \rbrace \end{align} شکل \ref{fig2} میانگین سود شرکت‌کنندگان همکار را در هر تکرار در مورد استفاده از استراتژی \lr{Tat For Tit} کلاسیک با 100 شرکت‌کننده، با نماینده خطوط 20، 40، 60 و 80 درصد از شرکت‌کنندگان خودخواه، نشان می‌دهد. \begin{figure}[!h]\label{fig2} \centerline{\includegraphics[width=10cm]{sh2.png}} \caption{\label{fig2}\small{مقایسه بین درصدهای مختلف از شرکت‌کنندگان خودخواه در \lr{Tit For Tat} کلاسیک \cite{A1}}} \end{figure} در این شکل دیده‌می‌شود که چون در ابتدا شرکت‌کنندگان، همکاری کرده‌اند سود مثبت است حتی در مراحل بعدی که شرکت‌کنندگان خودخواه، منحرف می‌شوند، تا جایی که پیشینه از $\dfrac{k}{2}$ کمتر نشده‌است نیز سود مثبت است ولی زمانی که پیشینه از حد نصاب کمتر شود شرکت‌کنندگان همکاری نخواهند کرد و چون ضرر $-10$ برای یک شرکت‌کننده، ناشی از بدست نیاوردن هر گونه پاسخ است، نتیجه نزولی را تا پایان بازی حفظ می‌کند. در‌نتیجه، یک شرکت‌کننده همکار شروع به ساخت یک پیشینه بد با شرکت‌کنندگان همکار دیگر خواهد‌کرد که منجر به پایان دادن به همان رابطه بد می‌شود و این یک بن بست متقابل است. می‌بینید که در همه منحنی‌ها، نتیجه کلی کاربران همکار به بن بست رسیده و سود آن ها شروع به کاهش یافتن می‌کند. این به‌خاطر این واقعیت است که، $1-Average P_a$ از شرکت‌کنندگان، حتی اگر همکار باشند، قادر به پاسخ دادن به درخواست نیستند. \\ به ترتیب از بالا منحنی‌ها مربوط به وجود 20، 40، 60 و 80 درصد شرکت‌کننده خودخواه می‌باشد. دیده می‌شود که اگر تعداد شرکت‌کنندگان خودخواه در یک گروه بیشتر باشند، گروه سریعتر به بن بست می‌رسند. این به‌خاطر این واقعیت است که، هر چه تعداد شرکت‌کنندگان خودخواه در یک گروه بیشتر باشد، میانگین پاسخگویی شرکت‌کنندگان کمتر شده در‌نتیحه $1-Average P_a$ که قادر به پاسخ دادن به درخواست نیستند بیشتر می‌شود.\\ نتیجه‌گیری: اگر در یک گروه از برنامه‌ها و کاربردهای اجتماعی مانند یک گروه از دانش‌آموزان در آموزش و پرورش، از استراتژی \lr{Tat For Tit} کلاسیک پیروی کنند، همکاری حتی در میان دانش‌آموزان همکار هم کاهش خواهد‌یافت. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%55555 \subsection{\lr{Tat For Tit} بخشنده \LTRfootnote{the generous Tit for Tat} ، مدل دوم: } از آنجا که \lr{Tat For Tit} کلاسیک با یک بن بست به پایان رسید، با مطالعه، بقای گروهی نشان داده‌می‌شود که، شرکت‌کنندگان در یک گروه، معیار آرام تری را اتخاذ کنند و حتی اگر برخی از شرکت‌کنندگان رفتار سواری رایگان را از خود بروز دهند، همکاری کنند.\\ استراتژی \lr{Tat For Tit} بخشنده، استراتژی \lr{Tat For Tit} پیشرفته‌ایی است که قادر به جلوگیری از بن بست است و این بر اساس معیار آرامی، برای همکاری است.\\ یک شرکت‌کننده همکار $j$ با با شرکت‌کننده $i$ ، به طور منظم از $k$ حرکت، صرف نظر از سابقه‌اش از $H_{ji}(1)$ به $H_{ji}(k)$، همکاری خواهد‌کرد. علاوه‌براین، فقط یک همکاری (یک پاسخ) در $k$ تصمیم گذشته برای در نظر گرفتن شرکت‌کننده دیگر به عنوان همکار، به جای $\dfrac{k}{2}$ همکاری‌ها در مدل \lr{Tat For Tit} کلاسیک قبلی، کافی است. این به معادله زیر شباهت دارد: \begin{align}\label{eqq7} D_{ji}(t) = \left\{ \begin{array}{rl} A_{ji}(t) & \ \ { if } \ \ H_{ji}(h)\neq \emptyset \ \ \text{h some for }\\ A_{ji}(t) & \ \ \text{moves k every } \\ \end{array} \right. \end{align} شکل \ref{fig3} ، سود شرکت‌کنندگان همکار را در مورد استفاده از استراتژی Tat for Tit بخشنده با 100 شرکت‌کننده، با نماینده خطوط 20، 40، 60 و 80 درصد از شرکت‌کنندگان خودخواه، نشان می‌دهد. \begin{figure}[!h]\label{fig3} \centerline{\includegraphics[width=10cm]{sh3.png}} \caption{\label{fig3}\small{مقایسه بین درصدهای مختلف از شرکت‌کنندگان خودخواه در \lr{Tit For Tat} بخشنده \cite{A1}}} \end{figure} همان‌طور که دیده می‌شود، این استراتژی به بن بست نرسیده است. این به دلیل رفتار سخاتمندانه شرکت‌کنندگان همکار برای جلوگیری از رسیدن به بن بست متقابل است.\\ در ابتدا، همه شرکت‌کنندگان همکاری می‌کنند و این باعث می‌شود که تا نگه‌داشتن $k$ حرکت پیشینه، شرکت‌کنندگان همکاری را اتخاذ کنند زیرا یک همکاری را در این پیشینه حفظ‌کرده‌اند. حتی اگر شرکت‌کننده‌ایی منحرف شود و از خود رفتار سواری رایگان را بروز دهد، به دلیل رفتار سخاوتمندانه شرکت‌کنندگان سود گروه بیشتر می‌شود. بنابراین، سود رو به افزایش است. اگر تعداد شرکت‌کنندگان خودخواه زیاد باشند؛ به عنوان مثال در این شکل، با وجود $80$ درصد شرکت‌کننده خودخواه، شیب میانگین سود، تقریبا افقی است. این نشان‌دهنده این واقعیت است که، وجود شرکت‌کنندگان خودخواه در میانگین سود گروه تاثیر زیادی دارد.\\ رفتار سخاوتمندانه شرکت‌کنندگان باعث می‌شود که برخی از شرکت‌کنندگان خودخواه از گروه به راحتی استفاده کنند و سود آنها بیشتر از شرکت‌کنندگان همکار شود. شکل \ref{fig4}، مقایسه بین سود شرکت‌کنندگان همکار و شرکت‌کنندگان خودخواه را در صورتی که فرض شود یک همکاری در پیشینه شرکت‌کنندگان کافی است را نشان می‌دهد. \begin{figure}[!h]\label{fig4} \centerline{\includegraphics[width=10cm]{sh4.png}} \caption{\label{fig4}\small{ مقایسه بین سود شرکت‌کنندگان همکار و خودخواه در \lr{Tit Fot Tat}بخشنده با 20 درصد شرکت‌کننده خودخواه\cite{A1}}} \end{figure} این شکل نشان می‌دهد که این استراتژی برای شرکت‌کنندگان خودخواه، استراتژی خوبی است. شرکت‌کنندگانی که رفتار سخاوتمندانه دارند، به دلیل نگرفتن پاسخ، افت سود کلی آنها را منجر می‌شود.\\ یک راه برای این‌که شرکت‌کنندگان خودخواه مجبور به همکاری شوند، افزایش تعداد همکاری‌های مورد نیاز برای این‌که شرکت‌کنندگان به‌عنوان شرکت‌کننده همکار شناخته شوند، می‌باشد. اگرچه، با این کار سود شرکت‌کنندگان همکار به‌طور قابل توجهی تحت تاثیر قرار می‌گیرد. این در شکل \ref{fig5} ، به‌روشنی دیده می‌شود. \begin{figure}[!h]\label{fig5} \centerline{\includegraphics[width=10cm]{sh5.png}} \caption{\label{fig5}\small{ مقایسه بین تعداد متفاوت ارائه پاسخ در \lr{Tit Fot Tat}بخشنده با 20 درصد شرکت‌کننده خودخواه\cite{A1}}} \end{figure} در این شکل دیده می‌شود که هر چه تعداد همکاری‌های مورد نیاز بیشتر شود، سود شرکت‌کنندگان همکار کمتر می‌شود. این به‌خاطر این واقعیت است که، توجهی به توانایی شرکت‌کنندگان به پاسخ دادن به درخواست‌ها نمی‌شود و همکاری بیشتر لازمه همه شرکت‌کنندگان می‌شود.\\ برای حل این مشکل، پیشنهاد شده‌است که تعداد $k$ حرکت پیشینه افزایش یابد. یعنی در پیشینه بزرگ تعداد همکاری‌های مورد نیاز برای این‌که شرکت‌کنندگان به‌عنوان شرکت‌کننده همکار شناخته شوند، شمرده شود. این باعث می‌شود که تاثیر این همکاری‌ها با افزایش $k$ کاهش یابد. نتیجه این راه حل در شکل \ref{fig6} نشان داده شده‌است. این شکل برای $k=100$ یعنی $100$ عمل متقابل، با 1، 2، 4 و 6 همکاری مورد نیاز، می‌باشد. \begin{figure}[!h]\label{fig6} \centerline{\includegraphics[width=10cm]{sh6.png}} \caption{\label{fig6}\small{ مقایسه بین تعداد متفاوت ارائه پاسخ در \lr{Tit Fot Tat}بخشنده با 20 درصد شرکت‌کننده خودخواه و پیشینه 100 حرکتی\cite{A1}}} \end{figure} نتیجه‌گیری: اگر در یک گروه از برنامه‌ها و کاربردهای اجتماعی مانند یک گروه از دانش‌آموزان در آموزش و پرورش، از استراتژی \lr{Tat For Tit} بخشنده پیروی کنند، همکاری در میان دانش‌آموزان افزایش خواهد‌یافت. اگرچه سواران رایگان از گروه بهره‌مند می‌شوند و به استفاده از گروه به راحتی قادر خواهند‌شد. این وضعیت، شرکت‌کنندگان را از پاسخ دادن به درخواست‌ها و کمک به دیگران، بر‌نمی‌انگیزد. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{\lr{Tat For Tit} بر اساس اعتبار \LTRfootnote{reputation-based Tit for Tat} ، مدل سوم:} برای متوقف کردن انگیزه رفتار خودخواهانه، باید استراتژی \lr{Tat For Tit} سخاوتمندانه را با در نظر گرفتن پیشینه طولانی شرکت‌کنندگان، محدود کنیم. بنابراین، استفاده از \lr{Tat For Tit} بر اساس اعتبار، پیشنهاد‌شده‌است.\\ با استفاده از این استراتژی یک شرکت‌کننده $j$ در تصمیم خود؛ $D_{ji}(t)$، به همکاری یا عدم‌همکاری با شرکت‌کننده $i$ ، تعداد کل دفعاتی که او تا تکرار $t$ درخواست دارد، $NQ_j(t)$ و همچنین تعداد دفعاتی که شرکت‌کننده $i$ تصمیم به همکاری با شرکت‌کننده $j$ گرفته‌است و به درخواستش تا تکرار $t$ پاسخ داده‌است، $ND_{ij}(t)$ را در نظر خواهد‌گرفت. با استفاده از این مقادیر، اعتبار شرکت‌کننده $i$ با نسبت زیر بدست‌می‌آید: \begin{align} \dfrac{ND_{ij}(t)}{NQ_j(t)} \end{align} در حقیقت در این مدل، یک شرکت‌کننده می‌تواند تمام تاریخچه شرکت‌کنندگان دیگر را تا تکرار $t$ام، ببیند.\\ برای در نظر گرفتن شرکت‌کننده $i$ به‌عنوان شرکت‌کننده همکار، به طوری که شرکت‌کننده $j$ با او همکاری کند، این نسبت باید بزرگ‌تر از یک مقدار معلوم باشد. این مقدار به ثابت $\delta$ بستگی خواهد‌داشت که مدل بازی آن را مشخص کرده‌است. در حقیقت مدل بازی، با این کار یک سطح اعتبار تعیین می‌کند.\\ می‌توان این‌طور تعریف‌کرد که؛ اگر نسبت $(8\cdot 1)$ بزرگتر از $\delta$ باشد، شرکت‌کننده $i$ به‌عنوان همکار شناخته می‌شود و شرکت‌کننده $j$ با او همکاری خواهد‌کرد. این مطلب می‌تواند به معادله زیر شباهت داشته‌باشد: \begin{align} D_{ji}(t)=A_{ji}(t) \ \ {if } \ \ \dfrac{ND_{ij}(t)}{NQ_j(t)}>\delta \end{align} با توجه به مقداری که برای $\delta$ انتخاب شده‌است، شرکت‌کنندگان خودخواه به منظور تقلید از رفتار همکارانه، همکاری خود را تقریبا در سطح شرکت‌کنندگان همکار، افزایش خواهند‌داد.\\ شکل \ref{fig7}، سود کل سیستم را در مورد استفاده از استراتژی \lr{Tat For Tit} بر اساس اعتبار را با 100 شرکت‌کننده، با نماینده خطوط 20، 40، 60 و 80 درصد از شرکت‌کنندگان خودخواه و $\delta = 0.01$ را نشان می‌دهد. \begin{figure}[!h]\label{fig7} \centerline{\includegraphics[width=10cm]{sh7.png}} \caption{\label{fig7}\small{مقایسه بین درصدهای مختلف از شرکت‌کنندگان خودخواه در \lr{Tit For Tat} بر اساس اعتبار با $\delta =0.01$\cite{A1}}} \end{figure} این شکل، میانگین سود شرکت‌کنندگان همکار را در $10000$ تکرار نشان می‌دهد. استراتژی این است که در ابتدا همه شرکت‌کنندگان همکاری کنند و برای اینکه به سطح اعتبار مشخص‌شده برسند، همکاری خود را ادامه می‌دهند. از طرفی باید سعی کنند که اعتبارشان کمتر نشود و این باعث همکاری بیشتر می‌شود و در‌نتیجه سود به صورت صعودی رو به افزایش است. در این شکل دیده می‌شود که اگر تعدا شرکت‌کنندگان در یک گروه بیشتر شود، سود کلی کمتری را دریافت می‌کنند و شیب نمودار، ملایم می‌باشد. این به دلیل رفتار خودخواهانه شرکت‌کنندگان خودخواه می‌باشد که از دادن پاسخ به دیگران امتناع می‌کنند در در نتیجه باعث دادن ضرر $-10$ به شرکت‌کنندگان همکار می‌شوند. انتظار می‌رود زمانی که تعداد شرکت‌کنندگان همکار بیشتر است، شانس گرفتن سود از همکاری با دیگران بیشتر می‌شود.\\ برای افزایش همکاری شرکت‌کنندگان خودخواه، می توان مقدار سطح اعتبار $\delta$ را افزایش داد. شکل \ref{fig8}، تاثیر مقادیر مختلف $\delta$ را نشان می‌دهد. \begin{figure}[!h]\label{fig8} \centerline{\includegraphics[width=10cm]{sh8.png}} \caption{\label{fig8}\small{مقایسه بین درصدهای مختلف مقدار $\delta $در \lr{Tit For Tat}بر اساس اعتبار با 20 درصد شرکت‌کننده خودخواه\cite{A1}}} \end{figure} در حالی که با بالا بردن مقدار $\delta$ همکاری شرکت‌کنندگان خودخواه افزایش می‌یابد، این بر سود شرکت‌کنندگان همکار تاثیر دارد. زیرا، هر چه سطح اعتبار بزرگتر شود، تعداد کمتری از شرکت‌کنندگان به‌عنوان همکار شناحته شده و در نتیجه سود کلی کمتر می‌شود.\\ برای این‌که سخت گیری به شرکت‌کنندگان همکار کمتر شود و برای آنها سود بهتری را تضمین کند در حالی که سود شرکت‌کنندگان خودخواه محدود شود، یک فاصله اولیه که در آن شرکت‌کنندگان همکار، همکاری خواهند‌کرد، نیاز است.\\ شکل \ref{fig9}، نشان‌می‌دهد که یک فاصله اولیه، نتیجه بزرگتری برای شرکت‌کنندگان همکار دارد. \begin{figure}[!h]\label{fig9} \centerline{\includegraphics[width=10cm]{sh9.png}} \caption{\label{fig9}\small{مقایسه بین فاصله اولیه متفاوت $\delta $در \lr{Tit For Tat}بر اساس اعتبار با 20 درصد شرکت‌کننده خودخواه\cite{A1}}} \end{figure} در این فاصله، شرکت‌کنندگان همکار، همکاری خواهند‌کرد و در نتیجه باعث افزایش سود کلی می‌شود. پس، هرچه فاصله اولیه برای اعتبار سنجی بیشتر شود، میانگین سود برای شرکت‌کنندگان همکار، بزرگتر می‌شود. به عنوان مثال، برای فاصله اولیه $int=2000$ سود بزرگتری برای شرکت‌کنندگان همکار حاصل‌شده‌است.\\ نتیجه‌گیری: اگر در یک گروه از برنامه‌ها و کاربردهای اجتماعی مانند یک گروه از دانش آموزان در آموزش و پرورش، از استراتژی \lr{Tat For Tit} بر اساس اعتبار پیروی کنند، همکاری در میان آن‌ها افزایش می‌یابد. با‌این‌حال، این مدل به یک مرحله اولیه طولانی برای ساخت اعتبار شرکت‌کنندگان مختلف، نیاز دارد. \subsection{\lr{Tat For Tit} بر اساس اعتبار گروه \LTRfootnote{group reputation-based Tit for Tat} ، مدل چهارم:} اگر چه مدل‌سازی رفتار، \lr{Tat For Tit} بر اساس اعتبار، مشکل مدل‌های قبلی را حل می‌کند؛ ولی هنوز به یک فاصله اولیه و یک مقدار کوچک $\delta$ نیاز دارد. وگرنه، گروه با درصد بالایی از شرکت‌کنندگان خودخواه با استراتژی‌های قبلی، ممکن نیست زنده بماند. این به علت این واقعیت است که، شرکت‌کنندگان به دنبال همکاری دیگر شرکت‌کنندگان تنها با خودشان هستند؛ نه با دیگر اعضای گروه. برای زنده ماندن گروه، انگیزه شرکت‌کنندگان باید از سطح فردی به سطح گروه فراتر برود و در سطح همکاری گروه، به جای در نظر گرفتن همکاری‌های دیگر شرکت‌کنندگان به خودشان، همکاری‌های دیگر شرکت‌کنندگان به گروه را در نظر بگیرند. با مقداری تغییر در استراتژی \lr{Tat For Tit} بر اساس اعتبار، استراتژی \lr{Tat For Tit} بر اساس اعتبار گروه، پیشنهاد‌شده‌است.\\ با استفاده از این استراتژی، یک بازیکن $j$ در تصمیم $D_{ji}(t)$ خود، به همکاری یا عدم‌همکاری با بازیکن $i$، تعداد کل دفعاتی که بازیکن $i$ تا تکرار $t$ام درخواست دارد، $NQ_i(t)$، تعداد دفعاتی که بازیکن $i$ تصمیم به همکاری با هر بازیکن دیگر تا تکرار $t$ دارد، $ND_i(t)$ و تعداد کل دفعاتی که بازیکن $i$ توسط بازیکنان همکار، مورد درخواست قرار‌گرفته‌شده، $TNQ(i)$ را در نظر خواهد‌گرفت.\\ در فرموله کردن مقادیر معادله برای این استراتژی، $ND_i(t)$ تعداد دفعاتی است که بازیکن $i$ تا تکرار $t$ام تصمیم به همکاری می‌گیرد تا به درخواست هر بازیکن در گروه پاسخ دهد. اگر فقط نسبت تعداد همکاری‌های بازیکن نسبت به گروه را به تعداد درخواست‌هایی که گروه از بازیکن داشته‌اند، در نظر گرفته‌می‌شد، این اعتبار سنجی برای بازیکنان همکار، سخت‌گیرانه می‌شد. علاوه‌براین، چون اگر فقط همکاری‌ها یک بازیکن، نسبت به همکاری‌های گروه سنجیده می‌شد، استراتژی، تعداد کل درخواست‌های ساخته شده توسط بازیکنان دیگر که فقط همکار در نظر گرفته‌شده‌اند؛ را در نظر خواهد‌گرفت و درخواست‌های ساخته شده توسط شرکت‌کنندگان خودخواه را شامل نشده در نظر می‌گیرد. به همین دلیل برای اعتبار سنجی بازیکن $i$ چند امتیاز برای او قائل شده‌است. برای همکاری نسبت به درخواست یک مقدار ماکزیمم که توسط ضرب در $3$ و همچنین برای تعداد کل درخواست‌های ساخته شده برای بازیکن یک مقدار مینیمم که توسط ضرب در $\dfrac{\delta}{2}$ فرض کرده‌است. از طرفی مقدار ثابت $\delta$ برای محدود کردن سخت‌گیری استراتژی است زیرا با وجود این مقدار، نسبت اعتبار بازیکن به گروه بیشتر می‌شود. از آنجا که تمام شرکت‌کنندگان فعال هستند، یعنی امکان ندارد که شرکت‌کننده‌ایی درخواستی نداشته‌باشد و یا پاسخی نداده‌باشد، پس برای فعال بودن بازیکن $i$ نیز امتیاز قائل می‌شود. یعنی هر چه درخواست بازیکن $i$ بیشتر باشد، اعتبار بیشتری کسب خواهد‌کرد. از طرفی وقتی اعتبار بازیکن $i$ نسبت به گروه سنجیده می‌شود، تعداد درخواست‌هایی که هر یک از بازیکنان از بازیکن $i$ داشته‌اند را در نظر می‌گیرد.\\با استفاده از این مقادیر، برای بازیکن $i$ نسبت به گروه، اعتبار زیر بدست می‌آید: \begin{align} \dfrac{3*ND_i(t)-(\dfrac{NQ_i(t)}{2}*\delta)}{(TNQ_i(t)-NQ_i(t))*\delta} \end{align} همانند مدل قبلی، اگر این نسبت بزرگتر از سطح معلوم $\delta$ باشد، بازیکن $i$ توسط بازیکن $j$ به عنوان همکار شناخته می‌شود و بازیکن $j$ با او همکاری می‌کند. این می‌تواند به صورت معادله زیر نشان‌داده‌شود: \begin{align} D_{ji}(t)=A_{ji}(t) \ \ {if} \ \ \ \dfrac{3*ND_i(t)-(\dfrac{NQ_i(t)}{2}*\delta)}{(TNQ_i(t)-NQ_i(t))*\delta}>\delta \end{align} به علاوه بسته به مقدار $\delta$، شرکت‌کنندگان خودخواه به منظور تقلید از رفتار همکارانه، همکاری خود را تقریبا در سطح شرکت‌کنندگان همکار دیگر، افزایش خواهند‌داد.\\ شکل \ref{fig10} ، سود کل سیستم را در مورد استفاده از استراتژی \lr{Tat For Tit} بر اساس اعتبار گروه با 100 شرکت‌کننده، با نماینده خطوط 20، 40، 60 و 80 درصد از شرکت‌کنندگان خودخواه و $\delta=0.05$ نشان‌می‌دهد. \begin{figure}[!h]\label{fig10} \centerline{\includegraphics[width=10cm]{sh10.png}} \caption{\label{fig10}\small{مقایسه بین درصدهای مختلف از شرکت‌کنندگان خودخواه در \lr{Tit For Tat} بر اساس اعتبار گروه \cite{A1}}} \end{figure} این شکل نشان‌دهنده سودی است که بدون استفاده از فاصله اولیه زیاد یا یک مقدار $\delta$ کم می‌باشد. این نتیجه به خاطر این واقعیت است که، شرکت‌کننده با هر کسی که توسط کل گروه همکار در نظر گرفته‌شده، همکاری خواهد‌کرد؛ صرف نظر از این‌که بازیکن با او همکاری کرده است یا نه. همچنین دلیل ضروری نبودن ایجاد فاصله اولیه این است که، دلیلی برای صبر کردن برای محاسبه اعتبار بین شرکت‌کنندگان وجود‌ندارد.\\ نتیجه‌گیری: اگر در یک گروه از برنامه‌ها و کاربردهای اجتماعی مانند یک گروه از دانش آموزان در آموزش و پرورش، از استراتژی \lr{Tat For Tit} بر اساس اعتبار گروه پیروی کنند، همکاری در میان آنها افزایش خواهد‌یافت و منافع سواران رایگان محدود می‌شود. این استراتژی به ساخت یک فاصله اولیه نیاز ندارد. \section{بحث } در استراتژی \lr{Tat For Tit}، بازیکن تصمیم خود را بر اساس حرکت قبلی بازیکن دیگر می‌سازد. این عمل ساده، همکاری متقابل که بهترین استراتژی هر دو بازیکن، به حداکثر رساندن سود خود است، را تضمین می‌کند. با‌این‌حال، چنین استراتژی ساده‌ایی نباید در یک برنامه و کاربرد اجتماعی مانند آموزش و پرورش که در آن همکاری متقابل به دلیل کمبود زمان یا نداشتن دانش، هرگز تضمین نخواهد‌شد، استفاده شود. بنابراین، نیاز به کنترل بیشتر استراتژی در کاربردهای اجتماعی وجود‌دارد.\\ در استراتژی \lr{Tat For Tit} کلاسیک، روشن شد که در یک برنامه و کاربرد اجتماعی که در آن شرکت‌کنندگان منطقی هستند و به برگشت مستقیم همکاری دیگران توجه می‌کنند (روابط متقابل مستقیم)، جامعه زنده نخواهد‌ماند. موضوع کلیدی در این‌جا، همانطور که قبلا اشاره شد، عدم توانایی شرکت‌کنندگان به همکاری، به دلیل نداشتن زمان و دانش کافی است. به‌علاوه، رفتار سواران رایگان که به عمد کمک نمی‌کنند، همه چیز را بدتر می‌کند.\\ توجه داشته‌باشید که یک رفتار سخاوتمندانه بقای جامعه را با عنوان استراتژی \lr{Tat For Tit} سخاوتمندانه افزایش می‌دهد. اگر چه اجازه می‌دهد که رفتار سواری رایگان وجود‌داشته‌باشد یا حتی ممکن است، شرکت‌کنندگان دیگر را هم به سواری رایگان جلب کند. این نشان می‌دهد که سواران رایگان به راحتی از گروه استفاده می‌کنند.\\ به منظور محدود کردن رفتار سواری رایگان، باید سود سواران رایگان محدود شود. گذاشتن یک اعتبار بین شرکت‌کنندگان، استراتژی \lr{Tat For Tit} بر اساس اعتبار را نتیجه می‌دهد.\\ استراتژی‌های قبلی، همه به رابطه مستقیم بین شرکت‌کنندگان بستگی داشت. با‌این‌حال، شرکت‌کنندگانی وجود‌دارند که به‌عنوان عضو جامعه، خودخواه به نظر می‌رسند در حالی که به کل جامعه کمک می‌کنند. این امکان وجود‌دارد که این اعضا، قادر به پاسخ دادن به درخواست شرکت‌کنندگان دیگر نیستند زیرا زمان و یا دانش کافی ندارند. در این مواقع، رابطه مستقیم برای قضاوت در مورد همه شرکت‌کنندگان، عادلانه نیست. بنابراین، با استفاده از استراتژی \lr{Tat For Tit} بر اساس گروه، به این نتیجه می‌رسیم که رابطه غیر مستقیم، نتیجه بهتری در کاهش عملکرد سواران رایگان دارد. \\ به طور خلاصه، به منظور ترویج همکاری در برنامه‌ها و کاربردهای اجتماعی، هر استراتژی پیشنهادی باید:\\ 1. به معنای حقیقی، همکاری گروهی (روابط غیر مستقیم) را دنبال کند، نه همکاری متقابل شرکت‌کنندگان (روابط مستقیم).\\ 2. سود شرکت‌کنندگان همکار را به حداقل برساند.\\ 3. سود شرکت‌کنندگان سواری رایگان را برای ایجاد انگیزه به حداقل برساند.\\ 4. در سواران رایگان برای همکاری به منظور افزایش سود گروه به جای حذف آن‌ها، ایجاد انگیزه کند.\\ در فصل بعد از این مدل به‌عنوان مدل مبنا استفاده ‌خواهیم‌کرد.