\documentclass[colorhighlight]{bidipresentation} \usepackage{amsmath} \usepackage{xepersian} \usepackage{graphicx} \definergbcolor{textcolor}{000000}% \definergbcolor{inactivecolor}{B2B2B1}% \usepackage{xepersian} \settextfont{XB Niloofar} \setlatintextfont{Times New Roman} \begin{document} \begin{rawslide} \section*{دستگاه خطی فازی} \begin{flipitem} \item اعداد فازی \item \begin{enumerate} \item. $.\underline{u} (r)$يك تابع غير نزولي پيوسته محدود از چپ در $ [0,1]$ مي‌باشد \item $.\overline{u} (r)$يك تابع غير نزولي پيوسته محدود از چپ در $ [0,1]$ مي‌باشد \item$ \underline{u}(r)\leq\overline{u}(r) \qquad 0\leq or \le r \leq or \le 1$ \end{enumerate} \item \textbf{{\xecolor{green}تعریف 1: }سيستم خطي$ n \times n$}\\ \begin{equation} \begin{align*} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}=y_{1} \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}=y_{2} \\ \vdots\\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}=y_{n} \end{align*} \end{equation} \item \\الف) $x=y$اگر و تنهااگر \\ $\overline{x}(r)=\overline{y}(r) and \underline{x}(r)=\underline{y}(r)$ \\ب) $x+y$=$( \underline{x}(r)+\underline{y}(r),\overline{x}(r)+\overline{y}(r))$\\ ج)\begin{equation*} kx = \begin{array}{rl} (k\underline{x},k\overline{x})& \text{if } k\geq 0\\ (k\overline{x},k\underline{x}) & \text{if } k< 0\\ \end{array} \end{equation*} \\ \item \textbf{{\xecolor{green}تعریف 2:}} $1\leq i\leq n$, $0\leq r\leq 1$یک بردار عدد فازي كه از x=$(\underline{x}_i(r)$ $\overline{x}_i(r))$ بدست آمده يك جواب دستگاه فازي ناميده مي‌شود اگر \item \begin{equation} \begin{align*} $\underline{\sum_{i=1}^n a_{ij}x_{j}}=\sum_{i=1}^n\underline{a_{ij}x_{j}}=\underline{y_{i}} $ \qquad $\overline{\sum_{i=1}^n a_{ij}x_{j}}=\sum_{i=1}^n\overline{a_{ij}x_{j}}=\overline{y_{i}} $ \end{align*} \end{equation} \item اگر براي يك i ويژه، $1\leq j\leq n$ $a_{ij}\geq o$ باشد، معادله زير بدست مي‌آيد. \begin{equation} \sum_{i=1}^n a_{ij}\underline{x_{j}}=\underline{y_{i}} \qquad \sum_{i=1}^n a_{ij}\overline{x_{j}}=\overline{y_{i}} \end{equation} \item \begin{equation} \begin{align*} s_{1,1}\underline{x}_{1}+s_{1,2}\underline{x}_{2}+\cdots +s_{1n}\underline{x}_{n}+s_{1,n+1}(-\overline{x}_{1})+\\s_{1,n+2}(-\overline{x}_{2})+\cdots +s_{1,2n}(-\overline{x}_{n})=\underline{y}_{1}\\ \vdots\\\ s_{n,1}\underline{x}_{1}+s_{n,2}\underline{x}_{2}+\cdots +s_{1,n}\underline{x}_{n}+s_{n,n+1}(-\overline{x}_{1})+\\s_{n,n+2}(-\overline{x}_{2})+\cdots +s_{n,2n}(-\overline{x}_{n})=\underline{y}_{n}\\\ s_{n+1,1}\underline{x}_{1}+s_{n+1,2}\underline{x}_{2}+\cdots +s_{n+1,n}\underline{x}_{n}+\\s_{n+1,n+1}(-\overline{x}_{1})+s_{n+1,n+2}(-\overline{x}_{2})+\cdots +s_{n+1,2n}(-\overline{x}_{n})=-\overline{y}_{1}\\ \vdots\\ s_{2n,1}\underline{x}_{1}+s_{2n,2}\underline{x}_{2}+\cdots +s_{2n,n}\underline{x}_{n}+s_{2n,n+1} (-\overline{x}_{1})+\\s_{2n,n+2}(-\overline{x}_{2})+\cdots +s_{2n,2n}(-\overline{x}_{n})=-\overline{y}_{n}\\ \end{align*} \end{equation} \item كه در آن $s_{i,j}$ بصورت زير بدست آمده‌اند \begin{equation} \begin{align*} a_{i,j}\geq 0 \quad\Rightarrow s_{i,j}=a_{i,j} ,s_{n+i,j}=a_{i,j}\\ a_{i,j}< 0 \quad\Rightarrow s_{i,j+n}= -a_{i,j} ,s_{n+i,j}= -a_{i,j} \end{align*} \end{equation} \item \begin{equation} SX=Y \end{equation} که در ان و$1\leq i,j \leq 2n$ , $ S=s_{i,j}$ , \begin{equation} X=\left(\begin{matrix} \underline{x}_{1}\\ \underline{x}_{2}\\ \vdots\\ \underline{x}_{n}\\ -\overline{x}_{1}\\ \vdots\\ -\overline{x}_{n} \end{matrix}\right) \quad Y=\left(\begin{matrix} \underline{y}_{1}\\ \underline{y}_{2}\\ \vdots\\ \underline{y}_{n}\\ -\overline{y}_{1}\\ \vdots\\ -\overline{y}_{n} \end{matrix}\right) \end{equation} \item \textbf{{\xecolor{red}مثال 1:}} دستگاه خطي فازي 2×2 را در نظر بگيريد. \\ $x_{1} - x_{2} = y_{1}$\\ $x_{1} +2 x_{2} = y_{2}$\\ \item \begin{equation} \left(\begin{matrix} B&C\\ C&B \end{matrix}\right) \end{equation} كه B شامل درايه هاي مثبت C , A مقادير مطلق درايه‌هاي منفي A و A=B-C \item . بنابراين بايد به دو پرسش جواب دهيم؟ \\ \item 1- آيا S غير تكين است؟ \\ \item 2- آيا مؤلفه‌هاي بردار جواب 2n بعدي يك بردار فازي جواب nبعدي را در دستگاه فازي معرفي مي‌كنند كه از معادله (1) بدست آمده است؟ \\ \item \textbf{{\xecolor{red}مثال2:}} ماتريس A دستگاه فازي خطی \begin{align*} x_{1} - x_{2} = y_{1}\\ x_{1} + x_{2} = y_{2} \end{align*} \item \textbf{{\xecolor{red}قضیه 1:}} ماتريس S غيرتكين است اگر و تنها اگر ماتريس‌هاي $B+C$و $A=B-C$ هردو غيرتكين باشند. \\ \item \textbf{{\xecolor{blue}نتیجه1:}} اگر يك دستگاه خطي پيچيده يك جواب منحصر‌بفرد نداشته باشد، دستگاه خطي فازي مربوط هم نخواهد داشت\\ \item\textbf{{\xecolor{red }قضیه 2:}} اگر $S^{-1}$ وجوددارد بايد ساختاري مشابه S داشته باشد، بعبارتي: \begin{equation} S^{-1}=\left(\begin{matrix} D&E\\ E&D \end{matrix}\right) \end{equation} \item textbf{{\xecolor{red}قضیه3:}} جواب منحصر بفرد X معادله (18) يك بردار فازي براي Y اختياري مي‌باشد اگر و تنها اگر $ُُُُS^{-1}$ غيرمنفي باشد. بعبارتي: \begin{equation} (S^{-1})_{i,j}\geq 0 ,1\leq i,j \leq 2n \end{equation}\\ \item \textbf{{\xecolor{red}قضیه4:}} عكس يك ماتريس غيرمنفي A غيرمنفي است اگر و تنها اگر A يك ماتريس جايگشت تعميم يافته باشد. \item \textbf{{\xecolor{green}تعریف 3:}} فرض كنيد $X={(\overline{x_{i}}-\underline{x_{i}}), 1\leq i\leq n}$ نشان دهنده جواب منحصربفرد معادله (6) باشد. بردار عدد فازي $u={(\overline{u_{i}}-\underline{u_{i}}), 1\leq i\leq n}$ با معادله زير تعريف شده است: \begin{equation} \begin{align*} \underline{u_{i}}= min(\underline{x_{i}}(r),\overline{x_{i}}(r),\underline{x_{i}}(1))\\ \overline{u_{i}}= max(\underline{x_{i}}(r),\overline{x_{i}}(r),\underline{x_{i}}(1)) \end{align*} \end{equation} كه جواب فازی $SX=Y$ نام دارد. \item \textbf{{\xecolor{red}مثال 3:}}\\ - دستگاه فازي 2×2 را در نظر بگيريد \begin{align*} x_{1}-x_{2}=(r,2-r)\\ x_{1}+3x_{2}=(4+r,7-2r) \end{align*} \item \textbf{{\xecolor{red}مثال 4:}} دستگاه فازي 3×3 را در نظر بگيريد $x_{1}+x_{2}-x_{3}=(r,2-r)\\ x_{1}-2x_{2}+x_{3}=(2+r,3)\\ 2x_{1}+x_{2}+3x_{3}=(-2,-1-r)\\$ \item \textbf{{\xecolor{red} مثال5:}}\\ دستگه خطي فازي 2×2 را در نظر بگيريد: \\ $x_{1}-x_{2}=(r,2-r)$\\ $x_{1}+3x_{3}=(r,\beta+1-\betar)$\\ $\beta$ که يك پارامتر حقيقي اختياري مثبت است. جواب معادله (6) به اينصورت مي‌باشد: \\ \item \begin{equation*} X=S^{-1}Y=\left(\begin{matrix} 1.8&-0.8&1.2&-1.2\\ -0.6&0.6&-0.4&0.4\\ 1.2&-1.2&1.8&-0.8\\ -0.4&0.4&-0.6&0.6 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} r\\ r\\ r-2\\ \betar-\beta -1 \end{matrix}\right) \end{equation*}\\ $\underline{x}_{1}=1.2(\beta -1)+(2.2- 1.2\beta)r$,\\ $\overline{x}_{1}=2.8-0.8\beta -(1.8- 0.8\beta)r$\\ $\underline{x}_{2}=0.4(1-\beta)+0.4(\beta -1)r$\\ , $\overline{x}_{2}=0.6(\beta -1)-0.6(\beta -1)r$\\ \item بعبارتی نوع جواب فازي به $\beta$ بستگي دارد . به آساني مي‌توان نشان داد كه يك جواب فازي قوي بدست مي‌آيد اگر و تنها اگر . $1\leq\beta\leq\dfrac{11}{6}$ مثلاً اگر $\beta=1.5$ باشد. \item $\underline{x}_{1}=0.6+0.4r$\qquad, $\overline{x}_{1}=1.6-0.6r$\\ , $\underline{x}_{2}=-0.2+0.2r$\qquad , $\overline{x}_{2}=0.3-0.3r$\\ بعبارتي يك جواب فازي قوي (شكل 3) براي $\beta=1.9$ نيز $x_{1}=(1.08 - 0.08r, 1.28 - 0.28r)\qquad$ $x_{2}=(-0.36 + 0.36r,0.54 - 0.540)$ و بدست مي‌آيد، بعبارتي يك عدد فازي x_{1} $$ نیست. طبق تعريف 3، جواب فازي ضعيف به اينصورت است: \item \begin{equation} u_{1} = (1, 1.28 - 0.28r), \qquad u_{2}= x_{2}. \end{equation}\\ همانطور كه قبلاً ديده شد، غير تكين بودن A تضمين نمي‌كند كه S غيرممكن است. اگر S تكين باشد، دستگاه حاصل از معادله (6) ممكن است هيچ جواب يا يك تعداد بي‌نهايت جواب داشته باشد كه به بردار ورودي Y وابستگي دارد. \item \textbf{{\xecolor{red}مثال6:}} ، دستگاه خطي فازي 2×2 مثال 2 را در نظر بگيريد. ماتريس 4×4 زير تكين است و رديف‌هاي آن $E_{4}=E_{1}-E_{2}+E_{3}$ را صدق مي‌كنند: \begin{equation*} S=\left(\begin{matrix} 1&0&0&1\\ 1&1&0&0\\ 0&1&1&0\\ 0&0&1&1 \end{matrix}\right) \end{equation*} \end{flipitem} \end{rawslide} \end{document}