\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[margin=0.75in]{geometry}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{csquotes}
\usepackage{xepersian}
\usepackage{fontspec}
\settextfont[BoldFont=Vazir-Bold.ttf]{Vazir.ttf}

\begin{document}
\pagenumbering{roman}
\title{مقدمه‌ای بسیار کوتاه بر آنالیز غیراستاندارد و اعداد ابرحقیقی}
\author{فاروق کریمی زاده \\ fkz@riseup.net}
\date{\today}
\maketitle
\newpage
\tableofcontents
\newpage
\pagenumbering{arabic}
\section{آنالیز غیراستاندارد چیست؟}
\paragraph{آنالیز غیراستاندارد شاخه‌ای از ریاضیات است و برخلاف آنالیز استاندارد که با تعاریف اپسیلون-دلتا ساخته شده،با استفاده از اعداد بی‌نهایت کوچک،پیش میرود.کارت گودل در مورد آنالیز غیر‌استاندارد گفته:}
\begin{displayquote}
دلایل خوبی وجود دارد که باور کنیم نسخه‌ای از آنالیز غیراستاندارد،آنالیز آینده خواهد بود.
\end{displayquote}
\section{اندکی تاریخچه}
\paragraph{شاید اولین بار در سال ۱۶۲۹ میلادی فرما جهت محاسبه مشتق چند جمله‌ای‌ها اقدام به استفاده از بی‌نهایت کوچک‌ها،اعدادی بی‌نهایت کوچک،نمود.برای مثال جهت محاسبه شیب خط مماس در نقطه $x$ او عددی بسیار کوچک مانند $E$ را در نظر میگرفت و با در نظر گرفتن دو
 نقطه‌ی
$(x,f(x))$
  و
$(x + E,f(x+E))$
   ، محاسبه تغییرات مقدار تابع بر تغییرات ورودی تابع(تغییرات $y$ ها بر تغییرات $x$ ها) و حذف $E$شیب خط را بدست می‌آورد:}
\begin{multline*}
f(x) = x^2 \\
m = \frac{f(x+E) - f(x)}{x+E - x} = \frac{(x+E)^2 - x^2}{E} = \frac{x^2 + E^2 + 2xE - x^2}{E} = \frac{E^2 + 2xE}{E} = 2x + E = 2x
\end{multline*}
\paragraph{نیوتن و لایپنیتس نیز کار های مشابهی برای محاسبه مشتق انجام میدادند.البته اینکار‌ها منتقدانی نیز داشت و هنوز هم آنالیز غیراستاندارد منتقدانی دارد و در کل این موضوع و اینکه آنالیز غیراستاندارد بهتر است یا استاندارد،موضوع مورد مناقشه بین ریاضیدانان است.}

\section{اعداد ابرحقیقی}
\paragraph{قبل از ادامه دو قانون مهم را یادآوری میکنم: اول اینکه تقسیم بر صفر به هیچ وجه قانونی نیست.و دوم اینکه هر عدد حقیقی مثبت دو ریشه دارد و ریشه بزرگ‌تر را با $\sqrt{c}$ نشان میدهیم.ریشه اعداد حقیقی منفی تعریف نشده است.یک عدد مانند $\epsilon$ بی‌نهایت کوچک است اگر برای هر عدد حقیقی مثل $a$ داشته باشیم:}
\begin{center}
$-a < \epsilon < a$
\end{center}
\paragraph{با این تعریف تنها عدد حقیقی که بی‌نهایت کوچک نیز است،صفر می‌باشد.در سیستم اعداد ابرحقیقی اعداد بی‌نهایت کوچکی وجود دارند که صفر نیستند.همانطور که اعداد حقیقی را میتوانیم از اعداد گویا بسازیم،اعداد ابرحقیقی را نیز میتوان از اعداد حقیقی ساخت.در این مقاله بیشتر به بررسی خواصی از اعداد ابرحقیقی که مربوط به حسابان هستند می‌پردازیم.}
\paragraph{مجموعه تمام اعداد ابرحقیقی با نماد $*R$ یا $R*$ نمایش میدهیم.این مجموعه ابرمجموعه اعداد حقیقی است.یعنی هر عدد حقیقی اجبارا یک عدد ابرحقیقی نیز می‌باشد.اما این مجموعه شامل عضو‌های دیگری نیز است.بی‌نهایت کوچک‌ها در مجموعه اعداد ابرحقیقی ۳ دسته هستند: یا صفر هستند،یا بی‌نهایت کوچک مثبت یا بی‌نهایت کوچک منفی.از حروف اپسیلون($\epsilon$) و دلتا($\delta$) جهت نمایش بی‌نهایت کوچک‌ها استفاده میکنیم.اگر $a$ و $b$ دو عدد ابرحقیقی باشند و $a-b$ یک بی‌نهایت کوچک باشد،میگوییم این دو عدد به هم بی‌نهایت نزدیک هستند.اگر $\epsilon$ یک بی‌نهایت کوچک مثبت باشد آنگاه  یک بی‌نهایت کوچک منفی و یک بی‌نهایت منفی،عددی کوچکتر از هر عدد حقیقی منفی،است.}
\paragraph{از این به بعد منظور از عدد متناهی هر عدد غیر بینهایت در دستگاه ابرحقیقی است.شکل زیر محور اعداد ابرحقیقی به همراه اعداد حقیقی،بی‌نهایت کوچک‌ها و بی‌نهایت‌ها است.}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.75]{../Números_hiperreales.png} 
\end{center}
\subsection{اصول}
\paragraph{کل حسابانی که در آینده کمی به آن می‌پردازیم بر اساس سه اصل ساخته شده است: اصل انتقال،اصل توسعه و اصل قسمت استاندارد.}
\subsubsection{اصل توسعه}
\begin{displayquote}
(الف) اعداد حقیقی زیرمجموعه‌ای از اعداد ابرحقیقی هستند و رابطه‌ی ترتیب  $x<y$ برای اعداد حقیقی زیرمجموعه‌ای از رابطه ترتیب برای اعداد ابرحقیقی است. \\
(ب) یک عدد ابرحقیقی بزرگ‌تر از صفر اما کوچکتر از هر عدد حقیقی مثبت وجود دارد. \\
(ج) برای هر تابع حقیقی مانند $f$ با یک یا تعداد بیشتری متغیر یک تابع ابرحقیقی به اسم $f*$ با همین تعداد متغیر وجود دارد.$f*$ را توسعه‌ی طبیعی $f$ می‌نامیم.
\end{displayquote}
\paragraph{قسمت (الف) به زبان ساده می‌گوید محور اعداد حقیقی قسمتی از محور اعداد ابرحقیقی است.برای توضیح قسمت (ب) باید اول بفهمیم یک بی‌نهایت کوچک دقیقاً چیست:}
\begin{displayquote}
یک عدد مانند $\epsilon$: \\
\textbf{بی‌نهایت کوچک مثبت}
 است اگر مثبت اما از هر عدد حقیقی مثبت کوچک‌تر باشد. \\
\textbf{بی‌نهایت کوچک منفی}
 است اگر منفی اما از هر عدد حقیقی منفی بزرگ‌تر باشد. \\
\textbf{بی‌نهایت کوچک}
 است اگر یک بی‌نهایت کوچک مثبت یا منفی یا عدد صفر باشد. \\
\end{displayquote}
\paragraph{با این تعاریف قسمت (ب) می‌گوید حداقل یک بی‌نهایت کوچک مثبت وجود دارد.بعدا خواهیم دید که بی‌شمار بی‌نهایت کوچک وجود دارد.یک بی‌نهایت کوچک مثبت عددی ابرحقیقی است که نمی‌تواند حقیقی باشد.پس قسمت (ب) مطمئنمان میکند که اعدادی ابرحقیقی که حقیقی نیستند وجود دارند.}
\paragraph{قسمت (ج) اصل توسعه به ما اجازه می‌دهد از توابع حقیقی برای اعداد ابرحقیقی استفاده کنیم.از آنجا که تابع جمع یک تابع حقیقی دو متغیره است،توسعه‌ی طبیعی آن یعنی  $+*$ نیز یک تابع دو متغیره برای دو عدد ابرحقیقی می‌باشد.برای سادگی کار ستاره‌ها را کنار میگزاریم و به جای  $x+*y$ مینویسیم $x+y$.این قسمت از اصل توسعه همچنین به ما اجازه میدهد از عباراتی مانند $sin^2(x) + cos^2(y)$ برای $x$ و $y$ ابرحقیقی استفاده کنیم.}
\subsubsection{اصل انتقال}
\begin{displayquote}
هر عبارت در مجموعه اعداد حقیقی که برای یک یا تعداد بیشتری تابع حقیقی برقرار است،برای توسعه‌ی طبیعی این توابع نیز برقرار است.
\end{displayquote}
\begin{enumerate}
\item عملگر جمع بسته است: برای هر $x$ و $y$  همیشه $x+y$ را تعریف شده داریم.
\item اتحاد‌ها برقرار هستند مثلا: $(x+y)^2 = x^2 + y^2+ 2xy$
\item تقسیم بر صفر ممنوع و $\frac{x}{0}$ تعریف نشده است.
\end{enumerate}
\paragraph{در هر مثال برای یک یا دو عدد حقیقی عبارت ارزش درستی دارد.اصل انتقال به ما میگوید حتی برای دو عدد ابرحقیقی نیز این عبارات ارزش درستی دارند و مثلاً حتی برای یک x ابرحقیقی هم تقسیم بر صفر تعریف نشده است.بنابر اصل انتقال،یک تابع حقیقی و توسعه‌ی طبیعی آن هر دو یک مقدار را برای یک مقدار واحد حقیقی در ورودی برمیگردانند.به همین دلیل است که میتوانیم ستاره‌ها را حذف کنیم.}
\paragraph{قبلاً به اعداد متناهی و بی‌نهایت‌ها اشاره کردم.حال با تعاریف زیر دقیق‌تر به این دو می‌پردازیم:}
\begin{displayquote}
یک عدد ابرحقیقی: \\
\textbf{متناهی}
 است اگر بین دو عدد حقیقی باشد.\\
\textbf{بی‌نهایت یا نامتناهی مثبت}
 است اگر بزرگ‌تر از هر عدد حقیقی باشد.\\
\textbf{بی‌نهایت یا نامتناهی منفی}
 است اگر کوچک‌تر از هر عدد حقیقی باشد.\\
\end{displayquote}
\paragraph{توجه کنید که یک بی‌نهایت کوچک،متناهی است.قبل از اینکه به یک فهرست از قوانین بپردازیم،بیاید دقیق‌تر به دوتا از آن‌ها نگاه کنیم.اگر $\epsilon$ یک بی‌نهایت کوچک و $a$ یک عدد متناهی باشد،آنگاه حاصل ضرب این دو یک بی‌نهایت کوچک است.برهان:}
\begin{align*}
\forall r: 0 < \epsilon < r \\
\forall r: 0 \cdot a  <\epsilon \cdot a < a \cdot r \\
\forall \acute{r}: 0 < \epsilon \cdot a < \acute{r}
\end{align*}
\paragraph{همچنین اگر $\epsilon$ یک بی‌نهایت کوچک مثبت باشد،آنگاه $\frac{1}{\epsilon}$ یک بی‌نهایت مثبت است.}
\paragraph{
\textbf{قوانین برای اعداد بی‌نهایت کوچک،متناهی و بی‌نهایت} \\
در نظر بگیرید که $\epsilon$ و $\delta$ اعداد بی‌نهایت کوچک و $H$ و $K$ دو بی‌نهایت یا دو عدد نامتناهی هستند. $b$ و $c$  نیز  اعداد متناهی هستند اما بی‌نهایت کوچک نیستند.}
\begin{enumerate}
\item اعداد حقیقی
\begin{itemize}
\item تنها عدد حقیقی و بی‌نهایت کوچک $0$ است.
\item تمام اعداد حقیقی متناهی هستند.
\end{itemize}
\item قرینه
\begin{itemize}
\item $-\epsilon$ بی‌نهایت کوچک است.
\item $-b$ متناهی است اما بی‌نهایت کوچک نیست.
\item $-H$ بی‌نهایت یا نامتناهی است.
\end{itemize}
\item وارون
\begin{itemize}
\item اگر $\epsilon$ صفر نباشد آنگاه $\frac{1}{\epsilon}$ یک  بی‌نهایت یا عدد نامتناهی است.
\item $\frac{1}{b}$ یک عدد متناهی است اما بی‌نهایت کوچک نیست.
\item $\frac{1}{H}$ یک بی‌نهایت کوچک است.
\end{itemize}
\item جمع
\begin{itemize}
\item $\epsilon+\delta$
یک بی‌نهایت کوچک است.
\item $b + \epsilon$
یک عدد متناهی است اما بی‌نهایت کوچک نیست.
\item $b+c$
 یک  عدد متناهی است و ممکن است بی‌نهایت کوچک هم باشد.
\item $H+\epsilon$
و
$H+b$
هر دو بی‌نهایت یا نامتناهی هستند.
\end{itemize}
\item ضرب
\item تقسیم
\item ریشه
\end{enumerate}
اثبات قوانین را به خواننده وامیگذارم.\\

\textbf{چند قضیه}
\begin{enumerate}
\item هر عدد ابر‌حقیقی بین دو بی‌نهایت کوچک خود بی‌نهایت کوچک است.
\item هر عدد ابرحقیقی بین دو عدد متناهی خود متناهی است.
\item هر عدد ابرحقیقی بزرگ‌تر از یک بی‌نهایت مثبت خود یک بی‌نهایت مثبت است.
\item هر عدد ابرحقیقی کوچکتر از یک بی‌نهایت منفی خود یک بی‌نهایت منفی است.
\end{enumerate}
اثبات قضایای بالا را به خواننده وامیگذارم.
\subsubsection{اصل قسمت استاندارد}
\section{حسابان بی‌نهایت کوچک‌ها}
\section{منابع}
\section{پروانه این اثر}
\section{تشکر از...}
\end{document}