\documentclass{beamer}
\usetheme{Warsaw}
\usepackage{xepersian}
\usepackage{amssymb,amsmath,amsthm,mathrsfs}
\newcommand{\mbbQ}{\mathbb{Q}}% مجموعه‌ی اعداد گویا
\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\SS}{\mathbb{S}}
\newcommand{\BB}{\mathbb{B}}
\settextfont[Scale=1]{XB Zar}
\setromantextfont[Scale=1]{Junicode}
%\AtBeginDocument{\setdigitfont[Scale=1]{Parsi Digits}}
\title{خط سورجنفری }
\subtitle{}
\author{محمدمحمدی}
\institute{دانشگاه زنجان}
\date{مهر ماه 1394}
\begin{document}
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}
\begin{frame}{چکیده}
در سال 1948 ، $R.sorgenfrey$ مثالی از فضای پیرا فشرده $\mathbb{S}$ ارائه کرد که امروزه تحت عنوان خط سور جنفری معروف است . به طوریکه $\mathbb{S}\times \mathbb{S}$ پیرا فشرده و حتی نرمال نیست . از این مثال در توپولوژی عمومی به عنوان مثال نقض استفاده می شود . این فضا شامل مجموعه اعداد حقیقی است که توپولوژی آن بر پایه ای از بازه های نیم باز به شکل $[a ,b)$ استوار است . $Jean-Dieudonne$ ثابت کرد  اگر هر پوشش باز از $\mathbb{S}$ تظریفی از همسایگی های کراندار داشته باشد که آن را پوشش دهد آنگاه فضای $\mathbb{S}$ پیرا فشرده است . او اثبات کرد که هر فضای متریک جدایی پذیر ، پیرا فشرده  و هر فضای پیرا فشرده هاسدورف ، نرمال است ، و اینکه اگر $\mathbb{S}_{1}$ فشرده و $\mathbb{S}_{2}$ پیرا فشرده باشد آنگاه $\mathbb{S}_{1}\times \mathbb{S}_{2}$ پیرا فشرده است . این سوال را بدون جواب گذاشت که آیا با توپولوژی ضرب ، حاصلضرب دو فضای پیرافشرده ، پیرا فشرده است ؟ در این سمینار به این سوال جواب منفی می دهیم . 
\end{frame}
\begin{frame}{مقدمه}
ابتدا تعریفی از خط سورجنفری می آوریم سپس بررسی می کنیم که چگونه  $\mathbb{S}$ یک گروه پارا توپولوژیک لیندولف شمارای نوع اول با ویژگی بئر است . و حاصلضرب $\mathbb{S}$ در خودش نرمال نبوده و به تبع آن لیندولف و پیرا فشرده نیست .
\end{frame}
\begin{frame}{تعاریف}
\framesubtitle{خط سورجنفری:}

فرض کنید$\tau$ یک توپولوژی روی $\RR$ با پایه $\mathscr{B}$ شامل مجموعه های $[a,b)=\lbrace x\in \RR:a\leqslant  x<b\rbrace$ باشد به طوریکه $a,b\in \RR$ و   $a<b$.با این توپولوژی که جمع طبیعی در نقش ضرب باشد، $\RR$ یک گروه پاراتوپولوژیک و لذا یک نیم گروه توپولوژیک است.اما $(\RR,\tau)$ یک گروه توپولوژیک نیست زیرا عمل $x\longrightarrow -x$ ناپیوسته است این گروه پاراتوپولوژیک خط سورجنفری نامیده می شود .\\
\end{frame}
\begin{frame}{تعاریف}
\framesubtitle{تظریف}
اگر $\mathcal{U}$ و$\mathcal{V}$ پوشش هایی برای مجموعه $X$ باشند ، مجموعه $\mathcal{V}$ تظریف مجموعه $\mathcal{U}$ گفته می شود اگر برای هر $V\in \mathcal{V}$ وجود داشته باشد یک $U\in \mathcal{U}$ به طوریکه $V\subset U$ باشد.

\end{frame}
\begin{frame}{تعاریف}
\framesubtitle{پیرافشرده}
یادآوری : خانواده $\lbrace A_{i}\rbrace_{i\in S}$ از زیر مجموعه های فضای توپولوژیکی $X$ را موضعا متناهی خوانیم هر گاه برای هر $x\in X$ وجود داشته باشد همسایگی $U$ به طوریکه مجموعه $\lbrace i\in S \vert U\cap A_{i}\neq \emptyset\rbrace$ متناهی باشد .\\
فضای  $X$ را پیرا فشرده \Footnote{paracompact} گوییم اگر یک فضای هاسدورف بوده و هر پوشش باز$X$ یک تظریف \Footnote{refinement} باز موضعا متناهی داشته باشد . 
\end{frame}
\begin{frame}{تعاریف}
\framesubtitle{گسسته }
مجموعه $\mathcal{U}$ در فضای توپولوژی $X$ گسسته است اگر هر نقطه $x\in \mathcal{U}$ همسایگی مثل $U$ داشته باشد به طوریکه $U\cap \mathcal{U}=\lbrace x\rbrace$.\\
مجموعه $\mathcal{U}$ را $\sigma$- گسسته\Footnote{\sigma-discrete} گوییم اگر$\mathcal{U}$ بتواند به شکل $\mathcal{U}=\bigcap_{n=1}^{\infty}U_{n}$ بیان شود که در آن هر $U_{n}$ گسسته است . \\

\end{frame}
\begin{frame}{تعاریف}
\framesubtitle{شمارای نوع اول و فضای منتظم}
\begin{تعریف}
پایه شمارا : گوییم فضای $X$ در نقطه $x$ پایه شمارا دارد هرگاه گردایه شمارایی از همسایگی های $x$ مانند $B$ موجود باشد به طوریکه هر همسایگی $x$ دست کم حاوی یک عضو این گردایه باشد .\\ اگرفضایی در هر نقطه اش یک پایه شمارا داشته باشد گوییم در اولین اصل شمارایی صدق می کند .(شمارای نوع اول)
\end{تعریف}
\begin{تعریف}
فضای منتظم : فضای $G$ را منتظم \Footnote{regular}گوییم اگر $C$ یک مجموعه بسته و $x$ یک نقطه از $G$ که در $C$ نیست ، باشد آنگاه  $C$ و $x$ همسایگی های جدا از هم داشته باشند .
\end{تعریف}
\end{frame}
\begin{frame}{بیان خواص}
\framesubtitle{شمارای نوع اول بودن}
شمارای نوع اول بودن ؛ برای نشان دادن اینکه خط سورجنفری شمارای نوع اول است ، باید نشان دهیم هر نقطه یک پایه موضعی شمارا دارد . $\beta$ را تعریف می کنیم $\beta=\lbrace [a , b ) \subseteq \mathbb{S} : a<b\rbrace$   .    فرض کنید $x\in \mathbb{S}$ و قرار دهید $G_{x}=\lbrace [p , x) : p<x , p\in \QQ\rbrace$ آنگاه $G_{x}$ شمارا است . حال نشان می دهیم  $G_{x}$ یک پایه موضعی در $x$ است . قرار دهید $U$ را همسایگی بازی از $x$ ، لذا وجود دارد یک مجموعه باز پایه $[a ,b )\in\beta$ به طوریکه $x\in [a , b )\subseteq U$ . بنا بر این $a\leqslant x< b$  ، $p\in\QQ$ را به ما می دهد به طوریکه $a<p\leqslant x< b$ . بنابراین $x\in [p ,x )\subset [a , b )\subseteq U$ و $[p, x )\in G_{x}$ . 
\end{frame}
\begin{frame}{بیان خواص}
\framesubtitle{لیندولف بودن}
یادآوری ; فضایی را که هر پوشش باز آن یک زیر پوشش متناهی داشته باشد فشرده ، و فضایی را که هر پوشش باز آن شامل یک زیر پوشش شمارا باشد فضای لیندولوف می نامند.\\
تعریف ؛ اگر $\mathcal{B}$ پایه ای برای فضای توپولوژیک $X$ باشد $\omega(X)$ (وزن $X$) به شکل $\omega(X)=min\lbrace\mid\mathcal{B}\mid\rbrace$ تعریف می شود .\\
قضیه : اگر $\omega(X)\leqslant m$ ، آنگاه برای هر خانواده $\lbrace U_{s}\rbrace_{s\in S}$ از زیر مجموعه های باز $X$ وجود دارد مجموعه $S_{0}\subset S$به طوریکه $\mid S_{0}\mid<m$ و $\bigcup_{s\in S_{0}}U_{s}=\bigcup_{s\in S} U_{s}$  . 
  
\end{frame}
%\begin{frame}{بیان خواص}
%\framesubtitle{ اثبات لیندولف بودن $\mathbb{S}$}

% فرض کنید $\mathcal{U}=\lbrace U_{s}\rbrace_{s\in S}$ یک پوشش باز از $\mathbb{S}$ باشد . قرار دهید $\mathcal{V}_{s}=\lbrace Int_{R}U_{s} : U_{s}\in \mathcal{U}\rbrace$ لذا $Z=\RR\setminus \bigcup_{s\in S} \mathcal{V}_{s} $ شمارا ست زیرا ؛ برای هر $x\in Z$ قرار دهید $b_{x}\in \RR$ به طوریکه $x<b_{x}$ و برای یک $ U\in \mathcal{U} $   ، $[x , b_{x})\subseteq U$ . برای هر $x\in Z$ قرار دهید $a_{x}\in \QQ$   به طوریکه $x<a_{x}<b_{x}$ . نشان می دهیم اگر $x , y\in Z$ آنگاه $a_{x}\neq a_{y}$ . فرض کنیم که چنین نباشد و وجود داشته باشد $ x , y\in Z $ به طوریکه $ a_{x}= a_{y} $ . می توان فرض کرد $x<y$ . آنگاه $x<y<a_{x}< b_{x}$ به طوریکه $y\in (x ,b_{x})\subseteq Int_{R} U$ که $U$ عضوی از $\mathcal{U}$ است که شامل $[x , b_{x})$ است . این با $y\in Z$ در تضاد است ، بنابراین $ a_{x}\neq a_{y} $ . این نتیجه می دهد که نگاشت $f (x)=a_{x}$ ، نگاشتی  یک به یک از $Z$ به $\QQ$ است ، و $Z$ باید شمارا باشد . بنا بر قضیه بالا داریم $\bigcup_{s\in S}V_{s}=\bigcup_{s\in S_{0}}V_{s}\subset \bigcup_{s\in S_{0}}U_{s}$ که $\mid S_{0}\mid\leqslant\aleph_{0}$ در کنار خانواده $\lbrace U_{s}\rbrace_{s\in S_{0}}$ تعداد زیاد و شمارا از اعضای $\mathcal{U}$ ،اجتماعی شامل $Z$ است ، که زیر پوششی از $\mathcal{U}$ بدست آوردیم .
%\end{frame}

\begin{frame}{بیان خواص}
\framesubtitle{ اثبات لیندولف بودن $\mathbb{S}$}

 فرض کنید $\mathcal{U}$ یک پوشش باز از $\mathbb{S}$ باشد . قرار دهید $\mathcal{V}=\lbrace Int_{R}U: U\in \mathcal{U}\rbrace$ که در آن $ Int_{R}U $ درون مجموعه $U$ با توپولوژی اقلیدسی است .لذا با توجه به اینکه $\RR$ با توپولوژی اقلیدسی یک فضای لیندولف است ، وجود دارد زیر خانواده $\mathcal{U}_{1}\subset \mathcal{V}$ به طوریکه $\bigcup\lbrace Int_{R}U : U\in\mathcal{U}_{1}\rbrace=\bigcup_{U\in \mathcal{V}}U $ .تعریف می کنیم  $Z=\RR\setminus \bigcup_{U\in \mathcal{V}}U$ . باید نشان دهیم $Z$ شمارا ست ، لذا ؛ برای هر $x\in Z$ قرار دهید $b_{x}\in \RR$ به طوریکه $x<b_{x}$ و برای یک $ U\in \mathcal{U} $   ، $[x , b_{x})\subseteq U$ . برای هر $x\in Z$ قرار دهید $a_{x}\in \QQ$   به طوریکه $x<a_{x}<b_{x}$ . نشان می دهیم اگر $x , y\in Z$  آنگاه  $a_{x}\neq a_{y}$ . فرض کنیم که چنین نباشد و وجود داشته باشد $ x , y\in Z $ به طوریکه $ a_{x}= a_{y} $ . می توان فرض کرد $x<y$ . آنگاه $x<y<a_{x}< b_{x}$ به طوریکه $y\in (x ,b_{x})\subseteq Int_{R} U$ که $U$ عضوی از $\mathcal{U}$ است که شامل $[x , b_{x})$ است . این با $y\in Z$ در تضاد است ، بنابراین $ a_{x}\neq a_{y} $ . این نتیجه می دهد که نگاشت $f (x)=a_{x}$ ، نگاشتی  یک به یک از $Z$ به $\QQ$ است ، و $Z$ باید شمارا باشد . بنا بر این $Z$ شمارا است و لذا $ \mathcal{U}_{0}=\lbrace U_{x}: x\in Z\rbrace $  . آنگاه $ \mathcal{U}_{0}\cup \mathcal{U}_{1}=\mathcal{U} $ ، که زیر پوششی از $\mathcal{U}$ بدست آوردیم .
\end{frame}
\begin{frame}{تعاریف}
\framesubtitle{شمارای نوع دوم} 
فضایی را شمارای نوع دوم \Footnote{second-countable} گوییم که توپولوژی آن پایه ای شمارا داشته باشد به این معنی که فضای توپولوژیک $T$ شمارای نوع دوم است اگر تعدادی شمارا مجموعه $\mathcal{U}=\lbrace U_{i}\rbrace_{i=1}^{\infty}$ از زیر مجموعه های $T$ موجود باشد به طوریکه هر زیر مجموعه باز از $T$ را بتوان به صورت اجتماعی از تعدادی اعضای زیر خانواده $\mathcal{U}$ نوشت . 
\end{frame}
\begin{frame}{بیان خواص }
\framesubtitle{لیندولف ارثی}
خط سورجنفری به طور ارثی لیندولف است .\\
اثبات : قرار دهید $\mathcal{B}=\lbrace B[x ,e) : x\in X , e>0\rbrace$ پایه ای برای فضای متریک . توجه کنید که اگر $x\in \mathbb{S}$ و همسایگی $U$ از $x$ موجود باشد ، می توانیم مجموعه باز پایه ای به فرم $[b , x)\in \mathcal{B}$ بیابیم که $[b , x)\subset U$. فرض کنید $X$ یک زیر مجموعه از $\mathbb{S}$ باشد . پوشش بازی از $X$ به فرم $\varrho=\lbrace[b_{x},x):x\in X\rbrace$ در نظر بگیریم . قرار دهید $M=\lbrace(b_{x},x):(b_{x},x)\cap X\neq \emptyset\rbrace$ و $K$ را مجموعه ای از اعضای $X$ که با $M$ پوشش داده نمی شوند . باید نشان دهیم $K$ شمارا ست . برای اینکار فرض کنیم که نا شمارا باشد ، آنگاه می دانیم وجود دارد $y\in K$ که برای هر $\epsilon>0$ ، $(y-\epsilon , y)\cap K\neq \emptyset$ نتیجه می دهد$(b_{y}, y)\cap K\neq \emptyset$ لذا وجود دارد $z\in (b_{y}, y)\cap K$ که معنی آن این است که $z\in (b_{y}, y)\cap X$، زیرا $K\subseteq X$ ، آنگاه $z$ با $M$ پوشش داده می شود و این به ما می گوید که در $K$ نیست و تناقض .بنا براین $K$ باید شمارا باشد . 
\end{frame}
\begin{frame}{ادامه خاصیت}
\framesubtitle{لیندولف ارثی}
توجه کنید که $M$ ، $X\backslash K$ را در توپولوژی معمولی روی $\RR$ پوشش می دهد . یاد آوری می کنیم که توپولوژی معمولی ، شمارای نوع دوم و بنا براین لیندولف ارثی است آنگاه می بینیم که $M$ زیر پوشش شمارای $\widehat{M}$ را دارد . قرار دهید $\widehat{G}=\lbrace[b_{x} , x) : (b_{x} , x) \in \widehat{M}\rbrace\cup\lbrace[b_{y} , y) : y\in K\rbrace$ آنگاه $\widehat{G}$ اجتماعی از دو زیر مجموعه از $\varrho$ است که باهم $X$ را پوشش می دهند بنابر این $X$ لیندولف است . 
\end{frame}
\begin{frame}{تعریف}
\framesubtitle{نرمال }
نرمال \Footnote{normal}: فضای $X$  را نرمال گوییم اگر به ازای هر دو مجموعه بسته جدا از هم آن مانند $A$ و $B$ مجموعه های باز جدا از همی ، به ترتیب حاوی $A$ و $B$ موجود باشد .
\end{frame}
\begin{frame}{بیان خواص}
\framesubtitle{منتظم و نرمال بودن}
لم : $X$ منتظم است اگر و فقط اگر برای یک نقطه از $X$ و همسایگی $U$ از $x$ ،وجود داشته باشد همسایگی $V$ از $x$ به طوریکه $\overline{V}\subset U$ باشد . (لم 31-1 مانکرز)\\

 ابتدا اشاره می کنیم ، هر مجموعه باز پایه $[ a , b)$  بسته نیز است زیرا ؛ $X\backslash [ a , b)=\bigcup_{n=0}^{\infty}[ a-2n , a-n) \cup \bigcup_{n=0}^{\infty} [ b+n , b+n+1)$ . لذا اگر $U$ باز  و $x\in U$ باشد، وجود دارد یک مجموعه باز $V (=[ a , b ))$ که $ x\inV\subset\overline{V}\subset U$ ، بنابر این طبق لم بالا $\mathbb{S}$ منتظم است . حال بنا بر قضیه ای از توپولوژی عمومی که بیان می کرد " هر فضای منتظم  لیندولف ، نرمال است " ، $\mathbb{S}$ نرمال است . ولی در حالت کلی $\mathbb{S}\times \mathbb{S}$ لیندولف نیست .\\

% فضای $\mathbb{S}$ : نقاط $\mathbb{S}$ نامنفی و حقیقی هستند و یک همسایگی از یک نقطه یک بازه نیم بازه به فرم $a\leqslant x<b$ است که حاوی آن است . $\mathbb{S}$ یک فضای هاسدورف منتظم ، که جدایی پذیر است  ولی نه به طور کامل . $\mathbb{S}$ پیرافشرده و بنا براین نرمال است . \\
%فضای $\mathbb{S}\times \mathbb{S}$ : نقاط $\mathbb{S}\times \mathbb{S}$ زوج مرتب های جهت دار $(x ,y)$ از اعداد حقیقی نامنفی بوده و همسایگی های آن مستطیل های نیم باز به شکل $c\leqslant y<d$  و $a\leqslant x<b$ هستند . \\


\end{frame}
\begin{frame}{تعریف}
\framesubtitle{رسته نوع اول و دوم  }
زیر مجموعه $E$ از فضای توپولوژیک $X$ را از رسته اول \Footnote{first-category} گوییم اگر$E$ را بتوان به صورت اجتماعی شمارا از زیر مجموعه های هیچ جا چگال $X$ نوشت . مجموعه هایی که از رسته اول نباشند، یعنی اجتماعی شمارا از زیر مجموعه های باز و چگال  را از رسته دوم \Footnote{second-category} گوییم .
\end{frame}
\begin{frame}{بیان خواص}
\framesubtitle{پیرا فشرده نبودن حاصلضرب}

فضای $\mathbb{S}\times \mathbb{S}$ پیرا فشرده نیست .\\
قضیه 1: هر فضای پیرا فشرده $X$ ، نرمال است . ( [6])\\
قضیه 2 : هر فضای منتظم لیندولف ، نرمال و پیرا فشرده است . (قضیه 8-11[۵])\\
برهان ؛ برای اثبات پیرا فشرده نبودن $\mathbb{S}$ کافی است نشان دهیم نرمال نیست . برای اینکار فرض کنید $H$ مجموع تمام نقاط $(x ,y)$ از $\mathbb{S}\times \mathbb{S}$ باشد به طوریکه $x + y=1$ و $[(x-1)^{2}+y^{2}]^{1/2}$ گویا هستند  . و  فرض کنید $K$ مجموع تمام نقاط $(x ,y)$ از $\mathbb{S}\times \mathbb{S}$ باشد به طوریکه $x + y=1$ و $[(x-1)^{2}+y^{2}]^{1/2}$ اصم هستند باشد . $H$ و $K$ مجموعه های بسته جدا از هم در $\mathbb{S}\times \mathbb{S}$ هستند . اگر $V$ یک مجموعه باز شامل $K$ باشد ، برای هر نقطه $(k , k^{\prime})$ از $K$  وجود دارد همسایگی $N(k , k^{\prime})$ به فرم $k\leqslant x<k+d$ ، $k^{\prime}\leqslant y <k^{\prime}+d$ که در $V$ قرار دارد . برای یک عدد مثبت $n$ ، $K_{n}$ را مجموع تمام نقاط $(k , k^{\prime})$ از $K$ بگیرید که قطر $N(k , k^{\prime})$ بزرگتر از $\dfrac{1}{n}$ باشد . آنگاه $K=\Sigma K_{n}$ . و چون $K$  از رسته دوم $(second -category)$ توپولوژی طبیعی از بازه خطی $x+y=1$ است ،

\end{frame} 
\begin{frame}{ادامه پیرا فشرده نبودن حاصلضرب}
 نتیجه می شود وجود دارد یک عدد $m$ به طوریکه $K_{m}$ در یک بازه $( s , 1-s)$ ،$( t , 1-t)$ از $x+y=1$ چگال است . این نتیجه می دهد هر نقطه از مستطیل $R$  کراندار با $ x+y =1 , x+y=1+\dfrac{1}{m} , x-y=2s-1 , x-y=2t-1 $  متعلق به یک $N(k , k^{\prime})$ است . حال $R$ زیر مجموعه ای از $V$ است ولی هر نقطه از $H$ در بازه $( s , 1-s) , (t , 1-t)$ از $x +y=1$ یک نقطه حدی $R$  و لذا نقطه حدی $V$ است . این نتیجه می دهد $H$ با بستاری از مجموعه های باز شامل $K$ قطع شده است . پس $\mathbb{S}\times \mathbb{S}$ نرمال نیست و لذا بنا بر قضیه (1) پیرا فشرده نیست . و همچنین بنا بر قضیه (2) لیندولف نیست . 
 \end{frame}
\begin{frame}{بیان خواص}
\framesubtitle{اثبات لیندولف نبودن حاصلضرب به روشی دیگر }
گزاره : اگر $X$ لیندولف و $F\subset X$ بسته و گسسته باشد آنگاه $F$ شمارا است .(2-17)[۲] .\\

اثبات لیندولف نبودن $\mathbb{S}\times\mathbb{S}$ : فرض کنید $D=\lbrace(x ,-x): x\in\mathbb{S}\rbrace\subset\mathbb{S}\times\mathbb{S}$ ، با توجه به اینکه هم کاردینال با $\RR$ است ، ناشماراست . ما باید نشان دهیم $D$ بسته و گسسته در $\mathbb{S}\times\mathbb{S}$ است .و لذا بنا بر گزاره بالا $\mathbb{S}\times\mathbb{S}$ لیندولف نیست . \\
ابتدا نشان می دهیم $D$ بسته است برای اینکار نشان می دهیم $\mathbb{S}\times\mathbb{S}\backslash D$ در $\mathbb{S}\times \mathbb{S}$ باز است .قرار دهید $D^{+}=\lbrace(x , y):x+y>0\rbrace$ و $D^{-}=\lbrace(x , y): x+y<0\rbrace$ آنگاه $\mathbb{S}\times\mathbb{S}\backslash D=D^{+}\cup D^{-}$ . در واقع اگر $(x , y)\in D^{+}$  آنگاه هر همسایگی پایه از $(x , y)$ اشتراکی با $D$ ندارد (زیرا به فرم $[x ,x+\epsilon)\times[y , y+\epsilon)$ است). اگر $ (x , y)\in D^{-} $ آنگاه همسایگی $[x , \dfrac{x-y}{2})\times[y ,\dfrac{y-x}{2})$ اشتراکی با $D$ ندارد . مجموعه های $D^{+} , D^{-}$ در $\mathbb{S}\times\mathbb{S}$بازند بنا بر این $D$ بسته است .
\end{frame}
\begin{frame}{ادامه اثبات لیندولف نبودن حاصلضرب }
از طرفی $D$ گسسته است زیرا برای هر $(x , -x)\in D$ ، هر همسایگی پایه از آن در $\mathbb{S}\times\mathbb{S}$ (که برای $\epsilon>0$ به فرم $[x ,x+\epsilon)\times[-x , -x+\epsilon)$ است) $D$ را فقط در نقطه $(x ,-x)$ قطع می کند .

\end{frame}
\begin{thebibliography}{99}
\begin{LTRitems}
\setLTRbibitems
\resetlatinfont
\Roman
\begin{flushleft}
\bibitem{1}
[۱]Robert H. Sorgenfrey. On the topological product of paracompact spaces. Bull.Amer. Math. Soc., 53:631{632, 1947.
\bibitem {2}
[۲]Petra Staynova ,A Comparison of Lindeloof-type Covering Properties of Topological Spaces ,Rose-Hulman Undergraduate Mathematics Journal Volume 12, No. 2, Fall 2011
\bibitem{3}
[3]David J. Lutzer ·Another property of the Sorgenfrey line.  Compositio Mathematica (1972). Volume: 24, Issue: 3, page 359-363; ISSN: 0010-437X .
\bibitem{4}
[4]Heath, Robert W., and Michael, Ernest A.. "A property of the Sorgenfrey line." Compositio Mathematica 23.2 (1971): 185-188. <http://eudml.org/doc/89082>.
\bibitem{5}
[5]M. BOGN´AR ,THE SORGENFREY LINE IS NON-METRIZABLE , Acta Math. Hungar., 133 (1–2) (2011), 185–187 ,First published online February 25, 2011
\bibitem{6}
[6]J. Dieudonné, Une generalization des espaces compacts, J. Math. Pures Appl. vol. 23 (1944) pp. 65-76
\end{flushleft}
\end{LTRitems}
\end{frame}
\end{document}