\chapter{نورشناسی هندسی\index{نورشناسی هندسی}}\label{chapter2} \paragraphfootnotes \twocolumnfootnotes \setLTRparagraphfootnotes مبحث نورشناسی هندسی\index{نورشناسی هندسی} به تحلیل انتشار نور در یک محیط با در نظر گرفتن نور به عنوان یک پرتو برمی‌گردد. پرتو به عنوان مسیری در امتداد انتشار نور تعریف می‌شود. یک دسته یا تعداد نامحدودی از پرتو‌های موازی یک باریکه نور را می‌سازند. در نورشناسی موجی، انتشار نور با معادله‌ی موج توصیف می‌شود. رفتار موجی نور باعث شکل گرفتن پدیده‌هایی مانند پراش و تداخل می‌شود، که در فصل‌های 2، 3، 4 و 5 در مورد آنها بحث خواهیم کرد. اگر طول موج در مقایسه با ابعاد عدسی‌ها، روزنه‌ها، و... خیلی کوچک باشد آنگاه معادله‌ی موج به معادله‌ی پرتو تبدیل می‌شود. در حد $\lambda \rightarrow 0$ انتشار نور می‌تواند به‌ عنوان حرکت انرژی نور در امتداد پرتو در نظر گرفته شود، که نتیجه‌ی آن ازبین رفتن اثر پراش خواهد بود. معادله‌ی آیکونال نشان می‌دهد که راستای پرتو‌ها بر جبهه‌ی موج (که سطحی با فاز ثابت برای حرکت موجی است) عمود است. نورشناسی هندسی\index{نورشناسی هندسی} مطالعه‌ی انتشار نور در تقریب پرتو بودن نور است. در این فصل ابتدا اصل فرما\index{اصل فرما} را مطالعه خواهیم کرد، که مسیر یک پرتو‌‌ی نور را در هنگام انتشار در یک محیط از یک نقطه به نقطه‌ی دیگر توصیف می‌کند. بر اساس اصل فرما قوانین شکست\index{قانون شکست} و بازتاب را بدست خواهیم آورد، و همچنین فرآیند تشکیل تصویر از یک سطح منحنی شکل را در تقریب پیرامحوری\index{پیرامحوری} مطالعه خواهیم کرد. قوانین شکست در سطوح کروی، نورشناسی هندسی\index{نورشناسی هندسی} عدسی‌های نازک و ترکیب عدسی‌ها را با استفاده از روش بسیار توانای ریاضی جبر ماتریسی مطالعه خواهیم کرد. \section{اصل فرما} قوانین نورشناسی هندسی\index{نورشناسی هندسی} را می‌توان با کمک یک قضیه‌ی پایه‌ای که توسط فرما \LTRfootnote{P. Ferma} ریاضی دان فرانسوی در سال 1657 میلادی ارائه شد، بدست آورد. فرما قضیه‌اش را با عبارت « طبیعت همیشه از کوتاهترین مسیر پیروی می‌کند» فرمول بندی کرد. با مراجعه به مسیر پرتو‌های نور اصل فرما\index{اصل فرما} (با یک روش کمی)، به این نتیجه می‌رسیم که «پرتو‌ی نور مسیری را طی می‌کند که زمان سپری شده برای آن اکسترمم باشد». برای نمونه زمان سپری شده می‌تواند در مقایسه با زمان سپری شده در مسیرهای همسایه کمترین یا بیشترین باشد. پرتو‌ی نوری را که از نقطه‌ی $B$ می‌گذرد را در نظر بگیرید، مدت زمانی که نور برای جابجایی $dl$ در نزدیکی موقعیت $(x,y,z)$ سپری می‌کند، از رابطه‌ی زیر بدست می‌آید \begin{equation*} dt =\frac{dl}{v} = \frac{n dl}{c} \end{equation} \begin{figure} \begin{center} \centerline{\includegraphics[width=6cm]{fig2-1.png}} \caption{مسیر واقعی که نور در طول آن از نقطه $A$ به $B$ می‌رود مسیری‌ است که زمان طی آن اکسترمم است(خط پر) برای هر مسیر دیگری در نزدیکی آن(خطوط خط‌چین) نور به زمان بیشتر یا کمتری نیازمند است.} \label{fig2-1} \end{center} \end{figure} \noindent به طوری که $n$ ضریب شکست محیط در نقطه‌ی $(x,y,z)$، $v$ و $c$ سرعت‌های نور در محیط و خلا می‌باشند. با فرض وابستگی ضریب شکست به مکان، زمان کل سپری شده‌ی پرتو از $A$ به $B$ به صورت زیر است \begin{equation*} t =\frac{1}{c} \int_{A}^{B} n dl \end{equation} \noindent بر پایه‌ی اصل فرما\index{اصل فرما} پرتو نور از $A$ به $B$ مسیری را سپری می‌کند که زمان $t$ بیشترین یا کمترین مقدار و یا ثابت باشد. بنابراین اگر تغییر کوچکی در مسیر نور ایجاد کنیم آنگاه \begin{align}\label{equ2_1} \delta t =\delta \int_{A}^{B} n dl= 0, \end{align} \noindent به طوری که $\delta $ به تغییرات مرتبه اول اشاره می‌کند، وقتی که ما یک تغییر بسیار کوچک در مسیر نور ایجاد کنیم. شرط بالا را می‌توان به این صورت بیان کرد: مسیر واقعی اشعه نور چنان است که اگر تغییر ناچیزی در آن ایجاد شد، زمان سپری شده برای آن ثابت بماند. آشکار است که وقتی نور در یک محیط همگن (ضریب شکست ثابت) منتشر شود رابطه‌ی \ref{equ2_1} به صورت زیر تغییر می‌کند \begin{align}\label{equ2_2} \delta \int_{A}^{B} dl = 0 \end{align} \noindent یعنی نور کوتاه‌ترین مسیر را طی می‌کند که یک خط راست بین $A$ و $B$‌ است. \subsection{\index{قانون بازتاب}قانون بازتاب} اکنون قانون بازتاب\index{قانون بازتاب} از یک سطح تخت با زاویه فرود $\theta_i$ و زاویه بازتاب $\theta_r$ را بر پایه‌ی اصل فرما\index{اصل فرما} بدست می‌آوریم. فرض کنید $MN$ صفحه بازتاباننده تخت است؛ نقطه $A$ یک چشمه‌ی نور و نقطه‌ی $B$ نقطه‌ی مشاهده است و محیط بین $A$ و $B$ بالای سطح $MN$ یک محیط همگن است. از نقطه $A$ تا نقطه $B$پرتو نور همیشه در امتداد خط مستقیم $AB$ منتشر می‌شود که بر پایه‌ی اصل فرما\index{اصل فرما} این همان مسیر با کمترین زمان است. \begin{figure} \begin{center} \centerline{\includegraphics[width=8cm]{fig2-2.png}} \caption{اصل فرما\index{اصل فرما} در بازتاب} \label{fig2-2} \end{center} \end{figure} به هر حال پرتو نور همچنین می‌تواند مسیر $A$ تا $C$و $C$ تا $B$ را طی کند، که شکل \ref{fig2-2} فرآیند بازتاب از سطح را نشان می‌دهد. حال موقعیت نقطه‌ی $C$ را طوری می‌یابیم که مسیر همان مسیر واقعی طی شده توسط پرتو باشد. از شکل \ref{fig2-1} می‌توان دید که طول مسیر $ABC = l$ از رابطه‌ی زیر بدست می‌آید \begin{equation*} l = AC + CB = (AM^2 + MC^2)^{1/2} + (BN^2 + CN^2)^{1/2} \end{equation} \begin{equation*} = (Am^2 + x^2)^{1/2} + (BN^2+ (MN - x)^2)^{1/2} \end{equation} توجه کنید که فاصله‌های $BN$ و $MN$‌ ثابت‌اند. با ایجاد هر تغییری در مسیر نقطه‌ی $C$ جابجا می‌شود و فاصله‌ی $x$ تغییر می‌‌کند. اکنون بر اساس اصل فرما\index{اصل فرما} مسیر واقعی $ACB$ همان مسیری است که طول مسیر یعنی $l$ در طی آن یک اکسترمم باشد. یعنی نسبت به $x$ داریم \begin{equation*} \frac{dl}{dx} = 0 \end{equation} یا \begin{equation*} \frac{1}{2}\left[\frac{2x}{AC} - \frac{2(MN - x)}{CB}\right] = 0 \end{equation} \noindent که از رابطه بالا به این معادله می‌رسیم \begin{equation*} \frac{x}{MN-x} = \frac{MC}{CN} = \frac{AC}{CB} \end{equation} \noindent بنابراین چون مثلثهای $AMC$ و $BNC$ متشابه هستند داریم \begin{align}\label{equ2_3} \theta_i = \theta_r \end{align} آشکار است که برای $\theta_i = \theta_r$ طول مسیر $ABC$ کمینه است. به‌ علاوه به همین دلیل پرتوهای $AC$ و $CB$‌ باید در یک صفحه باشند. توجه کنید که بر پایه‌ی اصل فرما\index{اصل فرما}، نور می‌تواند هر مسیری را از$A$ تا $B$ طی کند ( مثل $AB$ و $ABC$ در مثال فوق). چه شرطی لازم است تا هر یک از این مسیرها جداگانه یک اکسترمم باشند. به این معنی که اگر تغییر اندکی در مسیر آنها داده شد تغییرات طول مسیر صفر شود $(dl = 0)$. \noindent \textbf{\textit{مثال ۲.۱}} \noindent \textbf{بازتاب‌های بیضوی:} نشان دهید که تمام پرتو‌های ناشی از چشمه‌ای در یکی از کانون‌های یک بازتابنده‌ی بیضوی شکل، بعد از بازتاب از کانون دیگر می‌گذرد. \noindent \textit{\textbf{پاسخ}} \noindent سطح بیضی‌گون از دوران یک بیضی بدور محور اصلی یا فرعی آن بدست می‌آید. بیضی شکل\ref{fig2-3} سطح مقطع یک بیضی‌گون را نشان می‌دهد و $F_1$ و $F_2$ دو کانون آن هستند. فرض کنید پرتو نوری از $F_1$ سرچشمه گرفته و بعد از بازتاب از نقطه‌ی $P$ روی بیضی، به کانون $F_2$ برسد. فرض می‌کنیم که $F_1PF_2$ مسیر واقعی باشد که پرتو سپری می‌کند و از قانون بازتاب\index{قانون بازتاب} نیز پیروی می‌کند. برپایه‌ی اصل فرما\index{اصل فرما} طول مسیر $F_1PF_2$ باید اکسترمم باشد. اکنون نقطه‌ای اختیاری دیگری مانند $Q$ را روی بیضی در نظر بگیرید. طبق تعریف بیضی، بیضی منحنی است که جمع فاصله‌های هر نقطه روی منحنی از دو کانون یکسان است. پس \begin{equation*} F_1P + F_2P = F_1Q + F_2Q = ... = \text{ثابت} \end{equation} \noindent بنابراین زمان سپری شده برای پرتو نوری که مسیر $F_1QF_2$ را طی می‌کند برابر با زمانی است که برای پرتو $F_1PF_2$ سپری می‌شود. بنابراین بر پایه‌ی اصل فرما\index{اصل فرما} $F_1QF_2$نیز یکی از مسیرهای محتمل است. از آنجایی که نقطه‌ی $Q$ اختیاری است پس نتیجه می‌گیریم که هر پرتو‌ای که از کانون $F_1$ ناشی می‌شود پس از بازتاب از یک نقطه روی سطح بیضی از کانون $F_2$ خواهد گذشت. در نتیجه \begin{equation*} L = \int_{F_1}^{F_2} dl = \text{ثابت} \longrightarrow \delta L = 0 \end{equation} \noindent بنابراین در این حالت زمان سپری شده توسط پرتو بین $F_1$ و $F_2$ نه بیشترین و نه کمترین، اما ثابت است. اثبات بالا برای بیضی‌گون نیز معتبر است. از این خاصیت برای ساخت بازتاباننده‌های بیضی شکل استفاده می‌شود، پرتو‌ی نور ناشی از چشمه‌ای در $F_1$ پس از بازتاب از سطح بیضی روی $F_2$ کانونی می‌شود. \begin{figure} \begin{center} \centerline{\includegraphics[width=9cm]{fig2-3.png}} \caption{بازتاب در سطح بیضی‌گون} \label{fig2-3} \end{center} \end{figure} \subsection{\index{اصل فرما}قانون شکست\index{اصل فرما} با کمک اصل فرما} پرتو‌ی نوری را در نظر بگیرید که در حین انتشار از محیطی به ضریب شکست $n_1$ به محیط دیگر به ضریب شکست $n_2$ شکست می‌یابد. فصل مشترک دو محیط را یک سطح تخت در تظر بگیرید. پرتو نوری که از نقطه‌ی $A$ سرچشمه می‌گیرد فصل مشترک $MN$ را در نقطه‌ی $C$ قطع می‌کند و به نقطه‌ی مشاهده‌ی $B$ در امتداد مسیر $CB$ می‌رسد. اگر $ABC$ یک مسیر واقعی باشد که نور بین دو نقطه‌ی $A$ و $B$ طی می‌کند، آنگاه برپایه‌ی اصل فرما\index{اصل فرما} مدت زمانی که پرتو سپری می‌کند تا از $A$ به $B$ و از $B$ به $C$ برسد باید کمترین باشد. از شکل \ref{fig2-4} به نتیجه‌ی زیر می‌رسیم \begin{equation*} t = \frac{AC}{v_1} + \frac{CB}{v_2} = \frac{1}{C}(n_1AC + n_2CB) \end{equation} \begin{equation*} t = \frac{1}{c}\left[n_1\sqrt{MN^2 + x^2} + n_2\sqrt{(MN - x)^2 + BN^2}\right] \end{equation} همانطور که در بخش پیش گفته شد، هنگامی $ACB$ یک مسیر واقعی یک پرتو است که $\frac{dt}{dx} =0$ یا \begin{equation*} \frac{n_1x}{AC} - \frac{n_2(MN - x)}{CB} = 0 \end{equation} \noindent برای مسیر واقعی یک پرتو رابطه‌ی زیر را بدست می‌آوریم \begin{align}\label{equ2_4} \frac{n_2}{n_1} = \frac{x}{AC}.\frac{CB}{MN-x} = \frac{\sin\theta_i}{\sin\theta_r} \end{align} \begin{figure} \begin{center} \centerline{\includegraphics[width=8cm]{fig2-4.png}} \caption{اصل فرما\index{اصل فرما} در بازتاب} \label{fig2-4} \end{center} \end{figure} رابطه‌ی بالا به نام قانون شکست\index{قانون شکست} اسنل شناخته می‌شود. همچنین به دلیل اینکه راه نوری $ACB$ کوتاهترین راه است، نقطه‌ی $C$ باید در صفحه‌ا‌ی شامل $A$ و $B$ یا به عبارت دیگر پرتو‌های $AC$ و $CB$ در یک صفحه قرار داشته باشند. بنابراین می‌بینیم که اصل فرما\index{اصل فرما}، «مسیر واقعی پرتو‌های نور مسیرهایی دارای کمترین زمان سپری شده یا کمترین راه نوری هستند»، به قوانین آشنای شکست و بازتاب از یک سطح تخت می‌انجامد. این اصل در حقیقت مسیر واقعی پرتو را بین دو نقطه با موقعیت دلخواه نشان می‌دهد. همچنین برای حالتی است که پرتو‌ها از چندین محیط مجزا با فصل مشترک‌هایی که ممکن است تخت نباشند، عبور می‌کنند. \subsection{اصل برگشت پذیری\index{اصل برگشت پذیری}} اصل فرما\index{اصل فرما} در کمترین زمان مستقیم به اصل برگشت‌پذیری\index{اصل برگشت‌پذیری} یک پرتو نور منجر می‌شود. اگر جای نقطه‌های چشمه و مشاهده عوض شود (اگر $B$ چشمه و $A$ نقطه‌ی مشاهده شود) پرتو‌ی نور از $B$ تا $A$ باید همان مسیر $A$ تا $B$ را طی کند، زیرا این مسیر، همان مسیر کمترین زمان سپری شده است. پس اگر مسیر پرتو‌ی در یک سامانه نوری معکوس شود پرتو همان مسیر رفت را بر‌می‌گردد. این همان اصل برگشت پذیری\index{اصل برگشت پذیری}\index{} نور است. \section{شکست در سطح کروی و اصل فرما\index{اصل فرما}} سطح کروی $MN$ را سطح جدایی دو محیط با ضرایب شکست $n_1$ و $n_2$ در نظر بگیرید. نقطه $C$ مرکز انحنای این سطح کروی است (شکل \ref{fig2-5}). نقطه‌ی $A$ چشمه‌ی نقطه‌ای در محیط با ضریب شکست\index{ضریب شکست} $n_1$ است. می‌خواهیم مسیر پرتو‌های نور (از نقطه‌ی $A$) را بعد از شکست از سطح $MN$ بیابیم. خط واصل نقاط $A$ و $C$ ، خط $APC$، را محور نوری\index{محور نوری} می‌نامند. فاصله‌ی $AP$ را با نماد $u$ نشان می‌دهیم و $r = PC$ همان شعاع انحنای سطح کروی است. پرتو $AQ$ از $A$ را در نظر بگیرید که بعد از شکست از سطح $MN$ در نقطه‌ی $Q$ در امتداد $QB$ به نقطه‌ی $B$ می‌رسد. نقطه‌ی $B$ روی محور نوری\index{محور نوری} را می‌توان بس عنوان نقطه‌ی مشاهده در نظر گرفت. بر پایه‌ی اصل فرما\index{اصل فرما}، اگر $AQB$ یک مسیر واقعی پرتو باشد، پس این مسیر باید همان مسیر با کمترین زمان سپری شده باشد. زمان سپری شده برای این مسیر برابر است با \begin{align}\label{equ2_5} t = \frac{AQ}{c/n_1} + \frac{QB}{c/n_2} = \frac{1}{c} (n_1AQ + n_2QB) \end{align} \begin{figure} \begin{center} \centerline{\includegraphics[width=8cm]{fig2-5.png}} \caption{شکست در سطوح کروی } \label{fig2-5} \end{center} \end{figure} \noindent توجه کنید که $n_1AQ$ را نوری و $AQ$ راه است، به طور مشابه $n_2QB$ راه نوری و $QB$ راه است. از مثلث $AQB$ در می‌یابیم که \begin{equation*} AQ^2 = AC^2 +QC^2- 2(AC)(QC) \cos \beta \end{equation} \begin{equation*} = {(u+r)}^2 + r^2- 2(u+r) r \cos \beta \approx u^2 + (u+r) r \beta^2 \end{equation} \noindent در رابطه بالا از تقریب $\cos \beta = 1-\frac{\beta^2}{2}$ استفاده شده‌است و با فرض کوچک بودن $\beta$ از جملات با توان بالای ۲ صرف‌نظر شده است. این تقریب را، تقریب پیرامحوری می‌نامند. \begin{equation*} AQ= u {\left(1+\frac{(u+r)r \beta^2}{u^2}\right)}^{1/2}\approx u+\frac{1}{2}r^2 \beta^ 2\left(\frac{1}{u}+\frac{1}{r}\right) \end{equation} \noindent به طور مشابه از مثلث $QBC$ با تقریب پیرامحوری $BQ$ را بیابیم (زاویه $QCB= \pi -\beta$) \begin{equation*} BQ\approx \nu - \frac{1}{2} r^2 \beta^ 2 \left(\frac{1}{r}- \frac{1}{\nu}\right) \end{equation} \noindent به طوری که $\nu= PB$ فاصله‌ی نقطه‌ی $B$ تا نقطه‌ی $P$ است. با جایگذاری عبارت‌های $AQ$ و $BQ$ در رابطه \ref{equ2_5} به رابطه‌ی زیر می‌رسیم \begin{align}\label{equ2_6} t= \frac{1}{c}\left[(n_1 u +n_2 \nu)+ \frac{r^2 \beta^ 2}{2}\left(\frac{n_1}{u}+ \frac{n_2}{\nu}+ \frac{n_1 - n_2}{r}\right) \right] \end{align} \noindent تغییرات مسیر $AQ$ ناشی از تغییر $\beta$ است. نقاط $A$ و $B$ نقاط ثابت‌اند، $Q$‌ ممکن است جابجا شود. با این شرایط، برای مسیر واقعی باریکه بین $A$ و $B$ زمان سپری شده $t$ باید یک اکسترمم باشد. \begin{equation*} \frac{dt}{d\beta}= 0 \end{equation} \noindent یا \begin{equation*} \frac{r^2 \beta}{c}\left(\frac{n_1}{u}+ \frac{n_2}{\nu}+ \frac{n_1 - n_2}{r}\right) = 0 \end{equation} \noindent یکی از پاسخ‌های معادله بالا $\beta = 0$ است. این حالت بیانگر این است که مسیر $APB$ یکی از مسیرهای ممکن بین $A$ و $B$ است. زیرا $AP$ به طور عمود بر سطح انحنا تابیده می‌شود، و بر پایه‌ی قانون اسنل بدون شکست به نقطه $B$ می‌رسد. پاسخ دیگر این معادله به صورت زیر است \begin{equation*} \frac{n_1}{u}+\frac{n_2}{\nu}+ \frac{n_1 - n_2}{r} =0 \end{equation} \noindent یا \begin{align}\label{equ2_7} \frac{n_1}{u}+\frac{n_2}{\nu}= \frac{n_2 - n_1}{r} \end{align} \noindent بنابراین اگر نقاط $A$ و $B$ روی محور نوری باشند و فاصله آنها از $P$، $u$ و $\nu$ باشد آنگاه معادله‌ی بالا برآورده می‌شود. پس $AQB$ یک مسیر ممکن مستقل از $\beta$ (برای هر موقعیتی از $Q$ روی سطح) است که ناشی از کوچک بودن $\beta$ در تقریب پیرامحوری است. به عبارت دیگر تمام باریکه‌هایی که از $A$ ناشی می‌شوند و تحت زاویه کوچک $\beta$ به سطح $MN$ برخورد می‌کنند بعد از شکست در سطح $MN$ از نقطه $B$ می‌گذرند ($B$ نقطه‌ای است با $\nu$ داده شده در معادله \ref{equ2_7}). $B$ تصویر پیرامحوری شئ نقطه‌ای $A$ نامیده می‌شود. همچنین توجه کنید تمام باریکه‌های پیرامحوری که از $A$ و $B$ می‌گذرند، مدت زمان $t_{AB}$ را سپری می‌کنند که از رابطه \ref{equ2_6} بدست می‌آید \begin{equation*} t_{AB} = \frac{n_1 u+ n_2 \nu}{c} \end{equation} \noindent که با زمان بدست آمده برای باریکه محوری $APB$ یکسان است. در می‌یابیم که اکسترمم زمان $t_{AB}$ برای تمام باریکه‌های پیرامحوری مقداری ثابت است. البته این مقدار از باریکه‌های غیر پیرامحوری بین دو نقطه‌ی $A$ و $B$ کمتر است. تمام باریکه‌های بین $A$ و $B$ که زمان $t_{AB}$ برای آنها برابر است را براریکه‌های همزمان \LTRfootnote{Isochronous} می‌نامند. \noindent \textbf{\textit{مثال ۲.۲}} \noindent چشمه‌ی نقطه‌ای را مقابل یک سطح بازتابنده‌ی کاو که دو محیط با ضریب شکست‌های $n_1$ و $n_2$ را از هم جدا می‌کند قرار داده‌ایم. موقعیت تصویر نقطه‌ای آنرا در تقریب پیرامحوری با کمک اصل فرما\index{اصل فرما} بیابید. \noindent \textbf{\textit{پاسخ}} \noindent چشمه‌ی نقطه‌ای $A$ را مقابل سطح کاو $MN$ در نظر بگیرید. $AP$ محور نوری و $C$ مرکز انحنای سطح $MN$ (شکل \ref{fig2-6}) هستند. باریکه‌ی پیرامحوری $AQ$ از $A$ روی سطح $MN$ در نقطه‌ی $Q$ تابیده می‌شود. بعد از شکست، در راستای $QS$ قرار می‌گیرد. اگر باریکه‌ی $QS$ را در محیط فرود امتداد دهیم، محور نوری را در نقطه‌ی $B$ قطع می‌کند. می‌دانیم که نقطه‌ی $B$ تصویر مجازی چشمه‌ی نقطه‌ای $A$ است. می‌خواهیم موقعیت نقطه‌ی $B$ را با کمک اصل فرما\index{اصل فرما} بیابیم. \noindent راه نوری بین $A$ و $C$ به صورت زیر است \begin{equation*} \Delta= n_1 AQ +n_2 QS \end{equation} \noindent حال طبق اصل فرما\index{اصل فرما} باریکه‌ی نور $AQ$ در امتداد $QS$ از سطح $MN$ شکسته می‌شود که دارای کمترین راه نوری است. به هر حال راستای خط $QS$ مشخص و موقعیت نقطه $S$ اختیاری است و $S$ می‌تواند در هر فاصله‌ای از $Q$ روی خط $QS$ انتخاب شود. به عبارت دیگر اگر رابطه‌ی زیر را بنویسیم \begin{equation*} QS= SB - BQ \end{equation} \begin{figure} \begin{center} \centerline{\includegraphics[width=10cm]{fig2-6.png}} \caption{اصل فرما\index{اصل فرما} در شکست در سطوح کروی} \label{fig2-6} \end{center} \end{figure} \noindent آنگاه وردش در $QS$ باعث وردش در $BQ$ خواهد شد. از این رو وردش در $\Delta$ به وردش در طول راه نوری می‌انجامد. \begin{equation*} l= n_1 AQ - n_2 BQ \end{equation} \noindent بر پایه‌ی اصل فرما\index{اصل فرما} باریکه از مسیری پیروی می‌کند که $l$ کمترین باشد. حال مثلث $ACQ$ را در شکل \ref{fig2-6} ببینید. در می‌یابیم که \begin{equation*} AQ= \left[AC^2 +CQ^2 - 2(AC)(CQ)\cos (\pi - \beta)\right] \end{equation} \begin{equation*} =\left[{(u- r)}^2 + r^2 = 2( u-r) r \cos \beta \right] \end{equation} \begin{equation*} \approx u + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{u} - \frac{1}{r}\right) r^2 \beta^ 2 \end{equation} \noindent به طوری که از $\cos \beta \approx 1- \frac{\beta^ 2}{2}$ مانند بخش قبل استفاده شده است. مشابه آن از مثلث $BQC$ در می‌یابیم که \begin{equation*} BQ\approx \nu + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{\nu}- \frac{1}{r}\right) r^2 \beta^ 2 \end{equation} \noindent از این رو داریم \begin{equation*} l= (n_1 u - n_2 \nu) + \frac{1}{2}r^2 \beta^ 2 \left( \frac{n_1}{u} - \frac{n_2}{\nu} + \frac{n_2 - n_1}{r}\right) \end{equation} \noindent بنابراین با شرط $\frac{dl}{d\beta}=0$، $l$ کمترین خواهد شد. \begin{equation*} r^2 \beta \left( \frac{n_1}{u} - \frac{n_2}{\nu} + \frac{n_2 - n_1}{r}\right) = 0 \end{equation} \noindent شبیه استدلال‌هایی که در بخش 2- 2 آوردیم می‌بینیم که تمام باریکه‌های پیرامحوری ناشی از نقطه‌ی $A$ بعد از شکست از سطح $MN$ در راستایی منتشر می‌شوند که امتداد آنها از نقطه‌ی $B$ بگذرد و فاصله‌ی نقطه‌ی $B$ از نقطه‌ی $P$، $\nu$ از رابطه‌ی زیر بدست می‌آید \begin{align}\label{equ2_8} \frac{n_1}{u} - \frac{n_2}{\nu} = - \frac{n_2 - n_1}{r} \end{align} \subsection{قرارداد علامت} توجه کنید که که هر دو رابطه‌ی \ref{equ2_7} و \ref{equ2_8} با انتخاب یک قرارداد علامت مناسب، می‌توانند حالتهای خاصی از رابطه‌ی زیر باشند. \begin{align}\label{equ2_9} \frac{n_2}{\nu} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{r} \end{align} \noindent این قرارداد که اکنون به طور کلی استفاده می‌شود، قرارداد مختصات نامیده می‌شود. بر طبق این قرارداد 1-چشمه‌ی نقطه‌ای همیشه در طرف چپ سامانه نوری قرار دارد، بنابراین باریکه تابیده شده از چپ به راست حرکت می‌کند. 2- تمام فاصله‌های اندازه‌گیری شده در طرف راست مرکز نوری، $P$ مثبت و آنهایی را که در طرف چپ نقطه‌ی $P$ باشند منفی می‌گیریم. پس $u$ در رابطه \ref{equ2_9} منفی است. ۳- شعاع انحنای $r$ برای سطوح کوژ (محدب) مثبت (زیرا $C$ در طرف راست $P$ قرار دارد) و برای سطوح کاو(مقعر) منفی است (زیرا $C$ در طرف چپ $P$ قرار دارد). بنابراین در رابطه‌ی \ref{equ2_9} اگر $u$ را منفی، $\nu$ و $r$ را مثبت بگیریم، رابطه \ref{equ2_9} را برای سطح کوژ در نظر گرفته‌ایم، و اگر همه‌ی $u$، $\nu$ و $r$ را منفی بگیریم این رابطه‌‌ را برای سطح کاو در نظر گرفته‌ایم. توجه کنید که قرارداد علامت، یک رهیافت برای بدست آوردن یک رابطه‌ی درست از رابطه‌ی \ref{equ2_9} است. %\section{سطح دکارتی؛ بیضی دکارتی} %\begin{figure} %\begin{center} %\centerline{\includegraphics[width=8cm]{fig2-7.png}} %\caption{کپشن کپشن کپشن } %\label{fig2-7} %\end{center} %\end{figure} %\begin{align}\label{equ2_10} %n_1 {(x^2 + y^2 + z^2)}^{1/2} + n_2 {{((u + \nu - x)}^2 + y^2 + z^2)}^{1/2}=C %\end{align} \section{روش ماتریسی در نورشناسی پیرامحوری} جبر ماتریسی ابزار مفید و بسیار قوی برای دنبال کردن مسیر یک باریکه‌ی نور هنگام وارد شدن به یک سامانه نوری شامل عدسی‌ها، آیینه‌ها است. هنگامی که یک باریکه وارد یک سامانه نوری می‌شود ممکن بازتابیده، شکسته، یا در ساده‌ترین حالت در یک محیط همگن که بین سطوح محدود شده، به خط مستقیم به حرکت خود ادامه دهد. هنگامی که باریکه نوری به یک سطح برخورد کند راستای آن در اثر بازتاب، یا شکست به طور ناگهانی تغییر می‌کند، ولی ارتفاع آن از محور نوری قبل و بعد از شکست یا بازتاب ثابت می‌ماند. از طرف دیگر هنگامی که باریکه نوری بین دو سطح حرکت می‌کند، بدون اینکه راستای آن تغییر کند، ارتفاع آن از محور نوری ممکن است تغییر کند. در تقریب پیرامحوری فرض بر این است که زاویه‌ی بین باریکه با محور نوری خیلی کوچک است. هر یک از فرآیندهای شکست، بازتاب و انتقال را می‌توان با یک ماتریس $2 \times 2$ نشان داد. با این روش می‌توان با داشتن حالت اولیه باریکه، حالت نهایی آن را یافت. به این ترتیب که با ضرب ماتریس‌های هر فرآیند، که میتواند یکی از فرآیندهای شکست، بازتاب و یا انتقال باشد، به یک ماتریس $2\times 2$ دست می‌یابیم که ماتریس سامانه نوری نامیده می‌شود. این ماتریس می‌تواند از پیچیدگی‌های یک سامانه نوری مرکب بکاهد. در ادامه‌ی این فصل این خاصیت را نشان خواهیم داد. \subsection{مختصات یک پرتو} یک باریکه را می‌توان با دو مختصه توصیف کرد. $y$ فاصله‌ی عمودی از محور نوری در هر نقطه، و $\alpha$ زاویه‌ای است که باریکه با محور نوری می‌سازد. اگر $y$ و $\alpha$ در هر نقطه از فضا (نسبت به سامانه نوری) داده شوند ،می‌توان مسیر باریکه را در هر نقطه دنبال کرد. اگر مختصات باریکه را بجای ($\alpha , y$) با ($n\alpha , y$) نشان دهیم مفیدترخواهد بود، که در آن $n$ ضریب شکست محیطی است که باریکه در آن حرکت می‌کند. حالت یک باریکه را در هر نقطه، در محیطی با ضریب شکست $n$ با یک بردار (ماتریس ستونی) با دو مولفه تعریف می‌کنیم. \begin{align}\label{equ2_11} Ray \equiv \begin{pmatrix} n\alpha \\ y \end{pmatrix} \end{align} \noindent همانطور که باریکه درون یک سامانه نوری حرکت می‌کند، در دو پارامتر $y$ و $n\alpha$ ممکن است تغییر کنند. \section{ماتریس انتقال} شکل \ref{fig2-10} یک باریکه را در حال جابجا شدن در یک محیط همگن با ضریب شکست $n$ بین دو نقطه‌ی 1 و 2 نشان می‌دهد. حالت اولیه باریکه در نقطه‌ی 1 با مختصات اولیه‌ی ($n \alpha_1 , y_1$) توصیف می‌شود، که در آن $y_1$ فاصله‌ی عمودی نقطه‌ی 1 از محور نوری و $\alpha_1$ زاویه‌ای است که امتداد باریکه در نقطه‌ی 1 با محور نوری می‌سازد. باریکه تا نقطه‌ی 2 منتشر می‌شود و در نقطه‌ی 2 داریم \begin{equation*} \alpha_ 2 = \alpha_ 1 , y_2 = y_1 + L \tan \alpha_ 1 \end{equation} \begin{figure} \begin{center} \centerline{\includegraphics[width=7cm]{fig2-10.png}} \caption{مشخصات ماتریسی انتقال پرتو } \label{fig2-10} \end{center} \end{figure} \noindent در تقریب پیرامحوری تمام زاویه‌ها را کوچک می‌گیریم، در نتیجه $\tan \alpha_ 1\approx \alpha_1$ بنابراین رابطه‌ها‌ی بالا به صورت زیر تغییر می‌کنند \begin{equation*} \alpha_ 2 = \alpha_ 1 \Rightarrow n \alpha_ 2 = n \alpha_ 1 \\ y_2 = L \alpha_ 1+ y_1 \Rightarrow y_2 = (\frac{L}{n}) n\alpha_ 1 + y_1 \end{equation} \noindent این رابطه‌ها را می‌توان به صورت یک رابطه‌ی ماتریسی نوشت \begin{align}\label{equ2_12} \begin{pmatrix} n \alpha_2 \\ y_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{L}{n} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n \alpha_ 1 \\ y_1 \end{pmatrix} \end{align} \noindent ماتریس \begin{align}\label{equ2_13} \bf{T} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{L}{n & 1} \end{pmatrix} \end{align} \noindent ماتریس انتقال نامیده می‌شود. این ماتریس حالت اولیه را در حالت ساده‌ی انتقال به حالت نهایی تبدیل می‌کند. توجه کنید که دترمینان این ماتریس یک است. \begin{equation*} det\bf{T} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ \frac{L}{n} & 1 \end{vmatrix} =1 \end{equation} \section{ماتریس شکست\index{ماتریس شکست}} یک باریکه از سطح کروی جدایی دو محیط به ضرایب شکست $n_1$ و $n_2$ مطابق شکل \ref{fig2-11} شکسته شود. باریکه فرودی، $OP$ بعد از برخورد با سطح در نقطه‌ی $P$ به سمت نقطه‌ی $I$ شکسته می‌شود. مختصات باریکه‌های فرودی و شکسته شده در نقطه‌ی $P$ به صورت ($n_1 \alpha_ 1, y_1$) و ($n_2 \alpha_ 2 , y_2$) تعریف می‌شود، که $\alpha_1$ و $\alpha_2$ زاویه‌ی باریکه‌ها با محور نوری و $y_1$ و $y_2$ فاصله‌ی آنها از محور نوری است. توجه کنید که در نقطه‌ی برخورد با سطح، فاصله‌ی عمودی باریکه از محور نوری قبل و بعد از شکست یکسان می‌ماند، به طوری که \begin{align}\label{equ2_14} y_2 = y_1 \end{align} \begin{figure} \begin{center} \centerline{\includegraphics[width=6cm]{fig2-11.png}} \caption{مشخصات ماتریسی شکست از سطوح کروی} \label{fig2-11} \end{center} \end{figure} \noindent حال باید رابطه‌ی بین $\alpha_ 1$ و $\alpha_ 2$ را بیابیم. مطابق شکل \ref{fig2-11} در می‌یابیم که \begin{subequations} \begin{align}\label{equ2_15} \alpha_1 = \theta_1 - \beta \\ \alpha_2 = \theta_2 - \beta \end{align} \end{subequations} \noindent که در آن $\theta_1$ و $\theta_2$ زاویه‌های فرود و شکست هستند، $\beta$ زاویه بین خط عمود (بر سطح جدایی) و محور نوری است و $C$ مرکز انحنای سطح است. با کمک تقریب پیرامحوری داریم \begin{equation*} \frac{\sin \theta_ 1}{\sin \theta_ 2} = \frac{\theta_ 1}{\theta_ 2} = \frac{n_2}{n_1} \text{(قانون اسنل)} \end{equation} \noindent و \begin{align}\label{equ2_16} \tan \beta \approx \beta = \frac{y_1}{r} \end{align} \noindent در این رابطه، $r$ شعاع انحنای شکست است. با جایگذاری $\theta_ 2$، $\beta$ در معادله \ref{equ2_15 } خواهیم داشت \begin{equation*} \alpha_ 2 = \frac{n_1}{n_2} \theta_ 1 - \frac{y_1}{r} \end{equation} \noindent دوباره با کمک معادله‌های \ref{equ2_15} و \ref{equ2_16} داریم \begin{equation*} \alpha_ 2 = \frac{n_1}{n_2} \left(\alpha_ 1+ \frac{y_1}{r}\right) - \frac{y_1}{r} \end{equation} \noindent یا \begin{equation*} n_2 \alpha_ 2 =n_1 \alpha_ 1+ \frac{(n_1 - n_2)}{r} y_1 \end{equation} \noindent بنابراین رابطه‌ی بین مختصات باریکه‌ی نهایی و اولیه به صورت زیرخواهد شد. \begin{equation*} y_2 = y_1 \end{equation} \begin{align}\label{equ2_17} n_2 \alpha_ 2= n_1 \alpha_ 1+ \frac{(n_1 - n_2)}{r} y_1 \end{align} \noindent معادلات بالا را می‌توان به شکل ماتریسی نوشت \begin{align}\label{equ2_18} \begin{pmatrix} n_2 \alpha_2 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{(n_1 - n_2)}{r}b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n_1 \alpha_ 1\\ y_1 \end{pmatrix} \end{align} \noindent ماتریس \begin{equation*} \bf{R}_{21}= \begin{pmatrix} 1 & -P \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{equation} \noindent ماتریس شکست\index{ماتریس شکست} نامیده می‌شود؛ $P=\frac{(n_2 - n_1)}{r}$ قدرت نوری سطح شکست نامیده می‌شود. ماتریس $\bf{R}_{21]$ حالت نهایی و اولیه‌ی باریکه‌ را زمانی که باریکه از محیط 1 به 2 شکسته می‌شود بهم مرتبط می‌سازد. توجه کنید که \begin{equation*} det \bf{R}_{21} = \begin{vmatrix} 1 & -P \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \end{equation} \section{ماتریس بازتاب} سرانجام بازتاب از یک سطح کروی را در نظر می‌گیریم. یک آیینه‌ی کوژ (محدب) با شعاع انحنای $r$ را تصور کنید. مطابق شکل \ref{fig2-12}، $OP$ باریکه‌ی فرودی و $PI$ باریکه‌ی بازتابی است. مختصات باریکه‌های فرودی و شکسته شده ($n_1 \alpha_1 , y_1$) و ($n_2 \alpha_2 , y_2$) است که در آن $n_1$ ضریب شکست محیطی است که باریکه‌ها در آن تابیده و بازتابیده می‌شوند. معمولا این محیط هواست ($n_1=1$). در نقطه‌ی بازتاب $P$ ارتفاع‌ باریکه‌های تابیده و بازتابیده تغییر نمی‌کنند پس $y_1 = y_2$. رایطه‌ی بین $\alpha_1$ و $\alpha_2$ را می‌توان با کمک هندسه‌ی شکل \ref{fig2-12} بدست آورد \begin{align}\label{equ2_19} \alpha_ 1= \theta_ 1- \beta , \alpha_ 2= \theta_ 2 + \beta \end{align} \begin{figure} \begin{center} \centerline{\includegraphics[width=8cm]{fig2-12.png}} \caption{مشخصات ماتریسی بازتاب از سطوح کروی} \label{fig2-12} \end{center} \end{figure} \noindent به طوری که $\theta_1 =\theta_2$ (زاویه‌های تابیده و بازتابیده) و با تقریب پیرامحوری $\beta\approx \frac{y_1}{r}$ است. در نتیجه \begin{equation*} \alpha_ 2= \theta_ 1 + \beta = \alpha_ 1+ 2\beta = \alpha_ 1 + \frac{2y_1}{r} \end{equation} \noindent بنابراین رابطه‌ی بین مختصات باریکه‌های نهایی و اولیه به صورت زیر می‌شود. \begin{equation*} y_2 = y_1 \end{equation} \begin{equation*} n \alpha_ 2 = n \alpha_ 1 + \frac{2n}{r} y_1 \end{equation} \noindent معادلات بالا را می‌توان به صورت ماتریسی هم نوشت. \begin{align}\label{equ2_20} \begin{pmatrix} n \alpha_ 2 \\ y_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & \frac{2n}{r} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n \alpha_ 1 \\ y_1 \end{pmatrix} \end{align} \noindent ماترس \begin{align}\label{equ2_21} \bf{R}= \begin{pmatrix} 1 & \frac{2n}{r} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \frac{n}{f} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align} \noindent ماتریس بازتاب نامیده می‌شود. ماتریس $R$ حالت نهایی و اولیه‌ی باریکه‌ را بهم مرتبط می‌سازد. توجه کنید \begin{equation*} det \bf{R}= \begin{vmatrix} 1 & \frac{n}{f} \\ o & 1 \end{vmatrix} =1 \end{equation} \subsection{قرارداد علامت} تا اینجا ماتریس‌های انتقال، شکست، بازتاب را برای حالت‌های خاص بدست آوردیم ازجمله‌ی این حالت‌های خاص می‌توان از حالت خاص $n_2 > n_1$ برای حالت شکست در سطوح کوژ نام برد. در هر حال اگر از قرارداد علامت که در بخش 2.2.1 گفته شد استفاده شود، این ماتریس‌ها را می‌توان برای حالت‌های کلی‌تر نیز بکارد برد. قرارداد علامت به این ترتیب بود که تمام فاصله‌ها در طرف چپ مرکز نوری منفی و در طرف راست مثبت در نظر گرفته می‌شود. میتوان دو قرارداد زیر را به آن اضافه کرد. الف) مختصه‌ی زاویه‌ای، مثبت است اگر باریکه به سمت بالا اشاره داشته باشد و منفی است اگر به سمت بالا اشاره کند. این قرارداد برای هر دو باریکه‌ی اولیه و نهایی بکار می‌‌رود. شکل \ref{fig2-13} را ببینید. \begin{figure} \begin{center} \centerline{\includegraphics[width=8cm]{fig2-13.png}} \caption{قرارداد علامت} \label{fig2-13} \end{center} \end{figure} ب) تمام فاصله‌های بالای محور نوری مثبت و تمام فاصله‌هایی که پایین محور باشند منفی درنظر گرفته می‌شود. \noindent \textbf{\textit{مثال ۴.۲}} \noindent یک استوانه بلند شیشه‌ای ($n=1.6$) با وجه کوژ به شعاع انحنای را $cm$ ۱/۵ در نظر بگیرید. یک باریکه فرودی نور به سطح کوژ در ارتفاع 2 سانتیمتر و زاویه‌ا‌یی نسبت به محور نوری استوانه فرود می‌آید. زاویه‌ایی که باریکه بعد از شکست از سطح و وارد شدن به شیشه با محور می‌سازد را مشخص کنید. \noindent \textbf{\textit{پاسخ}} \noindent بر اساس رابطه \ref{equ2_7}، زاویه‌ی $\alpha_1$ که باریکه‌ی شکسته شده نسبت به محور در محیط $n_2$ می‌سازد از رابطه‌ی زیر بدست می‌آید. \begin{equation*} n_2 \alpha_ 2= n_1 \alpha_ 1- P y_1 \end{equation} \noindent به طوری که $P=\frac{(n_2 - n_1)}{r}$ قدرت شکست سطح است؛ ($\alpha_1 , y_1$) مختصات باریکه‌ی فرودی است. \begin{figure} \begin{center} \centerline{\includegraphics[width=8cm]{fig2-14.png}} \caption{شکست در سطح کروی} \label{fig2-14} \end{center} \end{figure} \noindent مختصات نقطه‌ی برخورد برابر $y = 2 cm$ و $\alpha_ 1 = \pi \times \frac{6}{180}= \frac{\pi}{30} rad$ است. برای سطح کوژ $r= +5 cm$ پس \begin{equation*} P= \frac{1.6 - 1}{5} = + \frac{3}{25} cm^{-1} \end{equation} \noindent بنابراین داریم \begin{equation*} 1.6 \alpha_ 2 = \frac{\pi}{30}- 3 \times \frac{2}{25}= - 0.1353 \end{equation} \noindent یا \begin{equation*} \alpha_ 2 = - 0.0845 rad = - 4.8^\circ \end{equation} \noindent توجه کنید که علامت منفی $\alpha_2$ نشان می‌دهد که باریکه‌‌ی شکسته شده به سمت پایین محور میل می‌کند. در صورتی که باریکه‌ی تابیده شده به سمت بالا تمایل دارد ($\alpha_1$ مثبت است). \section{شکست در دو سطح: ماتریس عدسی‌های ضخیم} یک عدسی قطعه‌ای است که دارای دو سطح شکست است. هنگامی که باریکه‌ی نور از درون یک عدسی میگذرد ابتدا در سطح نخست و سپس در سطح پشتی شکسته می‌شود. بین دو سطح، باریکه درون محیط عدسی منتقل می‌شود. یک سامانه نوری شبیه شکل \ref{fig2-15} را در نظر بگیرید. باریکه‌ی فرودی ($n_1 \alpha_1 , y_1$) در نقطه‌ی $P$ روی سطح نخست کروی به شعاع $r_1$ شکسته می‌شود. مختصات باریکه‌ی شکسته شده در نقطه‌ی $P$ از رابطه‌ی زیر بدست می‌آید. \begin{align}\label{equ2_22} \begin{pmatrix} n_2 \alpha_2 \\ y_2 \end{pmatrix} = \bf{R}_{21} \begin{pmatrix} n_1 \alpha_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \end{align} \noindent به طوری که \begin{equation*} \bf{R}_{21}= \begin{pmatrix} 1 & - P_1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{equation} \noindent و \begin{equation*} P_1 = \frac{(n_2 - n_1)}{r_1} \end{equation} \begin{figure} \begin{center} \centerline{\includegraphics[width=8cm]{fig2-15.png}} \caption{شکست در عدسی ضخیم} \label{fig2-15} \end{center} \end{figure} \noindent ماتریس شکست\index{ماتریس شکست} در سطح اول، $n_2$ ضریب شکست عدسی، $P_1$ قدرت شکست در سطح اول است. بین نقاط $Q$ و $P$ باریکه در عدسی انتقال می‌یابد. مختصات باریکه در نقطه‌ی $Q$ (قبل از اینکه دومین بار شکست یابد) از رابطه‌ی \ref{equ2_12} بدست می‌آید. \begin{align}\label{equ2_23} \begin{pmatrix} n_2 \alpha'_2 \\ y'_2 \end{pmatrix} = \bf{T}\begin{pmatrix} n_2 \alpha_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{align} \noindent به طوری که \begin{equation*} \bf{T}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{d}{n_2} & 1 \end{pmatrix} \end{equation} \noindent ماتریس انتقال در عدسی است. اکنون با تقریب پیرامحوری، فاصله‌ی محوری که باریکه جابجا می‌شود را برابر با فاصله‌ی دو سطح در امتداد محور نوری، $d$ درنظر می‌گیریم، که $d$ همان ضخامت عدسی است. سرانجام شکست در نقطه‌ی $Q$ روی سطح کروی دوم به شعاع $r_2$ انجام می‌شود. مختصات باریکه‌ی نهایی خارج شده در نقطه‌ی $Q$‌ از رابطه‌ی زیر بدست می‌آید. \begin{align}\label{equ2_24} \begin{pmatrix} n_3 \alpha_3 \\ y_3 \end{pmatrix} = \bf{R}_{32} \begin{pmatrix} n_2 \alpha'_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{align} \noindent به طوری که \begin{equation*} \bf{R}_{32}= \begin{pmatrix} 1 & -P_2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{equation} \noindent و \begin{equation*} P_2 = \frac{(n_3 - n_2)}{- r_2} \end{equation} \noindent ماتریس شکست\index{ماتریس شکست} درسطح دوم است. توجه کنید که ضریب شکست محیط آخر را $n_3$ فرض کرده‌ایم. علامت منفی در $r_2$ بدلیل کاو بودن سطح دوم است. $P_2$ قدرت شکست سطح دوم است. با ترکیب معادلات \ref{equ2_22} و \ref{equ2_24} خواهیم داشت \begin{align}\label{equ2_25} \begin{pmatrix} n_3 \alpha_3 \\ y_3 \end{pmatrix} = \bf{R}_{32}\bf{T}\bf{R}_{21} \begin{pmatrix} n_1 \alpha_1 \\ y_1 \end{pmatrix} = \bf{S} \begin{pmatrix} n_1 \alpha_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \end{align} \noindent به طوری که$\bf{S}= \bf{R}_{32} \bf{T}\bf{R}_{32}$ که یک ماتریس $2\times2$ است، ماتریس سامانه یک عدسی ضخیم است. ماتریس $S$ حالت اولیه‌ی باریکه را بعد از عبور از عدسی ضخیم به حالت نهایی مرتبط میکند. \noindent توجه کنید که \begin{LTRitems} $det \bf{S}$ $ =det(\bf{{R}_{32}TR_{21}})$ $= (det \bf{R}_{32})$$ (det \bf{T})$$(det\bf{R}_{21}) =$ 1 \end{LTRitems} \subsection{ثابت گاوس} ماتریس سامانه یک سامانه نوری را در حالت کلی میتوان به صورت زیر نوشت \begin{align}\label{equ2_26} \bf{S} = \begin{pmatrix} B & - A \\ -D & C \end{pmatrix} \end{align} \noindent که عناصر $A$، $B$، $C$ و $D$ ثابت‌های گاوس نامیده می‌شوند. برای عدسی ضخیم با ضرب ماتریس‌های $\bf{R}_{21}$، $\bf{T}$ و $\bf{R}_{21}$ (دراین مورد) می‌توان عناصر این ماتریس را یافت. با ضرب این ماتریس‌ها خواهیم داشت \begin{equation*} B = 1 - \frac{P_2 d }{n_2} , C= 1 - \frac{P_1 d}{n_2} \end{equation} \begin{align}\label{equ2_27} A= - P_1P_2 \frac{d}{n_2}+ P_1 + P_2 , D=\frac{-d}{n_2} \end{align} \noindent فقط سه تا از چهار ثابت گاوس مستقل‌اند. بین عناصر این ماتریس رابطه‌ی زیر برقرار است \begin{align}\label{equ2_28} det \bf{S} = BC - AC = 1 \end{align} \subsection{ماتریس عدسی‌های نازک} یک عدسی هنگامی نازک نامیده می‌شود که ضخامتش، $d$ قابل صرفنظر باشد $d= 0 $، ($d\ll r_1$ و $d\ll r_2$). عناصر ماتریس سامانه عدسی نازک با قرار دادن $d=0$ در رابطه‌ی \ref{equ2_26} بدست می‌آید \begin{equation*} \bf{S} =\begin{pmatrix} 1 & -P_1 - P_2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -P \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{equation} \noindent به طوری که \begin{equation*} P = P_1 + P_2 = \frac{(n_2 - n_1)}{r} - \frac{(n_3 - n_2)}{r_2} \end{equation} \noindent قدرت نوری کل یک عدسی نازک است. اگر محیط دو طرف عدسی یکسان باشد آنگاه $n_2 = n_3$ و خواهیم داشت \begin{equation*} P = (n_2 - n_1) \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}\right) = \frac{1}{f} \end{equation} \noindent به طوری که $f$ فاصله‌ی کانونی عدسی نازک نامیده می‌شود. بنابراین ماتریس سامانه عدسی نازک به صورت زیر نوشته می‌شود \begin{align}\label{equ2_29} S = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{f} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align} \section{ماتریس سامانه} یک سامانه نوری مرکب شامل چندین عدسی نازک یا ضخیم است که به طور جداگانه در کنار هم قرار گرفته‌اند. ما به طور ضمنی فرض کرده‌ایم که تمام عناصر سامانه دارای تقارن استوانه‌ای‌اند و بطور متقارن در امتداد محور نوری مشترکشان قرار گرفته‌اند. با توجه به مطالب بخش پیشین، ماتریس سامانه یک سامانه نوری کامل از ضرب ماتریس‌های عناصر تشکیل دهنده سامانه بدست می‌آید. سرانجام ماتریس $2\times2$ سامانه که یک سامانه کامل نوری را توصیف می‌کند، بدست می‌آید. بنابراین \begin{equation*} \begin{pmatrix} n_2 \alpha_ 2 \\ y_2 \end{pmatrix} = \bf{S}_{21} \begin{pmatrix} n_1 \alpha_ 1 \\ y_1 \end{pmatrix} \end{equation} \noindent که در آن $\bf{S}_{21}$ ماتریس سامانه است که مختصات باریکه‌ی فرودی ($n_1 \alpha_ 1 , y_1$) را به باریکه‌ی خروجی ($n_2 \alpha_ 2, y_2$) تبدیل می‌کند. مختصات باریکه‌های ورودی و خروجی در نخستین سطح سامانه که به سامانه وارد و آخرین سطح سامانه که از آن خارج می‌شود، تعریف می‌شود. برای مثال در عدسی‌های ضخیم (شکل \ref{fig2-16})، نقاط $P$ و $Q$ نقاط ورودی به سامانه و خروجی از آن هستند. صفحات عمود بر محور نوری درنقاط ورودی و خروجی، صفحات ورودی و خروجی نامیده می‌شوند. \noindent \textbf{\textit{مثال ۵.۲}} \noindent یک عدسی ضخیم به شکل نیمکره شیشه‌ای ($n= 1.5$) به شعاع انحنای سطح کروی $cm$ ۵ را درنظر بگیرید. ماتریس سامانه را برای این عدسی در هوا بنویسید. \noindent \textbf{\textit{پاسخ}} \noindent عدسی نیمکروی شامل یک سطح شکست کروی، یک محیط شیشه‌ای به ضخامت $r= 5 cm$ و یک سطح شکست تخت است. اگر فرض کنیم که باریکه ابتدا با سطح کروی برخورد کند، برطبق رابطه‌ی \ref{equ2_25} ماتریس سامانه به صورت زیر خواهد شد. \begin{equation*} \bf{S}= \bf{R}_{32} \bf{T}\bf{R}_{21} \end{equation} \noindent به طوری که $\bf{R}_{21}$ ماتریس شکست\index{ماتریس شکست} در فصل مشترک هوا-سطح کروی شیشه، $\bf{T}$ ماتریس انتقال در محیط شیشه و $\bf{R}_{32}$ ماتریس شکست\index{ماتریس شکست} در فصل مشترک تخت شیشه-هوا است. اکنون از معادله‌ی \ref{equ2_18} خوهیم داشت \begin{equation*} \bf{R}_{21} =\begin{pmatrix} 1 & - P_{21} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \noindent و \begin{equation*} P_{21} = \frac{15 - 1}{5} = 0.1 cm^{-1} \end{equation} \noindent و \begin{equation*} \bf{R}_{32} =\begin{pmatrix} 1 & -P_{32} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \noindent و \begin{equation*} P_{32} = 0 \end{equation} \begin{figure} \begin{center} \centerline{\includegraphics[width=8cm]{fig2-16.png}} \caption{یک عدسی ضخیم} \label{fig2-16} \end{center} \end{figure} \noindent توجه کنید که شعاع انحنای سطح تخت بی‌نهایت است. همچنین از رابطه‌‌ی \ref{equ2_12} ($t= 5 , n= 1.5$) ماتریس عبور به صورت زیر بدست می‌آید \begin{equation*} \bf{T} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{t}{n} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{10}{3} & 1 \end{pmatrix} \end{equation} \noindent بنابراین ماتریس سامانه از ضرب ماتریس‌های شکست و عبور بدست می‌آید \begin{equation*} \bf{S}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{10}{3} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -0.1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -0.1 \\ \frac{10}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \end{equation} \noindent می‌توان دید که \begin{LTRitems} \begin{center} $det \bf{S}$ $= \frac{2}{3} - (-0.1) \times \frac{10}{3}=$ 1 \end{center} \end{LTRitems} \noindent پس ثابت‌های گاوس به صورت زیر است \begin{equation*} B= 1 , A= 0.1 cm^{-1} , D= - \frac{10}{3} cm , C= \frac{2}{3} \end{equation} \noindent از طرف دیگر اگر فرض کنیم که سطح تخت عدسی سطحی است که باریکه با آن تابیده می‌شود، ماتریس سامانه به صورت زیر خواهد شد \begin{equation*} \bf{S'} = \begin{pmatrix} 1 & -0.1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{10}{3} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & -0.1 \\ \frac{10}{3} & 1 \end{pmatrix} \end{equation} \noindent برای یافتن این ماتریس جای ماتریس‌های شکست را عوض کرده‌ایم. ثابت ‌های گاوس دراین حالت به صورت زیر خواهد شد. \begin{equation*} B'=\frac{2}{3} , A'= 0.1 cm^{-1} , D' = - \frac{10}{3} cm , C'= 1. \end{equation} \subsection{ماتریس شئ تا تصویر} حال مقدمات لازم را برای بحث در فرآیند تشکیل تصویر ازیک شیء را با کمک یک سامانه نوری را فراهم کرده‌ایم. در شکل \ref{fig2-17} یک جعبه‌ی مستطیلی را به عنوان یک سامانه نوری نشان داده‌ایم. جعبه ممکن است شامل یک عدسی نازک یا تعدادی عدسی نازک یا تعدادی عدسی ضخیم باشد. به هر حال این ترکیب با یک ماتریس $2\times2$ توصیف می‌شود. نقاط $A$ و $B$ فصل مشترک صفحات ورودی و خروجی سامانه با محور نوری هستند. \begin{figure} \begin{center} \centerline{\includegraphics[width=8cm]{fig2-17.png}} \caption{سامانه نوری به شکل جعبه مستطیلی} \label{fig2-17} \end{center} \end{figure} یک شی در فاصله‌ی $u$ در طرف چپ از صفحه‌ی فرود در ارتفاع $y_1$ بالای محور نوری قرار دارد. تصویر $I$، شی $O$ در فاصله‌ی $\nu$ در طرف راست صفحه‌ی خروج، در ارتفاع $y_2$ بالای محور نوری تشکیل می‌شود. رابطه‌های بین $u$، $\nu$، $y_1$ و $y_2$ را بدست خواهیم آورد. توجه کنید که تصویر $I$ نقطه‌ای است که تمام باریکه‌هایی که از نقطه‌ی $O$ شروع شده در آن نقطه همگرا می‌شوند. به منظور تحلیل آن، باریکه‌ی $OP$ را در نظر بگیرید که از نقطه‌ی $O$ روی سامانه نوری تابیده می‌شود. بعد از عبور از سیستم، باریکه در نقطه‌ی $O$ روی صفحه‌ی خروجی از سامانه نوری، از سامانه خارج می‌شود و سرانجام به نقطه‌ی $I$ می‌رسد. بین نقاط $O$ و $P$ ، باریکه در یک محیط همگن با ضریب شکست $n$ منتقل می‌شود. اگر این محیط هوا باشد $n=1$ است. اکنون اگر مختصات باریکه در نقطه‌ی $O$، ($\alpha_1 ,y_1$) باشد، مختصات باریکه در نقطه‌ی $P$ از رابطه‌ی \ref{equ2_12} بدست می‌آید. \begin{equation*} \begin{pmatrix} \alpha' _1 \\ y' _1 \end{pmatrix}\bf{T}_1 =\begin{pmatrix} \alpha_ 1 \\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -u & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_ 1 \\ y_1 \end{pmatrix} \end{equation} \noindent به طوری که $u$ فاصله‌ی افقی طی شده توسط باریکه است. پیرو قرارداد علامت، چون $u$ فاصله‌ی در طرف چپ تا صفحه‌ی فرود است، باید منفی باشد. مختصات باریکه در نقاط $O$ و $P$ به روش ماتریس به صورت زیر بدست می‌آید \begin{equation*} \begin{pmatrix} \alpha' _2 \\ y' _2 \end{pmatrix}= \bf{S} \begin{pmatrix} \alpha'_ 1 \\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B & -A \\ -D & C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha'_ 1 \\ y'_1 \end{pmatrix} \end{equation} \newpage فرض می‌کنیم محیط دو طرف سامانه هوا باشد، در نتیجه از نقطه‌ی $O$ تا $P$ و از نقطه‌ی $Q$ تا $I$ انتقال در هوا صورت می‌گیرد. از طرفی مختصات باریکه در نقطه‌ی تصویر، $I$ از رابطه‌ی زیر بدست می‌آید. \begin{equation*} \begin{pmatrix} \alpha _2 \\ y _2 \end{pmatrix} = \bf{T}_2 \begin{pmatrix} \alpha'_ 2 \\ y'_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \nu & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha'_ 2 \\ y'_2 \end{pmatrix} \end{equation} \noindent این سه مرحله را ترکیب می‌کنیم و به نتیجه‌ی زیر می‌رسیم \begin{equation*} \begin{pmatrix} \alpha _2 \\ y _2 \end{pmatrix} = \bf{T}_2\bf{S}\bf{T}_1\begin{pmatrix} \alpha _1 \\ y _1 \end{pmatrix} =\bf{M}\begin{pmatrix} \alpha'_ 2 \\ y'_2 \end{pmatrix} \end{equation} \noindent به طوری که $\bf{M}$ ماتریس کل برای رسیدن از شی به تصویر است. با ضرب این سه ماتریس، به ماتریس $\bf{M}$ بدست می‌آید \begin{align}\label{equ2_30} \begin{pmatrix} \alpha _2 \\ y _2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} B + uA & -A \\ \nu B + u\nuA - uC -D & C-\nu A \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_ 1 \\ y_1 \end{pmatrix} \end{align} \noindent با مقایسه‌ی عناصر در دو طرف به رابطه‌ی زیر می‌رسیم \begin{subequations} \begin{align}\label{equ2_31} \alpha _2 = (B -uA) \alpha _1 - Ay_1 \\ y_2 = (\nu B + u \nu A - uC - D) \alpha _1 +(c - \nu A) y_1 \end{align} \end{subequatiouns} از آنجایی که تصویر تنها یک نقطه است، ارتفاع آن نمی‌تواند به مختصات زاویه‌ای باریکه‌ی فرودی وابسته باشد. تمام باریکه‌های ناشی از $O$ باید در نقطه‌ی $I$ همگرا شوند. نتیجه می‌گیریم که ضریب $\alpha_1$ در رابطه‌‌ی (۲.۳۰ب) باید صفر باشد یعنی \begin{align}\label{equ2_32} \nu B + u \nu A - uC -D =0 \end{align} \noindent از رابطه‌ی بالا با داشتن عناصر ماتریس سامانه و $u$ می‌توانیم موقعیت تصویر، $\nu$ را بیابیم. علاوه بر این، ارتفاع تصویر یعنی $y_2$ با ارتفاع شیء یعنی $y_1$ دارای رابطه‌ی زیر است \begin{equation*} y_2 = (C - \nu A) y_1 \end{equation} \noindent طبق تعریف نسبت $\frac{y_2}{y_1}$ بزرگنمایی شیء است \begin{align}\label{equ2_33} m = \frac{y_2}{y_1} = C - \nu A \end{align} \noindent اکنون با استفاده از خواص دترمینان‌ها، خواهیم داشت \begin{equation*} det \bf{M} = det (\bf{T}_2 \bf{S}\bf{T}_1) = (det \bf{T}_2) (det \bf{S})(det\bf{T}_1) = 1 \end{equation} \begin{equation*} (B+ uA)(C - \nu A) = 1 \end{equation} \begin{align}\label{equ2_34} B+ u A = \frac{1}{C - \nu A} = \frac{1}{m} \end{align} \noindent بنابراین ماتریس شیء تا تصویر برای یک سامانه نوری در هوا، در حالت کلی به صورت زیر نوشته می‌شود \begin{align}\label{equ2_35} \bf{M}= \begin{pmatrix} \frac{1}{m} & -A \\ 0 & m \end{pmatrix} \end{align} \noindent به طوری که رابطه‌ی بزرگنمایی با عناصر ماتریس سامانه به صورت زیر است. \begin{align}\label{equ2_36} m = \frac{y_2}{y_1} = C - \nu A = \frac{1}{B + uA} \end{align} \noindent تحلیل بالا برای هر سامانه پیچیده‌ی نوری می‌تواند بکار رود. برای فاصله‌ی داده شده‌ی شیء، $u$ می‌توان موقعیت تصویر، $\nu$ و بزرگنمایی $m$ آن را بیابیم. \subsection{معادله عدسی‌های نازک} به طور خاص مثال ساده‌ای از عدسی نازک را بعنوان سامانه نوری درنظر بگیرید. ماتریس یک عدسی نازک از معادله‌ی \ref{equ2_29} بدست می‌آید. ثابت‌های گاوس برای عدسی نازک به صورت زیر هستند. \begin{equation*} B=1 , C=1 , D=0 , A= \frac{1}{f} \end{equation} \noindent با جایگذاری مقادیر بالا در معادله‌ی \ref{equ2_32} به رابطه‌ی زیر می‌رسیم \begin{subequations} \begin{align}\label{equ2_37} \nu +\frac{u \nu}{f} - u =0 \\ \frac{1}{\nu} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f} \end{align} \noindent این رابطه برای عدسی‌های نازک آشناست. همچنین رابطه‌ی آشنای بزرگنمایی را بدست می‌آوریم \begin{align}\label{equ2_37} m = \frac{y_2}{y_1}= 1 - \frac{\nu}{f} = \frac{\nu}{u} \end{align} \end{subequations} \noindent \textbf{\textit{مثال ۶.۲}} \noindent عدسی نیمه‌کروی مثال ۲-۵ را در نظر بگیرید، اگر شیء را روی محور نوری در فاصله‌ی $cm$ ۱۵ از سطح کروی آن قرار دهیم، موقعیت تصویر آن را بیابید. اگر قسمت تخت عدسی رو به شیء چرخانده شود، چه اتفاقی خواهد افتاد؟ \noindent \textbf{\textit{پاسخ}} \noindent بر طبق رابطه‌ی \ref{equ2_34} در می‌یابیم که فاصله‌ی تصویر از صفحه‌ی خروجی عدسی، $\nu$ با فاصله‌ی شی از صفحه‌ی فرودی، $u$ بر طبق رابطه‌ی زیر با هم در ارتباط‌اند. \begin{equation*} C - \nu A = \frac{1}{B = uA} \end{equation} \noindent به طوری که $A$، $B$، $C$ و $D$ ثابت‌های گاوس ماتریس عدسی (که در مثال ۲-۵ برای این عدسی بدست آوردیم) است. هنگامی $u=15 cm$ باشد داریم \begin{equation*} \frac{2}{3} - \nu \times 0.1 = \frac{1}{1 - 15 \times 0.1} = -2 \end{equation} \noindent یا \begin{equation*} \nu = 2.66 cm \end{equation} \noindent بنابراین تصویر حقیقی در فاصله‌ی $cm$ ۲/۶۶ پشت عدسی در فضای تصویر تشکیل می‌شود. در حالتی که سطح تخت عدسی به سمت شیء باشد، ثابت‌های گاوس برای این عدسی، عبارت است از \begin{equation*} C= 1 , A=0.1 cm^{-1} , B=\frac{2}{3} \end{equation} \noindent برای $u=-15 cm$ داریم \begin{equation*} 1 - \nu \times 0.1 = \frac{1}{\frac{2}{3} - 15 \times 0.1}= \frac{-6}{5} \end{equation} \noindent یا \begin{equation*} \nu = 22 cm \end{equation} \noindent یک تصویر حقیقی در فاصله‌ی $cm$ ۲۲ در پشت سطح کروی درفضای تصویر تشکیل می‌شود. \noindent \textbf{\textit{مثال ۷.۲}} \noindent یک توپ شیشه‌ای بزرگ به شعاع $cm$ ۲۰ جلوی نور خورشید قرار دارد. اگر ضریب شکست شیشه $cm$ ۱/۵ باشد نور خورشید در کجا کانونی می‌شود. \noindent \textbf{\textit{پاسخ}} \noindent باریکه‌های نور خورشید ($u= \infty$) در فاصله $\nu$ در پشت کره کانونی می‌شود. $\nu$ از رابطه‌ي \ref{equ2_34} بدست می‌آید \begin{equation*} (B + uA) (C - \nu A) =1 \end{equation} \noindent یا \begin{equation*} \nu = \frac{C}{A} \end{equation} \noindent می‌توان ثابت‌های $A$، $B$، $C$ و $D$ گاوس را برای توپ شیشه‌ای بیابیم. ماتریس سامانه توپ شیشه‌ای شامل ماتریس شکست\index{ماتریس شکست}، $\bf{R}_1$ برای سطح کوژ هوا-شیشه، ماتریس انتقال، $\bf{T}$ در درون شیشه به ضخامت $d = 20 cm$ و دومین ماتریس شکست\index{ماتریس شکست}، $\bf{R}_2$ برای سطح پشتی کاو شیشه- هوا است. این ماتریس به صورت زیر است. \begin{equation*} S = R_2 T R_1 = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1 - n}{- d/2} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ d/n & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -\frac{n - 1}{d/2} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{equation} \noindent برای $n=1.5$ و $d=20$ بعد از ضرب ماتریس‌ها داریم \begin{equation*} \bf{S} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{15} \\ \frac{40}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{equation} \noindent بنابراین $B=\frac{1}{3}= C$، $A= \frac{1}{15} cm^{-1}$ و $D= -\frac{40}{3} cm$ است. بنابراین \begin{equation*} \nu = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{15}} = 5 cm \end{equation} \noindent صفحه‌ی عمود بر محور نوری در فاصله‌ی $cm$ ۵ (از سطح کره در فضای تصویر) دومین صفحه‌ی کانونی سامانه نامیده می‌شود. به طور خلاصه، صفحه‌ی کانونی (اولین صفحه) دیگر در طرف دیگر (فضای شیء) در فاصله‌ی یکسان، $cm$ ۵ از کره قرار دارد. \section{نقاط اصلی و صفحات اصلی یک سامانه نوری} شش نقطه روی محور نوری در یک سامانه نوری وجود دارد که نقاط اصلی نامیده می‌شوند، و به طور کامل خواص سامانه نوری را توصیف می‌کنند. همانطور که در ادامه خواهیم دید، صفحات عمود بر محور نوری در این شش نقطه، صفحات اصلی نامیده می‌شوند. رفتار نوری یک سامانه پیچیده مانند یک عدسی ضخیم یا ترکیبی از عدسی‌های نازک بهتر است بر حسب این نقاط اصلی متصور شود.‌ تا زمانی که ماتریس سامانه شامل تمام اطلاعات ضروری درباره‌ی سامانه باشد، انتظار میرود که موقعیت نقاط اصلی باید با عناصر (ثابت‌های گاوس) ماتریس سامانه مرتبط باشند. اکنون این نقاط اصلی را یکی یکی تعریف خواهیم کرد و ارتباط آنها را با ماتریس سامانه بررسی می‌کنیم. \subsection{نقاط اصلی} دو صفحه‌ی اصلی وجود دارد که یکی در فضای شیء و دیگری در فضای تصویر قرار دارد و آنها را با $H_1$ و $H_2$ نشان می‌دهیم. طبق تعریف‌، یک باریکه‌ی پیرامحوری، از هر ارتفاع در صفحه‌ی اصلی $H_1$ در فضای شیء منتشر شود، در نهایت از ارتفاع مشابهی از صفحه‌ی اصلی $H_2$ در فضای تصویر می‌گذرد. به عبارت دیگر بزگنمایی نقاط بین $H_1$ و $H_2$ یک است. بنابراین اگر مختصات باریکه‌ی اولیه در $H_1$، ($\alpha_1 , y_1$) و مختصات باریکه‌ در $H_2$، ($\alpha_2 , y_2$) بشاد. پس $y_1 = y_2$ است. \begin{figure} \begin{center} \centerline{\includegraphics[width=8cm]{fig2-18.png}} \caption{صفحات اصلی} \label{fig2-18} \end{center} \end{figure} \noindent از رابطه‌ی \ref{equ2_36} در می‌یابیم که \begin{subequations} \begin{align}\label{equ2_38} C - \nu A = 1 , \nu = l_{H_2} = \frac{C- 1}{A} \\ B + \nu A = 1 , u = l_{H_1} = \frac{1- B}{A} \end{align} \end{subequations} \noindent به طوری که $l_{H_1}$ و $l_{H_2}$ فاصله‌ی صفحات اصلی $H_1$ و $H_2$ از صفحات فرودی و خروجی سامانه نوری تعریف می‌شود. توجه کنید که محیط شیء و تصویر را هوا فرض کرده‌ایم. فاصله‌های اندازه‌گیری شده از صفحات فرودی و خروجی به عنوان صفحات مرجع در نظر گرفته شده‌اند. فاصله‌های اندازه‌گیری شده در طرف راست صفحه‌ی مرجع مثبت و درطرف چپ را منفی گرفته‌ایم. برای عدسی نازک $C=B=1$ دراینصورت $l_{H_1}= l_{H_2}=0$ صفحات اصلی منطبق بر صفحات ورودی و خروجی هستند. به طوری که خود آنها نیز نسبت به یک تک صفحه‌ در وسط عدسی نازک، ($d=0$) سنجیده می‌شوند. \subsection{نقاط کانونی} دو نقطه‌ی اصلی در یک سامانه نورشناسیی به عنوان نقاط کانونی شناخته می‌شوند. اولین نقطه‌ی کانونی $F_1$ نقطه‌ای است در فضای شئ که اگر پرتو‌های فرودی از این نقطه ناشی شوند، بعد از عبور از سامانه نورشناسیی موازی محور نورشناسیی منتشر می‌شوند. دومین نقطه‌‌ی کانونی $F_2$ تقطه‌ای در فضای تصویر است، به طوری که پرتو‌های فرودی موازی با محور نورشناسیی در این نقطه همگرا می‌شوند. این دو نقطه‌ی کانونی را کانون‌های اول و دوم می‌نامند (شکل \ref{fig2-15} را ببینید). برای تعیین موقعیت کانون دوم باید توجه کرد که مختصات پرتو‌‌ی فرودی، ($\alpha_1 =0 , y_1$) با مختصات باریکه در نقطه‌ی کانونی، ($\alpha_2 , y_2 =0$) یکسان است. بنابراین از رابطه‌ی (۲.۳۰ب) درمی‌یابیم که \begin{subequations} \begin{align}\label{equ2_39} C - \nu A =0 \Rightarrow \nu = l_{F_2} = \frac{C}{A} \end{align} %\end{subequations} \noindent به طوری که $l_{F_2}$ فاصله‌ی دومین کانون در طرف راست صفحه‌ی خروجی است. توجه کنید که $y_2 = 0$ برای هر $y_1$ دلخواه باعث صفر شدن بزرگنمایی $m=0$ می‌شود. به طور مشابه برای تعیین موقعیت نخستین کانون مختصات باریکه‌ی فرودی را ($\alpha_1 , y_1 =0$) می‌گیریم، این انتخاب به این معنی است که باریکه‌ از نقطه‌ی کانون ناشی شده‌ است و باریکه‌ی خروجی موازی محور نوری خارج می‌شود. پس مختصات آن به صورت ($\alpha_2 =0 , y_2$) است. بنابراین از رابطه‌ی (۲.۳۰آ) خواهیم داشت %\begin{subequations} \begin{align}\label{equ2_39} B + uA =0 \Rightarrow u = l_{F_1} = - \frac{B}{A} \end{align} \end{subequations} \noindent به طوری که $l_{F_2}$ فاصله‌ی نخستین کانون از صفحه‌ی فرودی از سمت چپ است. توجه کنید که $y_1=0$ برای هر باریکه معادل $m=\infty$ است. \section*{فاصله کانونی} فاصله‌ی صفحات کانونی از صفحات اصلی تعریف شده، به عنوان فاصله‌های کانونی سامانه نورشناسی تعریف می‌شوند. فاصله‌ی کانونی اول (یا فاصله‌ی کانونی شیء) از رابطه‌ی زیر بدست می‌آید. \begin{subequations} \begin{align}\label{equ2_40} f_1 = l_{F_1} - l_{H_1} =- \frac{B}{A} - \left(\frac{1 - B}{A} \right) = - \frac{1}{A} \end{align} %\end{subequations} \noindent به طور مشابه فاصله‌ی کانونی دوم (فاصله‌ی کانونی در فضای تصویر) با رابطه‌ی زیر تعریف می‌شود. %\begin{subequations} \begin{align}\label{equ2_40} f_2 = l_{F_1} - l_{H_2} =- \frac{C}{A} - \left(\frac{C -1}{A} \right) = \frac{1}{A} \end{align} \end{subequations} \noindent اگر فاصله‌ها از صفحات اصلی اندازه‌گیری شوند، $\frac{1}{A}$ همان فاصله‌ی کانونی یک سامانه نوری است. در رابطه‌ی \ref{equ2_29} می‌بینیم که برای عدسی نازک طبق تعریف $f = \frac{1}{A}$ است، که با عبارت آشنا برای فاصله‌ی کانونی یک عدسی نازک مطابقت دارد. \subsection{نقاط گره} دو نقطه‌ی کاردینال همان نقاط اصلی $N_1$ و $N_2$ هستند. نقاط گره، دو نقطه روی محور محور نوری هستند، به طوری که باریکه‌ی فرودی که در $N_1$، با زاویه $\alpha_1$ تابیده شود، از دومین نقطه‌ی $N_2$ با همان زاویه $\alpha_2 = \alpha_1$ خارج می‌شود. در نتیجه هر باریکه‌ی تابیده شده به $N_1$ در نهایت با یک جابجایی، موازی خارج می‌شود. صفحات عمود بر محور نوری در نقاط گره، صفحات گره نامیده می‌شوند. برای مشخص کردن مکان نقاط گره یک باریکه را در راستایی با زاویه‌ی $\alpha_1$ در نقطه‌ی $N_1$ در نظر بگیرید. مختصات این باریکه در $N_1$، ($\alpha_1 , y_1 =0$) است. \begin{figure} \begin{center} \centerline{\includegraphics[width=8cm]{fig2-19.png}} \caption{نقاط گره} \label{fig2-19} \end{center} \end{figure} \noindent مختصات باریکه‌ی خروجی در $N_2$، ($\alpha_2 = \alpha_ 1, y_2 =0$) است. از رابطه‌ی ۲-۳۱ به نتیجه زیر می‌رسیم. \begin{subequations} \begin{align}\label{equ2_41} B + u A = 1 \Rightarrow u = l_{N_1} = \frac{1 - B}{A} \end{align} %\end{subequations} \noindent به‌علاوه از آنجایی که $det \bf{M}=1$ است، با کمک این رابطه داریم \begin{equation*} C - \nu A = \frac{1}{B + u A} \end{equation} \noindent در نتیجه خواهیم داشت %\begin{subequations} \begin{align}\label{equ2_41} \nu = l_{N_2} = \frac{C -1}{A} \end{align} \end{subequations} \noindent در نتیجه در می‌یابیم که $l_{N_1} = l_{H_2}$ و $l_{N_2} = l_{H_2}$؛ و صفحات گره بر صفحات اصلی منطبق‌اند. به هر حال نتیجه‌ی بالا هنگامی درست است که محیط دو طرف سامانه نوری یکسان باشند، که ما آنرا هوا در نظر گرفته‌ایم. \section{نقاط اصلی در عدسی ضحیم} عدسی ضخیم را بعنوان یک سامانه نوری با دو سطح شکست کروی با فاصله‌ی $d$ از هم در نظر بگیرید. ثابت‌های‌ گاوس برای این سامانه ‌از رابطه‌ی 1-25 بدست می‌آید \begin{equation*} B = 1 - \frac{P_2 d}{n} , C = 1 - \frac{P_1 d}{n} \end{equation} \begin{equation*} A = P_1 +P_2 - \frac{P_1 P_2 d}{n} , D = - \frac{d}{n} \end{equation} \noindent به طوری که $n$ ضریب شکست عدسی است. قدرت شکست سطوح $P_1$ و $P_2$ با رابطه‌های زیر بدست می‌آیند. \begin{equation*} P_1 = \frac{n - 1}{r_1} , P_2 = \frac{1 - n}{- r_2} \end{equation} \noindent با فرض اینکه عدسی در هوا قرار دارد، $n_2=n_1 =1$. \subsection{صفحات اصلی} \noindent موقعیت صفحات اصلی عدسی بالا با رابطه‌ی (۲.۳۷) داده می‌شود \begin{equation*} l_{H_1} = \frac{1 -B}{A} = \frac{P_2 d}{n} . \frac{1}{P_1 + P_2 - \frac{P_1 P_2 d}{n}} \end{equation} \begin{equation*} l_{H_2} = \frac{C - 1}{A} =- \frac{P_1 d}{n} . \frac{1}{P_1 + P_2 - \frac{P_1 P_2 d}{n}} \end{equation} \noindent به طور خاص برای یک عدسی دو طرف کوژ، داریم $\mid\bf{r}_2\mid =\mid \bf{r}_1\mid = r$ بنابراین \begin{equation*} P_1 =P_2 = \frac{n - 1}{r} \end{equation} \noindent در نتیجه \begin{subequations} \begin{align}\label{equ2_42} l_{H_1} = \frac{d}{n}{\left(2 - \frac{n - 1}{r} \frac{d}{n}\right)}^{-1} \approx \frac{d}{2n} \end{align} %\end{subequations} \noindent به طوری که فرض کرده‌ایم $d \ll r$ و از ${\frac{d}{2n}}^2$ و توان‌های بالاتر صرفنظر شده است. به طور مشابه %\begin{subequations} \begin{align}\label{equ2_42} l_{H_2} \approx - \frac{d}{2n} \end{align} \end{subequations} توجه کنید که $l_{H_1}$ مثبت است و در نتیحه نخستین صفحه‌ی اصلی در طرف راست صفحه‌ی فرود، در فاصله‌ی $\frac{d}{2n}$ قرار دارد. به طور مشابه $l_{H_2}$ منفی است پس دومین صفحه‌ی اصلی در طرف چپ صفحه‌ی خروجی در فاصله‌ی $\frac{d}{2n}$ قرار دارد. این موقعیت‌ها در شکل \ref{fig2-18} نشان داده شده است. \subsection{فاصله کانونی} \noindent می‌بینیم که فاصله‌ی کانونی برابر با عکس $A$ است. در نتیجه فاصله‌ی کانونی یک عدسی نازک از رابطه‌ی زیر بدست می‌آید \begin{equation} \frac{1}{f} = A = P_1 + P_2 - P_1P_2d / n \nonumber\\ \end{equation} \noindent یا \begin{align}\label{equ2_43} \frac{1}{f}= (n-1) \left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right) + \frac{{(n-1)}^2}{r_1 r_2} . \frac{d}{n} \end{align} \noindent توجه کنید که $f$ فاصله‌ی کانون از نقاط اصلی است. کانون نخست $F_1$ به فاصله‌ی $f$ از $H_1$ و دومین کانون $F_2$ به فاصله‌ی $f$ از $H_2$ قرار دارد. \subsection{معادلات عدسی‌های ضخیم} فرض کنید یک شیء را در فاصله‌ی $u$ از صفحه‌ی فرودی یک عدسی ضخیم قرار دهیم، تصویر آن در فاصله‌ی $v$ از صفحه‌ی خروجی تشکیل می‌شود. اگر فاصله‌ی صفحه‌ی شی از صفحه‌ی اصلی $H_1$ برابر $U$ باشد، پس داریم \begin{equation} u = l_{H_1} + U = \frac{1 - B}{A} + U \nonumber\\ \end{equation} \noindent به طور مشابه اگر فاصله‌ی صفحه‌ی اصلی $H_2$ برابر $V$ باشد پس داریم \begin{equation} v = l_{H_2} + V = \frac{C - 1}{A} + V \nonumber\\ \end{equation} \noindent می‌دانیم که $det \bf{M}=0$، طبق معادله‌ی \ref{equ2_34} داریم \begin{equation*} (B + uA) (C - \nu A) = 1 \end{equation} \noindent با جایگذاری از رابطه‌های بالا داریم \begin{equation*} ( 1+ UA)(1 - VA)=1 \end{equation} \noindent یا \begin{equation*} UA -VA - UVA^2 =0 \end{equation} \noindent با تقسیم بر $UVA$ نتیجه می‌گیریم \begin{align}\label{equ2_44} \frac{1}{V} - \frac{1}{U} = A = \frac{1}{f} \end{align} \noindent رابطه‌ی بالا، معادله‌ی عدسی ضخیم است. این رابطه کاملا شبیه معادله‌ی عدسی نازک است. موقعیت شیء و تصویر، $U$ و $V$ از صفحات اصلی اندازه‌گیری شده‌اند. فاصله‌ی کانونی، $f$ و از رابطه‌ی \ref{equ2_43} بدست می‌آید. \noindent \textbf{\textit{مثال ۸.۲}} \noindent یک عدسی دوطرف کاو به ضخامت $cm$ ۵ در امتداد محور را در نظر بگیرید. شعاع انحنای دوسطح آن $cm$ ۳۰ و $cm$ ۲۰ است.ضریب شکست عدسی ۱/۵ و عدسی را در هوا فرض کنید. با کمک روش ماتریسی \noindent الف) موقعیت صفحات اصلی \noindent ب) فاصله‌ی کانونی عدسی را در هوا را بیابید. \noindent پ) اگر شیء در فاصله‌ی $cm$ ۵۰ از صفحه‌ی فرودی باشد، موقعیت تصویر نهایی را بیایید. \noindent \textbf{\textit{پاسخ}} \noindent قدرت شکست نوری دو سطح برابر با \begin{equation*} P_1= \frac{1.5 - 1}{30} = \frac{1}{60} cm^{-1} , P_2 = \frac{1- 1.5}{-20}= \frac{1}{40} cm^{-1} \end{equation} \noindent است. ماتریس سامانه عدسی برابر با \begin{equation*} \bf{S} = \begin{pmatrix} 1 & - \frac{1}{40} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{5}{15} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & - \frac{1}{60} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{11}{12} & -\frac{29}{720} \\ \frac{10}{20} & \frac{17}{18} \end{pmatrix} \end{equation} \noindent است. ثابت‌های گاوس عدسی برابر با \begin{equation*} B = \frac{11}{12} , A = \frac{29}{720} cm^{-1} , D = - \frac{10}{3} cm , C = \frac{17}{18} \end{equation} \noindent هستند. توجه کنید که تحلیل بالا با این فرض انجام می‌شود، که نخستین سطح عدسی، صفحه‌ی فرود و دومین سطح عدسی، صفحه‌ی خروج هستند. الف) صفحات اصلی با بزرگنمایی $m=1$ مشخص می‌شوند. فاصله‌ی نخستین صفحه‌ی اصلی (در فضای شیء) از صفحه‌ی فرودی از رابطه‌ی \ref{equ2_38} بدست می‌آید. توجه کنید که این فاصله مثبت است، زیرا صفحه‌ی اصلی درطرف راست صفحه‌ی فرودی، درون عدسی قرار دارد. فاصله‌ی درون عدسی قرار دارد. فاصله‌ی دومین صفحه‌ی اصلی (در فضای تصویر) از صفحه‌ی خروجی از رابطه‌ی \ref{equ2_38} بدست می‌آید \begin{equation*} l_{H_1}= \frac{1- \frac{11}{12}}{\frac{29}{720}} = 2.1 cm \end{equation} \noindent بنابراین دومین صفحه‌ نیز درون عدسی در طرف چپ صفحه‌ی خروجی قرار دارد. \begin{equation*} l_{H_1} = \frac{C -1}{A} = \frac{(\frac{17}{18}) -1}{\frac{29}{720}} = - 0.5 cm \end{equation} \noindent ب) فاصله‌ی کانونی عدسی ضخیم با رابطه‌ی زیر بدست می‌آید \begin{equation*} f = \frac{1}{A} = \frac{720}{29} = 24.8 cm \end{equation} \noindent فاصله‌ی کانونی، همان فاصله‌ از محورهای اصلی است. فاصله‌ی نخستین صفحه‌ی کانونی (در فضای شیء) از صفحه‌ی فرودی برابر با \begin{equation*} l_{F_2} = 24.8 - 2.1 = 22.7 cm \end{equation} \noindent است و فاصله‌ی دومین صفحه‌ی کانونی (در فضای تصویر) از صفحه‌ی خروجی برابر با \begin{equation*} l_{F_2} = 24.8 - 0.5 = 22.7 cm \end{equation} \noindent است. \noindent پ) با کمک رابطه‌ی عدسی ضخیم \ref{equ2_43}، می‌توان موقعیت تصویر را تعیین کرد. $U$ فاصله‌ی شیء از نخستین صفحه‌ی اصلی است که برابر با \begin{equation*} U = 50 + 2.1 = 52.5 cm \end{equation} \noindent است. در نتیجه می‌توان نتیجه گرفت که \begin{equation*} \frac{1}{V} = \frac{1}{f} + \frac{1}{U} = \frac{1}{24.8} + \frac{1}{-52.1} = \frac{27.3}{24.8 \times 52.1} \end{equation} \noindent یا \begin{equation*} V = 47.3 cm \end{equation} \noindent $V$ فاصله‌ی تصویر از دومین صفحه‌ی اصلی است. فاصله‌ی تصویر از صفحه‌ی خروجی $\nu$، برابر است با \begin{equation*} \nu = 47.3 - 0.5 = 46.8 cm \end{equation} \noindent به طور متوالی، می‌توان $\nu$ را از رابطه‌ی \ref{equ2_42} همانطور که در مثال ۵.۲ دیدیم، بدست آورد. \section{سامانه‌ای از دو عدسی نازک} به‌عنوان مثال دیگر، سامانه‌ی نوری متشکل از دو عدسی نازک به فاصله‌های کانونی $f_1$ و $f_2$ که در فاصله $d$ از یکدیگر قرار دارند را مطابق شکل \ref{fig2-20} در نظر بگیرید. انتشار یک پرتو از درون این سامانه در سه مرحله انجام می‌شود: عبور از عدسی اول، انتقال در هوا به اندازه فاصله $d$، وسپس عبور کردن از عدسی دوم. بنابراین، ماتریس سامانه به شکل زیر می‌باشد \begin{figure} \begin{center} \centerline{\includegraphics[width=9cm]{fig2-20.png}} \caption{سامانه‌ای از دو عدسی نازک} \label{fig2-20} \end{center} \end{figure} \noindent انتشار یک باریکه از درون این سامانه در سه مرحله انجام می‌شود. 1-عبور از عدسی نخست، 2-انتقال در هوا به اندازه‌ی فاصله‌ی $d$ و سرانجام 3-عبور از درون دومین عدسی. بنابراین ماتریس سامانه بصورت زیر بدست می‌آید. \begin{equation*} \bf{S}= \bf{S}_2 \bf{T}\bf{S} \end{equation} \noindent به طوری که \begin{equation*} \bf{S}=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{f_1} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , \bf{S}\begin{pmatrix} 1 & - \frac{1}{f_2} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{equation} \noindent $S_1$ و $S_2$ ماتریس‌ عدسی‌های نازک، به فاصله‌ها‌ی کانونی $f_1$ و $f_2$ هستند و ماتریس انتقال درون هوا به صورت زیر است \begin{equation*} \bf{T}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ d & 1 \end{pmatrix} \end{equation} \noindent بنابراین ماتریس $S$ به صورت زیر بدست می‌آید \begin{align}\label{equ2_45} \vec{S}= \begin{pmatrix} 1 & - \frac{1}{f_2} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ d & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & - \frac{1}{f_1} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B & -A \\ -D & C \end{pmatrix} \end{align} \noindent پس \begin{equation*} A = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2} , B = 1 - \frac{d}{f_2} \end{equation} \begin{equation*} D = -d , C = 1 -\frac{d}{f_1} \end{equation} \noindent موقعیت صفحات اصلی در نقاط $H_1$ و $H_2$ در سامانه بالا از رابطه‌ی زیر بدست می‌آید. \begin{subequations} \begin{align}\label{equ2_46} l_{H_1} = \frac{1 - B}{A} = \frac{df}{f_2} \\ l_{H_2} = \frac{C- 1}{A} = -\frac{df}{f_1} \end{align} \end{subequations} \noindent به طوری که $f$ فاصله کانونی سیستم، از رابطه‌ی زیر بدست می‌آید. \begin{align}\label{equ2_47} \frac{1}{f} = A = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2} \end{align} \noindent فاصله‌ی کانونی $f$، فاصله، از محورهای اصلی است. اگر دو عدسی در فاصله‌ی $d=0$ از هم باشند، فاصله‌ی کانونی ترکیب دو عدسی از رابطه‌ی آشنای زیر بدست می‌آید. \begin{equation*} \frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} \end{equation} تحلیل بالا را می‌توان برای سامانه‌ای با بیش از دو عدسی نازک نیز بکار برد. \noindent \textbf{\textit{مثال ۹.۲}} \noindent سامانه‌ای شامل دو عدسی نازک با فاصله‌های کانونی‌ $cm$ ۱۰+ و $cm$ ۲۰- که به فاصله‌ی $cm$ ۲۰ از هم قرار دارند را در نظر بگیرید. با کمک روش ماتریسی موقعیت صفحات اصلی و فاصله‌ی کانونی سامانه مرکب را بیابید. اگر شی در فاصله‌ی $cm$ ۲۰ از سطح کاو عدسی قرارگیرد، تصویر آن در کجا تشکیل می‌شود. \noindent \textbf{\textit{پاسخ}} \noindent ماتریس سامانه این دو عدسی که در فاصله‌ی $d$ از هم قرار دارند، از رابطه‌ی \ref{equ2_45} بدست می‌آید \begin{equation*} \bf{S}= \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{20} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 20 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & - \frac{1}{10} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & - \frac{3}{29} \\ 20 & -1 \end{pmatrix} \end{equation} \noindent به طوری که $f_1 = 10 cm$، $d = 20 cm$ و $f_2 = - 20 cm$ را جایگذاری کرده‌ایم. ثابت‌های گاوس این سامانه عبارتند از \begin{equation*} B = 2 , A = \frac{3}{20} cm^{-1} , C= -1 \end{equation} \noindent موقعیت صفحات اصلی عبارت‌اند از \begin{equation*} l_{H_1} = \frac{1- B}{A} = \frac{1 -2}{\frac{3}{20}} = -6.7 cm \end{equation} \begin{equation*} l_{H_2} = \frac{C - 1}{A} = \frac{-1 -1}{\frac{3}{20}} = -13.3 cm \end{equation} \noindent بنابراین فاصله کانونی نخستین صفحه‌ی اصلی در $cm$ ۶/۷ در طرف چپ کوژ عدسی (از صفحه‌ی فرودی) و دومین صفحه‌ی اصلی در فاصله‌ی $cm$ ۱۳/۳ ، در طرف چپ کاو عدسی (صفحه‌ی خروجی) قرار دارد. فاصله‌های کانونی سامانه مرکب، از رابطه‌ی \ref{equ2_47} بدست می‌آید \begin{equation*} f = \frac{1}{A} = \frac{20}{3} = 6.7 cm \end{equation} یاد‌‌آوری می‌کنیم که فاصله‌ی کانونی، از محور‌های اصلی سنجیده می‌شود. اکنون شیء را در فاصله‌ی $cm$ ۲۰ در چپ اولین عدسی (در صفحه‌ی فرودی) در نظر بگیرید. بر طبق مطالب گفته شده بخش ۲.9.1، ماتریس شیء تا تصویر، با فاصله‌ی تصویر از صفحه‌ی خروجی $\nu$، از رابطه‌ی \ref{equ2_34} بدست می‌آید \begin{equation*} C - \nu A = \frac{1}{B + u A} \end{equation} \noindent بنابراین داریم \begin{equation*} - 1 - \nu \times \frac{3}{20} = \frac{1}{( 2 + 20 \times \frac{3}{20)}} = 1/5 \end{equation} \noindent یا \begin{equation*} \nu = -8 cm \end{equation} \noindent بنابراین تصویر نهایی در طرف چپ قسمت کاو عدسی (صفحه‌ی خروجی) تشکیل می‌شود. \begin{pproblems}[مسائل] \label{pch1} \item \label{p1-1} %\noindent یک عدسی دو طرف کوژ نازک متقارن با شعاع انحنای سطح کروی $5 cm$ را در نظر بگیرید. ضخامت عدسی در مرکز آن $5 cm$ است. اگر ضریب شکست عدسی 1.5 باشد. الف) ثابت‌های گاوس عدسی ب) موقعیت صفحه‌های اصلی عدسی و فاصله‌ی کانونی عدسی پ) موقعیت تصویر یک شیء نقطه‌ای که در فاصله‌ی $20 cm$ از سطح عدسی روی محور قرار دارد، را بیابید. پاسخ. الف) $B=C = \frac{2}{3} , A = \frac{1}{6} cm^{-1} , D= - \frac{10}{3}$ ب) $l_{H_1} = 2 cm , l_{H_2}= -2 cm , f= 6 cm $ پ) $\nu = 6/3 cm$ %\noindent \item \label{p1-2} عدسی شیشه‌ای ($n= 1/5$) تخت-کوژ با ضخامت $cm$ ۹ و شعاع انحنای سطح کوژ $cm$ ۲/۵ را در نظر بگیرید. الف) عناصر ماتریس سامانه این عدسی را در هوا و موقعیت صفحات اصلی را بیابید. ب) شیء را مقابل سطح کوژ عدسی، کجا باید قرار داد، تا تصویر روی سطح تخت عدسی تشکیل شود. بزرگنمایی عرضی تصویر چقدر است؟ پاسخ. الف) $B = 1 , C= -\frac{1}{5} , A = \frac{1}{5} cm^{-1} , D = -6 cm , l_{H_1} =0 , l_{H_2} = -6 cm$ ب) $u =30 cm , m = -0/2$ %\noindent \item \label{p1-3} موقعیت صفحات اصلی و نقاط کانونی یک عدسی شیشه‌ای ($n= 11/5$) کوژ-کاو با شعاع انحنای کوژ $R_1 =10 cm$ و شعاع انحنای کاو $R_2 = 5 cm$ را مشخص کنید. عدسی را در هوا با ضخامت $cm$ ۳ فرض کنید. پاسخ. $l_{H_1} = 5 cm , l_{H_2} = 2/5 cm , l_{f_1} = 30 cm , l_{f_2} = - 22/5 cm$ %\noindent \item \label{p1-4} ترکیب یک عدسی همگرا به فاصله‌ی کانونی $cm$ ۱۰ و یک عدسی نازک واگرا به فاصله‌ی کانونی $cm$ ۱۰- ، به فاصله $cm$ ۴ از یکدیگر، عدسی یک دوربین را تشکیل می‌دهند. موقعیت صفحات اصلی و فاصله‌ی کانونی سامانه را بیابید. پاسخ. $l_{H_1} = l_{H_2} = -10 cm , f = 25 cm$ %\noindent \item \label{p1-5} ترکیب دو عدسی نازک به فاصله‌ها‌ی کانونی $f_1$ و $f_2$ را در فاصله‌ی $d$ از هم در نظر بگیرید. نخستین صفحه‌ی اصلی این سامانه در فاصله‌ی $cm$ ۸۰، طرف راست عدسی نخست ($l_{H_1}= 80 cm$) و دومین صفحه درفاصله‌ی $cm$ ۴۰، طرف راست دومین عدسی ($l_{H_2} = 40 cm$) قرار دارد. اگر فاصله‌ی کانونی سامانه $f=-100cm$ باشد، $f_1$، $f_2$ و $d$ را پیدا کنید. پاسخ. $f_1 = 20 cm , f_2 = -10 cm , d = 8 cm $ \end{pproblems} %\section*{سوالات مروری} %\noindent % ۱. اصل فرما\index{اصل فرما} را بیان کنید و با استفاده از آن قوانین بازتاب\index{قانون بازتاب} و شکست روی یک سخت تخت را به‌دست آورید. %\noindent %\index{اصل فرما}۲. با استفاده از اصل فرما\index{اصل فرما} شکست را در روی یک سطح کرویبین دو محیط توضیح دهید. %\noindent %3. این حمله را نقد کنید: «اصل فرما\index{اصل فرما} بر مسیر اکسترمم دلالت دارد و نه مسیر کمینه.» یک مورد واقعی را توصیف کنید که در آن مسیر واقعی پیموده شده توسط نور بیشینه است.