\documentclass[a4paper,12pt]{report}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{graphics}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{eucal}
%\usepackage[english]{babel}
\usepackage[usenames]{color}
\usepackage[perpage]{footmisc}
\usepackage[noprefix]{nomencl}
\usepackage[Bjornstrup]{fncychap}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{ifpdf}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{tocbibind}
\usepackage{amsmath, amsthm, amscd, amsfonts, amssymb, graphicx, color}
\newcommand\persiangloss[2]{#1\dotfill\lr{#2}\\}
\newcommand\englishgloss[2]{#1\dotfill\lr{#2}\\}
\usepackage[pagebackref=false, bookmarksnumbered, colorlinks, plainpages, linkcolor=blue, citecolor=magenta]{hyperref}
%\usepackage[top=3cm,right=3cm,bottom=2.5cm,left=2.5cm]{geometry} 
\usepackage{setspace}
\usepackage{makeidx}
\makeindex  

 \usepackage{zref-perpage}% جهت شماره گذاری از یک زیرنویسها در هر صفحه
\zmakeperpage{footnote}

 \usepackage[extrafootnotefeatures]{xepersian}
\settextfont{Persian Modern}

 %\usepackage{zref-perpage}% جهت شماره گذاری از یک زیرنویسها در هر صفحه
%\zmakeperpage{footnote}
\paragraphfootnotes
\usepackage{hyperref}
\usepackage[sanitizesort=false,sanitize={name=false},nomain,xindy,acronym]{glossaries}
% فراخوانی بسته زی‌پرشین و تعریف قلم فارسی و انگلیسی              
\usepackage{xepersian}
\input{mathrsfs.sty}
% tell tex engine address of folder containing your pictures
\graphicspath{{images/}}

% commands to print the page number in header
\pagestyle{fancy}
\cfoot{}
\lhead{\thepage}

% commands related to XePersian package
\settextfont[Scale=1]{XB Niloofar}
\setlatintextfont{Junicode}
\defpersianfont\titr[Scale=1]{XB Titre}
\defpersianfont\nastaliq[Scale=1.5]{IranNastaliq}
\defpersianfont\traffic[Scale=1.5]{B Traffic}
\defpersianfont\yekan[Scale=1.5]{B Yekan}
\defpersianfont\titrsh[Scale=1]{XB Kayhan Navaar}
\setdigitfont{B Lotus}
%\setlatintextfont{LinLibertine}
% -------------------------------------

\newcommand{\HH}{\mathscr{H}}
\newcommand{\KK}{\mathscr{K}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\To}{\longrightarrow}
%\newcommand{\h}{\mathcal{H}}
\newcommand{\s}{\mathcal{S}}
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\newcommand{\J}{\mathcal{J}}
\newcommand{\M}{\mathcal{M}}
\newcommand{\p}{\mathcal{P}}
\newcommand{\BOP}{\textbf{B}}
\newcommand{\BH}{\mathcal{B}(\HH)}
\newcommand{\BK}{\mathcal{B}(\KK)}
\newcommand{\KH}{\mathcal{K}(\mathcal{H})}
\newcommand{\Real}{\mathbb{R}}
\newcommand{\comp}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Field}{\mathbb{F}}
\newcommand{\RPlus}{\Real^{+}}
\newcommand{\Polar}{\mathcal{P}_{\s}}
\newcommand{\Poly}{\mathcal{P}(E)}
\newcommand{\EssD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\la}{\left\langle}
\newcommand{\ra}{\right\rangle}
\newcommand{\SP}{\mathsf{sp}}
\newcommand{\nn}{\nonumber}

\renewcommand\baselinestretch{1.7}
\baselineskip=18pt plus 1pt
\newtheorem{theorem}{قضیه}[chapter]
\newtheorem{lemma}[theorem]{لم}
\newtheorem{proposition}[theorem]{گزاره}
\newtheorem{corollary}[theorem]{نتیجه}
\newtheorem{problem}[theorem]{مسئله}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{تعریف}
\newtheorem{remark}{تبصره}
\newtheorem*{example}{مثال}
\renewcommand\proofname{برهان}

%%Mathematical Operators

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\numberwithin{figure}{chapter}
\numberwithin{equation}{chapter}
\numberwithin{table}{chapter}
\numberwithin{definition}{chapter}

%\onehalfspace

%\voffset=-1cm
%\hoffset=-1cm
%\textwidth=18cm
%\textheight=23cm
\linespread{1.8}
\setdigitfont[Scale=1]{Parsi Digits}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{} % delete current header and footer
\renewcommand{\chaptermark}[1]{%
        \markboth{#1}{}}
\renewcommand{\sectionmark}[1]{%
        \markright{\thesection\ #1}}
\fancyhead[RO]{\slshape \leftmark}
\fancyhead[LE]{\slshape\rightmark}
\fancyhead[LO, RE]{\slshape \thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
===============================================================================================
 
\begin{document}
\begin{definition}
هیچ جا چگال: زیر مجموعه $A$ در فضای توپولوژی $X$ را هیچ جا چگال گوییم هر گاه درون بستار آن تهی باشد.
\end{definition}
\begin{definition}
فضای $X$ را بئر خوانیم هرگاه برای هرگردایه شمارا از مجموعه های بسته $X$ مانند $\lbrace A_{n}\rbrace_{n\in \mathbb{N}}$ که هریک در$X$ درون تهی باشد، اجتماع آنها یعنی $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_{n}$ نیز در $X$ درون تهی باشد. \\
یا فضای توپولوژی $X$ را یک فضای بئر نامیم هرگاه هر اشتراک شمارش پذیر از زیر مجموعه های باز و چگال درآن، چگال باشد یا به طور معادل هر زیر مجموعه باز ناتهی از آن به صورت اجتماع شمارش پذیر از مجموعه های هیچ جا چگال نباشد.\\
فضاهای متریک و فضاهای هاسدورف موضعا فشرده فضای بئر هستند.
\end{definition}
\begin{definition}
خط سورجنفری\footnote{sorgenfrey}: فرض کنید$\mathscr{T}$ یک توپولوژی روی $\mathbb{R}$ با پایه $\mathscr{B}$ شامل مجموعه های
 \begin{center}
$[a,b)=\lbrace x\in \mathbb{R}:a\leqslant x<b\rbrace$
\end{center}
 باشد به طوریکه $a,b\in \mathbb{R}$ و $a<b$.با این توپولوژی که جمع طبیعی در نقش ضرب باشد، $\mathbb{R}$ یک گروه پاراتوپولوژیک و لذا یک نیم گروه توپولوژیک است.\\اما $(\mathbb{R},\mathscr{T})$ یک گروه توپولوژیک نیست زیرا عمل\begin{center}
$x\longrightarrow -x$
\end{center}
 ناپیوسته است. (اثبات در بخش خط سورجنفری)این گروه پاراتوپولوژیک خط سورجنفری نامیده می شود یا به بیان دیگر یک توپولوژی غیر استاندارد روی خط حقیقی $\mathbb{R}$ است و توپولوژی است که با پایه زیر روی نیم بازه تعریف می شود.\\
\[B=\{[a,b)|\,\,a,b\in\mathbb{R}\,,a<b\}\]
\end{definition}
%\begin{definition}
%فضای توپولوژیک $X$جدایی پذیر نامیده می شود هر گاه حاوی یک زیر مجموعه شمارا و چگال باشد یعنی دنباله ای از اعضای فضا مثل $\lbrace x_{n}\rbrace_{n=1}^{\infty}$ موجود است که هر زیر مجموعه باز ناتهی از فضا حداقل یکی از اعضای این دنباله را داشته باشد .
%\end{definition}
%\begin{definition}
%فضای منتظم \footnote{regular} :فرض کنیم مجموعه های تک عضوی در$X$ بسته باشند در این صورت $X$ را منتظم خوانیم اگر به %ازای هرنقطه از آن مانند $x$ و هر مجموعه بسته جدا از $x$ مانند $B$ مجموعه های باز جدا از همی به ترتیب شامل $x$ و حاوی %$B$ موجود باشند،
%\end{definition}
\begin{definition}
فضاهای متریک:
منظور از متریک\footnote{metric}\index{متریک}
روی یک مجموعه $X$ عبارت است از تابع
\[d:X\times X\to \mathbb{R}\]
که در شرایط زیر صدق می‌کند:
\begin{itemize}
\item[(۱)] (مثبت معینی) $d(x,y)\geq 0$ برای هر $x,y\in X$ و تساوی برقرار است اگر و تنها اگر $x=y$.
\item[(۲)] (تقارنی) $d(x,y)=d(y,x)$ برای هر $x,y\in X$.
\item[(۳)] (نامساوی مثلثی) $d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)$ برای هر $x,y,z\in X$.
\end{itemize}
مجموعه $X$ را به همراه متریک $d$ یک فضای متریک می‌نامیم و با $(X , d)$ نمایش می‌دهیم. اگر $x,y\in X$ آنگاه فاصله بین $x$ و $y$ را $d(x,y)$ تعریف می‌کنیم.
\end{definition}

\begin{definition}
فضای $X$ زیر متریک پذیر \LTRfootnote{submetrizable} نامیده می شود اگر بتوان آن را با یک نگاشت پیوسته یک به یک به توی یک فضای متریک پذیر نگاشت.
\end{definition}
\begin{definition}
فضای توپولوژی $X$، متقارن پذیر \footnote{symmetrizable} است اگر یک شبه متری (متریک به جز نامساوی مثلثی) $d$ روی $X$ موجود باشد به طوریکه یک زیر مجموعه $U$ از $X$ در فضای $X$ باز است اگر و فقط اگر برای هر $x\in U$ یک عدد حقیقی مثبت $\epsilon$ موجود باشد که $B(x , \epsilon) \subset U$ که در آن
\begin{center}

$B(x , \epsilon)=\lbrace y\in X \vert d(x ,y)<\epsilon\rbrace$.
\end{center}
\end{definition}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition}
فضای تیخونوف $X$ فشرده چخ \footnote{$\hat{C}ech-complete$} است اگر $X$ با یک مجموعه ای $G_{\delta}$ در یک فضای فشرده همسانریخت باشد.
\end{definition}
\begin{definition}\label{a2}
نگاشت پیوسته $f : X\longrightarrow Y$ کامل است اگر $X$ فضای هاسدورف، و $f$ نگاشت بسته باشد و تمام  $f^{-1}(\lbrace y\rbrace)$ ها زیر مجموعه فشرده از $X$ باشند.\\
نگاشت یک به یک $f :X\longrightarrow Y$ روی فضای هاسدورف $X$ کامل است اگر و فقط اگر نگاشت بسته باشد.
 هر نگاشت پیوسته از فضای فشرده به فضای هاسدورف نگاشتی کامل است. (۷-۳)
[\ref{m4}].
\end{definition}
\begin{definition}
زیر مجموعه $E$ از فضای توپولوژیک $X$ را از رسته اول \LTRfootnote{first category}گوییم اگر$E$ را بتوان به صورت اجتماعی شمارا از زیر مجموعه های هیچ جا چگال $X$ نوشت. مجموعه هایی که از رسته اول نباشند، را از رسته دوم \LTRfootnote{second category} گوییم.
\end{definition}
%\begin{theorem}
%هر گروه نیمه توپولوژیک هاسدورف موضعا فشرده ، یک گروه توپولوژیک است.(2-3-12)[کتاب مربوط به مقاله]۰
%\end{theorem}
%\begin{theorem}
%فرض کنید$X$ یک گروه جبری با توپولوژی هاسدورف موضعا فشرده باشد به طوریکه ضرب در آن پیوسته است .آنگاه $X$ گروه توپولوژی %است .[۳] .
%\end{theorem}
%\begin{theorem}
%اگر$G$موضعا کامل وتابع $xy$درهرمتغیر به صورت جداگانه پیوسته باشد آنگاه در دو متغیر بصورت باهم پیوسته است .
%\end{theorem}
%\begin{theorem}
%اگر$G$کامل وجدایی پذیرواگر$xy$به صورت جداگانه در$x$و $y$پیوسته باشد آنگاه $x^{-1}$پیوسته است.
%\end{theorem}
\end{document}