\\
\\

\chapter{تعاریف و مفاهیم اولیه} 
\thispagestyle{empty} 
\baselineskip=1.1cm
\newpage
\section{تبدیل لاپلاس }

\begin{definition}\label{m1} 
تبدیل لاپلاس 
\LTRfootnote{Laplace Transformation } 
ابزاری مناسب در حل معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات با مشتقات جزیی می باشد. 

تاریخچه ی تبدیلات انتگرالی به کارلئونارد اویلر 
\LTRfootnote{Leonard Euler(1763,1769)}
برمی گردد وی این تبدیلات را به صورت 

تبدیل معکوس لاپلاس در حل معادلات دیفرانسیل معمولی خطی درجه دوم به کار گرفت.

اولین کاربرد تبدیل لاپلاس در مسائل مدرن توسط بیتمن 
\LTRfootnote{Batman }
صورت گرفت. وی معادله ی
\begin{center}
\frac{dp}{dt•}=_{\lambdaip•}
که از کار راترفورد
\LTRfootnote{Rutherford }
و در زمینه ی زوال رادیو اکتیو 
\LTRfootnote{Radioactive decay}
نتیجه داده شده بود را با قرار دادن 
$\|\ u+ v\| \leq \|u\|+ \|v\|\quad ,\forall u , v \in V $
\end{enumerate}
فضای 
$V$
با نرم
$\| . \|$
را فضای خطی نرم‌دار
\LTRfootnote{Normed Linear Space }
یا یک فضای نرم‌دار
\LTRfootnote{Normed Space }
می‌گویند.
\end{definition}

\begin{definition}
فضای خطی
$V$
را در نظر می‌گیریم. تابع 
$\mid . \mid : V \longrightarrow \mathbb{R}$
را یک شبه نرم
\LTRfootnote{Seminorm}
می‌نامیم در‌صورتی‌که همه‌ی ویژگی‌های نرم به جز ویژگی (2) را داشته باشد.
\end{definition}
\begin{definition}
فرض کنیم
$V$
یک فضای خطی ‌نرم‌دار باشد. دنباله‌ی
$\lbrace u_{n}\rbrace \subset V$
به
$ u\in V$
همگراست، هرگاه
\begin{equation*}
\lim_{n \to \infty} \| u_{n} - u \| =0 .
\end{equation}
\end{definition}
\begin{definition}
فرض کنیم
$ V $
یک فضای نرم‌دار باشد. دنباله‌ی
$ {u_{n}}\in V $
را دنباله‌ی کوشی
\LTRfootnote{Cauchy Sequence }
گویند، هرگاه
\begin{equation*}
\lim_{m,n \to \infty}\| u_{m} -u_{n}\| =0.
\end{equation}
\end{definition}
\begin{definition}
یک فضای نرم‌دار را کامل
\LTRfootnote{Complete}
گویند، هرگاه هر دنباله‌ی کوشی از آن فضا به عضوی از آن فضا همگرا باشد.
فضای نرم‌دار کامل را فضای باناخ
\LTRfootnote{Banach Space }
گویند.
\end{definition}
\begin{definition}
$V $
را یک فضای خطی روی میدان
$ \mathbb{K}=\mathbb{R} $
یا 
 $\mathbb{C}$
در نظر می‌گیریم. تابع\\
$ \langle . , . \rangle : V \times V \to \mathbb{K}$
را ضرب داخلی
\LTRfootnote{Inner Product }
گوییم، هرگاه در شرایط زیر صدق کند:
\begin{enumerate}
\item
$\langle v,v \rangle \geq0\quad,\forall v \in V $
\item
$ v=0 \Leftrightarrow \langle v,v \rangle=0\quad ,\forall v \in V $
\item
$ \langle u,v \rangle=\overline{ \langle v,u \rangle}\quad,\forall v ,u \in V $
\item
$ \langle\alpha u +\beta v,w \rangle=\alpha \langle u,w \rangle + \beta \langle v ,w \rangle\quad, \forall \alpha ,\beta \in \mathbb{K} , \forall u,v,w \in V \, $
\end{enumerate}

فضای 
$ V $
با ضرب داخلی 
$ \langle . , . \rangle $
را فضای ضرب داخلی
\LTRfootnote{Inner Product Space }
گویند.
\end{definition}
\begin{definition}
یک فضای ضرب داخلی کامل را یک فضای هیلبرت
\LTRfootnote{Hilbert Space }
می‌نامیم.
\end{definition}
\begin{definition}
فرض کنیم 
$ \Omega \subsetneqq \mathbb{R}^{n}$
مجموعه‌ای باز و کراندار و
$ p $
عدد حقیقی مثبت باشد. تابع اندازه‌پذیر‌\LTRfootnote{Measureable } 
$ f $
که روی 
$ \Omega $
تعریف شده است را متعلق به فضای 
$ L^{p}( \Omega )$
گوییم هرگاه
\begin{equation*}
\int _{\Omega} \mid f \mid ^{p} \leq \infty ,
\end{ equation}
و برای هر 
$ f \in L^{p} (\Omega) $
نرم زیر را تعریف می‌کنیم:
\begin{equation*}
\| f \|_{L ^{p}(\Omega)} = ( \int _{\Omega}\mid f \mid^{p})^{\frac{1}{p}} .
\end{equation*}
\end{definition}\\
فضای تمام توابع اندازه‌پذیر روی 
$ \Omega $
که به جز روی یک زیرمجموعه با اندازه صفر کراندار هستند را با
$ L^{\infty} $
نشان می‌دهیم.
$ L^{\infty} $
یک فضای خطی نرم‌دار با نرم زیر است:
\begin{equation*}
\| f \|_{L^{\infty}(\Omega)} = ess\,\, sup \mid f \mid =inf \lbrace M \vert \mid f \mid \leq M\,\, a.e.\rbrace .
\end{equation*}
\begin{definition}
فرض کنیم 
$ \Omega \subset \mathbb{R}^{n}$
یک مجموعه‌ی باز و غیر تهی باشد. اگر 
$ v $
تابعی تعریف شده روی
$ \Omega $
باشد. آنگاه محمل
\LTRfootnote{Support }
$ v $
را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
\begin{equation*}
supp\,\, v =\overline{\lbrace x \in \Omega : v(x) \neq 0 \rbrace}.
\end{equation*}
گوییم 
$ v $
دارای محمل فشرده
\LTRfootnote{Compact Support}
در 
$ \Omega $
است در صورتی‌ که
$ supp\,\, v \subset \Omega $.
\end{definition}
begin{definition}
فرض کنیم
$ V_{1} \subset V_{2} $
دو زیرمجموعه‌ی فضای نرم‌دار 
$ V $
باشد. گوییم مجموعه‌ی 
$ V_{1} $
در 
$ V_{2} $
چگال است، هرگاه برای هر 
$ u \in V_{2} $
و
$ \varepsilon > 0 $
،
$ v \in V_{1} $
موجود باشد به‌طوری‌که 
\begin{equation*}
\| v - u \| \leq \varepsilon .
\end{equation}
\end{definition}
\bd
تابع 
$ w(x) $
یک تابع وزن روی بازه‌ی 
$ ( a , b ) $
نامیده می‌شود، هرگاه:
\begin{enumerate}
\item[1)]
$ w(x) $
روی بازه‌ی 
$ (a , b) $
مثبت و اندازه‌پذیر باشد.
\item[2)]
همه‌ی گشتاورهای 
$ \mu_{k}= \int_{a}^{b} x^{k} w(x)dx , k > 0 $
موجود و متناهی باشند.
\end{enumerate}

\bd
فرض کنیم چندجمله‌ای‌های 
$ u(x)$
و
$ v(x)$
روی بازه‌ی 
$ [a , b] $
و تابع وزن 
$ w(x) $
حداقل روی 
$ (a , b) $
تعریف شده باشند. ضرب داخلی گسسته این دو تابع با فرض اینکه 
$ w_{0}, w_{1}, \cdots , w_{N} $
ثابت‌های مثبت باشند به صورت زیر تعریف می‌شود:
$$ \left\langle u , v \right\rangle _{w} = \sum_{i = 0}^{N} u(x_{i}) v(x_{i}) w_{i},$$
به‌طوری‌که نقاط
$ x_{0}, x_{1}, \cdots , x_{N} $
نقاط مجزایی در بازه‌ی $ [a , b] $
می‌باشند و همچنین ضرب داخلی پیوسته این دو تابع به صورت زیر نمایش داده می‌شود:
$$ (u ,v)_{w} = \int_{a}^{b}u(x) v(x) w(x) dx, $$
البته با این شرط که انتگرال فوق وجود داشته ‌باشد.
\bd
دو تابع 
$ u(x)$
و
$ v(x)$
را روی 
$ [a , b] $
نسبت به تابع وزن 
$ w(x) $
متعامد 
\LTRfootnote{Orthogonal }
گوییم، هرگاه ضرب داخلی آن‌ها صفر باشد. 
\begin{definition}
فرض کنیم که تابع 
$u(x)$
روی بازه‌ی
$[a,b]$
داده شده باشد. نرم دو تابع 
$u(x)$
به صورت زیر تعریف می‌شود:
 \begin{equation*}
 \| u \|_{2} = \langle u,u\rangle _{w}^{\frac{1}{2}}.
 \end{equation}
\end{definition}

\section{نرم برداری}
به هر بردار
$X$
در فضای برداری
$\mathbb{R}^n$
می‌توان یک عدد حقیقی نسبت داد که این عدد را با
$\| X \|$
نy
$n\times n$
یک تابع حقیقی مانند
$\|.\|$
است که براین مجموعه تعریف می‌شود و برای تمام ماتریس‌های
$A$
و
$B$
از مرتبه‌ی
$n$
و هر عدد حقیقی دلخواه مانند
$\alpha$
دy
را نرم اقلیدسی می‌گویند.
\end{definition}
\begin{theorem}
هرگاه
$A$
یک ماتریس حقیقی
$n\times n$
yy
yy\\y
y%$a_{21},\cdots ,a_{n1}$y
%\end{align*}
%y
\begin{equation*}
\left\langle (v_{1},w_{1}) , (v_{2},w_{2}) \right\rangle _{V\oplus W} = \left\langle v_{1}, v_{2} \right\rangle _{V} + \left\langle w_{1}, w_{2} \right\rangle _{W}.
\end{equation*}

بعد فضای برداری
$V\oplus W$
برابر جمع ابعاد
$V$
و
$W$
می‌باشد. به علاوه اگر
\begin{equation}
 \lbrace  v_{1}, v_{2},\cdots ,v_{n}  \rbrace
\end{equation}
یک پایه برای فضای
$V$
و
\begin{equation}
 \lbrace w_{1}, w_{2},\cdots ,w_{n}  \rbrace
\end{equation}
یک پایه برای فضای
$W$
باشد، آنگاه
 \begin{equation}
 \lbrace (v_{1},0), (v_{2},0),\cdots ,(v_{n},0) ,(0,w_{1}),(0, w_{2}),\cdots ,(0,w_{m})  \rbrace
\end{equation}
y
 و
 $w$
 در پایه‌های 
 $V$
 و
 $W$
 است.
 \end{theorem}
 \begin{proof}
 هر بردار
 $(v,w)$
 را می‌توان به صورت 
  \begin{equation*}
 (v,w) = (v,0)+(0,w)
  \end{equation*}
 نوشت. بردار
 $(v,0)$
 را می‌توان برحسب ترکیب خطی 
 \begin{equation*}
(v_{1},0), (v_{2},0),\cdots ,(v_{n},0) 
\end{equation*} 
 y
 از آنجا که
$v_{i}$ 
 و
 $w_{j}$ 
 ها هر یک مستقل خطی بودند، داریم
$\alpha _{i}= \beta _{j}=0$ 
 برای هر
 $i,j$
 . پس بعد فضای
$V \oplus W$ 
 برابر تعداد اعضای پایه‌ یا
$n+m$ 
 خواهد بود.
 \end{proof} 
\section{فضای چندجمله‌ای ها}
الف. فضای چندجمله‌ای‌های حداکثر از درجه 
$ q $
در بازه‌ی 
$ [a,b] $
را با نماد 
$ P^{q}(a,b) $
نشان می‌دهیم. 
\\
ب. فضای چندجمله‌ای‌های لژاندر
\LTRfootnote{Logendre Polynomials Space}:

چندجمله‌ای‌های لژاندر در واقع توابع ویژه مسأله‌ی اشتورم - لیوویل به صورت زیر می‌باشند:
$$ \dfrac{d}{dx}\left( (1 - x^{2}) \dfrac{d}{dx}L_{N}(x) \right) + N(N + 1) L_{N}(x) = 0. $$
 رابطه‌ی بازگشتی بین چندجمله‌ای‌های لژاندر به این صورت 
\begin{align*}
& L_{N + 1}(x) = \dfrac{2N + 1}{N + 1}x L_{N}(x) - \dfrac{N}{N + 1} L_{N - 1}(x), \quad N \in \mathbf{N},\\
& L_{0}(x) = 1, \,\,\, L_{1}(x) = x,
\end{align*}
است که 
$ L_{N}(x)$
در صورت زوج بودن 
$ N$
زوج است. این چندجمله‌ای‌ها روی بازه 
$ [ -1 , 1] $
y
%y
‌، افرازی از بازه‌ی 
$ [0,1] $
به 
$ m $
زیربازه است. فضای
$ V^{q} $
را فضای چندجمله‌ای‌های تکه‌ای پیوسته
\LTRfootnote{Continuous piecewise polynomials space}
حداکثر از درجه‌ی
$ q $
روی 
$ \tau _{h} $
در نظر می‌گیریم و فضای 
$ V^{q}_{0} $
را به صورت زیر تعریف می‌کنیم: 
\begin{equation*}
V^{q}_{0}= \lbrace v \vert v \in V^{q} , v(0)=v(1)=0 \rbrace
\end{equation}

y
\LTRfootnote{Pseudospectral}
برy
برای جواب دقیق 
$u(x)$
با روش شبه‌طیفی وجود دارد.
\begin{enumerate}
\item[1)]
y