\documentclass{book}
\usepackage{xepersian} 

\begin{document}
مثال1.تکواره مرتب 
\begin{equation}
s=(\{0,1\},.,\leq)
\end{equation}
که
\begin{equation}
0\leq1
\end{equation}
رادرنظربگیرید. در این صورت نگاشت ثابت 
\begin{center}
 $1\mapsto1 ,0\mapsto1$ $f : S_{s}\to S_{s}$ 
\end{center}
حافظ ترتیب و $S$ - زیر ضربی است . زیرا داریم:
\begin{center}
$f(1)  \cdot0=\hspace{0.2cm}\leq 1=f(1\cdot0 ) $ 
\end{center}
و
\begin{center}
 $ f(0)=1\leq 1=f(1)$
\end{center}
اما $f$ ,   $S$ -همریختی راست نیست . زیرا
\begin{center}
$f(1)\cdot0 = 0 \neq 1 = f(1\cdot0)$
\end{center}
لم2.فرض کنید $s$یک گروه مرتب باشد.دراین صورت 
\begin{equation}
Pos_{S}^{\leq}=Pos_{S} \hspace{1cm}, \varepsilon_{\leq}=\varepsilon.
\end{equation}
\\*

برهان . 1- قبلا نشان دادیم که 
$pos_{S}$
یک زیر رسته از رسته
$Pos_{S}^{\leq}$
می باشد. بنابراین

\begin{center}
$pos_{S} \subseteq Pos_{S}^{\leq}$
\end{center}
کافی است نشان دهیم که 
$Pos_{S}^{\leq}\subseteq pos_{S}$.
یعنی نشان می  دهیم که هر مورفیسم حافظ  ترتیب و $S$ - زیر ضربی  در رسته 
$Pos_{S}^{\leq}$
یک $S$- همریختی  است .
فرض می کنیم $f:A_{S}\to B_{S}$ یک مورفیسم $S$- زیر ضربی و حافظ ترتیب باشد. بنا بر تعریف $S$- زیرضربی برای هر $a\in A , s\in S$
داریم:
\begin{center}
$f(a)s \leq f(as)$
\end{center}
چون $as\in A , s^{-1} \in S$ دوباره بنا بر تعریف $S$- زیر ضربی داریم:
\begin{flushleft}
$f(as)s^{-1} \leq f(ass^{-1})=f(a) \hspace{0.1cm}  \Longrightarrow f(as) \leq f(a)s$    
\end{flushleft}

\begin{center}
$\Longrightarrow f(as)=f(a)s$                
\end{center}
بنابراین $f$, یک $S$- همریختی راست می باشد و درنتیجه 
$Pos_{S}^{\leq}=pos_{S}$ .
\\*

2-قبلا نشان دادیم که 
$\varepsilon \subseteq \varepsilon_{\leq}$ .
چون هر عضو 
$\varepsilon_{\leq}$
یک $S$-همریختی راست است ، داریم:
$\varepsilon_{\leq}\subseteq\varepsilon$
پس 
$\varepsilon = \varepsilon_{\leq}$.
\\*


تعریف3.یک$ S$-سیستم مرتب جزیی راست $A_{S }$ را یک $S$-دوجنبه ای  راست گوییم هرگاه 

\begin{enumerate}
\item مجموعه جزیی مرتب $A$یک مشبکه کامل باشد.
\item

\begin{equation}  
(\bigvee\hspace{0.1cm}M)s=\bigvee\{ms\mid m\in M\}\hspace{0.5cm}\forall\hspace{0.2cm} M 
\subseteq\hspace{0.1cm}A\hspace{0.1cm},\forall\hspace{0.1cm}s
\in\hspace{0.2cm}S
\end{equation}
\end{enumerate}


گزاره 4. فرض کنید $Q_{S}$ یک $ S$-دوجنبه ای باشد. دراین صورت $Q_{S}$ در رسته 
$Pos_{S}^{\leq}$
یک
$\varepsilon_{\leq}$ - انژکتیو  
است.
\\*
برهان .فرض کنید $Q_{S}$ یک $S$- دوجنبه ای باشد و $e: A_{S}\to B_{S} $ یک مورفیسم در رده 
$\varepsilon_{\leq}$
باشد . همچنین فرض کنید $f:A_{S} \to B_{S}$ یک مورفیسم در رسته 
$Pos_{S}^{\leq}$
باشد . باید نشان دهیم که مورفیسم $g$ در رسته 
$Pos_{S}^{\leq}$
موجود است به طوریکه $ge=f$ .
تعریف می کنیم :
\\*

\begin{center}
$\ g : B \to Q  ,  b\longmapsto \bigvee \{f(a)z | e(a)z \leq b , a \in A , z \in S \} $
\end{center}
 $g$ حافظ ترتیب است . زیرا $g$ یک $S$ - همریختی  است و هر $S$- همریختی حافظ ترتیب است .
 
 حال نشان می دهیم  $g$ ، $S$- زیرضربی است . یعنی 
 $g(b)s \leq g(bs)$
 
 \begin{flushleft}
 $ \hspace{2.4cm} g(b)s \hspace{0.01cm}=    ( \bigvee\{f(a)z | e(a)z \leq b , a \in A ,z \in S \})s$
 \end{flushleft}
 \begin{center}
 $    =\bigvee\{f(a)zs  | e(a)z \leq b , a \in A , z \in S\}$
 \end{center}
  \begin{center}
  $\leq \bigvee \{f(a)t | e(a)zs \leq bs , a \in A , t \in S\}$
  \end{center}
   \begin{flushleft}
  $\hspace{3.2cm}=g(bs)$
 \end{flushleft}
 
 بنابراین $g$ و $S$ - زیرضربی است . 
حال داریم :
\begin{center}
$\forall a \in A \hspace{0.5cm} g(e(a))= \bigvee \{ f(x)z | e(x)z \leq e(a) , x \in A , z \in S\}$
\end{center}
همچنین
$e \in \varepsilon_{\leq}$ .
یعنی اگر 
$e(x)z \leq e(a)$
آنگاه 
$xz \leq a$ .

$f$، حافظ ترتیب و$S$- زیر ضربی است بنابراین 
   \begin{flushleft}
$\hspace{3.8cm} f(x)z \leq f(xz) \leq f(a) \hspace{0.5cm} \forall  x \in A , z \in S$
 \end{flushleft}
   \begin{flushleft}
 $\hspace{2.6cm}\Longrightarrow \hspace{0.4cm} f(x)z \leq f(a) \hspace{1.9cm} \forall x \in A , z \in S$
 \end{flushleft}
    \begin{flushleft}
    $\hspace{2.6cm}\Longrightarrow \hspace{0.3cm}\bigvee \{ f(x)z  | e(x)z \leq e(a) , x \in A , z \in S \}= f(a)$
 \end{flushleft}
    \begin{flushleft}
    $\hspace{2.6cm}\Longrightarrow \hspace{0.3cm}g(e(a))= f(a)$
     \end{flushleft}
واین جابجایی دیاگرام را می رساند .

گزاره 5. در رسته 
$Pos_{S}^{\leq}$
هر درون بری از یک$ S $ - دو جنبه ای ، یک$ S $ - دو جنبه ای است . 
\\*

  گزاره 6 . فرض کنید $ A_{S}$ یک $S$ - سیستم  مرتب جزیی  باشد. در  این  صورت 
$\rho(A)_{S}$
در رسته

$Pos_{S}^{\leq}$
  یک
$\varepsilon_{\leq}$  - انژکتیو  
است.
\\*

قضیه 7. فرض کنید $ A_{S}$ یک $S$ - سیستم مرتب جزیی باشد. در این صورت $A_{S}$ در رسته 
$Pos_{S}^{\leq}$
یک 
$\varepsilon_{\leq}$  - انژکتیو  
است اگر و فقط اگر $A_{S}$ یک $S$- دو جنبه ای راست باشد.
\\*

نتیجه 8. برای یک  $S$- دو جنبه ای راست $A_{S}$ روی یک  گروه مرتب $S$  گزاره های زیر معادلند:
 \begin{enumerate}
 \item $A_{S}$  در رسته 
 $Pos_{S}$
 $\varepsilon_{\leq}$  - انژکتیو  
 است  .
 \item $A_{S}$  در رسته 
 $Pos_{S}^{\leq}$
  $\varepsilon_{\leq}$  - انژکتیو  
  است .
 \item$A_{S}$ یک $S$-  دو جنبه ای راست است . 
\end{enumerate}


نتیجه 9 . یک تکواره مرتب  $S$ 
$\varepsilon_{\leq}$  - خود انژکتیو 
است اگر و فقط اگر یک دو جنبه ای  باشد.
\\*

تعریف 10 . فرض کنید $Q_{S}$ یک $S$ - دو جنبه ای باشد . ما می گوییم که یک عملگر بستاری  $S$ - زیر  ضربی  $j$ روی $Q$ یک  هسته $S$ - دو جنبه ای  است .
\\*

لم 11. فرض کنید $j$ یک هسته $S$ - دو جنبه ای روی یک $S$- دو جنبه ای $Q_{S}$ باشد. در این صورت  داریم:
\usepackage{xepersian}
\settextfont{B Nazanin}
\setdigitfont[Scale=1.5]{B Nazanin}
\setlatintextfont[Scale=0.85]{Times New Roman}


\DeclareMathSizes{10}{19}{9}{8}

\begin{center}
  $j(as)=j(j(a)s)  \hspace{0.5cm}\forall\hspace{0.2cm} a \in Q  ,  s \in S$
\end{center}

  قضیه 12 . اگر
$j : Q_{S}\to Q_{S}$
یک هسته $S$- دو جنبه ای باشد، در این صورت  $Q_{S}$ همراه  با عمل زیر یک $S$ - دو جنبه ای است:

\begin{center}
$a \circ s = j(as)$
\end{center}

لم 13 . برای یک $S$ - سیستم مرتب جزیی  $A_{S}$ ، $cl$ یک هسته $S$ - دوجنبه ای روی یک
$\rho(A)_{S}$
است .
\\*

قضیه 14. برای هر $S$- سیستم مرتب جزیی $A_{S}$ ، 
$\rho(A)_{S}$
در رسته 
$Pos_{S}^{\leq}$
یک 
$\varepsilon_{\leq}$  - 
پوشش انژکتیو
از $A_{S}$ است.
\\*

مثال 15. تکواره مرتب جمعی  $S=(N_{0},+)$ از اعداد صحیح غیر منفی  که روی مجموعه $A=N$ به وسیله جمع عمل میکند.


\end{document}