\chapter{نظریه اختلال در کیهان‌شناسی}\label{chapter2} \hypertarget{htchapter2}{} \thispagestyle{plain} %\allowdisplaybreaks[1] %\makeatletter %\bidi@patchcmd{\list}{\parskip\parsep}{\parskip-6pt}{\typeout{Suceeded}} {\typeout{Failed}} %\makeatother % \section{مقدمه} کیهان اولیه پلاسمایی داغ از ذرات بوده است. آنچه ما از مشاهدات در مورد کیهان اولیه می‌دانیم مربوط به آخرین سطح پراکندگی است و برای فهم شرایط قبل از آن تنها به تئوری بسنده می‌کنیم. .\\ مولفه های تشکیل دهنده کیهان می‌توانند برهمکنش داشته باشند و به دلیل دمای کیهان اولیه و ترکیب انواع ذرات تشکیل دهنده، علم کیهانشناسی مدرن بر دو پایه بنامی‌شود: نسبیت عام و ترمودینامیک. پرداختن به این بخش از فیزیک بدون درنظر گرفتن تئوری اختلال بی معناست. بر اساس مدل استاندارد، جهان به عنوان یک کل، همگن و یکنواخت فرض می‌شود درصورتی که ساختارهای اطراف ما می‌گویند این فرض در مقیاس‌های کهکشانی کارایی خود را از دست می‌دهد زیرا منشاء تشکیل ساختارها و تحول آنها درواقع اختلالاتی هستند که در کیهان اولیه تولید شده‌اند. با نگاه به تابش زمینه کیهانی، در آخرین سطح پراکندگی، افت و خیزهای دمایی از مرتبه $\Delta T/T\sim 10^{-5}$ مشاهده می‌شود. این افت و خیزهای دمایی نشان دهنده‌ی افت و خیز چگالی می‌باشند. این افت و خیزها در اثر ناپایداری گرانشی کیهان رشد کرده و ساختارهای فعلی کیهان را به وجود می‌آورند \subsection{نظریه اختلا ل در نسبیت عام } در نظریه اختلال در نسبیت عام، فضا زمان مختل شده به شکلی در نظر گرفته می‌شود که بسیار نزدیک به فضا زمان متقارن و ساده زمینه است. \begin{figure}[!h] \begin{center} \includegraphics[scale=0.5]{Image/pertspacetime.png} \caption{ فضا زمان مختل شده} \label{figper} \end{center} \end{figure} در تئوی اختلال به این دو فضا زمان رجوع می‌شود در ابتدا به به این صورت که سیستم مختصاتی در فضا زمان مختل شده وجود دارد که متریک آن به شکل زیر است \begin{equation} g_{\mu\nu}=\bar{g}_{\mu\nu}+\delta g_{\mu\nu} \end{equation} در اینجا$\bar{g}_{\mu\nu}$ متریک زمینه و $\delta g_{\mu\nu}$ و مشتقات جزئی اول و دوم آن کوچک هستند. اگر $\delta g_{\mu\nu,\rho\sigma}$ و$\delta g_{\mu\nu,\rho}$ ، تانسورهای انحنا و انرژی فضا زمان مختل شده به صورت زیر هستند \begin{eqnarray} G_{\nu}^\mu=\bar{G}_{\nu}^{\mu}+\delta G_{\nu}^\mu\\ T_{\nu}^\mu=\bar{T}_{\nu}^{\mu}+\delta T_{\nu}^\mu \end{eqnarray} اختلالات $\delta G_{\nu}^\mu$ و $\delta T_{\nu}^\mu$ کوچک هستند. با کم کردن معادلات اینشتین برای دو فضا زمان یعنی فضا زمان اختلالی $G_{\nu}^\mu=8 \pi G T_{\nu}^\mu$ و فضا زمان زمینه $\bar{G_{\nu}^\mu}=8 \pi G\bar{T_{\nu}^\mu}$ خواهیم داشت \begin{equation} \delta G_{\nu}^\mu=8\pi G\delta T_{\nu}^\mu \end{equation} \section{جهان زمینه} برای جهان زمینه ما متریک فریدمن رابرتسون واکر $FRW$ در نظر می‌گیریم. در مختصات همراه$(t,x,y,z)$ متریک زمینه به صورت زیر است \begin{equation} ds^2=\bar{g}_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu =-dt^2+a^2(t)\delta_{ij}dx^i dx^j=-dt^2+a(t)^{2}(dx^2+dy^2+dz^2) \end{equation} برای ساده سازی روابط فوق را در مختصات همدیس $\eta$ می‌نویسیم \begin{equation} \eta=\frac{dt}{a(t)} \end{equation} با تغییرمتغیر فوق رابطه متریک زمینه به صورت زیر به دست می‌آید \begin{equation} ds^2=\bar{g}_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu =a^2(\eta)[-d\eta^2+\delta_{ij}dx^i dx^j=a(\eta)^{2}(-d\eta^2+ dx^2+dy^2+dz^2) \end{equation} فرض بر این است که \begin{equation} \bar{g}_{\mu\nu}=a^2(\eta)\eta_{\mu\nu} \Rightarrow \bar{g}^{-\mu\nu}=a^{-2}(\eta)\eta^{\mu \nu} \end{equation} با استفاده از زمان همدیس رابطه فریدمن به صورت زیر در می‌آید \begin{eqnarray} && {\cal H}^2=( \frac{a'}{a}) ^2=\frac{8\pi G}{3}\bar{\rho}a\\ && {\cal H}'=-\frac{4\pi G}{3}(\bar{\rho}+3\bar{p})a^2\\ %&& {}^'\equiv\frac{d}{d\eta}=a\frac{d}{dt}=a()^.\\ &&{\cal H}=\frac{a'}{a}=aH=\dot{a} \end{eqnarray} در اینجا ${\cal H}$ پارامتر هابل همدیس است. لازم به یادآوری است که \begin{equation} {\cal H}'\equiv\left(\frac{a'}{a}\right)'=\frac{a''}{a}-\left(\frac{a'}{a}\right)^2=(a\dot{a})^{.}-\dot{a}^2=a\ddot{a}=a^2\frac{\ddot{a}}{a}=a^{2}(\dot{H}+H^2) \end{equation} معادله پیوستگی در زمان همدیس به صورت زیر در می‌آید \begin{equation} \dot{\bar{\rho}}=-3H(\bar{\rho}+\bar{p}) \rightarrow \rho'=-3{\cal H}(\bar{\rho}+\bar{p})=-3{\cal H}\bar{\rho}(1+w) \end{equation} پارامتر معادله حالت $w=\frac{\bar{\rho}}{\bar{p}}$ است ومربع سرعت صوت $c_{s}^2\equiv\frac{\dot{\bar{p}}}{\dot{\bar{\rho}}}\equiv\frac{\bar{p}'}{\bar{\rho}'}$ است. این دو مقدار همواره به مقادیر زمینه بستگی دارند. از معادلات فریدمن و معادله پیوستگی روابط زیر را برا زمینه داریم \begin{equation} {\cal H}=-\frac{1}{2}(1+3w){\cal H}^2 \end{equation} در نتیجه \begin{equation} \frac{w'}{1+w}=3{\cal H}(w -c_{s}^2) \end{equation} در عبارت فوق می‌توان دید که برای $w=-\frac{1}{3}$ طول هابل همراه ثابت می‌ماند و برای مقدار $w<-\frac{1}{3}$ طول هابل با زمان کوچک شده(تورم) و برای$w>-\frac{1}{3}$ طول هابل با زمان افزایش دارد و انبساط معمول را داریم اگر $w=const.$ آنگاه $c_{s}^2=w$ \section{جهان اختلالی} با نوشتن متریک جهان اختلالی در زمینه FRW داریم \begin{equation} g_{\mu\nu}=\bar{g_{\mu\nu}}+\delta g_{\mu\nu}=a^2(\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}) \end{equation} دررابطه بالا $h_{\mu\nu}$ و به تبع آن $h_{\mu\nu,\rho}$ و $h_{\mu\nu,\rho\sigma}$ یعنی مشتقات اول و دوم آن کوچک هستند. چون در اینجا تئوری اختلال مرتبه اول مد نظر ما است تمام جملات مرتبه دوم به بالا را حذف می‌کنیم. در اینجا اختلال $h_{\mu\nu}$ یک تانسور نیست و همینطور $\eta_{\mu\nu}$ هم همین وضعیت را دارد. به صورت زیر آنها را مشخص می‌کنیم \begin{equation} h_{\mu\nu}=\eta^{\mu\rho}h_{\rho\nu} , h^{\mu\rho}=\eta^{\nu\sigma}h_{\rho\sigma} \end{equation} به راحتی می‌توان دید که معکوس متریک فضا زمان تا مرتبه اول به صورت زیر است \begin{equation} g^{\mu\nu}=a^2(\eta^{\mu\nu}-h_{\mu\nu}) \end{equation} با مشخص کردن اختلال متریک به صورت زیر \begin{equation} h_{\mu\nu}=\left[ \begin{matrix} -2A&-B_i\\ -B_i&-2D\delta_{ij}+2E_ij\\ \end{matrix} \right] \end{equation} که در آن $D=-\frac{1}{6}h_{i}^i$ . عنصر طول متریک به صورت زیر است \begin{equation} ds^2=a^2(\eta){1(1+2A)d\eta^{2}-2B_{i}d\eta dx^{i}+[(1-2D)\delta_{ij}+2E_{ij}]dx^{i}dx^{j}} \end{equation} در عبارت بالا $A(\eta,x^{i})$ \textbf{تابع لپس} و $B_{i}(\eta,x^{i})$ \textbf{بردار انتقال} نام دارد. اختلالات به سه دسته برداری اسکالر و تانسوری تقسیم می‌شوند. که در بحث ما اختلالات اسکالر اهمیت دارند بیشتری دارند این اختلالات مسئول تشکیل ساختارهای کیهانی هستند.\\ متریک مربوط به اختلالات اسکالر به صورت زیر است \begin{equation} ds^2=a^2(\eta){1(1+2A)d\eta^{2}-2B_{,i}d\eta dx^{i}+[(1-2\psi)\delta_{ij}+2E_{ij}]dx^{i}dx^{j}} \end{equation} ما در اینجا اختلال انحنا را به صورت زیر مشخص می‌کنیم \begin{equation} \psi\equiv D+\frac{1}{3}\nabla ^{2}E \end{equation} بنابراین مولفه های اختلال به شکل زیر هستند \begin{equation} h_{\mu\nu}=\left[ \begin{matrix} -2A&-B_,i\\ -B_{,i}&-2\psi\delta_{ij}+2E_ {,ij}\\ \end{matrix} \right] \end{equation} \subsection{پتانسیل باردین} با مشخص کردن دو مقدار زیر که پتانسیل باردین نام دارند و تحت تبدیالات پیمانه ای ناوردا هستند، کار خود را پیش می‌بریم \begin{eqnarray} \Psi\equiv A+{\cal H}(B-E')+(B-E')\\ \Phi\equiv D+\frac{1}{3}\nabla^{2}E-{\cal H}(B-E')=\psi-{\cal H}(B-E') \end{eqnarray} \subsection{ پیمانه همدیس نیوتنی} می‌توانیم با قراردادن اختلالات اسکالر$B$و $E$ مساوی صفر، به پیمانه همدیس نیوتنی برسیم. درنتیجه این انتخاب $A=\phi$ و $D=\psi=\Psi$. پتانسیل های باردین مساوی اختلال متریک در پیمانه همدیس نیوتنی خواهند شد. ازین به بعد ما در این پیمانه کارخواهیم کرد. متریک با در نظر گرفتن پیمانه فوق به صورت زیر نوشته می‌شود \begin{equation} ds^2=a^2(\eta)[-(1+2\Phi)d\eta^{2}[-(1+2\Psi)\delta_{ij}]dx^{i}dx^{j}] \end{equation} یا \begin{equation} g_{\mu\nu}=\left[ \begin{matrix} -1-2\Phi&0\\ 0&(1-2\psi)\delta_{ij}\\ \end{matrix} \right] \end{equation} \subsection*{اختلال در تانسور انحنا} ما از متریک همدیس نیوتنی ضرایب کانکشن را به دست می‌آوریم \begin{equation} \begin{matrix} \Gamma_{00}^{0}=\frac{a'}{a}+\Phi' & \Gamma_{0k}^{0}=\Phi_{,k} & \Gamma_{ij}^{0}=\frac{a'}{a}\delta_{ij}-\left[2\frac{a'}{a}(\Phi+\Psi)+\psi'\right]\delta_{ij}\\ \Gamma_{00}^{i}=\Phi_{,i} & \Gamma_{0j}^{i}=\frac{a'}{a}\delta_{j}^{i}-\Psi'\delta_{j}^{i} & \Gamma_{kl}^{i}=-(\Psi_{,l}\delta_{k}^{i}+\Psi_{,k}\delta_{l}^{i})+\Psi_{,i}\delta_{kl} \end{matrix} \end{equation} و همینطور داریم \begin{equation} \Gamma_{0 \alpha}^{\alpha}=4\frac{a'}{a}+\Phi'-3\Psi' \end{equation} \begin{equation} \Gamma_{i \alpha}^{\alpha}=\Phi_{,i}-3\Psi_{,i} \end{equation} تمام جملات مرتبه بالاتر از یک از $\Psi$ و $\Phi$ حذف می‌شود. با جدا کردن جملات زمینه و اختلالی \begin{equation} \Gamma_{\beta\gamma}^{\alpha}=\bar{\Gamma}_{\beta\gamma}^{\alpha}+\delta\Gamma_{\beta\gamma}^{\alpha} \end{equation} برای زمینه داریم \begin{equation} \begin{matrix} \bar{\Gamma}_{00}^{0}={\cal H} & \bar{\Gamma}_{0k}^{0}=0 & \bar{\Gamma}_{ij}^{0}={\cal H}\delta_{ij}\\ \bar{\Gamma}_{00}^{i}=0 & \bar{\Gamma}_{0j}^{i}={\cal H}\delta_{j}^{i} & \bar{\Gamma}_{kl}^{i}=0 \end{matrix} \end{equation} و اینکه \begin{equation} \begin{matrix} \delta\Gamma_{00}^{0}=\Phi' & \delta\Gamma_{0k}^{0}=\Phi_{,k} & \delta\Gamma_{ij}^{0}=-[2{\cal H}(\Phi+\Psi)+\Psi']\delta_{ij}\\ \delta\Gamma_{00}^{i}=\Phi_{,i} &\delta\Gamma_{0j}^{i}=-\Psi'\delta_{j}^{i} &\delta\Gamma_{kl}^{i}=-(\Psi_{,l}\delta_{k}^{i}+\Psi_{,k}\delta_{l}^{i})+\Psi_{,i}\delta_{kl} \end{matrix} \end{equation} بنابراین تانسور ریچی به این صورت در می‌آید \begin{eqnarray} && R_{\mu\nu}=\Gamma_{\nu\mu,\alpha}^{\alpha}-\Gamma_{\alpha\mu\nu}^{\alpha}+ \Gamma_{\alpha\beta}^{\alpha}\Gamma_{\nu\mu}^{\beta}- \Gamma_{\nu\beta}^{\alpha}\Gamma^{\beta}_{\alpha\mu}\\ \nonumber &&=\bar{R}_{\mu\nu}+\delta\Gamma_{\nu\mu,\alpha}^{\alpha}-\delta\Gamma_{\alpha\mu,\nu}^{\alpha}+\bar{\Gamma}_{\alpha\beta}^{\alpha}\delta\Gamma_{\nu\mu}^{\beta}+ \delta\Gamma_{\alpha\beta}^{\alpha}\bar{\Gamma}_{\nu\mu}^{\beta}- \bar{\Gamma}_{\nu\beta}^{\alpha}\delta\Gamma^{\beta}_{\alpha\mu}- \delta\Gamma_{\nu\beta}^{\alpha}\bar{\Gamma}^{\beta}_{\alpha\mu} \end{eqnarray} با محاسبه $R_{\nu}^{\mu}$ عناصر تانسور ریچی به شرح زیر هستند \begin{eqnarray} &&R_{00}=-3{\cal H}'+3\Psi ''+3{\cal H}(\Psi '+\Phi ')\\ && R_{0i}=2(\Psi '+{\cal H}\Phi)_{,i}\\ && R_{ij}=({\cal H}'+2{\cal H}^2)\delta_{ij}\\ \nonumber && +\left[ -\Psi ''+\nabla ^2\Psi-{\cal H}(\Psi '+5\Phi ')-(2{\cal H}'+4{\cal H}^2)(\Psi+\Phi)\right] \delta_{ij}\\ \nonumber &&+(\Psi-\Phi)_{ij} \end{eqnarray} در نهایت اسکالر انحنا به صورت زیر است \begin{equation} R=R_{0}^{0}+R_{i}^{i}=6a^2({\cal H}'+{\cal H}^2)+a^{-2}\left[-6\Psi''+2\nabla ^2(2\Psi-\Phi)-6{\cal H}(\Phi'+3\Psi')-12({\cal H}'+{\cal H}^2)\Phi\right] \end{equation} حال تانسور اینشتین را با توجه به مواردی که به دست آمد می‌توان به صورت زیر نوشت \begin{eqnarray} && G_{0}^{0}=R_{0}^{0}-\frac{1}{2}R\\ \nonumber && =-3a^{-2}{\cal H}^{2}+a^{-2}\left[ -2\nabla ^2\Psi +6{\cal H}\Psi '+6{\cal H}^2\Phi\right]\\ && G_{i}^{0}=R_{i}^{0}\\ && G_{0}^{i}=R_{0}^{i}=-R_{i}^{0}=-G_{i}^{0}\\ && G_{j}^{i}=R_{j}^{i}-\frac{1}{2}\delta _{j}^{i}R=a^{-2}(-2{\cal H}'-{\cal H}^2)\delta_{j}^{i}\\ \nonumber && +a^{-2}\left[ 2\Psi ''+\nabla ^2(\Psi -\Phi)+{\cal H}(2\Phi '+4\Psi ')+(4{\cal H}'+2{\cal H}^2)\Phi\right]\\ \nonumber && \delta _{j}^{i}+a^{-2}(\Psi -\Phi)_,ij \nonumber \end{eqnarray} معادلات بالا حاوی معادلات زمینه و معادلات اختلالی هستند. به دلیل اینکه $\bar{G}_{\nu}^{\mu}$ و $\bar{R}_{\nu}^{\mu}$در پس زمینه قطری هستند عناصر غیر قطری شامل مقادیر اختلالی هستند درنتیجه \begin{equation} R_{i}^{0}=G_{i}^{0}=\delta R_{i}^{0}=\delta G_{i}^{0} \end{equation} \subsection*{اختلال درتانسور انرژی مومنتوم} تانسور انرژی را در نظر می‌گیریم. تانسور انرژی پس زمینه حتما از فرم شاره کامل است \begin{equation} \bar{T}^{\mu\nu}=(\bar{\rho}+\bar{p})u^{\mu}u^{\nu})+\bar{p}g^{\mu\nu} \bar{T}^{\mu}_{\nu}=(\bar{\rho}+\bar{p})u^{\mu}u_{\nu})+\bar{p}\delta^{\mu}_{\nu} \end{equation} به دلیل همگنی $\bar{p}=\bar{p}(\eta)$ و $\bar{p}=\bar{p}(\eta)$ می‌توان معادلات را به فرم بالا نوشت. همسانگردی شاره در چارچوب ساکن و در جهان پس زمینه ایجاب می‌کند \begin{equation} \bar{u}^i=0\Longrightarrow \bar{u}^\mu=(\bar{u}^0,0,0,0) \end{equation} و \begin{equation} \bar{u}_{\mu}\bar{u}^{\mu}=\bar{g}_{\mu\nu}\bar{u}^{\mu}\bar{u}^{\nu}=a^2\eta_{\mu\nu}\bar{u}^{\mu}\bar{u}^{\nu}= -a^{2}(\bar{u}^{0})^2=-1 \end{equation} در نتیجه \begin{equation} \bar{u}_{\mu}=\frac{1}{a}(1,\vec{0}) , \bar{u}_{\mu}=a(-1,\vec{0}) \end{equation} تانسور انرژی جهان اختلالی به این صورت است \begin{equation} T^{\mu}_{\nu}=\bar{T}^{\mu}_{\nu}+\delta T^{\mu}_{\nu} \end{equation} در شاره کامل تانسور انرژی مومنتوم شکل خود را حفظ می‌کند به صورت \begin{equation} T^{\mu}_{\nu}=(\rho+p)u^{\mu}u_{\nu}+\delta ^{\mu}_{\nu} \end{equation} اختلال در مولفات فشار و چگالی و سرعت را می‌توان به صورت‌های زیر نوشت در نتیجه \begin{eqnarray} &&\rho=\bar{\rho}+\delta \rho\\ && p=\bar{p}+\delta p \\ &&u^i=\bar{u}^i+\delta u^i=\delta u^i\equiv\frac{1}{a}v_i بنابراین $v_i\equiv a u^i$ را اختلال سرعت می‌نامیم که مشتق زمانی مختصه فضایی است $\frac{dx^i}{d\eta}\equiv a u^i=v_i$ و معادل سرعتی شاره‌ای است که توسط ناظر همراه مشاهده می‌شود. با قرار دادن این عبارات در تانسور انرژی مومنتوم داریم %\begin{equation} %T^\mu}_{\nu}=\bar{T}^{\mu}_{\nu}+\delta T^\mu}_{\nu}=\left[ %\begin{matrix} %-\bar{\rho}&0\\ %0&\bar{p}\delta_{j}^{i} %\end{matrix} %\right] +\left[ %\begin{matrix} %-\delta\rho&(\bar{\rho}+\bar{p})(v_i-B_i)\\ %-(\bar{\rho}+\bar{p})v_i&\delta p\delta_{j}^{i} %\end{matrix}\right] %\end{equation} \[T^{\mu}_{\nu}=\bar{T}^{\mu}_{\nu}+\delta T^{\mu}_{\nu}= \left[ \begin{array}{l l } -\bar{\rho}&0\\ 0&\bar{p}\delta_{j}^{i} \end{array} \right]+ \left[\begin{array}{l l } -\delta\rho&(\bar{\rho}+\bar{p})(v_i-B_i)\\ -(\bar{\rho}+\bar{p})v_i&\delta p\delta_{j}^{i} \end{array}\right]\] در واقع $\delta T_{j}^{i}$نشان می‌دهد که چقدر شاره مختل شده با شاره کامل اختلاف دارد. می‌توان آن را به صورت زیر هم نوشت \begin{equation} \delta T_{j}^{i}=\delta p\delta _{j}^{i}+\Sigma_{ij}\equiv\bar{p}\left( \frac{\delta p}{\bar{p}}+\Pi_{ij}\right) \end{equation} در اینجا $\Sigma_{ij}$ به صورت زیر تعریف می‌شود \begin{equation} \Sigma_{ij}\equiv\delta T_{j}^{i}-\frac{1}{3}\delta _{j}^{i}\delta T_{k}^{k} \end{equation} که $\Sigma_{ij}$ فشار غیر ایزو تروپیک است و برای شاره کامل و در پیمانه همدیس نیوتنی این مقدار صفر است. با فرض اختلالات اسکالر خواهیم داشت $v_{i}=v_{,i}$ و همینطور $B_{i}=-B_{,i}$ . در این حالت و در پیمانه همدیس نیوتنی یعنی $B=0$، شکل نهایی تانسور اختلالی انرژی به صورت زیر است \[\delta T^{\mu}_{\nu}= \left[ \begin{array}{l l l} -\delta\rho&-(\bar{\rho}+\bar{p})(v_{,i})\\ (\bar{\rho}+\bar{p})v_{,i}&\delta p\delta_{j}^{i}+\bar{p}(\Pi_{,ij}-\frac{1}{3}\delta_{ij}\nabla^{2}\Pi)) \end{array} \right] \] \section{معادلات میدان برای اختلالات اسکالر در پیمانه نیوتنی } حالا می‌توان معادلات اینشتین اختلالی را نوشت \begin{equation} \delta G^{\mu}_{\nu}=8\pi G\delta T^{\mu}_{\nu} \end{equation} قبل از این برای هر کدام از طرف‌های تساوی روابط مورد نظر را به دست آورده‌ایم %\begin{eqnarray} %&&\delta G_{0}^{0}=a^{-2}-2\nabla ^2 \Psi+6{\cal H}(\Psi '+{\cal H}\Phi)]=-8\pi G \delta \rho\\ %&&\delta G_{i}^{0}=-2a^(\Psi '+{\cal H}\Phi)_{,i}=-8\pi G(\bar{\rho}+\bar{p})v_{,i}\\ %&&\delta G_{0}^{i}=2a^(\Psi '+{\cal H}\Phi)_{,i}=8\pi G(\bar{\rho}+\bar{p})v_{,i}\\ %&&\delta G_{j}^{i}=a^[2\Psi ''+\nabla^2(\Phi-\Psi)+{\cal H}(2\Psi '+4\Phi')+(4{\cal H}'\\ \nonumber %&&+2{\cal H}^2)\Phi]\delta _{j}^{i}+a^{-2}(\Phi-\Psi)_{,ij}=8\pi G[\delta\rho}\delta _{j}^{i}+\bar{p}(\Pi_{,ij}-\frac{1}{3}\delta _{ij}\nabla ^2 \Pi) %\end{eqnarray} به عبارت بهتر \begin{eqnarray} &&3{\cal H}(\Psi '+{\cal H}\Phi)-\nabla^2 \Psi =-4 \pi Ga^{2}\delta \rho\\ &&(\Psi '+{\cal H}\Phi)_{,i}=4\pi Ga^{2}(\bar{\rho}+\bar{p})v_{,i}\\ &&\Psi ''+{\cal H}(\Phi '+2\Psi ')+(2{\cal H}'+{\cal H}^2)\Phi+\frac{1}{3}\nabla^2(\Phi-\Psi)=4\pi Ga^{2}\delta p\\ && (\partial_{i}\partial_{j}-\frac{1}{3}\delta_{j}^{i}\nabla^2)(\Psi-\Phi)\Pi = 8\pi G a^{2}\bar{p}(\partial_{i}\partial_{j}-\frac{1}{3}\delta_{j}^{i}\nabla^2)\Pi \end{eqnarray} عناصر غیر قطری برای معادله میدان به صورت زیر است \begin{equation} (\Psi-\Phi)_{,ij}=8\pi Ga^2\bar{p}\Pi_{,ij} \end{equation} در فضای فوریه و در حالتیکه اختلال چگالی نسبی یا تباین چگالی به صورت زیر تعریف شود$\delta\equiv\frac{\delta \rho}{\rho}$ بنابراین با تعریف پارامتر معادله حالت $w\equiv\frac{\bar{p}}{\bar{\rho}}$که فرم نهایی معادلات اینشتین به شکل زیر است \begin{eqnarray} &&{\cal H}^{-1}\Psi'+\Phi+\frac{1}{3}\left( \frac{k}{{\cal H}}\right) ^{2}\Psi=-\frac{1}{2}\delta\\ &&{\cal H}^{-1}\Psi'+\Phi=\frac{3}{2}(1+w)\frac{{\cal H}}{k}v\\ &&{\cal H}^{-2}\Psi''+{\cal H}^{-1}(\Phi'+2\Psi')+\left( 1+\frac{2{\cal H}'}{{\cal H}^2}\right) \Phi- \frac{1}{3}\left( \frac{k}{{\cal H}}\right) ^{2}(\Phi-\Psi)=\frac{3}{2}\frac{\delta p}{\rho}\\ &&\left(\frac{k}{{\cal H}}\right) ^{2}(\Phi-\Psi)=3w\Pi \end{eqnarray} \subsection*{معادلات پیوستگی} میدانیم از رابطه اینشتین $G_{\nu}^{\mu}=8\pi GT_{\nu}^{\mu}$ رابطه پیوستگی تانسور انرژی مومنتوم به صورت $T_{\nu;\mu}^{\mu}=0$ است. مانند جهان پس زمینه، می‌توان معادله پیوستگی را به دست آورد با استفاده از \begin{equation} T_{\nu;\mu}^{\mu}=T_{\nu,\mu}^{\mu}+\Gamma_{\alpha\mu}^{\mu}T_{\nu}^{\alpha}-\Gamma_{\nu\mu}^{\alpha}T_{\alpha}^{\mu}=0 \end{equation} تا مرتبه اول اختلالات را به دست می‌آوریم. برای زمینه داشتیم \begin{equation} \bar{\rho}'=-3{\cal H}(\bar{\rho}+\bar{p}) \end{equation} تا مرتبه اول معادلات اختلالی پیوستگی برای اختلالات اسکالر در پیمانه نیوتنی به صورت زیر هستند \begin{equation} \label{eq:2.67} &&(\delta \rho)'=-3{\cal H}(\delta \rho)+\delta p)+(\bar{\rho}+\bar{p})(\nabla^2 v+3\Psi') \end{equation} \begin{equation} \label{eq:2.68} &&(\bar{\rho}+\bar{p})v'=-(\bar{\rho}+\bar{p})'v-4{\cal H}(\bar{\rho}+\bar{p})v+\delta p+\frac{2}{3}p\nabla^2 \Pi+ (\bar{\rho}+\bar{p})\Phi \end{equation} باید متذکر شویم که $v$ پتانسیل سرعت است $\vec{v}=-\nabla v$ بنابراین در رابطه اختلال انرژی (\ref{eq:2.67}) ابتدا اثر انبساط زمینه سپس اثر دیورژانس سرعت(انبساط موضعی شاره) و آنگاه اثرات انبساط یا انقباض در اختلالات متریک را در نظر می‌گیریم. در رابطه مربوط به اختلال مومنتوم (\ref{eq:2.68}) سمت راست و اولین جمله تغییرات اینرسی در سرعت را نشان می‌دهد. جمله دوم اثرات انبساط زمینه را نشان می‌دهد. و سومین جمله نیروی ناشی از گرادیان فشار و پتانسیل گرانشی را نشان می‌دهد. با استفاده از روابطی که در زمینه داریم به دو رابطه زیر می‌رسیم \cite{Abramo2008ip} \begin{equation} \label{eq2.70} \delta'=(1+w)(\nabla^2 v+3\Psi')+3{\cal H}(w\delta-\frac{\delta p}{\bar{\rho}}) \end{equation}} \begin{equation} \label{eq2.71} v'=-{\cal H}(1-3w)v-\left( \frac{w'}{1+w}\right) v+\frac{\delta p}{(\bar{\rho}+\bar{p})}+\frac{2}{3}\frac{w}{1+w}\nabla^ 2\Pi+\Phi \end{equation} این معادلات در بخش های بعدی برای به دست آوردن معادلات اختلالی انرژی تاریک و ماده تاریک استفاده می‌شوند \subsection{ اختلالات در کیهان اولیه } در زمانی که تابش از ماده جدا می‌شود یعنی در $z\simeq1100$ ، مولفه های متعددی در کیهان وجود دارد؛باریون‌ها، نوترینوها، فوتون‌ها و ماده تاریک. برای بررسی و تحلیل تحول کیهان اولیه و تاثیر آن در دوره‌های بعد، به دست آوردن طیف توان و تحلیل بخش‌های مختلف این طیف، نیاز به مطالعه افت و خیزها و برهم کنش‌ها و در نهایت معادلات تحول اختلال این مولفه‌ها داریم. شکل(\ref{picinteraction}) به خوبی نشان می‌دهد به دلیل برهم کنش بین اجزاء مختلف، محاسبه ناهمسانگردی و ناهمگنی در توزیع فوتون و ماده کار ساده‌ای نیست \cite{Dodelson:2003s}. فوتون‌ها تحت تاثیرگرانش و همینطور پراکندگی کامپتون الکترون‌های آزاد قراردارند. الکترون‌ها خود قویاً با پروتون‌ها جفت شده‌اند و هر دو اینها تحت تاثیر گرانش هستند. متریک که تعیین کننده نیروهای گرانشی است، متاثر از همه این مولفه‌ها بعلاوه نوترینوها و ماده تاریک است. می‌بینیم که با وضع پیچیده ای روبرو هستیم که همه به هم وابسته اند. پس برای تعیین توزیع ماده تاریک و فوتون نیاز به حل همزمان معادلات حاکم بر کل این اجزاء داریم. راه سیستماتیک، نوشتن معادلات بولتزمن برای همه گونه‌ها در کیهان اولیه است. چون عالم را سیال در نظر می‌گیریم برای هر یک از اجزای تشکیل دهنده این سیال یک تابع توزیع آماری وجود دارد که می‌تواند تابعی از تکانه،زمان و مکان باشد. شکل کلی معادله بولتزمن به این صورت است \begin{equation} \frac{df}{dt}=C[f] \end{equation} اگر ذرات مورد مطالعه داری برهمکنش و برخورد باشند، جمله سمت راست $C[f]$ ظاهر می‌شود و در غیر اینصورت سمت راست صفر است. با به دست آوردن معادلات بولتزمن برای فوتون‌ها، الکترون‌ها، پروتون‌ها، ماده تاریک و نوترینوهای بی جرم و احتساب برهم کنش بین آنها، مجموعه معادلاتی به دست می‌آید که تحول اختلال‌ها را درعالم توصیف می‌کنند \begin{figure}[!h] \begin{center} \includegraphics[scale=0.6]{pic1.png} \caption{برهمکنش بین عناصر سازنده کیهان }\label{picinteraction} \end{center} \end{figure} در مورد ذرات نسبیتی مثل فوتون و نوترینو اطلاعات بیشتری نیاز داریم که بتوانیم آنها را توصیف کنیم. آنها نه تنها دارای اختلال تک قطبی (هم ارز با $\delta$) و دوقطبی (معادل سرعت) هستند بلکه اختلال چهار قطبی و هشت قطبی و مدهای بالاتردارند. به عبارتی توزیع فوتون نه تنها به و زمان بستگی دارد بلکه به جهت انتشار فوتون یعنی $\hat{p}$ هم وابسته است. در فضای فوریه اختلال در فوتون‌ها هم به $k$ و $\eta$ و هم به عدد موج $\hat{k}$و $\hat{p}$ بستگی دارد. اینها را با $\mu$مشخص میکنیم. بنابراین متغیراختلال برای فوتونها به صورت$\Theta(k,\mu,\eta)$ تعریف می‌شود که تبدیل فوریه $\delta T/T$ است یعنی همان تباین دمایی. اختلال مربوط به نوترینوها با متغیر جداگانه‌ای معرفی می‌شود که وابستگی مشابهی دارد. می‌توان آن را ${\cal N}(k,\mu,\eta)$ نامید. چون مومنت‌های $\Theta_{0}(k,\eta)$ و $\Theta_{1}(k,\eta)$ به تنهایی توزیع فوتون را توصیف نمی‌کنند، بنابراین تعریف کلی چند قطبی $l$ ام میدان دمایی با رابطه زیر تعیین می‌شود \begin{equation} \Theta_{}\equiv\frac{1}{(-i)^l}\int \limits_{-1}^{1}\frac{d\mu}{2}{\cal P}_{l}(\mu)\Theta(\mu) \end{equation} در این رابطه ${\cal P}_l$چند جمله ای لژاندر از $l$ مرتبه است. چهار قطبی $l=2$ به و هشت قطبی به $l=3$ و الی اخر. چند جمله ای‌های مرتبه بالاتر روی مقیاس‌های کوچکتر ساختار دارند. بنابراین مومنت‌های بالاتر در مورد ساختار کوچک میدان دمایی اطلاعات می‌دهد. روند مشابهی برای استخراج توزیع نوترینو ها انجام میگیرد. رفتار کامل و دقیق ناهمسانگردی‌های دمایی نیاز به دانستن اثرات قطبش دارد. فاکتور $\Theta_P$با نام قدرت قطبش معرفی می‌شود که تغییرات میدان قطبش را توضیح می‌دهد. با تجمیع معادلات برای فوتون ماده تاریک، باریونها و نوترینوها و معادلات اینشتین در زمان کیهانی به این صورت \cite{Dodelson:2003s} \begin{eqnarray}\label{eq:2.73} &&\dot{\Theta}+ik\mu \Theta=-\dot{\Phi}-ik\mu \Psi-\dot{\tau}\left[ \Theta_{0}-\Theta+\mu v_{b}-\frac{1}{2}{\cal P}_{2}(\mu)\Pi \right] \\ &&\Pi=\Theta_{2}+\Theta_{P2}+\Theta_{P0}\\ &&\dot{\Theta}_{P}+ik\mu \Theta_{P}=-\dot{\tau}\left[ -\Theta_{P}+\frac{1}{2}(1-{\cal P}_{2}(\mu))\Pi\right] \\ &&\dot{\delta}+ikv=-3\dot{\Phi}\\ &&\dot{v}+\frac{\dot{a}}{a}v=-ik\Psi\\ &&\dot{\delta}_{b}+ikv_{b}=-3\dot{\Phi}\\ &&\dot{v}_{b}+\frac{\dot{a}}{a}v_{b}=-ik\Psi+\frac{\dot{\tau}}{R}[\v_{b}+3i\Theta_{1}]\\ &&\dot{{\cal N}}+ik\mu {\cal N}=-\dot{\Phi}-ik\mu\Psi \end{eqnarray} می‌توان رفتار اختلالات در کیهان اولیه را بررسی کرد. در عبارت(\ref{eq:2.73}) جمله $-\frac{1}{2}{\cal P}_{2}(\mu)\Pi$ با جمله دوم از چند جمله‌ای لژاندر یعنی${\cal P}_{2}(\mu)=(3\mu^2 -1) $ متناسب است. در رابطه(74.2) جمله${\cal P}_{2}\Theta_{2}/2$ بستگی زاویه‌ای پراکندگی کامپتون را نشان می‌دهد. بخش دیگر $\Pi$ نشان می‌دهد میدان دمایی با قدرت میدان قطبش $\Theta_P$ جفت شده است. البته خود $\Theta_P$ تنها ریشه در جمله چهار قطبی $\Theta_2$ دارد. جمله آخر (80.2) رابطه اختلال مربوط به نوترینوها ${\cal N}$ است که دقیقا شبیه معادله مربوط به فوتون‌هاست جز اینکه جمله مربوط به پراکندگی ندارد زیرا نوترینوها برهم کنش بسیار ضعیفی دارند. \section{اختلال درمدلهای انرژی تاریک} \hspace{5mm} بعد از دوران اولیه کیهان انرژی تاریک و ماده تاریک مولفه های غالب کیهان به شمار می‌روند که سرنوشت کیهان را تعیین و تحول ساختارها را مشخص کنند. با توجه به معادلات (\ref{eq2.70}) و(\ref{eq2.71}) اگر فشار غیر ایزوتروپیک را صفر در نظر گرفته و دیورژانس سرعت اختلال در فضای فوریه $\theta\equiv a^{-1} \delta u_{j}$ باشد، روابط بالا را در زمان فیزیکی بازنویسی می‌کنیم ( $ \frac{d}{d\eta}=a\frac{d}{dt}$ ) و داریم\cite{Bertschinger:1995Aj} \begin{equation} \dot{\delta}+3 H(\frac{\delta p}{\delta \rho}-w)\delta +(1+w)(\frac{\theta}{a} -3\dot{\Psi})=0 \end{equation} \begin{equation} \dot{\theta}+H(1-3w)\theta -\frac{\dot{w}}{1+w}\theta +\frac{\delta p/\delta \rho}{1+w} \frac{ k^{2}}{a}\delta -\frac{ k^{2}}{a}\Phi =0 \end{equation} اگر معادلات فوق را برای ماده تاریک و انرژی تاریک بنویسیم روابط زیر را داریم \begin{equation}\label{eq1.83} \dot{\delta}_m+\frac{\theta _m}{a}-3\dot{\Psi}=0 \end{equation} \begin{equation}\label{eq1.84} \dot{\theta}_m+H\theta _m -\frac{k ^{2}}{a}\Phi =0 \end{equation} و برای انرژی تاریک \begin{equation}\label{eq81} \dot{\delta}_{x}+3 H(\frac{\delta p_x}{\delta \rho_x}-w_x)\delta_{x} +(1+w_x)(\frac{\theta_{x}}{a} -3\dot{\Psi})=0 \end{equation} \begin{equation}\label{eqq82} \dot{\theta}_{x}+H(1-3w_{x})\theta_{x} -\frac{\dot{w}_x}{1+w_x}\theta_{x}+\frac{\delta p_{x}/\delta \rho_x}{1+w_x} \frac{k^{2}}{a}\delta_x -\frac{ k^{2}}{a}\Phi =0 \end{equation} با دانستن شرایط اولیه برای $\delta$ این معادلات برای حالتی صحیح هستند که بین مولفه‌های تاریک برهم کنش وجود نداشته باشد. در صورت وجود برهم کنش بین این مولفه‌ها، جملات جدیدی به معادلات اضافه می‌شوند برای بررسی این موضوع مدلهای انرژی تاریک برهم کنشی را بررسی می‌کنیم. \subsection{انرژی تاریک برهم کنشی} یکی از راه حل‌هایی که نظریه پردازان برای حل مشکل تطابق کیهانی ارائه میدهند، در نظرگرفتن برهم کنش بین مولفه‌های انرژی تاریک و ماده تاریک است. از منظر مدل استاندارد فیزیک ذرات برهم کنش بین مولفه های تاریک طبیعی‌ترین انتخاب برای انرژی تاریک است که مدل بدون برهم کنش حالت خاصی از آن فرض می‌شود. این فرض چندان فرض عجیبی نیست چرا که ماهیت خود ماده تاریک و انرژی تاریک هنوز برای ما ناشناخته است پس این آزادی عمل را داریم. عبارات بسیاری برای برهم کنش پیشنهاد شده اند که یکی از قانع کننده ترین آنها حالتی است که برهم کنش بر حسب چگالی انرژی تاریک و ماده تاریک بیان می‌شود و در مقالات بسیاری بررسی شده‌اند.\cite{potter2}-\cite{coleman1} \subsection*{معادلات زمینه } شکل کلی برهمکنش بین دو مولفه تاریک در معادلات پیوستگی نشان داده می‌شود. \begin{eqnarray} \rho'_{c}+3{\cal H}\rho_{c}=aQ_{c} \rho'_{x}+3{\cal H}(1+w_x)\rho_{x}=aQ_{x}=aQ \end{eqnarray} در اینجا علامت پریم نشاندهنده مشتق نسبت به زمان همدیس $\eta$ است و اندیس‌های c و x معرف انرژی تاریک و ماده تاریک هستند. در مدل‌های برهمکنشی که شامل انواع $Q=\Gamma_{c}\rho_{c}$ یا $Q=\Gamma_{x}\rho_{x}$ یا $Q=\Gamma_{c}\rho_{c}+\Gamma_{x}\rho_{x}$ هستند، فرض می‌کنیم برهمکنش تحت تاثیر $H$ نرخ انبساط جهان باشند. در غالب مقالات بررسی شده برهم کنش‌ها به شکل$Q=3H\xi_{c}\rho_{c}$ یا $Q=3H\xi_{x}\rho_{x}$ یا $Q=3H(\xi_{c}\rho_{c}+\xi_{x}\rho_{x})$ هستند. فرض شده است که $w_x=\frac{p_x}{\rho_x}$ و $H=\frac{d\ln a}{d\eta}$ . اگر$Q>0$ باشد جهت انتقال انرژی از ماده تاریک با انرژی تاریک و اگر$Q<0$ باشد عکس آن مصداق دارد. بر این اساس معادله حالت موثر ماده تاریک و انرژی تاریک به صورت زیر هستند \begin{equation} w_{c,eff}=\frac{aQ}{3{\cal H}\rho_c}, w_{x,eff}=w_x-\frac{aQ}{3{\cal H}\rho_x} \end{equation} فرض بر این است که انرژی تاریک برهم کنش با باریونها و نوترینوها و فوتون ندارد $Q_b=Q_\gamma =Q_\nu =0$ و $Q_c=-Q =Q_x\neq0$ معادله فریدمن با درنظر گرفتن همه مولفه ها به شکل زیر است \begin{equation} H^{2}=\frac{8\pi G}{3}(\rho_{\gamma}+\rho_{\nu}+\rho_{b}+\rho_{c}+\rho_{x}) \end{equation} \subsection*{معادلات اختلالی} بادانستن شکل برهمکنش $Q$ ،می‌توان معادلات تحول زمینه و اختلال را به دست آورد. متریک اختلالی در پیمانه عام را درنظر می‌گیریم\cite{maartens} \begin{equation} ds^{2}=a^{2}\left\lbrace -(1+2\phi)d\tau^{2}+2\partial_{i}Bd\tau dx^{i}+[(1-2\psi)\delta_{ij}+2\partial_{i}\partial_{j}E]dx^{i}dx^{j}\right\rbrace \end{equation} چاربردار سرعت زمینه به صورت $\bar{u}_{A}^{\mu}=a^{-1}\delta_{0}^{\mu}$ و چاربردار سرعت شاره $A$ (ماده تاریک یا انرژی تاریک) به صورت زیر است \begin{eqnarray} && u_{A}^{\mu}=a^{-1}(1-\phi,\partial^{i}v_{A})\\ \nonumber && u_{\mu}^{A}=a(-1-\phi,\partial_{i}[v_{A}+B]) \end{eqnarray} لازم به ذکر است که $v_{A}$ پتانسیل سرعت نسبت به چارچوب مرجع(سرعت خاصه) است آهنگ انبساط حجم که تعمیم رابطه نیوتنی $\theta=\nabla.\vec{v}$ است به صورت زیر است \begin{equation} \theta_A=-k^{2}(v_A+B) \end{equation} \subsection*{تانسور انرژی مومنتوم} اگر $u_{A}^{\mu}$ به عنوان چاربردار سرعت ، درچارچوب مرجع انرژی، طوری انتخاب کنیم که شار مومنتوم نسبت به$u_{A}^{\mu}$ صفر باشد، در نتیجه $T_{A\nu}^{\mu}u_{A}^{\nu}=-\rho_{A}u_{A}^{\mu}$ پس تانسور انرژی مومنتوم شارهA به صورت زیر است \begin{equation} T_{A\nu}^{\mu}=(\rho_{A}+P_{A})u_{A}^{\mu}u_{\nu}^{A}+P_{A}\delta_{\nu}^{\mu}+\pi_{A\nu}^{\mu} \end{equation} در عبارات بالا $P_{A}=\bar{P}_{A}+\delta P_{A}$ و $\rho_{A}=\bar{\rho}_{A}+\delta\rho_{A}$ و فشار غیر ایزوتروپیک شکل زیر را دارد \begin{eqnarray} &&\pi^{0}_{A\nu}=0 \\ \nonumber &&\pi_{Aj}^{i}=\left( \partial^{i}\partial_{j}-\frac{1}{3}\delta_{j}^{i}\nabla^2\right) \pi_{A} \end{eqnarray} تانسورکل انرژی مومنتوم که پایسته است بصورت $T_{\nu}^{\mu}=\sum T_{A\nu}^{\mu}$ است بنابراین \begin{equation}(P+\rho)u^{\mu}u_{\nu}+P\delta_{\nu}^{\mu}+\pi_{\nu}^{\mu}+q^{\mu}u_{\nu}+q_{\nu}u^{\mu}=\sum\limits_{A}(\rho_{A}+P_{A})u_{A}^{\mu}u_{\nu}^{A}+\sum\limits_{A}P_{A}+\sum\limits_{A}\pi_{A\nu}^{\mu} \end{equation} در این عبارت $q^{\mu}$ شار کل مومنتوم نسبت به چاربردار بردار سرعت کل یعنی $u^{\mu}$ است. در حالت کلی این چاربردار به این صورت تعریف شده است \begin{equation} u^{\mu}=a^{-1}(1-\phi,\partial^{i}v) \end{equation} انتخاب $v$ بستگی به این دارد که چگونه چاربردار سرعت مشخص شود. از روابط قبل خواهیم داشت \begin{eqnarray} && \rho=\sum \rho_{A}\\\nonumber &&P=\sum P_{A}\\ \nonumber &&\pi_{\nu}^{\mu}=\sum \pi_{A\nu}^{\mu} \end{eqnarray} و شار مومنتوم کل $q^i=a^{-1}\sum(\rho_{A}+P_{A})\partial^{i}v_{A}-a^{-1}(\rho+P)\partial^{i}v$ در نتیجه چارچوب انرژی کل $q^i=0$ به صورت زیر است \begin{equation} (\rho+P)v=\sum (\rho_{A}+P_{A})v_{A} \end{equation} این انتخابی است که من بعد برای v داریم \subsection*{ توازن انرژی مومنتوم} فرم هموردای انتقال(تبدیل) تانسور انرژی مومنتم از\cite{kodama84} و \cite{dunsby92}به صورت زیر است \begin{eqnarray} \label{eq99} &&\nabla_{\nu}T_{A}^{\mu\nu}=Q_{A}^{\mu}\\ \nonumber &&\sum\limits_{A}Q_{A}^{\mu}=0 \end{eqnarray} فرم هموردای کلی تانسور انتقال انرژی مومنتوم نسبت به چاربردار سرعت کل تفکیک می‌شود \begin{eqnarray} &&Q_{A}^{\mu}=Q_{A}u^{\mu}+F_{A}^{\mu}\\ \nonumber && Q_{A}=\bar{Q}_{A}+\delta Q_{A} \\ \nonumber && u_{\mu}F_{A}^{\mu}=0 \end{eqnarray} در اینجا $Q_{A}$آهنگ انتقال چگالی انرژِی و $F_{A}^{\mu}$ آهنگ انتقال چگالی مومنتوم نسبت به $u^{\mu}$ است. درنتیجه $F_{A}^{\mu}=a^{-1}(0,\partial^{i}f_{A})$ که $f_A$پتانسیل انتقال مومنتوم است \begin{eqnarray} &&Q_{0}^{A}=-a[Q_{A}(1+\phi)+\delta Q_{A}]\\ \nonumber &&Q_{i}^{A}=a\partial_{i}[f_{A}+ Q_{A}(v+B)] \end{eqnarray} انتقال انرژی اختلالی علاوه بر جمله اختلالی$\delta Q_{A}$ ، شامل جمله اختلالی $Q_{A}\phi$ از متریک است یعنی . انتقال مومنتوم اختلالی از دو بخش تشکیل شده پتانسیل انتقال مومنتوم $Q_{A}(v+B)$ ناشی از انتقال انرژی در راستای بردار سرعت کل و پتانسیل انتقال مومنتوم ذاتی $f_{A}$ . در زمینه چاربردارهای انتقال انرژی مومنتوم به صورت زیر هستند \begin{equation} Q_{c}^{\mu}=a^{-1}(Q_{c},\vec{0})=a^{-1}(-Q,\vec{0})=-Q_{x}^{\mu} \end{equation} بنابراین هیچ انتقال مومنتومی نداریم. پایستگی تانسور کل انرژی مومنتوم این نتیجه را دارد \begin{equation} \sum Q_{A}=\sum \delta Q_{A}=\sum f_{A}=0 \end{equation} برای شارهA رابطه (\ref{eq99}) روابط اختلالی انرژی و مومنتوم را در فضای فوریه می‌دهد \begin{eqnarray} \label{eq104} && \delta \rho'_{A}+3{\cal H}(\delta \rho_{A}+\delta P_{A})-3(\rho_{A}+p_{A})\psi'-k^{2}(\rho_{A}+p_{A})(v_{A}+E')\\ \nonumber &&=aQ_{A}\phi+a\delta Q_{A}\\ && \delta p_{A}+[(\rho_{A}+p_{A})(v_{A}+B)]'+4{\cal H}(\rho_{A}+p_{A})(v_{A}+B)+(\rho_{A}+p_{A})\phi \\ \nonumber && -\frac{2}{3a^2}k^{2}p_{A}\pi_{A}=aQ_{A}(v+B)+af_{A} \end{eqnarray} اختلال سرعت صوت و فشار سرعت صوت $c_{cA}$ یک شاره یا میدان اسکالر که با A برچسب شده است، انتشار سرعت اختلالات فشار در چارچوب ساکن شاره می‌باشد \begin{equation} \label{eq:106} c_{sA}^{2}=\frac{\delta P_{A}}{\delta \rho_{A}} \end{equation} میدانیم سرعت صوت آدیاباتیک، برای هر مولفه از طریق رابطه زیر تعریف می‌شود \begin{equation} c_{aA}^{2}=\frac{P'_{A}}{\rho'_{A}}=w_{A}+\frac{w'_{A}}{\rho'_{A}/\rho_{A}} \end{equation} در روابط اختلالی(\ref{eq104}) می‌بایست $\delta P_{A}$ و $\delta \rho_{A}$ را از طریق رابطه(\ref{eq:106}) به هم مربوط کنیم. چارچوب ساکن A همان چارچوب همراه $v_{A}\mid_{rf}=0$ عمود $B\mid_{rf}=0$ است بنابراین \begin{equation} T_{A0}^{i}\mid_{rf}=0=T_{Ai}^{0}\mid_{rf} \end{equation} با تبدیل پیمانه ای $x^{\mu}\rightarrow x^{\mu}+(\delta \tau_{A},\partial^{i}\delta x_{A})$ از پیمانه چارچوب ساکن به پیمانه عمومی \begin{eqnarray} && v_{A}+B=(v_{A}+B)\mid_{rf}+\delta \tau_{A} \\ \nonumber && \delta P_{A}=\delta P_{A}\mid_{rf}-P'_{A}\delta\tau_{A}\\ \nonumber && \delta \rho_{A}=\delta \rho_{A}\mid_{rf}-\rho'_{A}\delta\tau_{A} \end{eqnarray}} بنابراین $\delta \tau_{A}=v_{A}+B$و با جایگذاری در اختلالات چگالی و فشار رابطه زیر برای اختلال فشار به دست می‌آید \begin{equation} \delta P_{A}=c_{aA}^{2}\delta \rho_{A}+(c_{sA}^{2}-c_{aA}^{2})[\delta \rho_{A}+\rho'_{A}(v_{A}+B)]=c_{aA}^{2}\delta \rho_{A}+\delta P_{nad A} \end{equation} که در اینجا $\delta P_{nad}$ اختلال فشار ذاتی غیر آدیاباتیک در شاره A است. نتیجه ما به هر دو شاره برهم‌کنشی و غیر برهم‌کنشی صدق می‌کند\cite{Bean2004} و تفاوت‌ها در جمله$\rho'_{A}$ هستند. در حالت برهم‌کنشی، جفت شدگی زمینه $Q_{A}$ مستقیما در اختلال فشار وارد میشود \begin{equation} \delta P_{A}=c_{aA}^{2}\delta \rho_{A}+(c_{sA}^{2}-c_{aA}^{2})[3H(1+w_{A})\rho_{A}-aQ_{A}]\frac{\theta_{A}}{k^2}o\end{equation} \end{equation} در نتیجه روابط تحول اختلالات تباین چگالی(پیوستگی) و اختلال سرعت (اویلر ) به صورت زیر به دست می‌آیند \begin{eqnarray} \label{eq112} &&\delta_{A}'+3{\cal H}(c_{sA}^{2}-w_{A})\delta_{A}+9{\cal H}^{2}(1+w_{A})(c_{sA}^{2}-c_{aA}^{2})\frac{\theta_{A}}{k^2}\\ \nonumber &&+(1+w_{A})\theta_{A}-3(1+w_{A})\psi'+(1+w_{A})k^{2}(B-E')=\\ \nonumber &&\frac{a}{\rho_{A}}(-Q_{A}\delta_{A}+\delta Q_{A})+\frac{aQ_{A}}{\rho_{A}}\left[ \phi+3{\cal H}(c_{sA}^{2}c_{aA}^{2})\frac{\theta_{A}}{k^2}\right] \end{eqnarray} \begin{eqnarray} &&\theta_{A}'+{\cal H}(1-3c_{sA}^{2})\theta_{A}-\frac{c_{sA}^{2}}{1+w_A}k^{2}\delta_{A}-k^{2}\phi=\\ \nonumber &&\frac{a}{(1+w_A)\rho_A}[(Q_{A}\theta_{c}+k^{2} f_{A})-(1+c_{sA}^{2})\theta_{A}] \end{eqnarray} برای اینکه معادلات اختلالی برای مدل‌های برهم‌کنشی را پیدا کنیم ابتدا پتانسیل انتقال مومنتوم را به عنوان ساده‌ترین انتخاب صفر در نظر می‌گیریم چون در چارچوب مرجع ساکن برای هر دو مولفه تاریک صفر است. این فرض به دو حالت ساده برهم‌کنشی منجر می‌شود که چاربردار انتقال انرژی آن موازی با چاربردار سرعت ماده تاریک و انرژی تاریک است. در نتیجه پتانسیل انتقال مومنتوم به این دوصورت است\cite{koyama46} -\cite{coleman1} \begin{eqnarray} Q_{A}^{\mu}\parallel u_{c}^{\mu}\rightarrow k^{2}f_{A}=Q_{A}(\theta-\theta_{c}) \\ Q_{A}^{\mu}\parallel u_{x}^{\mu} \rightarrow k^{2}f_{A}=Q_{A}(\theta-\theta_{x}) \end{eqnarray} بعلاوه با انتخاب پارامتر ساده انتخاب انتقال مومنتوم b داریم\cite{jackson} \begin{eqnarray} Q_{A}^{\mu}\parallel u_{c}^{\mu} \rightarrow b=1 \\ Q_{A}^{\mu}\parallel u_{x}^{\mu}\rightarrow b=1 \end{eqnarray} در چارچوب ساکن ماده تاریک و یا انرژی تاریک پتانسیل انتقال مومنتوم به صورت زیر مشخص می‌شود \begin{equation} k^{2}f_{A}=Q_{A}[b(\theta-\theta_{c})+(1-b)(\theta-\theta_{x})]=Q_{A}[ \theta-b\theta_{c}-(1-b)\theta_{x}) \end{equation} با جایگزینی عبارت بالا در(\ref{eq112}) معادلات پیوستگی و اویلر به صورت زیر به دست می‌آیند. \begin{eqnarray} &&\delta_{A}'+3{\cal H}(c_{sA}^{2}-w_{A})\delta_{A}+9{\cal H}^{2}(1+w_{A})(c_{sA}^{2}-c_{aA}^{2})\frac{\theta_{A}}{k^2}\\ \nonumber &&+(1+w_{A})\theta_{A}-3(1+w_{A})\psi'+(1+w_{A})k^{2}(B-E')=\\ \nonumber &&\frac{a}{\rho_{A}}(-Q_{A}\delta_{A}+\delta Q_{A})+\frac{aQ_{A}}{\rho_{A}}\left[ \phi+3{\cal H}(c_{sA}^{2}c_{aA}^{2})\frac{\theta_{A}}{k^2}\right] \end{eqnarray} \begin{eqnarray} &&\theta_{A}'+{\cal H}(1-3c_{sA}^{2})\theta_{A}-\frac{c_{sA}^{2}}{1+w_A}k^{2}\delta_{A}-k^{2}\phi=\\ \nonumber &&\frac{aQ_{A}}{(1+w_A)\rho_A}[b\theta_{c}+(1-b)\theta_{x}-(1+c_{sA}^{2})\theta_{A}] \end{eqnarray} با توجه به روابط فوق معادلات اختلال برای ماده تاریک و انرژی تاریک به شکل زیر به دست می‌آیند \begin{eqnarray}\label{eq121} &&\delta_{x}'+3{\cal H}(c_{sx}^{2}-w_{x})\delta_{x}+9{\cal H}^{2}(1+w_{x})(c_{sx}^{2}-w_{x})\frac{\theta_{x}}{k^2}\\ \nonumber &&+(1+w_{x})\theta_{x}-3(1+w_{x})\psi'+(1+w_{x})k^{2}(B-E')=\\ \nonumber &&\frac{a}{\rho_{x}}(-Q_{x}\delta_{x}+\delta Q_{x})+\frac{aQ_{x}}{\rho_{x}}\left[ \phi+3{\cal H}(c_{sx}^{2}-w_{x})\frac{\theta_{x}}{k^2}\right] \end{eqnarray} \begin{equation} \delta_{c}'+\theta_{c}-3\psi'+k^{2}(B-E')= -\frac{a}{\rho_{c}}(Q_{c}\delta_{c}-\delta Q_{c})+\frac{aQ_{c}}{\rho_{c}}\phi \end{equation} \begin{eqnarray}\label{eq124} &&\theta_{x}'+{\cal H}(1-3c_{sx}^{2})\theta_{x}-\frac{c_{sx}^{2}}{1+w_x}k^{2}\delta_{x}-k^{2}\phi\\ \nonumber &&=\frac{aQ_{x}}{(1+w_x)\rho_x}[b\theta_{c}+(1-b)\theta_{x}-(1+c_{sx}^{2})\theta_{x}]\\ &&\theta_{c}'+{\cal H}\theta_{c}-k^{2}\phi=-\frac{aQ_{c}}{\rho_c}(1-b)(\theta_{c}-\theta_{x}) \end{eqnarray}}