\chapter{نتایج اصلی}

\begin{thm}
	فرض کنیم $S$ باقیمانده فوق حلپذیر یک گروه حلپذیر مانند $G$ باشد٬ ونیز فرض می‌کنیم زیرگروه فیتینگ $F(S)$ آبلی باشد. در این صورت $G$ یک $MANL$ گروه است.
\end{thm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{proof}
	برای اثبات این که $G$ یک $MANL$ گروه است٬ یک زیرگروه نرمال آبلی ماکسیمال دلخواه 
	$A$  
	از $G$  را در نظر گرفته و نشان می‌دهیم 
	$.A=C_G(A)$
	فرض می‌کنیم چنان نباشد٬ یعنی داشته باشیم 
	$٬‌A < A=C_G(A) $
	 و تلاش می‌کنیم به یک تناقض برسیم. 
	 
	 فرض می‌کنیم 
	 $\tfrac{K}{A}$
	 یک عامل اصلی $G$ باشد٬ که برای آن 
	 $, K \subset C_G(A) $
	 وملاحظه می‌کنیم که بخاطر ماکسیمال بودن $A$ ٬ $K$ 
	 آبلی نیست. از آنجا که $G$ گروهی حلپذیر است٬ عامل اصلی  
	 $\tfrac{K}{A}$
	 آبلی است٬ و چون 
	 $٬ A \subset Z(K)$
	 مشاهده می‌کنیم ‌$K$ پوچتوان است٬ و لذا 
	 $S \cap K $
	 یک زیرگروه پوچتوان نرمال $S$ می‌باشد. بنابراین 
	  $, S \cap K \subset F(S) $
	  و چون فرض کرده ایم $F(S)$ آبلی است٬ نتیجه می‌گیریم 
	  	 $S \cap K $
	 نیز آبلی است. 
	 
	 فرض می‌کنیم 
	  $. S \cap K \nsubseteq A $
	 در این صورت 
	 $٬ A < A(S \cap K) \subset K$
	  	و چون   
	  	 $\tfrac{K}{A}$
	  	 	یک عامل اصلی $G$ می‌باشد و 
	  	 	$A(S \cap K)$
	  	  در  $G$ نرمال است٬ مشاهده می‌کنیم 
	  	 	$. A(S \cap K)=K$
	  	 حال 
	  	 $A \subset Z(K)$
	  	 و 
	  	 	$S \cap K$
	  	 آبلی است٬ بنابراین 
	  	 $K=A(S \cap K)$
	  	  آبلی است. این یک تناقض است٬ و از این رو نتیجه می‌شود 
	  	 $.  S \cap K \subset A$
	  	 
	  	 اینک 
	  	 $\dfrac{K}{S \cap K}$
	  	 با 
	  	 $\dfrac{KS}{S}$
	  	 یکریخت است٬ و تحت این یکریختی٬ زیرگروه 
	  	 $\dfrac{A}{S \cap K}$
	  	 متناظر است با 
	  	 $. \dfrac{AS}{S}$
	  	 بنابراین یک یکریختی طبیعی از 
	  	 $\dfrac{K}{A}$
	  	 به 
	  	 	  	 $\dfrac{KS}{AS}$
	  	 وجود دارد٬ و این یکریختی با عمل های تزویج  $G$ روی این دو گروه سازگار است. (به عبارت دیگر٬  $\dfrac{K}{A}$ و  $\dfrac{KS}{AS}$ به عنوان گروههای $G$ـعملگر یکریخت هستند ). 
چون
$\tfrac{K}{A}$
یک عامل اصلی$G$ است٬ نتیجه می‌شود که 
 $\dfrac{KS}{AS}$	  
	  	 نیز یک عامل اصلی$G$ است٬ در این صورت 
	  	  $\dfrac{KS}{AS}$
	  	  دوری است٬ و نتیجه می‌گیریم که $K$ آبلی است٬ چرا که 
 $.  A \subset Z(G)$
 این آخرین تناقض ما می‌باشد.	  	 
\end{proof}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{thm}
	برای گروه متناهی دلخواه $G$, یک گروه $MANL$ متناهی چون $W$ وچود دارد به طوری که $G$ با زیرگروهی از $W$ یکریخت  می‌باشد و همچنین با زیرگروهی از $W$ یکریخت می‌باشد و همچنین با یک گروه خارج  قسمتی از $W$. در حقیقت می‌توانیم $W$ را حاصلضرب نیم مستقیم یک
	$ p$-
	گروه آبلی مقدماتی مانند $B$ توسط $  G$ (که روی آن عمل می‌کند) بگیریم٬ در اینجا p عدد اول دلخواهی است که مرتبه زیرگروه فیتینگ $F(G)$ را نمی‌شمارد.
\end{thm}
\begin{proof}
	گروه متناهی دلخواه $  G$ را مفروض انگاشته٬ و $  G$ را به عنوان یک گروه جایگشتی صادق روی مجموعه ای مانند 
	$ \Omega$
	در نظر می‌گیریم.
	(برای مثال٬ می‌توانیم 	$\Omega$ را خود $  G$ بگیریم٬ و فرض کنیم  $  G$  روی خودش با ضرب از راست عمل می‌کند. ) عدد اول $ p$ که 
	$|F(G)|$
	را عاد نمی‌کند انتخاب نموده و 
	$U$ 
	را یک گروه دوری مرتبه $ p$ می‌انگاریم. قرار می‌دهیم 
	$ ‌B=\tilde{U}$٬ 
	لذا $B$ گروه متشکل از تمام توابع از  $ \omega$ به توی 	$U$ می‌باشد٬ و $B$ گروه پایه حاصلضرب حلقوی 
	$W=U \wr G$
	 است. اکنون $W$  حاصلضرب نیم مستقیم 
	$p$-
	گروه آبلی مقدماتی $B$ توسط  $  G$ است که روی آن عمل می‌کند. بخصوص٬ $  G$ هم یک زیرگروه و هم یک نقش همریختی  $W$ است٬ و تنها کافی است نشان دهیم  $W$ یک $MANL$ گروه است. 
	داریم 
	$W=BG$ و $. C_G(B)=1$
	با قرار دادن 
	$٬‌C=C_W(B)$
	داریم 
	$B\subset C٬ $
	و لذا
	$٬‌C=B(G\cap C)=B$ 
	بنابراین $B$ در $W$ خودمرکزساز است٬ و بخصوص٬ $B$ یک زیرگروه نرمل آبلی ماکسیمال $W$ است. سرانجام٬ برای اثبات اینکه $W$ یک $MANL$ گروه است٬ کافی است نشان دهیم  
	$B$ 
	زیرگروه نرمال آبلی ماکسیمال یکتای $W$ است. به طور هم ارز٬ نشان می‌دهیم که اگر 
	$٬‌ A\triangleleft W$
	که $A$ است٬ آنگاه 
	$. A \subset B$
	ملاحظه می‌کنیم 
	$٬ \dfrac{A}{A\cap B} \cong \dfrac{BA}{B}$
	٬ و این یک زیرگروه نرمال آبلی 
	$\dfrac{W}{B} \cong G $
	است. در این صورت 
	$|A:A\cap B|$٬
	$|F(G)|$ 
	را می‌شمارد٬ بنابراین $p$ ٬ 
	$|A:A\cap B|$
	را نمی‌شمارد٬ و لذا 
		$A\cap B$
	یک $p$- زیرگروه سیلوی $A$ است.چون $A$ آبلی است٬ می‌توان نوشت\
	$A=(A\cap B)XQ$ 
	که در آن $Q$٬ 
	-$p^\prime$
	گروه هال $A$ است٬ اکنون 
	$Q \triangleleft W$
	٬ زیرا به موجب فرض 
	$. A\triangleleft W$
	از آنجا که $B$ یک $p$-گروه است٬ داریم 
	$Q \cap B=1$٬ 
	و لذا 
	$. Q\subset C_W(B)=B$
	این ایجاب می‌کند $ Q=1٬ $ و نتیجه می‌گیریم 
	$A=A \cap B \subset B$٬ 
	آنچه مطلوب بود.
\end{proof}