\documentclass[a4paper ] {report}
\usepackage{dsfont}
\usepackage{bbold}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm,amssymb,amsmath}
\usepackage[top=40mm, bottom=40mm, left=25mm, right=35mm]{geometry}
\usepackage[pagebackref=false,colorlinks,linkcolor=blue,citecolor=magenta]{hyperref}
\usepackage{tocbibind}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{setspace}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{xepersian}
\SepMark{-}
\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\renewcommand{\theequation}{\thesection\digitsdash\arabic{equation}}
\makeatother
\numberwithin{equation}{chapter}
\renewcommand{\figurename}{\RTL{شکل}}
%\let\oldchapter\chapter
%\renewcommand{\chapter}[1]{\oldchapter{#1} \setcounter{figure}{0} \setcounter{table}{0} \setcounter{equation}{0}}
\setlength\topmargin{-0.7cm}
\setlength\headheight{0.6cm}
\setlength\headsep{1cm}
\setlength\textheight{23cm}
\setlength\textwidth{15.0cm}
\setlength\oddsidemargin{0cm}
\setlength\evensidemargin{0cm}
\setlength\parindent{0.5cm}
\setlength\parskip{0cm}
\setlength\footskip{1cm}
\settextfont[Scale=1.4]{B Nazanin}
\setstretch{2.0}
\renewcommand\bibname{\textbf{مراجع}}

\begin{document}
\chapter*{چکیده}
در سال‌های اخیر گروه‌های تجربی بزرگ برای پاسخ به پرسشی که به معمای اسپین معروف است، آزمایش‌های متعددی انجام داده‌اند و برای محاسبه توابع توزیع پارتونی نتایج آن در اختیار پژوهشگران قرار گرفته است. در این میان بررسی توابع توزیع تکانه عرضی ($ TMD $) موضوع نسبتا جدیدتری محسوب می‌شود. در این پایان‌نامه توجه خود را به بررسی ساختار عرضی هادرون‌ها با استفاده از مدل پدیده‌شناسی معطوف می‌کنیم. از این‌رو ابتدا به محاسبه ساده‌ترین عنصر $ TMD $ ها یعنی $ Transversity $ در تقریب اختلالی  $ NLO $ در پروتون می‌پردازیم. آنگاه نتایج حاصل را با پیش‌بینی گروه‌های دیگر برازش داده و همچنین با داده‌های تجربی موجود مقایسه می‌کنیم.
\\در ادامه این بررسی  تابع ساختار اسپینی عرضی $ g_{2} (x, Q^{2}) $ را مدنظر قرار می‌دهیم. سهم  $ twist -2 $ آن یعنی $ g_{2}^{ww} $ به سادگی در مدل ولون قابل محاسبه است. یک روش ساده برای تعیین سهم $ twist - 3 $ تابع $ \overline{g}_{2} (x, Q^{2})$ در فضای ملین وجود دارد. بنابراین با استفاده از این روش تابع ساختار اسپینی عرضی $ g_{2} (x, Q^{2}) $ را برای پروتون، نوترون و دوترون به‌دست می‌آوریم. سپس با توجه به داده‌های جدید، تابع ساختار اسپینی عرضی $ g_{2}^{3_{He}} (x, Q^{2}) $ را نیز محاسبه می‌کنیم. سرانجام نتایج خود را با داده‌های تجربی موجود مورد بررسی قرار می‌دهیم؛  که شاهد تطابق خوبی بین آن‌‌ها هستیم.
\\

کلمات کلیدی: توابع توزیع پارتونی، مدل ولون، ساختار عرضی هادرون‌ها

\pagenumbering{harfi}
\tableofcontents
\listoffigures
\listoftables
\newpage
\pagenumbering{arabic}
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
\fancyhead[L]{\leftmark}
\fancyfoot[C]{\thepage}


\chapter*{پیشگفتار}
سلام.
\pagestyle{fancy}

\chapter{‌معادله تحول سیستم های کوانتومی}

\section*{پیشگفتار}
ععععععع
\section{س$QCS ًً$}
سیستم \LTRfootnote{interaction picture} می توان به صورت زیر بیان کرد:(\ref{DEEP})\\
\begin{equation}\label{d1}
i\frac{\partial}{\partial t}|\Psi\rangle_{SE}=H(t)|\Psi(t)\rangle_{SE}
\end{equation}\\
کل می باشد و در رابطه زیر صدق میکند:\\
\begin{equation}\label{d2}
H(t)=H_{S}(t)\otimes I+I\otimes H_{E}(t)
\end{equation}\\
همانطور :
\begin{equation}\label{d3}
|\Psi(t)\rangle_{SE}=U(t,t_{0})|\Psi(t_{0}\rangle_{SE}
\end{equation}\\
 (\ref{d3}) در (\ref{d1})میتوان نتیجه گرفت:
\begin{equation}\label{d4}
i\frac{\partial}{\partial t}U(t,t_{0})_{SE}=H(t)U(t,t_{0})_{SE}
\end{equation}\\
با شرط اولیه $ U(t,t_{0})_{SE}=I$، از رابطه (\ref{d3})و (\ref{d4}) می توان نتیجه گرفت:
\begin{equation}\label{d5}
U^{\dag}(t,t_{0})_{SE}U(t,t_{0})_{SE}=U(t,t_{0})_{SE}U^{\dag}(t,t_{0})_{SE}=I
\end{equation}\\
رابطه (\ref{d5})یکانی بودن تحول $ U(t,t_{0})_{SE}$
را اثبات می کند. در نتیجه:
\begin{equation}\label{d6}
U(t,t_{0})_{SE}=T_{\leftarrow}exp[-i\int_{t_{0}}^{t}ds H(s)]
\end{equation}\\
که $ T$ ا. با توجه به رابطه (\ref{d2}) میتوان نتیجه گرفت:
\begin{equation}\label{d7}
U(t,t_{0})_{SE}=U(t,t_{0})_{S}\otimes U(t,t_{0})_{E}
\end{equation}\\
 کار میکنیم و تحول آنرا مورد بررسی قرار می دهیم:
\begin{equation}\label{d8}
\rho_{SE}(t)=U(t,t_{0})_{SE}\rho_{SE}(t_{0})U^{\dag}(t,t_{0})_{SE}
\end{equation}\\
که در رابطه در تمامی زمانها این خاصیت بر قرار است:
\begin{eqnarray}\label{d9}
\rho_{SE}(t)&=&
(U(t,t_{0})_{S}\otimes U(t,t_{0})_{E})\rho_{SE}(t_{0})(U^{\dag}(t,t_{0})_{S}\otimes U^{\dag}(t,t_{0})_{E})\\ \nonumber
&=& (U(t,t_{0})_{S}\rho_{S}(t_{0}) U^{\dag}(t,t_{0})_{s})\otimes(U(t,t_{0})_{E}\rho_{E}(t_{0})U^{\dag}(t,t_{0})_{E}) \\
\nonumber
&=&\rho_{S}(t)\otimes\rho_{E}(t)
\end{eqnarray}
به بیان دیگر در تمامی لحظات تحول ماتریس کاهش یافته سیستم مستقل از محیط می باشد که همان مفهوم سیستم کوانتومی بسته است اما نکته قابل اهمیت اینست ها\LTRfootnote{semigroup} می باشد که در فصل های بعدی توضیح بیشتری در این خصوص می دهیم
:\\
\begin{equation}\label{d10}
U_{S}(t,t_{0})=U_{S}(t)U_{S}(t_{0})
\end{equation}\\
خاصیت فوق بدان معناست که تحول در لحظه ی $t $ تنها به وسیله ی زمان $ t_{0}$ مشخص میشود و نه زمان دیگری. در واقع خاصیت فوق بر طبق قضیه ی استونز\LTRfootnote{stone's theorem} منجر به رابطه (\ref{d6}) می شود .\\
\subsection{ معادله تحول فون$-$لیویل یا نیومن}
ت آوردن معادله تحول ابتدا ماتریس چگالی سیستم در زمان اولیه $ t_{0}$ را به فرم کلی زیر در نظر می گیریم که در واقع مخلوطی از حالتهای ممکن با احتمالات گوناگون می باشد:\\
\begin{equation}\label{d11}
\rho(t_{0})=\sum_{\alpha}\omega_{\alpha}|\psi_{\alpha}(t_{0})\rangle\langle\psi_{\alpha}(t_{0})|
\end{equation}\\
که $\omega_{\alpha}\geq0 $ احتمال وقوع هر کدام از حالتها استفاده از رابطه(\ref{d8}) خواهیم داشت:
\begin{eqnarray}\label{d12}
\rho_{SE}(t)&=&
\sum_{\alpha}\omega_{\alpha}U(t,t_{0})|\psi_{\alpha}(t_{0})\rangle\langle\psi_{\alpha}(t_{0})|U^{\dag}(t,t_{0})\\ \nonumber
&=& U(t,t_{0})\rho(t_{0})U^{\dag}(t,t_{0})
\end{eqnarray}
با گرفتن مشتق زمانی از رابطه (\ref{d12}) خواهیم داشت:
\begin{equation}\label{d13}
\frac{d}{dt}\rho(t)=-i[H(t),\rho(t)]
\end{equation}\\
که $ [A,B]=aB-BA$ و $ H(t)$ .شامل فقط هامیلونی سیستم میباشد (\ref{d13})به معادله  تحول فون نیومن لیویل یا فون نیومن\LTRfootnote{Von Neumann or Liouville-von Neumann} معروف است.
که به صورت زیر هم می تواند نمایش داده شود:
\begin{equation}\label{d14}
\frac{d}{dt}\rho(t)=\mathcal{L}(t)\rho(t)
\end{equation}\\
که $\mathcal{L}(t)$ ابراپراتور لیویل است و علت پسوند ابر روی این اپراتور به این دلیل است که این اپراتور روی ماتریس چگالی اثر می کند.\\
\section{$ QOS $سز}
در دنیای واقعی نمی توان اثرات برهمکنش محیط و سیستم را برای تمامی سیستم های کوانتومی ناچیز در نظر گرفت و این برهمکنش بسیار مؤثر در تحول سیستمهاید:
\textbf{انواعی:}\\
یک نگاشت خطی \LTRfootnote{ Linear map} $ \mathcal{E}:\mathcal{M}_{n}\rightarrow\mathcal{M}_{m}$ نامیده می شود:
\begin{description}
  \item[$\bullet $] \textbf{مثبت} \LTRfootnote{ positive } اگر $ \mathcal{E}(\chi)\in \mathcal{M}^{+}_{m}$به ازای هر $ \chi \in\mathcal{M}^{+}_{n} $ \\
  \item[$\bullet $] \textbf{کاملا} \textbf{مثبت} \LTRfootnote{completely positive  } اگر $ (\mathbb{1}\otimes\mathcal{E})\geq 0$ برای هر $ k\in\mathbb{N}$ \\
  \item[$\bullet $] \textbf{رد} \textbf{نگهدار} \LTRfootnote{trace$-$ preserving } اگر $ Tr(\mathcal{E}(\chi))=Tr(\chi)$ برای هر $\chi \in\mathcal{M}_{n}  $  \\
  \item[$\bullet $] \textbf{یکانی} \LTRfootnote{unital } اگر $ \mathcal{E}(\mathbb{1})=\mathbb{1}$.\\
\end{description}

\subsection{نلی}
نگاشتی را خطی  می نامند که ماتریس چگالی $\rho $ را به یک ماتریس چگالی دیگر $\acute{\rho}$ بنگارد، یعنی:\\
\begin{equation}\label{d15}
\mathcal{E}(\rho)=\acute{\rho}
\end{equation}\\
که تحت این نگاشت خطی:
\\هرمیتی باشد   \ \ \ \ \ $ \acute{\rho}=\acute{\rho}^{\dag} $       \\
مثبت باشد (دارای ویژه مقادیر مثبت با توجیه فیزیکی)\ \ \ \ \ $ \acute{\rho}(t)\geq0 $       \\
رد نگهدار باشد یعنی احتمال حفظ شود \ \ \ \ \ $ Tr(\rho)=Tr(\acute{\rho})=1$       \\
اگر در اثر این نگاشت خاصیت مثبت بودن برای زیر فضاهای ماتریس چگالی حفظ شود نگاشت را کاملا مثبت  :
می گوییم. به بیان دیگر
\begin{equation}\label{d16}
(\mathcal{E}\otimes \mathbb{1})\rho_{AB}=\acute{\rho}_{AB}
\end{equation}\\
که $ \acute{\rho}_{AB}$ باز هم مثبت است.\\
\subsection{قضیه کراوس}
بر طبق این قضیه \LTRfootnote{Kraus theorem} یک نگاشت خطی $ \mathcal{E}$ کاملا مثبت است اگر و فقط اگر در نمایش کراوس صدق کند یعنی:
\begin{equation}\label{d17}
\mathcal{E}(\rho)=\sum_{i,j}K_{i}\rho K_{j}
\end{equation}\\
و همچنین $ \mathcal{E}$ رد نگهدار \LTRfootnote{trace preserving} و یکانی \LTRfootnote{unital} است اگر و فقط اگر:
\begin{equation}\label{d18}
\sum_{i}K^{\dag}_{i}K_{i}=\mathbb{1}
\end{equation}\\
که حداکثر تعداد این اپراتورها برای فضایشان مثبت است.
در حالت کلی هر نگاشت کاملا مثبت الزاما رد نگهدار نیست یعنی:
\begin{equation}\label{de18}
\sum_{i}K^{\dag}_{i}K_{i}\leq \mathbb{1}
\end{equation}\\
\subsection{قضیه}
نگاشت $ \mathcal{E}(\rho)$ در نمایش کراوس صدق میکند اگر و فقط اگر
سیستم و محیط در لحظه اولیه از هم جدا باشند یعنی همبستگی \LTRfootnote{correlation} اولیه بین آنها کاملا صفر باشد یعنی:
\begin{equation}\label{d19}
\rho_{SE}(t_{0})=\rho_{S}(t_{0})\otimes \rho_{E}(t_{0})
\end{equation}\\ \nonumber
در این حالت برای هر $ \rho_{S}(t_{0})$ دلخواه و $ \rho_{E}(t_{0})$ ثابت، نگاشت $ CP$ برقرار می باشد.\\
اثبات:\\
اگر در لحظه اولیه همبستگی بین سیتم و محیط صفر باشد، میتوان حالت اولیه محیط را به صورت خالص برای هر حالت دلخواه $\rho_{S}(t_{0})$ در نظر گرفت:\\
\begin{equation}\label{d20}
\rho_{E}(t_{0})=|\phi\rangle\langle\phi| \nonumber
\end{equation}\\
بنابراین تحت نگاشت: \\
\begin{equation}\label{d21}
\mathcal{E}(\rho_{SE})=U(t,t_{0})\rho_{S}(t_{0})\otimes|\phi\rangle\langle\phi|U^{\dag}(t,t_{0})
\end{equation}\\
برای محاسبه ماتریس کاهش یافته سیستم کافیست روی محیط رد بگیریم یعنی:
\begin{equation}\label{d22}
\rho_{S}(t)=Tr_{E}(\rho_{SE}(t)) \nonumber
\end{equation}\\
تریس چگالی محیط $ |e_{i}\rangle$ باشد $(\sum|e_{i}\rangle\langle e_{i}|)$ داریم:\\
\begin{eqnarray}\label{d23}
\rho_{S}(t)&=&
\sum_{i}\langle e_{i}|U(t,t_{0})\rho_{S}(t_{0})\otimes|\phi\rangle\langle\phi|U^{\dag}(t,t_{0})|e_{i}\rangle \\
\nonumber
&=&
\sum_{i}K_{i}\rho_{S}(t_{0})K^{\dag}_{i}
\end{eqnarray}
که\\
\begin{equation}\label{d24}
K_{i}=\langle e_{i}|U(t,t_{0})|\phi\rangle
\end{equation}\\
پس در نمایش کراوس صدق می کند حال باید خاصیت رد نگهدار و یکانی بودن را بررسی کنیم، یعنی:\\
\begin{eqnarray}\label{d25}
\sum_{i} K^{\dag}_{i}K_{i})&=&
\sum_{i}\langle\phi|U^{\dag}(t,t_{0})|e_{i}\rangle\langle e_{i}|U(t,t_{0})|\phi\rangle\\
\nonumber
&=&
\langle\phi|U^{\dag}(t,t_{0})U(t,t_{0})|\phi\rangle
\end{eqnarray}
که با در نظر گرفتن یکانی بودن ماتریس تحول $ (U^{\dag}(t,t_{0})U(t,t_{0})=I)$ برقرار خواهد بود.
\subsection{مفهوم کاملا مثبت نبودن $ NCP$}
اگر ماتریس تحول یافته تحت نگاشت دارای حداقل یک ویژه مقدار منفی شود به آن نگاشت نه کام اولیه باشند. یعنی: $ (\rho_{SE}(t_{0})\neq\rho_{S}(t_{0})\otimes \rho_{E}(t_{0}))$ \\
\end{document}