\chapter{مروری بر پیشینه}
  \subsection{مکانیسم  نکول }
 نکول زمانی رخ می‌دهد که یک مؤسسه نتواند تعهدات قانونی‌اش مانند پرداخت سود و یا اصل \gls{Debt} برنامه ریزی شده را پرداخت کند
 و یا توانایی ارائه خدمات وام را نداشته باشد. به طور معمول زمانی این اتفاق رخ می‌دهد که مؤسسه به اندازه کافی دارایی نقدی برای مواجه شدن با تعهدات قرار دادی خودش در اختیار نداشته باشد. ناتوانی در پرداخت دیون زمانی اتفاق می‌افتد که ارزش خالص یک مؤسسه به صفر کاهش یابد. \\
 مثلاً ضررها بیش از سرمایه باشد، در حالیکه عدم نقدینگی هنگامی رخ می‌دهد که ذخایر در دارایی‌های نقدی مانند پول نقد و معادل وجه نقد 
 برای پوشش بدهی‌های کوتاه مدت ناکافی باشد. حال آنکه نقدینگی منجر به نکول می‌شود.\\
  در اصل ناتوانی در پرداخت دیون لزوماً مستلزم نکول نیست تا زمانی که مؤسسه قادر به فراهم کردن مالی تعهداتش است. با این وجود در ساختار فعلی بخش مالی که در آن مؤسسات مالی در درجه اول از طریق بدهی‌های کوتاه مدت تأمین مالی می‌شوند، باید به طور مداوم به روز شوند مؤسسات ورشکسته مشکلات بزرگی خواهند داشت در بالا بردن نقدینگی به عنوان دارایی‌های از دست رفته‌شان. در واقع، تجدید منابع مالی در کوتاه مدت منوط به پرداخت بدهی و ارزش اعتباری مؤسسه است. در عمل، عجز از پرداخت دیون منجر به عدم نقدینگی می‌شود که به نوبه خود منجر به نکول می‌شود، مگر البته به عنوان آخرین چاره بانک مرکزی با پرداخت یک وام دخالت کند. بنابراین در راستای مطالعات مختلف قبلی ما نکول را به عنوان تولید ناتوانی از پرداخت دیون در نظر می‌گیریم. در عمل این ممکن است به عنوان یک سناریو در جایی که ضرر و زیان در مقدار دارایی از سرمایه نوع   
   $  I$ 
    تجاوز کند معنی شود. \\
  اگر سرمایه نوع 
   $  I$ 
   از بین برود مؤسسه ورشکسته می‌شود که به احتمال بسیار زیاد یک ضرر از منابع مالی کوتاه مدت تولید می‌شود و منجر به نکول می‌شود.\\
   شخص باید در نظر داشته باشد که سناریو‌های دیگر نکول ممکن است وجود داشته که اثر \gls{Contagion} توضیح داده شده در زیر را تقویت کند. بنابراین 
   ارزیابی ما باید به عنوان یک کران پایین در میزان  \gls{Contagion} در نظر گرفته شود.\\
   ما می‌دانیم که مؤسسات ممکن است دچار نکول شوند بدلیل عدم نقدینگی حتی زمانی که فقط بخشی از سرمایه نوع  
    $  I$ 
   خود را از دست بدهند. با این حال با توجه به ساختار  منابع مالی 
فعلی مؤسسات مالی از طریق بدهی‌های کوتاه مدت کمک مالی دولت وجود ندارد، عدم توانایی پرداخت دیون به دلیل ضرر و زیان بازار که بیش از سطح سرمایه باشد با احتمال بیشتری منجر به از دست دادن فرصت‌های مالی و خطوط اعتباری و نکول خواهد شد. همچنین این باور سختی است که عدم نقدینگی در نبود عدم توانایی پرداخت دیون، سیستماتیک منجر به نکول خواهد شد. در بحران‌های مالی اخیر عدم اطمینان درمورد پرداخت بدهی بانک مهم تر از عدم نقدینگی بوده است.\\
بنابراین برآورد برای مقدار سرایت نکول هر چیزی است که در نبود مداخله دولت منجر به کران‌های پایین‌تر برای اندازه واقعی آن شود.     
  \begin{definition}
(سپر سرمایه ) سپر سرمایه مؤسسات مالی 
      $i \in \nu_t$ 
   تعریف می‌شود به صورت 
   \begin{equation}
\overline {B_{2,i}}=C_{2,i}-C_{r,i}-\delta\sum_{j\in V_{in,i}}\ell_{i,j}
\end{equation}
\end{definition} 
  در این مفهوم سپر سرمایه نشان دهنده همه سرمایه مورد نیاز برای ریسک‌های بانکی (ریسک‌های بین بانکی ) خواهد بود و هر گونه سرمایه اضافی احتیاطی که مدیریت شرکت‌های مالی در نظر می‌گیرند. بنابراین در این مدل، تصدیق خواهد شد که اگر یک شرکت مالی به خوبی سرمایه گذاری نشده باشد در وضعیت جذب زیان‌های ناشی از اکسپوژرهایش است.\\ 
  اگر چه اصطلاحات ممکن است در زمینه‌های متفاوت استفاده شوند، ما این شرایط را به عنوان نکول تعریف خواهیم کرد. 
  
  \begin{definition}
(نکول) یک شرکت مالی 
 $i \in \nu_t$ 
در نکول است اگر سپر سرمایه بانکی آن منفی باشد، به عنوان مثال 
 $\overline {\beta_{2,i}}<0$ 
 این حالت می‌تواند در مورد مداخله شدید در مدیریت شرکت‌های مالی یا تسویه دارایی آن توسط بانک مرکزی معنی پیدا کند.
\end{definition}  
 \begin{definition}
(روند استهلاک بدهی) فرض کنید  مجموعه 
\begin{equation}
D^{(s)}= \{j   \in\nu_t:\quad \overline{‌B_{2,j}}^{(s)}<0\}
\end{equation}
معرف شرکت‌های در نکول در وضعیت 
 $ s $
 باشد. پس روند  \gls{Write offs} به وسیله پویایی‌های سپر سرمایه خواهد بود در اینجا 
 $  s+1 $   
حالت بعدی آن است 
\begin{equation}
\overline{B_{2,i}}^{(s+1)}=\overline{B_{2,i}}^{(s)}-\sum_{j\in D(s)}\ell_{ij}
\end{equation}
\end{definition} 
  توجه کنید که تحلیل ما حاوی چشم انداز کوتاه مدت است. در جاییکه شرکت ملزم به استهلاک ضررها در گزارش‌های مالی خود می‌باشد اما وقت کافی برای احیای برخی از کل ضررهایش را ندارد. این بدان معنا نیست که شرکت از روند قانونی که باید اجرا کند و ضمانت کند بهره‌ای نخواهد گرفت. \\ 
از سوی دیگر راحت است که معادله بالا را تعمیم دهیم با دوباره نویسی شرط طرف راست به صورت 
  \begin{equation}
\overline{B_{2,i}}^{(s+1)}=\overline{B_{2,i}}^{(s)}-\sum_{j\in D(s)}(1-r_j)\ell_{ij}
\end{equation}
جاییکه 
 $ r_j $
نرخ جبران برای شرکت‌های  
 $ j $
می‌باشد. 
%از تعریف 3 امکان پذیر خواهد بود که  تاثیر سرایت هر شرکت مالی را  محاسبه کنیم. تاثیر سرایت مجموع ضرر های متحمل شده توسط همه شرکت های در داخل یک سیستم مالی مشروط به اینکه یک مجموعه از شرکت های مالی دچار نکول شده باشند. \\ 
در ابتدا ما به طور اختیاری مجموعه مالی \gls{Default}
 $ D_0$ 
را  مجموعه شرکت‌های مالی نکول شده در حالت 
 $ s=0$
در نظر می‌گیریم. 
داده می‌شود به وسیله 
 $D_0^{(0)}=D^{(0)}\cup D_0 $ 
در این جا بالا نویسی نشان می‌دهد که 
 $ D_0^{(s)} $ 
به انتخاب مجموعه آغازین 
 $D_0$
 بستگی خواهد داشت .\\ 
چنانچه ما یک مجموعه غیر تهی 
$D_0\neq\emptyset$
را انتخاب کنیم  پس مطابق با روند مستهلک کردن مجموعه مالی 
$\Omega\setminus D_0$
  متحمل ضرر خواهد شد و سپر سرمایه آن در حالت بعدی بدست می‌آید توسط 
\begin{equation}\label{14}
    \overline {‌B_{2,i}}^{(1)}= \overline {B_{2,i}}^{(0)}-\sum_{j\in D_0^{(0)}}\ell_{ij}
\end{equation}
پس در حالت بعدی 
$ s=1$
برخی از مجموعه‌های مالی در 
$\Omega\setminus D_0$
نهایتاً ملحق می‌شوند به مجموعه 
\begin{equation}\label{15}
    D_0^{(1)}=\{j\in\nu_t:\quad\overline{B_2}^{(1)}<0\}
\end{equation}
و در نتیجه ضرر‌های جدید به وسیله سیستم مالی اتفاق خواهند افتاد. این فرایند می‌تواند چندین حالت بگیرد تا زمانی که سیستم مالی به حالت تعادل 
 $ S^*$
برسد که مشخص می شود به وسیله 
\begin{equation}\label{16}
   S^{*}=inf \{s:D_0^{(s)}\setminus  D_0^{(s+1)}=0\} 
\end{equation}
در نتیجه دینامیک‌های معرفی شده از طریق معادلات \ref{14} و\ref{15} و\ref{16} مکانیزم سرایت را معرفی خواهد کرد. فرض کنید مجموعه نکول اولیه که حاوی فقط یک مؤسسه مالی باشد را  انتخاب کنیم .
یعنی 
 $  D_0=\{j\}$
برای 
 $  j\in\nu_t$
سپس این امکان وجود خواهد داشت که تصدیق کنیم که سایر شرکت‌ها چه مقدار ضرر متحمل خواهند شد و سرانجام به پر سرایت‌ترین مؤسسه مالی در سیستم می‌رسیم.
\begin{definition}
(تاثیر نکول) اثر نکول 
$  DI_j$
شرکت 
 $  j\in\nu_t$
برای 
 $  t=1,...,T$
 تعریف می‌شود به صورت 
 
\begin{equation}
    DI_j=\frac{\sum_{i\in\nu_t}\{max(\overline{‌B_{2,i}}^{(0)},0)-max(\overline{B_{2,i}}^{(s^{*})},0)\}}{\sum_{i\in\nu_t}\overline {B_{2,i}}}
\end{equation}
  با فرض اینکه مجموعه نکول اولیه 
  $  D_0=\{j\}$
 باشد از این تعریف مشخص است که یک مؤسسه مالی نمی تواند بیش از سرمایه‌اش ضرر کند و اینکه 
 $  DI_j$
 مجموع ضرر‌های تحمیل شده به وسیله گروه در حالیکه شرکت مالی 
 $  j$
 قصور کند به صورت درصدی از کل سرمایه گذاری سیستم تعریف می‌شود بنابراین 
  $  DI_j\in [0,1]$
  برای 
   $  j\in\nu_t$
معرف درصد سرمایه از بین رفته می‌باشد.
\end{definition} 
چنانچه شرکت  
 $  j$
 قصور کند. از چشم انداز یک قانون‌گذاری، \gls{DI}
 یک اقدام مهم می‌باشد چون آن هم نشان می‌دهد که کدام شرکت ریسک بیشتری را به ثبات گروه تحمیل می‌کند و هم اینکه چگونه ضرر‌ها در کل مجموعه‌های مالی انتشار می‌یابد، این‌ها به هلدینگ‌های مرکزی کمک می‌کنند تا منابع‌شان را به نظارت پر‌خطر‌ترین شرکت‌ها اختصاص دهند.
نمودارشکل \ref{figure8} هیستوگرام توزیع $  DI$ را نشان می‌دهد. 
  \begin{figure}[H]
\centering \includegraphics[scale=0.6]{pic/figure8}
\caption{تأثیر نکول و ریسک سیستمی در شبکه بین بانکی برزیل}\label{figure8}
\end{figure}
 این امکان وجود دارد که توجه کنیم که یک شکل نمایی وجود دارد که بدین معنی است که اکثر شرکت‌ها بیش از 4 درصد سرمایه سیستم را از بین نمی‌برد، با این وجود تعدا بسیار کمی از مؤسسات مالی وجود دارند که بسیار پر‌خطرند و می‌توانند تا 15 درصد سرمایه را از بین ببرند. 
 ما در شرط 
 $  DI$ 
 بحث می‌کنیم که بانک‌های مرکزی باید تلاش‌هایشان را تمرکز دهند به این مؤسسه مالی پر‌خطر 
  \subsection{شاخص سرایت یک شرکت }
تاثیر نکول یک شرکت مشروط به سطح سپر سرمایه‌ای است که شرکت‌های مختلف نگه داشته‌اند و در واقع ممکن است سرمایه اینها در یک سناریو نامطلوب اقتصادی مانند رکود اقتصادی کاهش پیدا کنند. ضررهای در ارزش دارایی ناشی از شوک‌های کلان اقتصادی علاوه بر تولید همبستگی در ریسک بازار، همچنین به تقویت میزان سرایت با تقلیل سپر سرمایه شرکت‌ها کمک می‌کند. آنها تاثیر یک نکول رخ داده را افزایش می‌دهند.\\
این اشاره دارد به نیاز به ادغام هر دو شوک‌های رایج کلان اقتصادی و تأثیرات سرایت در هنگام اندازه‌گیری ریسک سیستماتیک در شبکه گروه مالی. برای به حساب آوردن تأثیر شوک‌های کلان اقتصادی یک (منفی) متغیر تصادفی 
  $  Z$ 
  را که نشان دهنده بزرگی یک شوک رایج است تعریف می‌کنیم. این متغیر   
$  Z$ 
 مقیاسی است برای تولید یک زیان 
 $  \epsilon_i $ 
 در (سرمایه نوع $ I$) سرمایه شرکت
 $  i$ 
با شدتی که بستگی دارد به سرمایه و اعتبار هر شرکت. آنهایی که با احتمال نکول بالاتر هستند با یک شوک کلان اقتصادی بیشتر تحت تأثیر قرار می‌گیرند.\\
شوک‌های کلان اقتصادی در صورت همبستگی زیاد به دلیل اکسپوژرهای رایج سبد سهام شرکت‌ها، آنها را تحت تأثیر قرار می‌دهد. این همبستگی در سیستم تمام کشور‌های مختلف به طور قابل توجهی مثبت یافت شده است. 
%$ ( Lenar, 2005)$     
 علاوه بر این، سناریوهای استرس در بازار فروش غیر عادی ممکن است در واقع این نوع همبستگی را تشدید کند. در تعداد زیادی از بررسی‌های آزمون استرس انجام شده به وسیله تنظیم کنندگان، شوک اعمال شده به سبد سهام‌های مختلف، در واقع نسخه کوچک از همان متغیر تصادفی هستند یعنی کاملاً در سراسر سبد سهام در ارتباط اند. 
 با تعمیم این مشخصات در حالی که حفظ این ایده که شوک‌های کلان اقتصادی باید در همان جهت بر سبد سهام تاثیر گذارند، یک مدل 
 $  Co-monotonic$  
 برای شوک‌های کلان اقتصادی در نظر می‌گیریم 
% $  (Cont,2009).$
\begin{equation}\label{18}
 \epsilon(i,z)=\overline{B_{2,i}}f_i(z)
\end{equation}
 که در آن 
 $  f_i$  
  توابع اکیداً صعودی هستند با مقادیری در 
   $ (-1,0]$ 
   در هر سناریو کاهش، توسط یک بردار سرمایه از دست رفته، تعریف شده است. می توانیم همانند تعریف قبل، تاثیر نکول را محاسبه کنیم، اما در شبکه با سپر سرمایه تأکید شده 
    $ \overline{B_{2,i}}+\epsilon(z) $  
  محاسبه  می‌شود.\\
  در یک سناریو استرس کلان اقتصادی مطابق با یک سناریو در آن 
   $  z$ 
   مقدار بسیار منفی می‌گیرد.\\
  مجموعه‌ای قابل قبول از حالات استرس برای آزمون استرس ممکن است با استفاده از یک چندک کم 
   $  \alpha$ 
 از 
    $  z$ 
 ، تعریف شود. 
 \begin{equation}
P(z<\alpha)=q.
\end{equation}
 که در آن یک درصد یا 
 $  q=5$ 
 درصد برای مثال. تعاریف مشابه براساس چندک‌های زیان‌های کلان اقتصادی توسط ژو \LTRfootnote{Zhou} 
 و همکاران در (2009) مطرح شده است.\\
 ما شاخص سرایت \gls{CI} یک مؤسسه $  i$  
به عنوان تاثیر نکول مورد انتظارش تعریف می‌کنیم زمانی که شبکه در معرض چنین سناریو استرس کلان اقتصادی است.
 \begin{definition} 
(شاخص سرایت). شاخص سرایت  
 $  CI$ 
(در سطح اطمینان  $ q$ ) مؤسسه 
 $  i\in\nu_t$  
به  عنوان تأثیر نکول مورد انتظار در یک سناریو با استرس بازار تعریف می‌شود.
 \begin{equation}
CI=E[DI|z<\alpha]
\end{equation}
در  اینجا بردار $  \epsilon(z)$  سرمایه از دست رفته توسط \ref{18} تعریف می‌شود و $  \alpha$، $  q$- چندک فاکتور ریسک سیستماتیک است. 
$  z:P(z<\alpha)=q$.
\end{definition}
شاخص سرایت  $  CI$ تأثیر سیستمی از دست رفتن یک مؤسسه را اندازه‌گیری می‌کند به وسیله زیان مورد انتظار وارد آمده به شبکه در نکول پله‌ای ایجاد شده توسط نکول اولیه $  i$. به این ترتیب، آن برای تأثیرات سرایت شبکه و ارتباطات در ضرر‌های سبد سهام از طریق شوک‌های رایج، مشترکاً محاسبه می‌شود. \\
%ایده بررسی به طور مشترک شوک های کلان اقتصادی وارد شده به تراز نامه و سرایت نیز در 
%$  Elsinger(2006)$     
%و همکاران مورد بررسی قرار گرفت.\\
%با این حال برخلاف معیار های استفاده شده توسط 
%$  Elsinger(2006)$ 
%و همکاران،
 تعریف شاخص سرایت مستلزم شرط روی سناریو‌های استرس است. این شرط برای تفسیر آن ضروری است: در این روش، شاخص سرایت روی پایداری سیستم‌های بانکی در یک سناریو استرس تمرکز می‌کند به جای بررسی حاصل میانگین یک شوک کلان اقتصادی.
 % \section{ تاثیر نقدینگی }
  علاوه بر ریسک بازار و ریسک اعتباری در خلال بحران‌های مالی، وقایع سیستمی نیز به واسطه نبود نقدینگی قوت می‌گیرند.
  بنابراین خطر نقدینگی یک نقش ویژه در تحلیل خطر سیستمی تحت شرایط فشار ایفا می‌کند. محصور کردن خطر نقدینگی در تحلیل می‌تواند با در نظر گرفتن سپر سرمایه مجتمع‌های مالی به صورت سرمایه نوع $  I$،
     $  C_1$ 
  کار را به سرانجام رساند. این برابر است با جایگزینی سرمایه مرجع 
     $  C_2$  
  فقط به سرمایه نوع 
      $  I$ 
 ،
     $  C_1$ 
  که نتیجه می‌دهد سپر سرمایه برابر است با 
\begin{equation}
   \overline{B_{1,i}}=C_{1,i}-C_{r,i}-\delta\sum_{j\in V_{in,i}}\ell_{ij} 
\end{equation}