\documentclass[coloremph,colorhighlight,lightbackground]{bidipresentation}%\documentclass[12pt,oneside]{bidipresentation}
\usepackage{texpower}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts,textcomp,txfonts,mathrsfs,stmaryrd}
\usepackage{cases}
\usepackage{subfigure}
\usepackage{multicol,multirow,xcolor,colortbl,watermark}
\usepackage{thmtools}
\usepackage{dsfont}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{marvosym}\usepackage{wasysym}
\usepackage{empheq,fancybox}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{xparse}
\usepackage{pgf,pgfarrows,pgfnodes,pgfautomata,pgfheaps,pgfshade}
\usepackage{tikz}\usetikzlibrary{shapes,snakes,positioning,shapes.misc}
\usepackage{pstricks}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{listings}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{bidi-atbegshi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\makeatletter
\setlength\fboxrule{0.5mm}
\makeatother
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts,hyperref}

\usepackage{pagecolor}
\usepackage{tikz}
\usepackage{eso-pic}
%\hypersetup{backref,pdfpagemode=FullScreen,colorlinks=true}
\usepackage{enumitem}
%\usepackage{ptext}
%\usepackage{xepersian}
%\settextfont{XB Roya}






%
\def\theTitle{همواری جواب معادلات دیفرانسیل کسری  }
\def\theAuthor{امین شاه\hspace*{0.01cm}کرمی}
\def\theAuthorUrl{http://profs.hsu.ac.ir/mamintoosi}
\def\theCompany{
دانشگاه لرستان، دانشکده علوم پایه
}
\def\theCompanyUrl{http://www.parsilatex.com}
\def\theDate{ آذر ۱۳۹3}
\def\Logo{HSU-logo}
%%=================================
\usepackage{saahel}
\usepackage[extrafootnotefeatures]{xepersian}
\graphicspath{{images/}}
\twocolumnfootnotes
%==========================%
\title{\theTitle}
\author{\theAuthor}
\date{\theDate}
%

%%%%%% انتخاب رنگ استایل %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% شما می‌توانید از یکی از رنگهای زیر استفاده کنید، رنگ پیش فرض NavyBlue است:
%%blue, NavyBlue, golden, red, green, LimeGreen, purple,
%% sepia, cyan, orange, gray, JungleGreen, Bittersweet, brown
%\selectThemeColor{NavyBlue}
%% و یا می‌توانید رنگ مورد نظر خودتان را تنظیم نمایید:
\setThemeColor{RGB}{11, 129, 162}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\linespread{2}
\pagestyle{pres}

%%رنگ​ها
\sidebartc{cmyk}{0.1,11,20,0}
\linktc{rgb}{10,0,0}% نوشته کناره ها
\rtopbarc{cmyk}{10,0.54,1,0}
\ltopbarc{cmyk}{0.15,0.15,0,0}
\ltopbartc{cmyk}{0,0,0,1}
\rbotbarc{cmyk}{0.15,0.15,0,0}
\lbotbarc{rgb}{0,0,1}
\lbotbartc{cmyk}{0,0,1,1}

%%other colors
%\definecolor{Red}{rgb}{1,0,0}
%\definecolor{Blue}{rgb}{0,0,1}
%\definecolor{Green}{rgb}{0,1,0}
%\definecolor{magenta}{rgb}{1,0,.6}
%\definecolor{lightblue}{rgb}{0,.5,1}
%\definecolor{lightpurple}{rgb}{.6,.4,1}
%\definecolor{gold}{rgb}{.6,.5,0}
%\definecolor{orange}{rgb}{1,0.4,0}
%\definecolor{hotpink}{rgb}{1,0,0.5}
%\definecolor{newcolor2}{rgb}{.5,.3,.5}
%\definecolor{newcolor}{rgb}{0,.3,1}
%\definecolor{newcolor3}{rgb}{1,0,.35}
%\definecolor{darkgreen1}{rgb}{0, .35, 0}
%\definecolor{darkgreen}{rgb}{0, .6, 0}
%\definecolor{darkred}{rgb}{.75,0,0}
%\xdefinecolor{olive}{cmyk}{0.64,0,0.95,0.4}
%\xdefinecolor{purpleish}{cmyk}{0.75,0.75,0,0}
\def\alert#1{\textcolor{red}{#1}}




%\settextfont[Scale=1.5]{Yas}%{HM XNiloofar}
%\setlatintextfont[Scale=1.5]{Times New Roman}
% آقای علوی زاده از قلم زیر در استیل ساحل استفاده کرده‌اند که چون نمی‌خواستم به جز قلم پیش‌فرض زی‌پرشین از قلم دیگری استفاده کنم آنرا بی اثر کردم.
%\defpersianfont\titr[Scale=1.1]{Persian Modern}%{HM XTitr}
\def\titr{}
\def\parsitext#1{\rl{#1}}

%\lstset{% general command to set parameter(s) 
%basicstyle=\small, % print whole listing small
%keywordstyle=\color{blue}\bfseries,
%% underlined bold black keywords
%identifierstyle=, % nothing happens
%stringstyle=\ttfamily\color{red},
%commentstyle=\color{LimeGreen}, % white comments
%stringstyle=\ttfamily\color{red}, % typewriter type for strings
%showstringspaces=false} % no special string spaces

\lstloadlanguages{tex}
\lstset{language=[latex]tex,
                basicstyle=\ttfamily,
                keywordstyle=\color{blue}\ttfamily,
                stringstyle=\color{red}\ttfamily,
                commentstyle=\color{green}\ttfamily,
                morecomment=[l][\color{magenta}]{\#}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%
%فونت
%\settextfont[Scale=1.3]{XB Niloofar}%{HM XNiloofar}
%\setlatintextfont[Scale=1.3]{Times New Roman}
%\defpersianfont\titr[Scale=1.2]{XB Titre}
\DeclareMathSizes{12}{16}{10}{10}
% آقای علوی زاده از قلم زیر در استیل ساحل استفاده کرده‌اند که چون نمی‌خواستم به جز قلم پیش‌فرض زی‌پرشین از قلم دیگری استفاده کنم آنرا بی اثر کردم.
%\defpersianfont\titr[Scale=1.1]{Persian Modern}%{HM XTitr}
%\def\titr{}
%\def\parsitext#1{\rl{#1}}
\begin{document}



\SecSlide{مشخصه\hspace*{0.01cm}های متغیری و اشتراک زیرفضاها}%\label{Sec:total}

%%%%%%%%%%%%%%
\begin{rawslide}
\begin{block}{}
\noindent با توجه به حقیقی بودن مقادیر ویژه یک ماتریس هرمیتی، می\hspace*{0.01cm}توان  ترتیب زیر را بین مقادیر ویژه ماتریس هرمیتی $A$ فرض نمود.
\end{block}
\end{rawslide}
\begin{page}
\begin{block}{}
\noindent با توجه به حقیقی بودن مقادیر ویژه یک ماتریس هرمیتی، می\hspace*{0.01cm}توان  ترتیب زیر را بین مقادیر ویژه ماتریس هرمیتی $A$ فرض نمود.
\begin{equation*}
{\color{red}\lambda_{\min}=\lambda_1\leq \lambda_2 \leq \ldots \leq \lambda_{n-1}\leq \lambda_n =\lambda_{\max}\tag{1}}
\end{equation*}
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{}
\noindent با توجه به حقیقی بودن مقادیر ویژه یک ماتریس هرمیتی، می\hspace*{0.01cm}توان  ترتیب زیر را بین مقادیر ویژه ماتریس هرمیتی $A$ فرض نمود.
\begin{equation*}
{\color{red}\lambda_{\min}=\lambda_1\leq \lambda_2 \leq \ldots \leq \lambda_{n-1}\leq \lambda_n =\lambda_{\max}}\tag{1}
\end{equation*}
چون بردارهای ویژه متناظر با مقادیر ویژه متمایز، مستقل خطی هستند، می\hspace*{0.01cm}توان بردار ویژه متناظر با مقادیر ویژه متمایز را متعامد فرض نمود و آنها را نیز به یک پایه متعامد برای $\mathbb{C}^n$ گسترش داد. ازاینرو، شناسایی بزرگترین و کوچکترین مقدار ویژه $A$ مثمر ثمر باشد. قضیه \lr{Rayleigh}  در شناسایی بزرگترین و کوچکترین مقدار ویژه $A$، به ما کمک  می\hspace*{0.01cm}کند.
\end{block}
\end{page}
%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{myghazye}
%
%
%\end{myghazye}

\begin{rawslide}
\begin{myghazye}{\lr{Rayleigh}}
فرض کنید $A\in M_n$ ماتریسی هرمیتی با مقادیر ویژه مرتب شده (\ref{E1}) باشد. 
\end{myghazye}
\end{rawslide}
\begin{page}
\begin{equation}\label{E1}
{\color{red}\lambda_{\min}=\lambda_1\leq \lambda_2 \leq \ldots \leq \lambda_{n-1}\leq \lambda_n =\lambda_{\max}}
\end{equation}  
\begin{myghazye}{\lr{Rayleigh}}
فرض کنید $A\in M_n$ ماتریسی هرمیتی با مقادیر ویژه مرتب شده (\ref{E1}) باشد. 
\end{myghazye}
\end{page}
\begin{page}
\begin{myghazye}{\lr{Rayleigh}}
فرض کنید $A\in M_n$ ماتریسی هرمیتی با مقادیر ویژه مرتب شده (\ref{E1}) باشد.  برای اعداد صحیح $i_1$، $\ldots$، $i_k$ با شرط   $1\leq i_1< \ldots <i_k \leq n$، اگر $x_{i_1}$، $\ldots$، $x_{i_k}$ بردارهای  متعامدی باشند بطوریکه برای هر $1\leq p\leq k$، داشته باشیم $Ax_p=\lambda_{_p}x_{i_p}$. 
\end{myghazye}
\end{page}
\begin{page}
\begin{myghazye}{\lr{Rayleigh}}
فرض کنید $A\in M_n$ ماتریسی هرمیتی با مقادیر ویژه مرتب شده (\ref{E1}) باشد.  برای اعداد صحیح $i_1$، $\ldots$، $i_k$ با شرط   $1\leq i_1< \ldots <i_k \leq n$، اگر $x_{i_1}$، $\ldots$، $x_{i_k}$ بردارهای  متعامدی باشند بطوریکه برای هر $1\leq p\leq k$، داشته باشیم $Ax_p=\lambda_{_p}x_{i_p}$. همچنین قرار می\hspace*{0.01cm}دهیم $S=\text{span}\{ x_{i_1},\ldots ,x_{i_k}\}$. 
\end{myghazye}
\end{page}
\begin{page}
\begin{myghazye}{\lr{Rayleigh}}
فرض کنید $A\in M_n$ ماتریسی هرمیتی با مقادیر ویژه مرتب شده (\ref{E1}) باشد.  برای اعداد صحیح $i_1$، $\ldots$، $i_k$ با شرط   $1\leq i_1< \ldots <i_k \leq n$، اگر $x_{i_1}$، $\ldots$، $x_{i_k}$ بردارهای  متعامدی باشند بطوریکه برای هر $1\leq p\leq k$، داشته باشیم $Ax_p=\lambda_{_p}x_{i_p}$. همچنین قرار می\hspace*{0.01cm}دهیم $S=\text{span}\{ x_{i_1},\ldots ,x_{i_k}\}$. دراینصورت 
\begin{enumerate}
\item[الف:] 
\begin{align*}
{\color{blue}\lambda_{i_1}}&{\color{blue}=\min_{\{x:0\neq x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\min_{\{x:0\neq x\in S , \Vert x\Vert_2 =1\}}x^*Ax}
\end{align*}
\end{enumerate}

\end{myghazye}
\end{page}
\begin{page}
\begin{myghazye}{\lr{Rayleigh}}
فرض کنید $A\in M_n$ ماتریسی هرمیتی با مقادیر ویژه مرتب شده (\ref{E1}) باشد.  برای اعداد صحیح $i_1$، $\ldots$، $i_k$ با شرط   $1\leq i_1< \ldots <i_k \leq n$، اگر $x_{i_1}$، $\ldots$، $x_{i_k}$ بردارهای  متعامدی باشند بطوریکه برای هر $1\leq p\leq k$، داشته باشیم $Ax_p=\lambda_{_p}x_{i_p}$. همچنین قرار می\hspace*{0.01cm}دهیم $S=\text{span}\{ x_{i_1},\ldots ,x_{i_k}\}$. دراینصورت 
\begin{enumerate}
\item[الف:] 
\begin{align*}
{\color{orange}\lambda_{i_1}}&{\color{orange}=\min_{\{x:0\neq x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\min_{\{x:0\neq x\in S , \Vert x\Vert_2 =1\}}x^*Ax}\\
&{\color{blue}\leq \max_{\{x:0\neq x\in S ,\Vert x\Vert_2 =1\}}x^*Ax=\max_{\{x:0\neq x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\lambda_{i_k}}
\end{align*}
\end{enumerate}

\end{myghazye}
\end{page}
\begin{page}
\begin{myghazye}{\lr{Rayleigh}}
فرض کنید $A\in M_n$ ماتریسی هرمیتی با مقادیر ویژه مرتب شده (\ref{E1}) باشد.  برای اعداد صحیح $i_1$، $\ldots$، $i_k$ با شرط   $1\leq i_1< \ldots <i_k \leq n$، اگر $x_{i_1}$، $\ldots$، $x_{i_k}$ بردارهای  متعامدی باشند بطوریکه برای هر $1\leq p\leq k$، داشته باشیم $Ax_p=\lambda_{_p}x_{i_p}$. همچنین قرار می\hspace*{0.01cm}دهیم $S=\text{span}\{ x_{i_1},\ldots ,x_{i_k}\}$. دراینصورت 
\begin{enumerate}
\item[الف:] 
\begin{align*}
\lambda_{i_1}&=\min_{\{x:0\neq x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\min_{\{x:0\neq x\in S , \Vert x\Vert_2 =1\}}x^*Ax\\
&\leq \max_{\{x:0\neq x\in S ,\Vert x\Vert_2 =1\}}x^*Ax=\max_{\{x:0\neq x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\lambda_{i_k}
\end{align*}
\item[ب:]   برای هر بردار یکه $x\in S$،  داریم ${\color{blue}\lambda_{i_1}\leq x^*Ax\leq \lambda_{i_k}}$.
\end{enumerate}
\end{myghazye}
\end{page}
\begin{page}
\begin{myghazye}{\lr{Rayleigh}}
فرض کنید $A\in M_n$ ماتریسی هرمیتی با مقادیر ویژه مرتب شده (\ref{E1}) باشد.  برای اعداد صحیح $i_1$، $\ldots$، $i_k$ با شرط   $1\leq i_1< \ldots <i_k \leq n$، اگر $x_{i_1}$، $\ldots$، $x_{i_k}$ بردارهای  متعامدی باشند بطوریکه برای هر $1\leq p\leq k$، داشته باشیم $Ax_p=\lambda_{_p}x_{i_p}$. همچنین قرار می\hspace*{0.01cm}دهیم $S=\text{span}\{ x_{i_1},\ldots ,x_{i_k}\}$. دراینصورت 
\begin{enumerate}
\item[الف:] 
\begin{align*}
\lambda_{i_1}&=\min_{\{x:0\neq x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\min_{\{x:0\neq x\in S , \Vert x\Vert_2 =1\}}x^*Ax\\
&\leq \max_{\{x:0\neq x\in S ,\Vert x\Vert_2 =1\}}x^*Ax=\max_{\{x:0\neq x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\lambda_{i_k}
\end{align*}
\item[ب:]   برای هر بردار یکه $x\in S$،  داریم ${\color{blue}\lambda_{i_1}}{\color{red}\leq}{\color{blue} x^*Ax\leq \lambda_{i_k}}$. همچنین تساوی در نامساوی سمت چپ (راست) برقرار است اگر و تنها اگر ${\color{red}Ax=\lambda_{i_1}x}$.
\end{enumerate}
\end{myghazye}
\end{page}
\begin{page}
\begin{myghazye}{\lr{Rayleigh}}
فرض کنید $A\in M_n$ ماتریسی هرمیتی با مقادیر ویژه مرتب شده (\ref{E1}) باشد.  برای اعداد صحیح $i_1$، $\ldots$، $i_k$ با شرط   $1\leq i_1< \ldots <i_k \leq n$، اگر $x_{i_1}$، $\ldots$، $x_{i_k}$ بردارهای  متعامدی باشند بطوریکه برای هر $1\leq p\leq k$، داشته باشیم $Ax_p=\lambda_{_p}x_{i_p}$. همچنین قرار می\hspace*{0.01cm}دهیم $S=\text{span}\{ x_{i_1},\ldots ,x_{i_k}\}$. دراینصورت 
\begin{enumerate}
\item[الف:] 
\begin{align*}
\lambda_{i_1}&=\min_{\{x:0\neq x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\min_{\{x:0\neq x\in S , \Vert x\Vert_2 =1\}}x^*Ax\\
&\leq \max_{\{x:0\neq x\in S ,\Vert x\Vert_2 =1\}}x^*Ax=\max_{\{x:0\neq x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\lambda_{i_k}
\end{align*}
\item[ب:]   برای هر بردار یکه $x\in S$،  داریم ${\color{blue}\lambda_{i_1}}{\color{red}\leq}{\color{blue} x^*Ax{\color{green}\leq} \lambda_{i_k}}$. همچنین تساوی در نامساوی سمت چپ (راست) برقرار است اگر و تنها اگر ${\color{red}Ax=\lambda_{i_1}x}$ (${\color{green}Ax=\lambda_{i_k}x}$).
\end{enumerate}
\end{myghazye}
\end{page}
\begin{page}
\begin{myghazye}{\lr{Rayleigh}}
فرض کنید $A\in M_n$ ماتریسی هرمیتی با مقادیر ویژه مرتب شده (\ref{E1}) باشد.  برای اعداد صحیح $i_1$، $\ldots$، $i_k$ با شرط   $1\leq i_1< \ldots <i_k \leq n$، اگر $x_{i_1}$، $\ldots$، $x_{i_k}$ بردارهای  متعامدی باشند بطوریکه برای هر $1\leq p\leq k$، داشته باشیم $Ax_p=\lambda_{_p}x_{i_p}$. همچنین قرار می\hspace*{0.01cm}دهیم $S=\text{span}\{ x_{i_1},\ldots ,x_{i_k}\}$. دراینصورت 
\begin{enumerate}
\item[الف:] 
\begin{align*}
\lambda_{i_1}&=\min_{\{x:0\neq x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\min_{\{x:0\neq x\in S , \Vert x\Vert_2 =1\}}x^*Ax\\
&\leq \max_{\{x:0\neq x\in S ,\Vert x\Vert_2 =1\}}x^*Ax=\max_{\{x:0\neq x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\lambda_{i_k}
\end{align*}
\item[ب:]   برای هر بردار یکه $x\in S$،  داریم $\lambda_{i_1}\leq x^*Ax\leq \lambda_{i_k}$. همچنین تساوی در نامساوی سمت چپ (راست) برقرار است اگر و تنها اگر $Ax=\lambda_{i_1}x$ ($Ax=\lambda_{i_k}x$).

\item[پ:] برای هر بردار یکه $x\in \mathbb{C}^n$،  داریم ${\color{red}\lambda_{\min}\leq x^*Ax\leq \lambda_{\max}}$.
\end{enumerate}
\end{myghazye}
\end{page}
\begin{page}
\begin{myghazye}{\lr{Rayleigh}}
فرض کنید $A\in M_n$ ماتریسی هرمیتی با مقادیر ویژه مرتب شده (\ref{E1}) باشد.  برای اعداد صحیح $i_1$، $\ldots$، $i_k$ با شرط   $1\leq i_1< \ldots <i_k \leq n$، اگر $x_{i_1}$، $\ldots$، $x_{i_k}$ بردارهای  متعامدی باشند بطوریکه برای هر $1\leq p\leq k$، داشته باشیم $Ax_p=\lambda_{_p}x_{i_p}$. همچنین قرار می\hspace*{0.01cm}دهیم $S=\text{span}\{ x_{i_1},\ldots ,x_{i_k}\}$. دراینصورت 
\begin{enumerate}
\item[الف:] 
\begin{align*}
\lambda_{i_1}&=\min_{\{x:0\neq x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\min_{\{x:0\neq x\in S , \Vert x\Vert_2 =1\}}x^*Ax\\
&\leq \max_{\{x:0\neq x\in S ,\Vert x\Vert_2 =1\}}x^*Ax=\max_{\{x:0\neq x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\lambda_{i_k}
\end{align*}
\item[ب:]   برای هر بردار یکه $x\in S$،  داریم $\lambda_{i_1}\leq x^*Ax\leq \lambda_{i_k}$. همچنین تساوی در نامساوی سمت چپ (راست) برقرار است اگر و تنها اگر $Ax=\lambda_{i_1}x$ ($Ax=\lambda_{i_k}x$).

\item[پ:] برای هر بردار یکه $x\in \mathbb{C}^n$،  داریم $\lambda_{\min}\leq x^*Ax\leq \lambda_{\max}$. همچنین تساوی در نامساوی سمت چپ (راست) برقرار است اگر و تنها اگر $Ax=\lambda_{\min}x$ ($Ax=\lambda_{\max}x$). بعلاوه
\[{\color{red}\lambda_{\max}=\max_{x\ne 0}\frac{x^*Ax}{x^*x}},{\color{blue}\lambda_{\min}=\min_{x\ne 0}\frac{x^*Ax}{x^*x}}\]
\end{enumerate}
\end{myghazye}
\end{page}
%%%%%%%%%
%%%%%%%%%
\begin{rawslide}
\begin{block}{اثبات}
گیریم $x\in S$. قرار می\hspace*{0.01cm}دهیم $y=\frac{x}{\Vert x\Vert_2} \in S$ ($\Vert y \Vert_2=1$).
\end{block}
\end{rawslide}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
گیریم $x\in S$. قرار می\hspace*{0.01cm}دهیم $y=\frac{x}{\Vert x\Vert_2} \in S$ و  داریم 
\[\frac{x^* Ax}{x^* x}=\frac{x^* Ax}{\Vert x\Vert_{2}^{2}}=y^*Ay\]
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
گیریم $x\in S$. قرار می\hspace*{0.01cm}دهیم $y=\frac{x}{\Vert x\Vert_2 =1}\in S$ و  داریم 
\[\frac{x^* Ax}{x^* x}=\frac{x^* Ax}{\Vert x\Vert_{2}^{2}}=y^*Ay\]
لذا می\hspace*{0.01cm}توان هر بردار $S$ را در $S$ یکه کرد.
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
گیریم $x\in S$. قرار می\hspace*{0.01cm}دهیم $y=\frac{x}{\Vert x\Vert_2 =1}\in S$ و  داریم 
\[\frac{x^* Ax}{x^* x}=\frac{x^* Ax}{\Vert x\Vert_{2}^{2}}=y^*Ay\]
لذا می\hspace*{0.01cm}توان هر بردار $S$ را در $S$ یکه کرد. از طرفی، برای هر بردار یکه مانند  $x\in S$،  اسکالرهای $\alpha_1$، $\ldots$، $\alpha_k$ وجود دارند بطوریکه ${\color{red}x=\alpha_1 x_{i_1}+\ldots +\alpha_k x_{i_k}}$. 
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
  برای هر بردار یکه مانند  $x\in S$،  اسکالرهای $\alpha_1$، $\ldots$، $\alpha_k$ وجود دارند بطوریکه
 \[x=\alpha_1 x_{i_1}+\ldots +\alpha_k x_{i_k}\] از تعامد $x_{i_j}$ ها داریم 
\[{\color{red}1=x^*x=\sum_{j=1}^{k}\sum_{m=1}^{k}\bar{\alpha}_j \alpha_m x_{i_j}^* x_{i_m}=|\alpha_1|^2+\ldots +|\alpha_k|^2 }\]
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
  بنابراین
\begin{align*}
x^*Ax=&(\alpha_1 x_{i_1}+\ldots +\alpha_k x_{i_k})^*A(\alpha_1 x_{i_1}+\ldots +\alpha_k x_{i_k})\nonumber \\
\end{align*}
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
 بنابراین
\begin{align*}
x^*Ax=&(\alpha_1 x_{i_1}+\ldots +\alpha_k x_{i_k})^*{\color{magenta}A}(\alpha_1 {\color{orange}x_{i_1}}+\ldots +\alpha_k {\color{orange}x_{i_k}})\nonumber \\
=&(\alpha_1 x_{i_1}+\ldots +\alpha_k x_{i_k})^*(\alpha_1 Ax_{i_1}+\ldots +\alpha_k Ax_{i_k})\nonumber \\
\end{align*}
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
 بنابراین
\begin{align*}
x^*Ax=&(\alpha_1 x_{i_1}+\ldots +\alpha_k x_{i_k})^*{\color{magenta}A}(\alpha_1 {\color{orange}x_{i_1}}+\ldots +\alpha_k {\color{orange}x_{i_k}})\\
=&(\alpha_1 x_{i_1}+\ldots +\alpha_k x_{i_k})^*(\alpha_1 {\color{blue}Ax_{i_1}}+\ldots +\alpha_k {\color{blue}Ax_{i_k}})\nonumber \\
\end{align*} 
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
  بنابراین
\begin{align*}
x^*Ax=&(\alpha_1 x_{i_1}+\ldots +\alpha_k x_{i_k})^*{\color{magenta}A}(\alpha_1 {\color{orange}x_{i_1}}+\ldots +\alpha_k {\color{orange}x_{i_k}})\nonumber \\
=&(\alpha_1 x_{i_1}+\ldots +\alpha_k x_{i_k})^*(\alpha_1 {\color{blue}Ax_{i_1}}+\ldots +\alpha_k {\color{blue}Ax_{i_k}})\nonumber \\
=&(\alpha_1 x_{i_1}+\ldots +\alpha_k x_{i_k})^*(\alpha_1 {\color{red}\lambda_{i_1} x_{i_1}}+\ldots +\alpha_k  {\color{red}\lambda_{i_k} x_{i_k}})\nonumber 
\end{align*} 
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
 بنابراین
\begin{align*}
x^*Ax=&(\alpha_1 x_{i_1}+\ldots +\alpha_k x_{i_k})^*{\color{magenta}A}(\alpha_1 {\color{orange}x_{i_1}}+\ldots +\alpha_k {\color{orange}x_{i_k}})\nonumber \\
=&(\alpha_1 x_{i_1}+\ldots +\alpha_k x_{i_k})^*(\alpha_1 {\color{blue}Ax_{i_1}}+\ldots +\alpha_k {\color{blue}Ax_{i_k}})\nonumber \\
=&(\alpha_1 x_{i_1}+\ldots +\alpha_k x_{i_k})^{\color{green}*}(\alpha_1 {\color{red}\lambda_{i_1} x_{i_1}}+\ldots +\alpha_k  {\color{red}\lambda_{i_k} x_{i_k}})\nonumber 
\end{align*} 
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
 بنابراین
\begin{align*}
x^*Ax=&(\alpha_1 x_{i_1}+\ldots +\alpha_k x_{i_k})^*{\color{magenta}A}(\alpha_1 {\color{orange}x_{i_1}}+\ldots +\alpha_k {\color{orange}x_{i_k}})\nonumber \\
=&(\alpha_1 x_{i_1}+\ldots +\alpha_k x_{i_k})^*(\alpha_1 {\color{blue}Ax_{i_1}}+\ldots +\alpha_k {\color{blue}Ax_{i_k}})\nonumber \\
=&(\alpha_1 x_{i_1}+\ldots +\alpha_k x_{i_k})^*(\alpha_1 {\color{red}\lambda_{i_1} x_{i_1}}+\ldots +\alpha_k  {\color{red}\lambda_{i_k} x_{i_k}})\nonumber \\=&\sum_{j=1}^{k}\sum_{m=1}^{k}\lambda_{i_m}\bar{\alpha}_j \alpha_m x_{i_j}^* x_{i_m}\tag{2}
\end{align*} 
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
 بنابراین
\begin{align*}
x^*Ax=&(\alpha_1 x_{i_1}+\ldots +\alpha_k x_{i_k})^*{\color{magenta}A}(\alpha_1 {\color{orange}x_{i_1}}+\ldots +\alpha_k {\color{orange}x_{i_k}})\nonumber \\
=&(\alpha_1 x_{i_1}+\ldots +\alpha_k x_{i_k})^*(\alpha_1 {\color{blue}Ax_{i_1}}+\ldots +\alpha_k {\color{blue}Ax_{i_k}})\nonumber \\
=&(\alpha_1 x_{i_1}+\ldots +\alpha_k x_{i_k})^*(\alpha_1 {\color{red}\lambda_{i_1} x_{i_1}}+\ldots +\alpha_k  {\color{red}\lambda_{i_k} x_{i_k}})\nonumber \\=&\sum_{j=1}^{k}\sum_{m=1}^{k}\lambda_{i_m}\bar{\alpha}_j \alpha_m x_{i_j}^* x_{i_m}=|\alpha_1|^2\lambda_{i_1}+\ldots +|\alpha_k|^2\lambda_{i_k} \tag{2}
\end{align*} 
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
\begin{align*}
x^*Ax=&(\alpha_1 x_{i_1}+\ldots +\alpha_k x_{i_k})^*A(\alpha_1 x_{i_1}+\ldots +\alpha_k x_{i_k})\nonumber \\
=&(\alpha_1 x_{i_1}+\ldots +\alpha_k x_{i_k})^*(\alpha_1 Ax_{i_1}+\ldots +\alpha_k Ax_{i_k})\nonumber \\
=&(\alpha_1 x_{i_1}+\ldots +\alpha_k x_{i_k})^*(\alpha_1 \lambda_{i_1} x_{i_1}+\ldots +\alpha_k  \lambda_{i_k} x_{i_k})\nonumber 
 \\=&\sum_{j=1}^{k}\sum_{m=1}^{k}\lambda_{i_m}\bar{\alpha}_j \alpha_m x_{i_j}^* x_{i_m}= {\color{blue}|\alpha_1|^2}\lambda_{i_1}+\ldots + {\color{blue}|\alpha_k|^2}\lambda_{i_k} \tag{2}
\end{align*} 
رابطه (\ref{E2}) نشان می\hspace*{0.01cm}دهد که مقدار $x^*Ax$ ترکیب محدب مقادیر  $\lambda_{i_1}$، $\ldots$، $\lambda_{i_k}$ است.
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
\[ {\color{red}|\alpha_1|^2+\ldots + |\alpha_k|^2  =1,\qquad  } {\color{magenta}0\leq |\alpha_i|\leq 1}\]
\begin{align}\label{E2}
x^*Ax=&(\alpha_1 x_{i_1}+\ldots +\alpha_k x_{i_k})^*A(\alpha_1 x_{i_1}+\ldots +\alpha_k x_{i_k})\nonumber \\
=&(\alpha_1 x_{i_1}+\ldots +\alpha_k x_{i_k})^*(\alpha_1 Ax_{i_1}+\ldots +\alpha_k Ax_{i_k})\nonumber \\
=&(\alpha_1 x_{i_1}+\ldots +\alpha_k x_{i_k})^*(\alpha_1 \lambda_{i_1} x_{i_1}+\ldots +\alpha_k  \lambda_{i_k} x_{i_k})\nonumber 
 \\=&\sum_{j=1}^{k}\sum_{m=1}^{k}\lambda_{i_m}\bar{\alpha}_j \alpha_m x_{i_j}^* x_{i_m}= {\color{blue}|\alpha_1|^2}\lambda_{i_1}+\ldots + {\color{blue}|\alpha_k|^2}\lambda_{i_k} 
\end{align} 
رابطه (\ref{E2}) نشان می\hspace*{0.01cm}دهد که مقدار $x^*Ax$ ترکیب محدب مقادیر  $\lambda_{i_1}$، $\ldots$، $\lambda_{i_k}$ است.
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
پس
\begin{equation*}%\label{E3}
\lambda_{i_1}\leq x^*Ax\leq \lambda_{i_k}
\end{equation*}
اما چون بعد فضای $S$ متناهی است، پس $S$ مجموعه\hspace*{0.01cm}ای فشرده است. بنابراین $x^*Ax$، بزرگترین و کوچکترین مقدار خود را روی ${\color{red}S}$ اختیار می\hspace*{0.01cm}کند یعنی 
\begin{equation*}
\lambda_{{\color{red}\min}}\leq x^*Ax\leq \lambda_{{\color{red}\max}}
\end{equation*}
و این اثبات قسمت الف را کامل می\hspace*{0.01cm}کند.
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
پس
\begin{equation*}%\label{E3}
\lambda_{i_1}\leq x^*Ax\leq \lambda_{i_k}
\end{equation*}
اما چون بعد فضای $S$ متناهی است، پس $S$ مجموعه\hspace*{0.01cm}ای فشرده است. بنابراین $x^*Ax$، بزرگترین و کوچکترین مقدار خود را روی 
${\color{red}S}$ اختیار می\hspace*{0.01cm}کند یعنی 
\begin{equation*}
\lambda_{{\color{red}\min}}\leq x^*Ax\leq \lambda_{{\color{red}\max}}
\end{equation*}
و این اثبات قسمت الف را کامل می\hspace*{0.01cm}کند.
\begin{enumerate}
\item[الف:] 
\begin{align*}
{\color{orange}\lambda_{i_1}}&{\color{orange}=\min_{\{x:0\neq x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\min_{\{x:0\neq x\in S , \Vert x\Vert_2 =1\}}x^*Ax}\\
&{\color{blue}\leq \max_{\{x:0\neq x\in S ,\Vert x\Vert_2 =1\}}x^*Ax=\max_{\{x:0\neq x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\lambda_{i_k}}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{enumerate}
\item[ب:]   برای هر بردار یکه $x\in S$،  داریم ${\color{blue}\lambda_{i_1}}{\color{red}\leq}{\color{blue} x^*Ax{\color{green}\leq} \lambda_{i_k}}$. همچنین تساوی در نامساوی سمت چپ (راست) برقرار است اگر و تنها اگر ${\color{red}Ax=\lambda_{i_1}x}$ (${\color{green}Ax=\lambda_{i_k}x}$).
\end{enumerate}
\begin{block}{اثبات}
برای قسمت ب، فرض کنید $x\in S$، پس ${\color{blue}x^*Ax}=|\alpha_1|^2\lambda_{i_1}+\ldots +|\alpha_k|^2\lambda_{i_k} ={\color{blue}\lambda_{i_k}}$ 
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{enumerate}
\item[ب:]   برای هر بردار یکه $x\in S$،  داریم ${\color{blue}\lambda_{i_1}}{\color{red}\leq}{\color{blue} x^*Ax{\color{green}\leq} \lambda_{i_k}}$. همچنین تساوی در نامساوی سمت چپ (راست) برقرار است اگر و تنها اگر ${\color{red}Ax=\lambda_{i_1}x}$ (${\color{green}Ax=\lambda_{i_k}x}$).
\end{enumerate}
\begin{block}{اثبات}
برای قسمت ب، فرض کنید $x\in S$، پس ${\color{blue}x^*Ax}=|\alpha_1|^2\lambda_{i_1}+\ldots +|\alpha_k|^2\lambda_{i_k} ={\color{blue}\lambda_{i_k}}$ اگر و تنها اگر ${\color{red}a_p=0}$ هرگاه ${\color{red}\lambda_{i_p}\neq \lambda_{i_k}}$
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{enumerate}
\item[ب:]   برای هر بردار یکه $x\in S$،  داریم ${\color{blue}\lambda_{i_1}}{\color{red}\leq}{\color{blue} x^*Ax{\color{green}\leq} \lambda_{i_k}}$. همچنین تساوی در نامساوی سمت چپ (راست) برقرار است اگر و تنها اگر ${\color{red}Ax=\lambda_{i_1}x}$ (${\color{green}Ax=\lambda_{i_k}x}$).
\end{enumerate}
\begin{block}{اثبات}
برای قسمت ب، فرض کنید $x\in S$، پس ${\color{blue}x^*Ax}=|\alpha_1|^2\lambda_{i_1}+\ldots +|\alpha_k|^2\lambda_{i_k} ={\color{blue}\lambda_{i_k}}$ اگر و تنها اگر ${\color{red}a_p=0}$ هرگاه ${\color{red}\lambda_{i_p}\neq \lambda_{i_k}}$، اگر و  تنها اگر $x=\sum_{\color{blue}\{p:\lambda_{i_p}= \lambda_{i_k}\}}\alpha_p \lambda_{i_p}$  
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{enumerate}
\item[ب:]   برای هر بردار یکه $x\in S$،  داریم ${\color{blue}\lambda_{i_1}}{\color{red}\leq}{\color{blue} x^*Ax{\color{green}\leq} \lambda_{i_k}}$. همچنین تساوی در نامساوی سمت چپ (راست) برقرار است اگر و تنها اگر ${\color{red}Ax=\lambda_{i_1}x}$ (${\color{green}Ax=\lambda_{i_k}x}$).
\end{enumerate}
\begin{block}{اثبات}
برای قسمت ب، فرض کنید $x\in S$، پس ${\color{blue}x^*Ax}=|\alpha_1|^2\lambda_{i_1}+\ldots +|\alpha_k|^2\lambda_{i_k} ={\color{blue}\lambda_{i_k}}$ اگر و تنها اگر ${\color{red}a_p=0}$ هرگاه ${\color{red}\lambda_{i_p}\neq \lambda_{i_k}}$، اگر و  تنها اگر $x=\sum_{\color{blue}\{p:\lambda_{i_p}= \lambda_{i_k}\}}\alpha_p \lambda_{i_p}$  اگر و تنها اگر  بردار ویژه ${\color{red}A}$ متناظر با ${\color{red}\lambda_{i_k}}$ است.
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{enumerate}
\item[ب:]   برای هر بردار یکه $x\in S$،  داریم ${\color{blue}\lambda_{i_1}}{\color{red}\leq}{\color{blue} x^*Ax{\color{green}\leq} \lambda_{i_k}}$. همچنین تساوی در نامساوی سمت چپ (راست) برقرار است اگر و تنها اگر ${\color{red}Ax=\lambda_{i_1}x}$ (${\color{green}Ax=\lambda_{i_k}x}$).
\end{enumerate}
\begin{block}{اثبات}
 برای قسمت ب، فرض کنید $x\in S$، پس $x^*Ax=|\alpha_1|^2\lambda_{i_1}+\ldots +|\alpha_k|^2\lambda_{i_k} =\lambda_{i_k}$ اگر و تنها اگر $a_p=0$ هرگاه $\lambda_{i_p}\neq \lambda_{i_k}$، اگر و  تنها اگر $x=\sum_{\{p:\lambda_{i_p}= \lambda_{i_k}\}}\alpha_p \lambda_{i_p}$  اگر و تنها اگر  بردار ویژه $A$ متناظر با $\lambda_{i_k}$ است.  برای تساوی 
$Ax=\lambda_{i_1}x$ بطور مشابه عمل می\hspace*{.01cm}کنیم. 
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{enumerate}
\item[ب:]   برای هر بردار یکه $x\in S$،  داریم $\lambda_{i_1}\leq x^*Ax\leq \lambda_{i_k}$. همچنین تساوی در نامساوی سمت چپ (راست) برقرار است اگر و تنها اگر $Ax=\lambda_{i_1}x$ ($Ax=\lambda_{i_k}x$).

\item[پ:] برای هر بردار یکه $x\in \mathbb{C}^n$،  داریم $\lambda_{\min}\leq x^*Ax\leq \lambda_{\max}$. همچنین تساوی در نامساوی سمت چپ (راست) برقرار است اگر و تنها اگر $Ax=\lambda_{\min}x$ ($Ax=\lambda_{\max}x$). بعلاوه
\[{\color{red}\lambda_{\max}=\max_{x\ne 0}\frac{x^*Ax}{x^*x}},{\color{blue}\lambda_{\min}=\min_{x\ne 0}\frac{x^*Ax}{x^*x}}\]
\end{enumerate}
\begin{block}{اثبات}
 برای قسمت ب، فرض کنید $x\in S$، پس $x^*Ax=|\alpha_1|^2\lambda_{i_1}+\ldots +|\alpha_k|^2\lambda_{i_k} =\lambda_{i_k}$ اگر و تنها اگر $a_p=0$ هرگاه $\lambda_{i_p}\neq \lambda_{i_k}$، اگر و  تنها اگر $x=\sum_{\{p:\lambda_{i_p}= \lambda_{i_k}\}}\alpha_p \lambda_{i_p}$  اگر و تنها اگر  بردار ویژه $A$ متناظر با $\lambda_{i_k}$ است.  برای تساوی 
$Ax=\lambda_{i_1}x$ بطور مشابه عمل می\hspace*{.01cm}کنیم.  \\ {\color{red}اکنون اگر $k=n$ آنگاه $S=\mathbb{C}^n$، لذا با فرض $k=n$ قسمت ب،  قسمت آخر (قسمت پ) را نتیجه خواهد داد.}
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{enumerate}
\item[ب:]   برای هر بردار یکه $x\in S$،  داریم $\lambda_{i_1}\leq x^*Ax\leq \lambda_{i_k}$. همچنین تساوی در نامساوی سمت چپ (راست) برقرار است اگر و تنها اگر $Ax=\lambda_{i_1}x$ ($Ax=\lambda_{i_k}x$).

\item[پ:] برای هر بردار یکه $x\in \mathbb{C}^n$،  داریم $\lambda_{\min}\leq x^*Ax\leq \lambda_{\max}$. همچنین تساوی در نامساوی سمت چپ (راست) برقرار است اگر و تنها اگر $Ax=\lambda_{\min}x$ ($Ax=\lambda_{\max}x$). بعلاوه
\[{\color{red}\lambda_{\max}=\max_{x\ne 0}\frac{x^*Ax}{x^*x}},{\color{blue}\lambda_{\min}=\min_{x\ne 0}\frac{x^*Ax}{x^*x}}\]
\end{enumerate}
\begin{block}{اثبات}
 برای قسمت ب، فرض کنید $x\in S$، پس $x^*Ax=|\alpha_1|^2\lambda_{i_1}+\ldots +|\alpha_k|^2\lambda_{i_k} =\lambda_{i_k}$ اگر و تنها اگر $a_p=0$ هرگاه $\lambda_{i_p}\neq \lambda_{i_k}$، اگر و  تنها اگر $x=\sum_{\{p:\lambda_{i_p}= \lambda_{i_k}\}}\alpha_p \lambda_{i_p}$  اگر و تنها اگر  بردار ویژه $A$ متناظر با $\lambda_{i_k}$ است.  برای تساوی 
$Ax=\lambda_{i_1}x$ بطور مشابه عمل می\hspace*{.01cm}کنیم.  \\ {\color{red}اکنون اگر $k=n$ آنگاه $S=\mathbb{C}^n$، لذا با فرض $k=n$ قسمت ب،  قسمت آخر}   {\color{blue}(قسمت پ)} {\color{red} را نتیجه خواهد داد.}
\end{block}
\end{page}
%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%
%%%%%
\begin{rawslide}
\begin{block}{توجه}
 تفسیر هندسی قسمت ج قضیه \lr{Rayleigh}، اینست که مقادیر $\lambda_{\max}$ و $\lambda_{\min}$، بترتیب مقادیر ماکسیمم و مینیمم تابع پیوسته و حقیقی $f(x)=x^*Ax$،  روی  کره\hspace*{0.01cm}ی واحد (فشرده) در $\mathbb{C}^n$ قرار دارند. 
\end{block}
\end{rawslide}
\begin{page}
\begin{block}{توجه}
 تفسیر هندسی قسمت ج قضیه \lr{Rayleigh}، اینست که مقادیر $\lambda_{\max}$ و $\lambda_{\min}$، بترتیب مقادیر ماکسیمم و مینیمم تابع پیوسته و حقیقی $f(x)=x^*Ax$،  روی  کره\hspace*{0.01cm}ی واحد (فشرده) در $\mathbb{C}^n$ قرار دارند. 
\[{\color{red}\lambda_{\max}=\max_{x\ne 0}\frac{x^*Ax}{x^*x}},{\color{blue}\lambda_{\min}=\min_{x\ne 0}\frac{x^*Ax}{x^*x}}\]
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{توجه}
\[\max_{{\color{orange}\{x:x\neq 0 ,\Vert x\Vert_2 =1\}}}x^*Ax=\max_{{\color{magenta}\{x:x\neq 0\}}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\]
 تفسیر هندسی قسمت ج قضیه \lr{Rayleigh}، اینست که مقادیر $\lambda_{\max}$ و $\lambda_{\min}$، بترتیب مقادیر ماکسیمم و مینیمم تابع پیوسته و حقیقی $f(x)=x^*Ax$،  روی  کره\hspace*{0.01cm}ی واحد (فشرده) در $\mathbb{C}^n$ قرار دارند. 
\[{\color{red}\lambda_{\max}=\max_{x\ne 0}\frac{x^*Ax}{x^*x}},{\color{blue}\lambda_{\min}=\min_{x\ne 0}\frac{x^*Ax}{x^*x}}\]
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{توجه}
\[\max_{{\color{orange}\{x:x\neq 0 ,\Vert x\Vert_2 =1\}}}x^*Ax=\max_{{\color{magenta}\{x:x\neq 0\}}}\frac{x^*Ax}{x^*x},\qquad x\in \mathbb{C}^n\]
 تفسیر هندسی قسمت ج قضیه \lr{Rayleigh}، اینست که مقادیر $\lambda_{\max}$ و $\lambda_{\min}$، بترتیب مقادیر ماکسیمم و مینیمم تابع پیوسته و حقیقی $f(x)=x^*Ax$،  روی  کره\hspace*{0.01cm}ی واحد (فشرده) در $\mathbb{C}^n$ قرار دارند. 
\[{\color{red}\lambda_{\max}=\max_{x\ne 0}\frac{x^*Ax}{x^*x}},{\color{blue}\lambda_{\min}=\min_{x\ne 0}\frac{x^*Ax}{x^*x}}\]
\end{block}
\end{page}
%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%
\begin{plainslide}
\begin{mylem}{}
فرض کنیم $S_1$، $\ldots$، $S_k$ زیرفضاهایی از $\mathbb{C}^n$  باشند. اگر 
\begin{equation*}
{\color{blue}\delta} = \dim S_1+\ldots + \dim S_k-(k-1)n\geq 1
\end{equation*}
\end{mylem}
\end{plainslide}
\begin{page}
\begin{mylem}{}
فرض کنیم $S_1$، $\ldots$، $S_k$ زیرفضاهایی از $\mathbb{C}^n$  باشند. اگر 
\begin{equation*}
{\color{blue}\delta} = \dim S_1+\ldots + \dim S_k-(k-1)n\geq 1
\end{equation*}
 آنگاه 
\[\dim (S_1\cap \ldots \cap S_{k})\geq {\color{red} \delta}\]
\end{mylem}
\end{page}
\begin{page}
\begin{mylem}{}
فرض کنیم $S_1$، $\ldots$، $S_k$ زیرفضاهایی از $\mathbb{C}^n$  باشند. اگر 
\begin{equation*}
{\color{blue}\delta} = \dim S_1+\ldots + \dim S_{\color{orange}k}-({\color{orange}k}-1)n\geq 1
\end{equation*}
 آنگاه 
\[\dim (S_1\cap \ldots \cap S_{k})\geq {\color{red} \delta}\]
\end{mylem}
\end{page}
\begin{page}
\begin{mylem}{}
فرض کنیم $S_1$، $\ldots$، $S_k$ زیرفضاهایی از $\mathbb{C}^n$  باشند. اگر 
\begin{equation*}
{\color{blue}\delta} =\dim S_1+\ldots + \dim S_{\color{orange}k}-({\color{orange}k}-1){\color{brown}\underbrace{\dim V}_{n}}\geq 1
\end{equation*}
 آنگاه 
\[\dim (S_1\cap \ldots \cap S_{k})\geq {\color{red} \delta}\]
\end{mylem}
\end{page}
\begin{page}
\begin{mylem}{}
فرض کنیم $S_1$، $\ldots$، $S_k$ زیرفضاهایی از ${\color{brown}\mathbb{C}^n}$  باشند. اگر 
\begin{equation*}
{\color{blue}\delta} =\dim S_1+\ldots + \dim S_{\color{orange}k}-({\color{orange}k}-1){\color{brown}\underbrace{\dim V}_{n}}\geq 1,\qquad {\color{brown}V=\mathbb{C}^n}
\end{equation*}
 آنگاه 
\[\dim (S_1\cap \ldots \cap S_{k})\geq {\color{red} \delta}\]
\end{mylem}
\end{page}
\begin{rawslide}
\begin{block}{اثبات}

برای $k=2$ از لم تقاطع دو زیرفضا، یعنی
\end{block}
\end{rawslide}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}

برای $k=2$ از لم تقاطع دو زیرفضا، یعنی
 \begin{align*}
\dim (S_1\cap  S_{2})=&\dim S_1+\dim S_{2} -\dim (S_1+ S_{2})\\
%\geq & \dim S_1 + \dim S_{2}-\underbrace{\dim V}_{=n}=\delta
\end{align*}
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}

برای $k=2$ از لم تقاطع دو زیرفضا، یعنی
 \begin{align*}
\dim (S_1\cap   S_{2})=&\dim S_1+\dim S_{2} -{\color{blue}\dim (S_1+ S_{2})}\\
{\color{blue}\geq} & \dim S_1 + \dim S_{2}-{\color{blue}\underbrace{\dim V}_{=n}}=\delta ,\quad {\color{red}S_1\cup S_2 \subseteq V}
\end{align*}
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
\begin{align*}
\dim (S_1\cap \ldots \cap S_{k})=&\dim \big( (S_1\cap \ldots \cap S_{k-1})\cap S_{k}\big)
\end{align*}
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
{\small
\begin{align*}
\dim (S_1\cap \ldots \cap S_{k})=&\dim \big( {\color{blue}(S_1\cap \ldots \cap S_{k-1})}\cap {\color{red}S_{k}}\big)\\=&\dim (S_1\cap \ldots \cap S_{k-1})+\dim S_{k} -\dim \big((S_1\cap \ldots \cap S_{k-1})+ S_{k}\big)
\end{align*}}
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
\begin{align*}
\dim (S_1\cap \ldots \cap S_{k})=&\dim \big( (S_1\cap \ldots \cap S_{k-1})\cap S_{k}\big)\\=&\dim (S_1\cap \ldots \cap S_{k-1})+\dim S_{k} -\dim \big({\color{blue}(S_1\cap \ldots \cap S_{k-1})+ S_{k}}\big)\\
\geq & \dim (S_1\cap \ldots \cap S_{k-1})+\dim S_{k}-\dim {\color{red}V}\\
\end{align*}
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
\begin{align*}
\dim (S_1\cap \ldots \cap S_{k})=&\dim \big( (S_1\cap \ldots \cap S_{k-1})\cap S_{k}\big)\\=&\dim (S_1\cap \ldots \cap S_{k-1})+\dim S_{k} -\dim \big((S_1\cap \ldots \cap S_{k-1})+ S_{k}\big)\\
\geq & \dim (S_1\cap \ldots \cap S_{k-1})+\dim S_{k}-\dim V\\
\geq &\dim (S_1\cap \ldots \cap S_{k-2})+\dim S_{k-1}+\dim S_{k}-2\dim V
\end{align*}
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
\begin{align*}
\dim (S_1\cap \ldots \cap S_{k})=&\dim \big( (S_1\cap \ldots \cap S_{k-1})\cap S_{k}\big)\\=&\dim (S_1\cap \ldots \cap S_{k-1})+\dim S_{k} -\dim \big((S_1\cap \ldots \cap S_{k-1})+ S_{k}\big)\\
\geq & \dim (S_1\cap \ldots \cap S_{k-1})+\dim S_{k}-\dim V\\
\geq &\dim (S_1\cap \ldots \cap S_{k-2})+\dim S_{k-1}+\dim S_{k}-2\dim V\\\vdots\\
\geq & \dim S_1+\ldots + \dim S_{k}-(k-1)\underbrace{\dim V}_{=n}=\delta
\end{align*}
\end{block}
\end{page}
\begin{rawslide}
\begin{myghazye}{}
فرض کنیم $S_1$، $\ldots$، $S_k$ زیرفضاهایی از $\mathbb{C}^n$  باشند. اگر 
\begin{equation*}
\delta = \dim S_1+\ldots + \dim S_k-(k-1)n\geq 1\tag{3}
\end{equation*}
\end{myghazye}
\end{rawslide}
\begin{page}
\begin{myghazye}{}
فرض کنیم $S_1$، $\ldots$، $S_k$ زیرفضاهایی از $\mathbb{C}^n$  باشند. اگر 
\begin{equation*}
\delta = \dim S_1+\ldots + \dim S_k-(k-1)n\geq 1\tag{3}
\end{equation*}
 آنگاه بردارهای متعامد $x_1,\ldots ,x_{\delta}\in S_1\cap \ldots \cap S_k$.  
\end{myghazye}
\end{page}
\begin{page}
\begin{myghazye}{}
فرض کنیم $S_1$، $\ldots$، $S_k$ زیرفضاهایی از $\mathbb{C}^n$  باشند. اگر 
\begin{equation*}
\delta = \dim S_1+\ldots + \dim S_k-(k-1)n\geq 1\tag{3}
\end{equation*}
 آنگاه بردارهای متعامد $x_1,\ldots ,x_{\delta}\in S_1\cap \ldots \cap S_k$.  بویژه $S_1\cap \ldots \cap S_k$ شامل برداری یکه است.
\end{myghazye}
\end{page}
\begin{rawslide}
\begin{block}{اثبات}
\begin{equation*}
\delta = \dim S_1+\ldots + \dim S_k-(k-1)n\geq 1\tag{3}
\end{equation*}
لم فوق  و  رابطه  (\ref{E4}) ایجاب می\hspace*{0.01cm}کنند که زیرفضای   $S_1\cap \ldots \cap S_{k}$  شامل یک مجموعه مستقل خطی با $\delta$ عضو می\hspace*{0.01cm}باشد که با متعامد سازی آن، حکم حاصل می\hspace*{0.01cm}شود. 
\end{block}
\end{rawslide}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
\begin{equation}\label{E4}
\delta = \dim S_1+\ldots + \dim S_k-(k-1)n\geq 1
\end{equation}
لم فوق  و  رابطه  (\ref{E4}) ایجاب می\hspace*{0.01cm}کنند که زیرفضای   $S_1\cap \ldots \cap S_{k}$  شامل یک مجموعه مستقل خطی با $\delta$ عضو می\hspace*{0.01cm}باشد که با متعامد سازی آن، حکم حاصل می\hspace*{0.01cm}شود. 
\end{block}
\begin{mylem}{}
فرض کنیم $S_1$، $\ldots$، $S_k$ زیرفضاهایی از $\mathbb{C}^n$  باشند. اگر 
\begin{equation*}
\delta =\dim S_1+\ldots + \dim S_{k}-(k-1)\underbrace{\dim V}_{n}\geq 1,\qquad V=\mathbb{C}^n
\end{equation*}
 آنگاه 
\[\dim (S_1\cap \ldots \cap S_{k})\geq {\color{red} \delta}\]
\end{mylem}
\end{page}
\begin{plainslide}
\begin{mylem}{}
فرض کنید $f$  تابعی کراندار حقیقی روی مجموعه $S$ باشد و $S_1$ و $S_2$ دو مجموعه غیر تهی باشند بطوریکه $S_1\subset S_2 \subset S$. 
\end{mylem}
\end{plainslide}
\begin{page}
\begin{mylem}{}
فرض کنید $f$  تابعی کراندار حقیقی روی مجموعه $S$ باشد و $S_1$ و $S_2$ دو مجموعه غیر تهی باشند بطوریکه $S_1\subset {\color{blue}S_2} \subset S$. دراینصورت 
\[\inf_{x\in S_2}f(x)\]
\end{mylem}
\end{page}
\begin{page}
\begin{mylem}{}
فرض کنید $f$  تابعی کراندار حقیقی روی مجموعه $S$ باشد و $S_1$ و $S_2$ دو مجموعه غیر تهی باشند بطوریکه ${\color{blue}S_1}\subset S_2 \subset S$. دراینصورت 
\[\inf_{x\in S_2}f(x)\leq \inf_{x\in S_1}f(x)\]
\end{mylem}
\end{page}
\begin{page}
\begin{mylem}{}
فرض کنید $f$  تابعی کراندار حقیقی روی مجموعه $S$ باشد و $S_1$ و $S_2$ دو مجموعه غیر تهی باشند بطوریکه ${\color{blue}S_1}\subset S_2 \subset S$. دراینصورت 
\[\inf_{x\in S_2}f(x)\leq {\color{red}\inf}_{x\in S_1}f(x)\leq {\color{red}\sup}_{x\in S_1}f(x)\]
\end{mylem}
\end{page}
\begin{page}
\begin{mylem}{}
فرض کنید $f$  تابعی کراندار حقیقی روی مجموعه $S$ باشد و $S_1$ و $S_2$ دو مجموعه غیر تهی باشند بطوریکه $S_1\subset {\color{blue}S_2} \subset S$. دراینصورت 
\[\inf_{x\in S_2}f(x)\leq \inf_{x\in S_1}f(x)\leq \sup_{x\in S_1}f(x)\leq \sup_{x\in S_2}f(x)\]
\end{mylem}
\end{page}
\begin{plainslide}
\begin{block}{حکم}
فرض کنید $A\in M_n$ هرمیتی باشد و $\lambda_1(A)\leq \ldots \leq \lambda_n(A)$ مقادیر ویژه مرتب شده $A$ باشند. 
\end{block}
\end{plainslide}
\begin{page}
\begin{block}{حکم}
فرض کنید $A\in M_n$ هرمیتی باشد و $\lambda_1(A)\leq \ldots \leq \lambda_n(A)$ مقادیر ویژه مرتب شده $A$ باشند. دراینصورت مقادیر ویژه مرتب شده $-A$ بصورت $-\lambda_n(A)\leq \ldots \leq -\lambda_1(A)$ می\hspace*{0.01cm}باشد؛
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{حکم}
فرض کنید $A\in M_n$ هرمیتی باشد و $\lambda_1(A)\leq \ldots \leq \lambda_n(A)$ مقادیر ویژه مرتب شده $A$ باشند. دراینصورت مقادیر ویژه مرتب شده $-A$ بصورت $-\lambda_n(A)\leq \ldots \leq -\lambda_1(A)$ می\hspace*{0.01cm}باشد؛ یعنی ${\color{red}\lambda_{k}(-A)=- \lambda_{n-k+1}(A)}$ برای $1\leq k\leq n$.
\end{block}
\end{page}
\begin{plainslide}
\begin{block}{حکم}
فرض کنید $A\in M_n$ هرمیتی باشد و $\lambda_1(A)\leq \ldots \leq \lambda_n(A)$ مقادیر ویژه مرتب شده $A$ باشند. دراینصورت مقادیر ویژه مرتب شده $-A$ بصورت $-\lambda_n(A)\leq \ldots \leq -\lambda_1(A)$ می\hspace*{0.01cm}باشد؛ یعنی $\lambda_{k}(-A)=- \lambda_{n-k+1}(A)$ برای $1\leq k\leq n$.
\end{block}
\begin{block}{اثبات}
از برقراری رابطه $A=A^*$ داریم $(-A)^*=-A^*=-A$. 
\end{block}
\end{plainslide}
\begin{page}
\begin{block}{حکم}
فرض کنید $A\in M_n$ هرمیتی باشد و $\lambda_1(A)\leq \ldots \leq \lambda_n(A)$ مقادیر ویژه مرتب شده $A$ باشند. دراینصورت مقادیر ویژه مرتب شده $-A$ بصورت $-\lambda_n(A)\leq \ldots \leq -\lambda_1(A)$ می\hspace*{0.01cm}باشد؛ یعنی $\lambda_{k}(-A)=- \lambda_{n-k+1}(A)$ برای $1\leq k\leq n$.
\end{block}
\begin{block}{اثبات}
از برقراری رابطه $A=A^*$ داریم $(-A)^*=-A^*=-A$. بنابراین اگر $\lambda$ مقدار ویژه $A$ باشد، 
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{حکم}
فرض کنید $A\in M_n$ هرمیتی باشد و $\lambda_1(A)\leq \ldots \leq \lambda_n(A)$ مقادیر ویژه مرتب شده $A$ باشند. دراینصورت مقادیر ویژه مرتب شده $-A$ بصورت $-\lambda_n(A)\leq \ldots \leq -\lambda_1(A)$ می\hspace*{0.01cm}باشد؛ یعنی $\lambda_{k}(-A)=- \lambda_{n-k+1}(A)$ برای $1\leq k\leq n$.
\end{block}
\begin{block}{اثبات}
از برقراری رابطه $A=A^*$ داریم $(-A)^*=-A^*=-A$. بنابراین اگر $\lambda$ مقدار ویژه $A$ باشد، آنگاه $-\lambda$ مقدار ویژه $-A$ خواهد بود. 
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{حکم}
فرض کنید $A\in M_n$ هرمیتی باشد و $\lambda_1(A)\leq \ldots \leq \lambda_n(A)$ مقادیر ویژه مرتب شده $A$ باشند. دراینصورت مقادیر ویژه مرتب شده $-A$ بصورت $-\lambda_n(A)\leq \ldots \leq -\lambda_1(A)$ می\hspace*{0.01cm}باشد؛ یعنی $\lambda_{k}(-A)=- \lambda_{n-k+1}(A)$ برای $1\leq k\leq n$.
\end{block}
\begin{block}{اثبات}
از برقراری رابطه $A=A^*$ داریم $(-A)^*=-A^*=-A$. بنابراین اگر $\lambda$ مقدار ویژه $A$ باشد، آنگاه $-\lambda$ مقدار ویژه $-A$ خواهد بود. زیرا
\[Ax=\lambda x,\quad x\ne 0 \]  
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{حکم}
فرض کنید $A\in M_n$ هرمیتی باشد و $\lambda_1(A)\leq \ldots \leq \lambda_n(A)$ مقادیر ویژه مرتب شده $A$ باشند. دراینصورت مقادیر ویژه مرتب شده $-A$ بصورت $-\lambda_n(A)\leq \ldots \leq -\lambda_1(A)$ می\hspace*{0.01cm}باشد؛ یعنی $\lambda_{k}(-A)=- \lambda_{n-k+1}(A)$ برای $1\leq k\leq n$.
\end{block}
\begin{block}{اثبات}
از برقراری رابطه $A=A^*$ داریم $(-A)^*=-A^*=-A$. بنابراین اگر $\lambda$ مقدار ویژه $A$ باشد، آنگاه $-\lambda$ مقدار ویژه $-A$ خواهد بود. زیرا
\[Ax=\lambda x,\quad x\ne 0 \Longleftrightarrow -Ax=-\lambda x,\quad x\ne 0\]  
\end{block}
\end{page}
\begin{rawslide}
\begin{myghazye}{\lr{Courant-Fischer}}

فرض کنید $A\in M_n$ هرمیتی باشد و $\lambda_1(A)\leq \ldots \leq \lambda_n(A)$ مقادیر ویژه مرتب شده با مرتبه جبری $A$ باشند. همچنین فرض کنیم $k\in \{1,\ldots ,n\}$ و $S$ زیرفضایی از $\mathbb{C}^n$ باشد. دراینصورت 
\[\lambda_k =\min_{\tiny{{\color{red}\{S:\dim S=k\}}}}\max_{\tiny{\{x:0\ne x\in S\}}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\]
\end{myghazye}
\end{rawslide}
\begin{page}
\begin{myghazye}{\lr{Courant-Fischer}}

فرض کنید $A\in M_n$ هرمیتی باشد و $\lambda_1(A)\leq \ldots \leq \lambda_n(A)$ مقادیر ویژه مرتب شده با مرتبه جبری $A$ باشند. همچنین فرض کنیم $k\in \{1,\ldots ,n\}$ و $S$ زیرفضایی از $\mathbb{C}^n$ باشد. دراینصورت 
\[\lambda_k =\min_{\tiny{{\color{blue}\{S:\dim S=k\}}}}\max_{\tiny{\{x:0\ne x\in S\}}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\]
و
\[\lambda_k =\max_{\tiny{\color{red}\{S:\dim S=n-k+1\}}}\min_{1\tiny{\{x:0\ne x\in S\}}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\]
\end{myghazye}
\end{page}
\begin{rawslide}
\begin{block}{اثبات}

فرض کنید $x_1,\ldots ,x_n\in \mathbb{C}^n$ بردارهایی متعامد باشند 
\end{block}
\end{rawslide}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}

فرض کنید $x_1,\ldots ,x_n\in \mathbb{C}^n$ بردارهایی متعامد باشند بطوریکه $Ax_i=\lambda_i x_i$ برای هر $1\leq i\leq n$. 
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}

فرض کنید $x_1,\ldots ,x_n\in \mathbb{C}^n$ بردارهایی متعامد باشند بطوریکه $Ax_i=\lambda_i x_i$ برای هر $1\leq i\leq n$. اگر $S$ یک زیرفضا $k$ بعدی $\mathbb{C}^n$  باشند. قرار می\hspace*{0.01cm}دهیم $S'=\text{\lr{span}}\{x_k,\ldots ,x_n\}$.
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}

فرض کنید $x_1,\ldots ,x_n\in \mathbb{C}^n$ بردارهایی متعامد باشند بطوریکه $Ax_i=\lambda_i x_i$ برای هر $1\leq i\leq n$. اگر $S$ یک زیرفضا $k$ بعدی $\mathbb{C}^n$  باشند. قرار می\hspace*{0.01cm}دهیم $S'=\text{\lr{span}}\{{\color{blue}x_k,\ldots ,x_n}\}$. بنابراین 
\[\dim S+\dim S' =k+({\color{blue}n-k+1})=n+1 \]
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}

فرض کنید $x_1,\ldots ,x_n\in \mathbb{C}^n$ بردارهایی متعامد باشند بطوریکه $Ax_i=\lambda_i x_i$ برای هر $1\leq i\leq n$. اگر $S$ یک زیرفضا $k$ بعدی $\mathbb{C}^n$  باشند. قرار می\hspace*{0.01cm}دهیم $S'=\text{\lr{span}}\{{\color{blue}x_k,\ldots ,x_n}\}$. بنابراین 
\[\dim S+\dim S' =k+({\color{blue}n-k+1})=n+1 \]
لذا ${\color{red}\{x:0\ne x\in S\cap S'\}\ne \emptyset}$.
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
فرض کنید $x_1,\ldots ,x_n\in \mathbb{C}^n$ بردارهایی متعامد باشند بطوریکه $Ax_i=\lambda_i x_i$ برای هر $1\leq i\leq n$. اگر $S$ یک زیرفضا $k$ بعدی $\mathbb{C}^n$  باشند. قرار می\hspace*{0.01cm}دهیم $S'=\text{\lr{span}}\{x_k,\ldots ,x_n\}$. بنابراین 
\[\dim S+\dim S' =k+(n-k+1)=n+1 \]
لذا $\{x:0\ne x\in S\cap S'\}\ne \emptyset$ و بنابر لم  مذکور، خواهیم داشت
 \begin{align*}
 \sup_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\geq & \sup_{\{ x:0\ne x\in S\cap S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\geq \inf_{\{ x:0\ne x\in S\cap S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\\
 \geq & \inf_{\{ x:0\ne x\in S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\min_{\{ x:0\ne x\in S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\lambda_k
 \end{align*}
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
فرض کنید $x_1,\ldots ,x_n\in \mathbb{C}^n$ بردارهایی متعامد باشند بطوریکه $Ax_i=\lambda_i x_i$ برای هر $1\leq i\leq n$. اگر $S$ یک زیرفضا $k$ بعدی $\mathbb{C}^n$  باشند. قرار می\hspace*{0.01cm}دهیم $S'=\text{\lr{span}}\{x_k,\ldots ,x_n\}$. بنابراین 
\[\dim S+\dim S' =k+(n-k+1)=n+1 \]
لذا $\{x:0\ne x\in S\cap S'\}\ne \emptyset$ و بنابر لم  مذکور، خواهیم داشت
 \begin{align*}
 \sup_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\geq & \sup_{\{ x:0\ne x\in S\cap S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\geq \inf_{\{ x:0\ne x\in S\cap S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\\
 \geq & \inf_{\{ x:0\ne x\in S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\min_{\{ x:0\ne x\in S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\lambda_k
 \end{align*}
\end{block}
%\begin{block}
\begin{equation*}
{\color{magenta}\inf_{x\in S_2}f(x)\leq \inf_{x\in S_1}f(x)\leq \sup_{x\in S_1}f(x)\leq \sup_{x\in S_2}f(x)}
\end{equation*}
%\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
 \begin{align*}
 \sup_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\geq & \sup_{\{ x:0\ne x\in S\cap S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\geq \inf_{\{ x:0\ne x\in S\cap S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\\
 \geq & \inf_{\{ x:0\ne x\in S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\min_{\{ x:0\ne x\in S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\lambda_k
 \end{align*}
 بنابراین 
 \begin{equation*}
 \inf_{\{ S:\dim S=k\}}\sup_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\geq \lambda_k \tag{4}
 \end{equation*}
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
 \begin{align*}
 \sup_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\geq & \sup_{\{ x:0\ne x\in S\cap S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\geq \inf_{\{ x:0\ne x\in S\cap S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\\
 \geq & \inf_{\{ x:0\ne x\in S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\min_{\{ x:0\ne x\in S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\lambda_k
 \end{align*}
 بنابراین 
 \begin{equation*}
 \inf_{\{ S:\dim S=k\}}\sup_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\geq \lambda_k \tag{4}
 \end{equation*}
 اما چون $x_k\in S$ و  ${\color{magenta}\frac{x_{k}^*Ax_k}{x_{k}^*x_{k}}=\lambda_{k}}$، 
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
 \begin{align*}
 \sup_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\geq & \sup_{\{ x:0\ne x\in S\cap S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\geq \inf_{\{ x:0\ne x\in S\cap S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\\
 \geq & \inf_{\{ x:0\ne x\in S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\min_{\{ x:0\ne x\in S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\lambda_k
 \end{align*}
 بنابراین 
 \begin{equation*}
 \inf_{\{ S:\dim S=k\}}\sup_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}{\color{red}\geq} \lambda_k \tag{4}
 \end{equation*}
 اما چون $x_k\in S$ و  $\frac{x_{k}^*Ax_k}{x_{k}^*x_{k}}=\lambda_{k}$، لذا باید  نامساوی (\ref{E5})، تساوی برقرار باشد 
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
 \begin{align*}
 \sup_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\geq & \sup_{\{ x:0\ne x\in S\cap S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\geq \inf_{\{ x:0\ne x\in S\cap S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\\
 \geq & \inf_{\{ x:0\ne x\in S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\min_{\{ x:0\ne x\in S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\lambda_k
 \end{align*}
 بنابراین 
 \begin{equation*}
 \inf_{\{ S:\dim S=k\}}\sup_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\geq \lambda_k \tag{4}
 \end{equation*}
 اما چون $x_k\in S$ و  $\frac{x_{k}^*Ax_k}{x_{k}^*x_{k}}=\lambda_{k}$، لذا باید  نامساوی (\ref{E5})، تساوی برقرار باشد و
 \[{\inf_{\{ S:\dim S=k\}}}{\color{red}\sup_{\{ x:0\ne x\in S\}}}\frac{x^*Ax}{x^*x}={\min_{\{ S:\dim S=k\}}}{\color{red}\max_{\{ x:0\ne x\in S\}}}\frac{x^*Ax}{x^*x}= \lambda_k\] 
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
 \begin{align*}
 \sup_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\geq & \sup_{\{ x:0\ne x\in S\cap S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\geq \inf_{\{ x:0\ne x\in S\cap S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\\
 \geq & \inf_{\{ x:0\ne x\in S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\min_{\{ x:0\ne x\in S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\lambda_k
 \end{align*}
 بنابراین 
 \begin{equation*}
 \inf_{\{ S:\dim S=k\}}\sup_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\geq \lambda_k\tag{4}
 \end{equation*}
 اما چون $x_k\in S$ و  $\frac{x_{k}^*Ax_k}{x_{k}^*x_{k}}=\lambda_{k}$، لذا باید  نامساوی (\ref{E5})، تساوی برقرار باشد و
 \[{\color{blue}\inf_{\{ S:\dim S=k\}}}{\sup_{\{ x:0\ne x\in S\}}}\frac{x^*Ax}{x^*x}={\color{blue}\min_{\{ S:\dim S=k\}}}{\max_{\{ x:0\ne x\in S\}}}\frac{x^*Ax}{x^*x}= \lambda_k\] 
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
 \begin{align*}
 \sup_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\geq & \sup_{\{ x:0\ne x\in S\cap S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\geq \inf_{\{ x:0\ne x\in S\cap S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\\
 \geq & \inf_{\{ x:0\ne x\in S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\min_{\{ x:0\ne x\in S'\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\lambda_k
 \end{align*}
 بنابراین 
 \begin{equation}\label{E5}
 \inf_{\{ S:\dim S=k\}}\sup_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\geq \lambda_k
 \end{equation}
 اما چون $x_k\in S$ و  $\frac{x_{k}^*Ax_k}{x_{k}^*x_{k}}=\lambda_{k}$، لذا باید  نامساوی (\ref{E5})، تساوی برقرار باشد و
 \[{\color{blue}\inf_{\{ S:\dim S=k\}}}{\color{red}\sup_{\{ x:0\ne x\in S\}}}\frac{x^*Ax}{x^*x}={\color{blue}\min_{\{ S:\dim S=k\}}}{\color{red}\max_{\{ x:0\ne x\in S\}}}\frac{x^*Ax}{x^*x}= \lambda_k\] 
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\[{\color{red}\lambda_{k}(-A)=- \lambda_{n-k+1}(A)}\]
\begin{block}{اثبات}
 \[\min_{\{ S:\dim S=k\}}\max_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}= \lambda_k\] 
همچنین با توجه به حکم بیان شده، داریم
 \begin{align*}
 -\lambda_k &=\min_{\{ S:\dim S=n-k+1\}}\max_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*(-A)x}{x^*x}
 \end{align*}
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\[{\color{red}\lambda_{k}(-A)=- \lambda_{n-k+1}(A)}\]
\begin{block}{اثبات}
 \[\min_{\{ S:{\color{blue}\dim S=k}\}}\max_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}= \lambda_k\] 
همچنین با توجه به حکم بیان شده، داریم
 \begin{align*}
 -\lambda_k &=\min_{\{ S:{\color{blue}\dim S=n-k+1}\}}\max_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*(-A)x}{x^*x}
 \end{align*}
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
 \[\inf_{\{ S:\dim S=k\}}\sup_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\min_{\{ S:\dim S=k\}}\max_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}= \lambda_k\] 
همچنین با توجه به حکم بیان شده، داریم
 \begin{align*}
 -\lambda_k &=\min_{\{ S:\dim S=n-k+1\}}\max_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*(-A)x}{x^*x}\\&=
 \min_{\{ S:\dim S=n-k+1\}}\max_{\{ x:0\ne x\in S\}}\Big(-\frac{x^*Ax}{x^*x}\Big)\\
 \end{align*}
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
 \[\inf_{\{ S:\dim S=k\}}\sup_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\min_{\{ S:\dim S=k\}}\max_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}= \lambda_k\] 
همچنین با توجه به حکم بیان شده، داریم
 \begin{align*}
 -\lambda_k &=\min_{\{ S:\dim S=n-k+1\}}\max_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*(-A)x}{x^*x}\\&=
 \min_{\{ S:\dim S=n-k+1\}}{\color{blue}\max_{\{ x:0\ne x\in S\}}}\Big(-\frac{x^*Ax}{x^*x}\Big)\\
 &= \min_{\{ S:\dim S=n-k+1\}}\Big({\color{red}-}{\color{blue}\min_{\{ x:0\ne x\in S\}}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\Big)
 \end{align*} 
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
 \[\inf_{\{ S:\dim S=k\}}\sup_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\min_{\{ S:\dim S=k\}}\max_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}= \lambda_k\] 
همچنین با توجه به حکم بیان شده، داریم
 \begin{align*}
 -\lambda_k &=\min_{\{ S:\dim S=n-k+1\}}\max_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*(-A)x}{x^*x}\\&=
 \min_{\{ S:\dim S=n-k+1\}}\max_{\{ x:0\ne x\in S\}}\Big(-\frac{x^*Ax}{x^*x}\Big)\\
 &= {\color{blue}\min_{\{ S:\dim S=n-k+1\}}}\Big(-\min_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\Big)\\
 &= {\color{red}-}\Big({\color{blue}\max_{\{ S:\dim S=n-k+1\}}}\min_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\Big)\\
 \end{align*} 
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
 \[\inf_{\{ S:\dim S=k\}}\sup_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}=\min_{\{ S:\dim S=k\}}\max_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}= \lambda_k\] 
همچنین با توجه به حکم بیان شده، داریم
 \begin{align*}
 -\lambda_k &=\min_{\{ S:\dim S=n-k+1\}}\max_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*(-A)x}{x^*x}\\&=
 \min_{\{ S:\dim S=n-k+1\}}\max_{\{ x:0\ne x\in S\}}\Big(-\frac{x^*Ax}{x^*x}\Big)\\
 &= \min_{\{ S:\dim S=n-k+1\}}\Big(-\min_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\Big)\\
 &= -\Big(\max_{\{ S:\dim S=n-k+1\}}\min_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}\Big)\\
 \end{align*} 
 
 لذا
  \begin{align*}
{\color{magenta}\lambda_k=\max_{\{ S:\dim S=n-k+1\}}\min_{\{ x:0\ne x\in S\}}\frac{x^*Ax}{x^*x}}
 \end{align*} 
\end{block}
\end{page}
\begin{plainslide}
\begin{block}{توجه}
 اگر یک کران برای  $x^*Ax$ وجود داشته باشد، آنگاه می\hspace*{0.01cm}توان در مورد محدوده مقادیر ویژه ماتریس هرمیتی $A$ اظهار نظر کرد.
\end{block}
\end{plainslide}
\begin{rawslide}
\begin{myghazye}{}
فرض کنید $A\in M_n$ هرمیتی باشد و $\lambda_1(A)\leq \ldots \leq \lambda_n(A)$ مقادیر ویژه مرتب شده $A$ باشند.  
\end{myghazye}
\end{rawslide}
\begin{page}
\begin{myghazye}{}
فرض کنید $A\in M_n$ هرمیتی باشد و $\lambda_1(A)\leq \ldots \leq \lambda_n(A)$ مقادیر ویژه مرتب شده $A$ باشند.   همچنین فرض کنیم $k\in \{1,\ldots ,n\}$ و $S$ زیرفضایی از $\mathbb{C}^n$ باشد و $c\in \mathbb{R}$. 
\end{myghazye}
\end{page}
\begin{page}
\begin{myghazye}{}
فرض کنید $A\in M_n$ هرمیتی باشد و $\lambda_1(A)\leq \ldots \leq \lambda_n(A)$ مقادیر ویژه مرتب شده $A$ باشند.   همچنین فرض کنیم $k\in \{1,\ldots ,n\}$ و $S$ زیرفضایی از $\mathbb{C}^n$ باشد و $c\in \mathbb{R}$. دراینصورت 
\begin{itemize}
\item[الف:] اگر $x^*Ax\geq c$   برای هر بردار یکه $x\in S$، آنگاه $\lambda_{n-k+1}(A)\geq c$.
\end{itemize}
\end{myghazye}
\end{page}
\begin{page}
\begin{myghazye}{}
فرض کنید $A\in M_n$ هرمیتی باشد و $\lambda_1(A)\leq \ldots \leq \lambda_n(A)$ مقادیر ویژه مرتب شده $A$ باشند.   همچنین فرض کنیم $k\in \{1,\ldots ,n\}$ و $S$ زیرفضایی از $\mathbb{C}^n$ باشد و $c\in \mathbb{R}$. دراینصورت 
\begin{itemize}
\item[الف:] اگر $x^*Ax\geq c$ (${\color{red}x^*Ax>c}$)  برای هر بردار یکه $x\in S$، آنگاه $\lambda_{n-k+1}(A)\geq c$  (${\color{red}\lambda_{n-k+1}>c}$).
\end{itemize}
\end{myghazye}
\end{page}
 \begin{page}
\begin{myghazye}{}
فرض کنید $A\in M_n$ هرمیتی باشد و $\lambda_1(A)\leq \ldots \leq \lambda_n(A)$ مقادیر ویژه مرتب شده $A$ باشند.   همچنین فرض کنیم $k\in \{1,\ldots ,n\}$ و $S$ زیرفضایی از $\mathbb{C}^n$ باشد و $c\in \mathbb{R}$. دراینصورت 
\begin{itemize}
\item[الف:] اگر $x^*Ax\geq c$ (${\color{red}x^*Ax>c}$)  برای هر بردار یکه $x\in S$، آنگاه $\lambda_{n-k+1}(A)\geq c$  (${\color{red}\lambda_{n-k+1}>c}$).
\item[ب: ] اگر $x^*Ax\leq c$   برای هر بردار یکه $x\in S$، آنگاه $\lambda_{k}(A)\leq c$.
\end{itemize}
\end{myghazye}
\end{page}
 \begin{page}
\begin{myghazye}{}
فرض کنید $A\in M_n$ هرمیتی باشد و $\lambda_1(A)\leq \ldots \leq \lambda_n(A)$ مقادیر ویژه مرتب شده $A$ باشند.   همچنین فرض کنیم $k\in \{1,\ldots ,n\}$ و $S$ زیرفضایی از $\mathbb{C}^n$ باشد و $c\in \mathbb{R}$. دراینصورت 
\begin{itemize}
\item[الف:] اگر $x^*Ax\geq c$ (${\color{red}x^*Ax>c}$)  برای هر بردار یکه $x\in S$، آنگاه $\lambda_{n-k+1}(A)\geq c$  (${\color{red}\lambda_{n-k+1}>c}$).
\item[ب: ] اگر $x^*Ax\leq c$ (${\color{blue}x^*Ax<c}$)  برای هر بردار یکه $x\in S$، آنگاه $\lambda_{k}(A)\leq c$  (${\color{blue}\lambda_{k}<c}$).
\end{itemize}
\end{myghazye}
\end{page}
\begin{rawslide}
\begin{block}{اثبات}
فرض کنید $x_1,\ldots ,x_n\in \mathbb{C}^n$ بردارهایی متعامد باشند بطوریکه $Ax_i=\lambda_i x_i$ برای هر $1\leq i\leq n$. اگر $S$ یک زیرفضا $k$ بعدی $\mathbb{C}^n$  باشند. قرار می\hspace*{0.01cm}دهیم $S'=\text{\lr{span}}\{x_k,\ldots ,x_n\}$. بنابراین 
\[\dim S+\dim S' =k+(n-k+1)=n+1 \]
لذا $x\in S\cap S'$ 
\end{block}
\end{rawslide}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
فرض کنید $x_1,\ldots ,x_n\in \mathbb{C}^n$ بردارهایی متعامد باشند بطوریکه $Ax_i=\lambda_i x_i$ برای هر $1\leq i\leq n$. اگر $S$ یک زیرفضا $k$ بعدی $\mathbb{C}^n$  باشند. قرار می\hspace*{0.01cm}دهیم $S'=\text{\lr{span}}\{x_k,\ldots ,x_n\}$. بنابراین 
\[\dim S+\dim S' =k+(n-k+1)=n+1 \]
لذا $x\in S\cap S'$ و بنابر قضیه \lr{Rayleigh}، داریم
\[c\leq x^*Ax\leq \lambda_{n-k++1}\]
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
فرض کنید $x_1,\ldots ,x_n\in \mathbb{C}^n$ بردارهایی متعامد باشند بطوریکه $Ax_i=\lambda_i x_i$ برای هر $1\leq i\leq n$. اگر $S$ یک زیرفضا $k$ بعدی $\mathbb{C}^n$  باشند. قرار می\hspace*{0.01cm}دهیم $S'=\text{\lr{span}}\{x_k,\ldots ,x_n\}$. بنابراین 
\[\dim S+\dim S' =k+(n-k+1)=n+1 \]
لذا $x\in S\cap S'$ و بنابر قضیه \lr{Rayleigh}، داریم
\[c\leq x^*Ax\leq \lambda_{n-k++1}\]
و این یعنی  $\lambda_{n-k+1}(A)\geq c$
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
فرض کنید $x_1,\ldots ,x_n\in \mathbb{C}^n$ بردارهایی متعامد باشند بطوریکه $Ax_i=\lambda_i x_i$ برای هر $1\leq i\leq n$. اگر $S$ یک زیرفضا $k$ بعدی $\mathbb{C}^n$  باشند. قرار می\hspace*{0.01cm}دهیم $S'=\text{\lr{span}}\{x_k,\ldots ,x_n\}$. بنابراین 
\[\dim S+\dim S' =k+(n-k+1)=n+1 \]
لذا $x\in S\cap S'$ و بنابر قضیه \lr{Rayleigh}، داریم
\[c{\color{red}\leq} x^*Ax\leq \lambda_{n-k++1}\]
و این یعنی  $\lambda_{n-k+1}(A)\geq c$ که نامساوی اکید است هرگاه $x^*Ax{\color{red}>}c$.
\end{block}
\end{page}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
فرض کنید $x_1,\ldots ,x_n\in \mathbb{C}^n$ بردارهایی متعامد باشند بطوریکه $Ax_i=\lambda_i x_i$ برای هر $1\leq i\leq n$. اگر $S$ یک زیرفضا $k$ بعدی $\mathbb{C}^n$  باشند. قرار می\hspace*{0.01cm}دهیم $S'=\text{\lr{span}}\{x_k,\ldots ,x_n\}$. بنابراین 
\[\dim S+\dim S' =k+(n-k+1)=n+1 \]
لذا $x\in S\cap S'$ و بنابر قضیه \lr{Rayleigh}، داریم
\[c\leq x^*Ax\leq \lambda_{n-k++1}\]
و این یعنی  $\lambda_{n-k+1}(A)\geq c$ که نامساوی اکید است هرگاه $x^*Ax>c$.
 \\  {
 \color{red}   برای قسمت ب، از رابطه بیان شده در حکم مذکور، بین مقادیر ویژه $A$ و  مقادیر ویژه  $-A$ استفاده می\hspace*{0.01cm}شود.
 }
\end{block}
\end{page}
\[{\color{blue}\lambda_{k}(-A)=- \lambda_{n-k+1}(A)}\]
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
فرض کنید $x_1,\ldots ,x_n\in \mathbb{C}^n$ بردارهایی متعامد باشند بطوریکه $Ax_i=\lambda_i x_i$ برای هر $1\leq i\leq n$. اگر $S$ یک زیرفضا $k$ بعدی $\mathbb{C}^n$  باشند. قرار می\hspace*{0.01cm}دهیم $S'=\text{\lr{span}}\{x_k,\ldots ,x_n\}$. بنابراین 
\[\dim S+\dim S' =k+(n-k+1)=n+1 \]
لذا $x\in S\cap S'$ و بنابر قضیه \lr{Rayleigh}، داریم
\[c\leq x^*Ax\leq \lambda_{n-k++1}\]
و این یعنی  $\lambda_{n-k+1}(A)\geq c$ که نامساوی اکید می\hspace*{0.01cm}شود هرگاه $x^*Ax>c$.
\\ {\color{red} برای قسمت ب، از رابطه بیان شده در حکم مذکور، بین مقادیر ویژه $A$ و مقادیر ویژه $-A$ استفاده می\hspace*{0.01cm}شود.}
\end{block}
\end{page}
\begin{plainslide}
\begin{block}{نتیجه}
فرض کنید $A\in M_n$ هرمیتی باشد. اگر برای $x$ در زیرفضایی $k$ بعدی، رابطه $x^*Ax\geq 0$  برقرار باشد، آنگاه $A$ دارای حداقل $k$ مقدار ویژه نامنفی  است.
\end{block}
\end{plainslide}
\begin{page}
\begin{block}{نتیجه}
فرض کنید $A\in M_n$ هرمیتی باشد. اگر برای $x$ در زیرفضایی $k$ بعدی، رابطه $x^*Ax\geq 0$ ($ {\color{orange}x^*Ax> 0}$) برقرار باشد، آنگاه $A$ دارای حداقل $k$ مقدار ویژه نامنفی ({\color{orange}مثبت}) است.
\end{block}
\end{page}
\begin{rawslide}
\begin{block}{اثبات}
با توجه به فرض قضیه، قضیه قبل، تضمین می\hspace*{0.01cm}کند  $\lambda_{n-k+1}(A)\geq 0$ 
\end{block}
\end{rawslide}
\begin{page}
\begin{block}{اثبات}
با توجه به فرض قضیه، قضیه قبل، تضمین می\hspace*{0.01cm}کند  $\lambda_{n-k+1}(A)\geq 0$ و در نتیجه 
 \[0\leq \lambda_{n-k+1}(A)\leq \ldots \leq  \lambda_{n}(A)\]
\end{block}
\end{page}
\end{document}