\chapter{تعاریف و مفاهیم اولیه}
\thispagestyle{empty}
\newpage
\left( \right) در این فصل تعاریف و قضیه‌های لازم را بیان میکنند که در ادامه مورد استفاده قرار خواهند گرفت.\\
در سرتاسر این پایان‌نامه همه فضاهای برداری و جبرها روی میدان اعداد مختلط در نظر گرفته شده، مگر خلاف آن فرض شود.
%
\section{تعاریف اولیه}
\subsection{جبرهای تقریباً جابه‌جایی}
\begin{definition} 
فرض کنیم 
$V$
یک فضای برداری روی میدان 
$K$
و
$G$
یک گروه آبلی جمعی باشد. یک مدرج‌سازی از
$V$
به‌وسیله
$G$
یک خانواده 
$\big\{V_{a}\big\}_{a\in G}$
از زیرفضاهای 
$V$
است به‌طوری‌که
$V=\bigoplus\limits_{a\in G}V_{a}$.
در این حالت گوییم 
$V$،
$G$
مدرج است و برای هر
$a\in G$،

را عضو همگن از درجه 
$a$
می‌نامیم. به‌علاوه اگر 
$F$
یک عضو همگن باشد، آن‌گاه درجه 
$F$
را با
$\vert F\vert$
نشان می‌دهیم.
\end{definition} 
\begin{definition}
یک
$K$
جبر مدرج عبارت است از یک جبر 
$A$
که به‌عنوان یک فضای برداری 
$A=\bigoplus\limits_{a\in Z}A_{a}$
مدرج است به‌طوری‌که برای هر
$a,b\in Z$
داشته باشیم:
$A_{a}A_{b}\subset A_{a+b}$.
\end{definition}
\begin{remark}
فرض کنیم
$G$
یک گروه آبلی و
$A$
یک جبر یکدار، شرکت‌پذیر و 
$G$
مدرج روی میدان
($K=\mathbb{R}$
یا
$K=\mathbb{C}$)
باشد؛ یعنی 
$A=\bigoplus\limits_{a\in G}A_{a}$
و
$A_{a}A_{b}\subset A_{a+b}$
برای 
$a,b\in G$.
حال نگاشت 
$P:G\times G\longrightarrow K$
را در نظر می‌گیریم که در شرایط زیر صدق می‌کند:
\begin{align*}
P(a+b,c)&=P(a,c)P(b,c),\ \ P(a,b)=P(b,a)^{-1} \\
P(a,b)&\neq 0,\ \ P(0,b)=1,\ \ P(c,c)=\pm 1.
\end{align*}
\end{remark}
\begin{definition}
فرض کنید
$F$
و
$G$
دو عضو همگن در 
$A$
باشند. در این‌صورت 
$P$
جابه‌جاگر
$f$
و
$g$
به‌صورت زیر تعریف می‌شود:
\begin{align*}
[\cdot,\cdot]P:A\times A&\longrightarrow A, \\
(f,g)&\rightarrow[f,g]P:=fg-P(\vert f\vert,\vert g\vert)gf 
\end{align*}
\end{definition}
\begin{attention}
اگر
$E$
یک مجموعه مدرج باشد، آن‌گاه مجموع عناصر همگن در 
$E$
را با 
$H_{g}(E)$
نشان می‌دهیم.
\end{attention}
\begin{lemma}\label{le01}
$P$
جابه‌جاگر در خواص زیر صدق می‌کند:
\begin{enumerate}
\item
برای هر
$a,b\in G$،
$[A_{a},A_{b}]P\subset A_{a+b}$،
\item
برای هر
$f,g\in A$،
$[f,g]P=-P(\vert f\vert,\vert g\vert)[g,f]P$،
\item
برای هر
$f,g,h\in A$،
\[P(\vert f\vert,\vert h\vert)^{-1}\big[f,[g,h]P\big]P+P(\vert g\vert,\vert f\vert)^{-1}\big[g,[h,f]P\big]P+P(\vert h\vert,\vert g\vert)^{-1}\big[h,[f,g]P\big]P=0.\]
\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{definition}
فضای برداری 
$G$
مدرج
$L$
همراه با نگاشت دوخطی 
$[\cdot,\cdot]P:L\times L\longrightarrow L$
را
$P$
جبر لی می‌نامیم هرگاه در خواص 
$1$
تا
$3$
لم
\ref{le01}
صدق کند.
\end{definition}
\begin{definition}
نگاشت خطی 
$X:A\longrightarrow A$
از درجه
$\vert X\vert$
را یک 
$P$-مشتق
از 
$G$-درجه
$\vert X\vert$
نامند، هرگاه برای تمام عناصر همگن 
$f$
و
$g$
در 
$A$
داشته باشیم
\[X(fg)=(X-f)g+P(\vert X\vert,\vert f\vert)f(Xg).\]
فضای تمام 
$P$-مشتقات
را با 
$P-Der A$
نشان می‌دهیم.
این نشان می‌دهد 
$P$-جابه‌جاگر
از هر
$P$-مشتق
مجدداً یک 
$P$-مشتق
است.
\end{definition}
\begin{definition}
یک جبر 
$G$-مدرج
$A$
جبر تقریباً جابه‌جایی نامیده می‌شود هرگاه
$fg=P(\vert f\vert,\vert g\vert)gf$
یا به عبارت دیگر 
$[f,g]P=0$
برای تمام عناصر همگن 
$f$
و
$g$
در
$A$.
به‌علاوه وقتی 
$A$
یک 
$P$-جبر
جابه‌جایی باشد
$P-Der A$
یک مدول دوطرفه روی 
$A$
با عمل زیر است
\[(fX)g=f(Xg),\quad f,g\in A, X\in P-Der A.\]
\end{definition}
\begin{point}
فرض کنید
$M$
یک 
($G$-مدرج)
مدول چپ روی یک 
$P$-جبر 
جابه‌جایی با خاصیت زیر باشد 
\[\vert f\psi\vert=\vert f\vert+\vert\psi\vert,\quad f\in A, \psi\in M,\]
لذا 
$M$
یک 
$A$
مدول راست با عمل راست روی 
$M$
به‌وسیله
$\psi f=P(\vert\psi\vert,\vert f\vert)f\psi$
خواهد بود که منظور از
$(\psi f)$
عمل راست است. در حقیقت 
$M$
یک مدول دوطرفه روی 
$A$
است؛ به این معنی که
\[f(\psi g)=(f \psi)g,\quad(f,g\in A, X\in M).\]
\end{point}
\begin{definition}
یک نگاشت خطی 
$X:A\longrightarrow A$
یک
$2-P$-مشتق
از مرتبه 
$(a,b)\in G\times G$
نامیده می‌‌شود هرگاه
\begin{enumerate}
\item
$X$
نگاشت‌های 
$A_{*}$
را به 
$A_{*}+b$
ببرد.
\item
قاعده لایب‌نیتزی 
\[X\cdot(fg)=(X\cdot f)g+P(a,\vert f\vert)f(X\cdot g),\quad(f\in A_{\vert f\vert}, g\in A)\]
برقرار باشد.
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{definition}
یک 
$P$-فرمی
روی 
$A$
یک نگاشت چندخطی 
\begin{align*}
\alpha_{P}:X(P-Der A)&\longrightarrow A, \\
(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})&\rightarrow\alpha_{P}(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})
\end{align*}
است که
$A$
خطی بوده؛ به این معنی‌که
\begin{align*}
\alpha_{P}(fX_{1},\cdots,X_{P})&=f\alpha_{P}(X_{1},\cdots,X_{P}), \\
\alpha_{P}(X_{1},\cdots,X_{j}f,X_{j+1},\cdots,X_{P})&=\alpha_{P}(X_{1},\cdots,X_{j},fX_{j+1},\cdots,X_{P}).
\end{align*}
همچنین 
$P$
متناوب می‌باشد؛ به این معنی‌که برای هر
$j=1,\cdots,P-1_{j}$،
$X_{k}\in P-Der A$،
$k=1,\cdots,P$
و
$f\in A$،
\[\alpha_{P}(X_{1},\cdots,X_{j},X_{j+1},\cdots,X_{P})=-P(\vert X_{j}\vert,\vert X_{j+1}\vert)\alpha_{P}(X_{1},\cdots,X_{j+1},X_{j},\cdots,X_{P}),\]
که 
$Xf$
عمل راست 
$A$
روی 
$P-Der A$
تعریف 
$\alpha f=P(\vert\psi\vert,\vert f\vert)f\psi$
است.\\
فضای تمام 
$P$-فرمی‌ها
را با 
$\Omega^{P}(A)$
نشان می‌دهیم. همچنین قرارداد می‌کنیم 
$\Omega^{0}(A)=A$.
از آن‌جا که
\[\Omega^{P}(A)=\bigoplus_{a\in G}\Omega^{P}(A_{a}),\]
و
\[(P-Der A)=\bigoplus_{a\in G}(P-Der A_{a}),\]
لذا 
$P$-فرمی‌ها
فضاهای برداری 
$G$-مدرج
هستند و
$\Omega^{P}(A)$
یک
$A$-مدول
راست 
$G$-مدرج
با درجه\\
$\vert\alpha_{P}\vert=\vert\alpha_{P}(X_{1},\cdots,X_{P})\vert-(\vert X_{1}\vert+\cdots+\vert X_{P}\vert)$
می‌باشد.
\end{definition}
\begin{definition}
دیفرانسیل خارجی عبارتست از نگاشت خطی 
$d:\Omega(A)\longrightarrow\Omega(A)$
که
$\Omega^{P}(A)$
را به
$\Omega^{P+1}(A)$
می‌برد و به‌صورت زیر تعریف می‌شود
\[d\alpha_{0}(X)=X(f),\]
و
\begin{align*}
d\alpha_{P}(X_{1},\cdots,X_{P+1})&=\sum_{j=1}^{P+1}(-1)^{j-1}P\big(\sum_{i=1}^{j-1}(\vert X_{i}\vert,\vert X_{j}\vert)X_{j}\big)\alpha_{P}(X_{1},\cdots,X_{\hat{j}},\cdots,X_{P+1}) \\
&\qquad+\sum_{1\leqslant j<k\leqslant P+1}(-1)^{j+k}P\big(\sum_{i=1}^{j-1}\vert X_{i}\vert,\vert X_{j}\vert\big)P\big(\sum_{i=1}^{j-1}\vert X_{i}\vert,\vert X_{k}\vert\big) \\
&\qquad P\big(\sum_{j=j+1}^{k-1}\vert X_{i}\vert,\vert X_{k}\vert\big)\alpha_{P}\big([X_{j},X_{k}]\big), \\
&\qquad\cdots,X_{i},\cdots,\hat{X_{j}},\cdots,\hat{X_{k}},\cdots,X_{P+1},
\end{align*}
که
$P=1,2,\cdots$.
\end{definition}
\begin{proposition}
نگاشت خطی 
$d:\Omega(A)\longrightarrow\Omega(A)$،
$G$-درجه
صفر دارد؛ به این معنی که
$\vert d\alpha_{P}\vert=\vert\alpha_{P}\vert$
به‌علاوه
$d^{2}=0$.
\end{proposition}
\begin{definition}
برای هر
$X\in P-Der A$
مشتق درونی 
$i_{X}$
نگاشت 
$i_{X}:\Omega^{P}(A)\longrightarrow\Omega^{P-1}(A)$
است که به‌صورت زیر تعریف می‌شود
\[i_{X}\alpha_{P}(X_{1},\cdots,X_{P})=P\big(\sum_{i=1}^{P-1}\vert X_{1}\vert,\vert X\vert\big)\alpha_{P}(X,X_{1},\cdots,X_{P-1})\]
که
$\alpha_{P}\in\Omega^{P}(A)$
و اگر 
$\alpha_{0}\in\Omega^{0}(A)$،
آن‌گاه
$i_{X}\alpha_{0}=0$.
\end{definition}
\begin{definition}
برای 
$X\in P-Der A$
مشتق لی 
$L_{X}$
نگاشت
$L_{X}:\Omega^{P}(A)\longrightarrow\Omega^{P-1}(A)$
تعریف شده به‌صورت
\begin{align*}
L_{X}\alpha_{P}(X_{1},\cdots,X_{P})&=P\big(\sum_{i=1}^{P}\vert X_{i}\vert,\vert X\vert\big)X\big(\alpha_{P}(X,X_{1},\cdots,X_{P-1})\big) \\
&\qquad-\sum_{i=1}^{P}P\big(\sum_{i=1}^{P}\vert X_{i}\vert,\vert X\vert\big)\alpha_{P}(X_{i},\cdots,\vert X\cdot X_{i}\vert,\cdots,X_{P})
\end{align*}
می‌باشد که
$i_{X}\alpha_{0}=0$
و
$\alpha_{0}\in\Omega^{0}(A)$.
\end{definition}
\begin{proposition}
$\vert i_{X}\vert=\vert L_{X}\vert=\vert X\vert$
\end{proposition}
\begin{definition}
فرض کنید 
$R$
یک حلقه و
$M$
مجموعه‌ای ناتهی باشد. 
$M$
را همراه با عمل جمع\\
$+:M\times M\longrightarrow M$
و ضرب در اسکالر 
$\cdot:R\times M\longrightarrow M$،
$R$-مدول
چپ می‌نامیم هرگاه
\begin{enumerate}
\item
$(M,+)$
یک گروه آبلی باشد،
\item
به ازای هر 
$x\in M$
و 
$r,s\in R$،
$(rs)x=r(sx)$،
\item
به ازای هر 
$x,y\in M$
و 
$r\in R$،
$r(x+y)=rx+ry$،
\item
به ازای هر
$x\in M$
و
$r,s\in R$،
$(r+s)x=rx+sx$،
\item
به ازای هر 
$x\in M$،
$1_{R}x=x$.
\end{enumerate}
\end{definition}
%
\section{التصاقات خطی}
\begin{definition}
یک التصاق خطی 
$V$،
نگاشت خطی 
\begin{align*}
V:(P-Der A)&\longrightarrow End(P-Der A), \\
X&\rightarrow\nabla_{X}
\end{align*}
است به‌طوری‌که
\begin{align*}
\nabla_{aX}(Y)&=a\nabla_{X}Y,\ \ a\in A, X,Y\in(P-Der A), \\
\nabla_{X}(ay)&=(X_{a})Y+P(\vert X\vert,\vert a\vert)a\nabla_{X}Y,\ \ X\in H_{g}(P-Der A)
\end{align*}
\end{definition}
%
\subsection{التصاقات خطی روی دو مدول‌ها روی جبرهای تقریباً جابه‌جایی}
\begin{definition}
فرض کنید 
$A=\sum\limits_{a\in G}A_{a}$
یک جبر تقریباً جابه‌جایی باشد و 
$M$
یک 
$A$
دو مدول چپ
$G$-مندرج
باشد. یک التصاق روی 
$M$
یک نگاشت خطی به‌صورت زیر است
$\nabla:(P-Der A)\longrightarrow End(M)$
که برای هر
$P\in G$،
$a\in A$
و عنصر همگن
$X\in P-Der A=m\in M$
داشته باشیم
\begin{enumerate}
\item
$\nabla_{X}:M_{+}\rightarrow M_{P+(X)}$،
\item
$\nabla_{aX}(m)=a\nabla_{X}(m)$،
\item
$\nabla_{X}(am)=P(\vert X\vert,\vert m\vert)X(a)m+a\nabla_{X}\vert m\vert$.
\end{enumerate}
فرض کنید 
$\nabla$
یک التصاق مانند بالا باشد. روی 
$R$
نگاشت
\begin{align*}
R:(P-Der A)\times(P-Der A)&\longrightarrow End(M), \\
(X,Y)&\rightarrow R_{X\cdot Y}
\end{align*}
تعریف می‌شود که برای هر
$X,Y\in P-Der A$
و
$m\in M$
داریم
\[R_{X\cdot Y}(m)=\big[\nabla_{X},\nabla_{Y}\big](m)-\nabla[X,Y](m)\]
‌که
\[\big[\nabla_{X},\nabla_{Y}\big]=\nabla_{X}\nabla_{Y}-P\big([X]\cdot[Y]\big)\nabla_{Y}\nabla_{X},\]
و
\[[X,Y]=X\ o Y-P\big([X]\cdot[Y]\big)Y\ o X.\]
\end{definition}
\begin{theorem}
اعضای هر التصاق 
$\nabla$
به ازای هر
$a\in A$،
$m\in M$
و
$X,Y\in P-Der A$
خواص زیر را دارند:
\begin{enumerate}
\item
$A$-خطی
است؛ یعنی 
\[R_{aX\cdot Y}=aR_{X\cdot Y}.\]
\item
$R_{X\cdot Y}$،
$A$-خطی
است؛ یعنی 
\[R_{X\cdot Y}(am)=aR_{X\cdot Y}(m).\]
\item
$R$
یک نگاشت 
$P$-متقارن
است؛ یعنی
\[R_{X\cdot Y}=-P(\vert X\vert,\vert Y\vert)R_{Y\cdot X}.\]
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
(الف) با استفاده از تعریف التصاق واضح است.\\
(ب) داریم
\begin{align*}
R_{X\cdot Y}(am)&=\big[\nabla_{X},\nabla_{Y}\big](am)-\nabla[X,Y](am) \\
&=\nabla_{X}\nabla_{Y}(am)-P(\vert X\vert,\vert Y\vert)\nabla_{Y}\nabla_{X}(am)-\nabla[X,Y](am) \\
&=\nabla_{X}\big(P(\vert Y\vert,\vert m\vert)Y(a)m+a\nabla_{Y}(m)\big) \\
&\qquad-P(\vert X\vert,\vert Y\vert)\nabla_{X}P(\vert X\vert,\vert m\vert)X(a)m+a\nabla_{X}(m) \\
&\qquad-P(\vert X\vert+\vert Y\vert,\vert m\vert)[X-Y](a)m-a\nabla_{[X+Y]}(m) \\
&=P(\vert X\vert,\vert m\vert)X\big(P(\vert Y\vert,\vert m\vert)Y(a)\big)m+P(\vert Y\vert,\vert m\vert)Y(a)\nabla_{X}(m) \\
&\qquad+P(\vert X\vert,\vert Y\vert+\vert m\vert)X(a)\nabla_{Y}(m)+a\nabla_{X}\nabla_{Y}(m) \\
&\qquad-P(\vert X\vert,\vert Y\vert)P(\vert Y\vert,\vert m\vert)Y\big(P(\vert X\vert,\vert Y\vert)\big)X(a)m \\
&\qquad-P(\vert X\vert,\vert Y\vert)P(\vert X\vert,\vert m\vert)X(a)\nabla_{Y}(m) \\
&\qquad-P(\vert X\vert,\vert Y\vert)P(\vert Y\vert,\vert X\vert+\vert m\vert)Y(a)\nabla_{X}(m) \\
&\qquad-P(\vert X\vert,\vert Y\vert)a\nabla_{Y}\nabla_{X}(m) \\
&\qquad-P(\vert X\vert+\vert Y\vert,\vert m\vert)[X,Y](a)m-a\nabla_{[X,Y]}(m)=aR_{X\cdot Y}(m)
\end{align*}
در رابطه‌‌ی آخر از تساوی زیر استفاده شده است
\[X\big(P(\vert Y\vert,\vert m\vert)\big)a=P(\vert Y\vert,\vert m\vert)X(a)\]
و
\begin{align*}
P(\vert X\vert,\vert m\vert)X\big(P(\vert Y\vert,\vert m\vert)Y(a)\big)&-P(\vert X\vert,\vert Y\vert)P(\vert Y\vert,\vert m\vert)Y\big(P(\vert X\vert,\vert m\vert)+(a)\big) \\
&=P(\vert X\vert+\vert Y\vert,\vert m\vert)[X-Y](a).
\end{align*}
با استفاده از قضیه قبل و اتحاد 
$P$-ژاکوبی
اتحاد بیانچی، التصاقات خطی روی جبر تقریباً جابه‌جایی 
$A$
به‌دست می‌آید.
\end{proof}
\begin{theorem}
خمیدگی 
$R$
التصاق 
$\nabla$
در اتحاد بیانچی زیر صدق می‌کند
\begin{align*}
P(\vert Z\vert,\vert X\vert)&\big[\nabla_{X},R_{Y,Z}\big]+P(\vert X\vert,\vert Y\vert)\big[\nabla_{Y},R_{Z,X}\big]+P(\vert Y\vert,\vert Z\vert)\big[\nabla_{Z},R_{X,Y}\big] \\
&=P(\vert Z\vert,\vert X\vert)R_{[X,Y]_{Z}}+P(\vert X\vert,\vert Y\vert)R_{[Y,Z]_{X}}+P(\vert Y\vert,\vert Z\vert)R_{[Z,X]_{Y}}.
\end{align*}
\end{theorem}
در ادامه حالاتی را که دو مدول 
$M$
یک 
$P$-مشتق
$A$
است را ارائه می‌دهیم به‌وسیله‌ی تعریف یک التصاق خطی روی یک جبر تقریباً جابه‌جایی 
$A$
یک التصاق خطی روی دو مدول 
$P$-مشتق
$A$
است.
\begin{definition}
فرض کنید 
$\nabla$
یک التصاق خطی روی یک جبر تقریباً جابه‌جایی 
$A$
باشد. داریم
\[T_{\nabla}:P-Der A\times P-Der A\longrightarrow P-Der A,\]
که
\[T_{\nabla}(X,Y)\rightarrow \nabla_{X}Y-P(\vert X\vert,\vert Y\vert)\nabla_{Y}X-[X,Y].\]
\end{definition}
\begin{point}
از ویژگی 
$P$-براکت
و از تعریف 
$T$
یک جبر تقریباً جابه‌جایی 
$A$
مشخص می‌شود که
$T\in\Omega^{2}(A)$.
\end{point}
\begin{example}
در حالتی‌که تابع 
$P$
ناچیز است( 
$G=Z$
و برای هر
$\alpha,\beta\in G$،
$P(\alpha,\beta)=1$)
جبر
$A$
جابه‌جایی است و مفهوم کلاسیکی از التصاق روی یک مجموعه بردار هموار
$E$
از درجه متناهی روی یک منیفلد فرافشرده با بعد متناهی 
$V$
به‌وسیله‌‌ی هر
$A=C^{\infty}(V)$
از توابع هموار روی
$V$
و مدول
$T(E)$
از بخش‌های هموار 
$E$
است.
\end{example}
\begin{example}
فرض کنید حالتی‌که 
$A=\sum\limits_{\alpha\in Z}A_{\alpha}$
یک جبر 
$Z$-مدرج
است و تابع 
$P:Z\times Z\longrightarrow K$
برای هر
$\alpha,\beta\in Z$
به‌صورت زیر است
$P(\alpha,\beta)=(-1)^{\alpha\beta}$.
در این‌صورت 
$A$
یک جبر ابرجابه‌جایی است و التصاق روی 
$A$
برای هر
$m\in M$،
$X_{\lambda}\in P-Der A$
و
$a\in A$
فرم زیر را دارد
\begin{enumerate}
\item
$\nabla_{aX_{\lambda}}(m)=\alpha\nabla_{X_{\lambda}}(m)$،
\item
$\nabla_{X_{\lambda}}(am_{\alpha})=(-1)^{\lambda a}X_{\lambda}(a)m_{\alpha}+a\nabla_{X_{\lambda}}(m_{\alpha})$.
\end{enumerate}
پس براکت است. خمیدگی التصاق 
$\nabla$
فرم زیر را دارد
\begin{align*}
R(X_{\alpha},X_{\beta})&=\nabla_{X_{\alpha}}\nabla_{X_{\beta}}-(-1)^{\alpha\beta}
\nabla_{X_{\beta}}\nabla_{X_{\alpha}}+\nabla[X_{\alpha},X_{\beta}](-1)^{\alpha\lambda}[\nabla X_{\alpha},R_{X_{\beta}},X_{\lambda}] \\
&\qquad+(-1)^{\alpha\beta}\nabla_{X_{\beta}}\nabla_{X_{\alpha}}+\nabla[X_{\alpha},X_{\beta}](-1)^{\alpha\lambda}[\nabla X_{\alpha},R_{X_{\beta}},X_{\lambda}] \\
&\qquad+(-1)^{\alpha\beta}[\nabla X_{\beta},R_{X_{\lambda}},X_{\alpha}]+(-1)^{\lambda\beta}[\nabla X_{\lambda},R_{X_{\alpha}},X_{\beta}] \\
&=(-1)^{\alpha\lambda}R[X_{\alpha},X_{\beta}]\cdot X_{\lambda}+(-1)^{\beta\alpha}R[X_{\beta},X_{\lambda}]\cdot X_{\alpha}+(-1)^{\lambda\beta}R[X_{\lambda},X_{\alpha}]\cdot X_{\beta}.
\end{align*}
تاب 
$T$
از
$\nabla$
به‌وسیله‌ی
\[T_{\nabla}(X_{\alpha},X_{\beta})=\nabla_{X_{\alpha}X_{\beta}}-(-1)^{\alpha\beta}
\nabla_{X_{\beta}X_{\alpha}}-[X_{\alpha},X_{\beta}]\]
داده شده است.
\end{example}
\begin{example}
در حالتی‌که گروه 
$G$،
$\mathbb{Z}_{2}$
است و 
$A=A^{0}\oplus A^{1}$
و نگاشت 
$P:\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\longrightarrow K$
داده شده به‌وسیله‌ی
$P(\alpha,\beta)=(-1)^{\alpha\beta}$
باشد. در این‌صورت 
$A$
جبر جابه‌جایی
$\mathbb{Z}_{2}$-مدرج
مدرج است.\\
$P$-مشتق
$A$
یک ابر جبر
$\mathbb{Z}_{2}$
با براکت معدل است
\[[X_{a},Y_{b}]=X_{a}Y_{b}-(-1)^{ab}Y_{b}X_{a}.\]
چنین نشان داده می‌شود که
$P$-مشتق
$A$
یک زوج مدرج کارتان‌لی است و اگر 
$E$
یک
$A$-دو مدول
است. پس مفهوم التصاق 
$E$
یک حالت خاص از التصاقات روی دو مدول 
$E$
است. در این حالت خمیدگی یک التصاق 
$E$
یک خمیدگی از التصاقات فرمول
\[R_{X,Y}(m)=[\nabla_{X},\nabla_{Y}](m)-\nabla[X,Y](m)\]
است.\\
در حالت خاص که دو مدول 
$E$
یک 
$P$-مشتق
است پس تاب التصاق 
$P$-مشتق
تاب فرمول
\[T_{\nabla}=\nabla_{X}Y-P(\vert X\vert,\vert Y\vert)\nabla_{Y}X-[X,Y]\]
است
\end{example}
%
\section{التصاقات خطی روی ابرصفحه کوانتوم}
در این بخش التصاقات خطی روی ابرصفحه کوانتوم با استفاده از مفهوم التصاقات خطی معرفی شده در در بخش‌های قبل مطالعه می‌شود.\\
در ابتدا تعریفی از ابرصفحه کوانتوم 
$N$-بعدی
و جنبه‌های اصلی از
$P$-مشتقات
و 
$1$-فرم‌های
روی ابرصفحه کوانتوم ارائه می‌شود.
\begin{definition}
ابرصفحه 
$N$-بعدی
بعدی کوانتوم به‌وسیله‌‌ی جبر 
$S_{N}^{q}$
که به‌وسیله‌ عنصر واحد و عناصر مستقل 
$N$
خطی 
$x_{1},\cdots,x_{N}$
که در روابط زیر صدق می‌کند مشخص می‌شود
\begin{align*}
x_{i}x_{j}&=qx_{j}x_{i},\quad i<j, \forall\ q\in K, q\neq 0 \\
S_{N}^{q}&=\bigoplus_{n_{1},\cdots,n_{N}}^{\infty}\big(S_{N}^{q}\big)_{n_{1},\cdots,n_{N}}
\end{align*}
با 
$\big(S_{N}^{q}\big)$
زیرفضای یک بعدی گسترش یافته به‌وسیله‌ی حاصل‌ضرب‌های 
$x^{n_{1}},\cdots,x^{n_{N}}$،
$Z^{N}$-درجه
از این عناصر به‌وسیله‌ی
$[x^{n_{1}},\cdots,x^{n_{N}}]=(n_{1},\cdots,n_{N})$
مشخص می‌شود.
\end{definition}