\PassOptionsToPackage{pdfpagemode=FullScreen,hyperfootnotes=false}{hyperref}
\documentclass[10pt,xcolor=dvipsnames,professionalfont]{beamer}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts} 
\usepackage{tikz} 
\usepackage{graphicx}
\usepackage{listings}
\usepackage{ptext}
\usetheme{Warsaw}
\setbeamercovered{transparent}
\usefonttheme{serif}
\usecolortheme[named=blue]{structure}
\expandafter\def\expandafter\insertshorttitle\expandafter{%
  \insertshorttitle\hfill%
 \inserttotalframenumber\,/\,\insertframenumber}
 %%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{xepersian}
\settextfont[Scale=1.1]{XB Niloofar}
\setlatintextfont{Times New Roman}
\setdigitfont[Scale=1.1]{PGaramond}
\defpersianfont\nas[Scale=1.5]{IranNastaliq}
\deflatinfont\tnr[Scale=1.2]{Times New Roman}
%\linespread{1.2} 
%%%%%%%%%%%%%%%
\definecolor{mygreen}{RGB}{28,172,0} 
\definecolor{mylilas}{RGB}{170,55,241}
\lstset{language=Matlab,
    breaklines=true,basicstyle=\ttfamily\scriptsize,
    morekeywords={matlab2tikz},
    keywordstyle=\color{blue},
    morekeywords=[2]{1}, keywordstyle=[2]{\color{black}},
    identifierstyle=\color{black},
    stringstyle=\color{mylilas},
    commentstyle=\color{blue},
    showstringspaces=false
}
\input{command}
\raggedleft
\newcommand*{\co}[1]{\textcolor{blue}{#1}}
%%%%
%%%%
\title{تقارن لی معادلات ژیودزیک و همخطی های تصویری}
\author[میثم هدیه لو]{{میثم هدیه لو}\\
\vspace{0.5cm \footnotesize{استاد راهنما:}}
\normalsize
  {  دکتر سید منصور واعظ‌پور }\\
  {و دکتر فرهاد رحمتی}\\
 \vspace{0.5cm \footnotesize{استاد مشاور:}}
 \normalsize
 {  دکتر مهدی رحیمی }\\
}
\institute{دانشگاه صنعتی امیرکبیر \\
\vspace{.2cm}
دانشکده‌ی ریاضی و علوم کامپیوتر
}
\date{\today}
%\date{19 بهمن 1395}
%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%
%\logo{\includegraphics[scale=.05]{logo1.png} }
\newcommand{\nologo}{\setbeamertemplate{logo}{}}
%%%%%%%%%%%%%
%\setbeamertemplate{theorems}[numbered]
\providetranslation{Theorem}{\large \bf قضیه}
\providetranslation{Definition}{تعریف}
\providetranslation{Lemma}{لم}
\providetranslation{Example}{مثال}
\providetranslation{Corollary}{گزاره}
\newcommand{\Normal}[2]{N(#1,#2)}
\newcommand{\Norm}[1]{\lVert #1\rVert}
\newcommand{\heps}{\hat{\varepsilon}}
\newcommand{\hbeta}{\hat{\beta}}
\newcommand{\hsigma}{\hat{\sigma}}
\newcommand{\hby}{\hat{\by}}
\newcommand{\hbY}{\hat{\bY}}
\newcommand{\hy}{\hat{y}}
\newcommand{\hY}{\hat{Y}}
\newcommand{\hx}{\hat{x}}
\newcommand{\hX}{\hat{X}}
\newcommand{\hf}{\hat{f}}
\newcommand{\hK}{\hat{K}}
\newcommand{\hmu}{\hat{\mu}}
\newcommand{\hMSPEO}{\widehat{\MSPEO}}
\newcommand{\bZ}{\mathbf{Z}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bX}{\mathbf{X}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\bY}{\mathbf{Y}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bI}{\mathbf{I}}
\newcommand{\bD}{\mathbf{D}}
\newcommand{\bU}{\mathbf{U}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bV}{\mathbf{V}}
\newcommand{\bM}{\mathbf{M}}
\newcommand{\tbeta}{\tilde{\beta}}
\newcommand{\tbbeta}{\boldsymbol{\tilde{\beta}}}
\newcommand{\tby}{\tilde{\by}}
\newcommand{\tbY}{\tilde{\bY}}
\newcommand{\tY}{\tilde{Y}}
\newcommand{\ty}{\tilde{y}}
\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\IR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\IN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\IP}{\mathbb{P}}
\newcommand{\IE}{\mathbb{E}}
\newcommand{\IB}{\mathbb{B}}
\newcommand{\ID}{\mathbb{D}}
\newcommand{\IM}{\mathbb{M}}
\newcommand{\CK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\CA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\CF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\CB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\CP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\CN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\CM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\CW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\CG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\CH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\CC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\argminu}{\underset{u}{\argmin}}
\newcommand{\Wbar}{\widebar{W}}
\newcommand{\Warc}{\widecheck{W}}
\newcommand{\Varc}{\widecheck{V}}
\newcommand\myeq{\stackrel{\mathclap{\normalfont\mbox{\tiny d}}}{=}}
\DeclareMathOperator{\var}{Var}
\DeclareMathOperator{\cov}{Cov}
\let\OLDthebibliography\thebibliography
\renewcommand\thebibliography[1]{
  \OLDthebibliography{#1}
  \setlength{\parskip}{0pt}
  \setlength{\itemsep}{0pt plus 0.3ex}
}
\DeclareMathOperator{\dist}{dist}
\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Sp}{span}
\DeclareMathOperator{\dia}{diam}
\makeatletter
\newcommand*{\rom}[1]{\expandafter\@slowromancap\romannumeral #1@}
\makeatother
\begin{document}
%{\nologo
%\begin{frame}[plain]
%\centerline{
%\includegraphics[width=\paperwidth,height=\paperheight]{besm.jpg}
%}
%\end{frame}}
%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\vskip 0.1 in
\maketitle
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{فهرست مطالب}
\tableofcontents
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{تعاریف و مفاهیم مقدماتی}
\subsection{سیستم دینامیکی }
\begin{frame}{سیستم دینامیکی}
\begin{definition}
فرض کنید
$X$
یک فضای متریک فشرده و
$T : X \longrightarrow X$
نگاشتی پیوسته باشد. به دوتایی
$(X ,T)$ 
یک سیستم دینامیکی توپولوژیک گفته می شود.
\end{definition}
\begin{definition}
فرض کنید
$T : X \longrightarrow X$ 
و 
$x \in X$،
به دنباله 
$\{T^{n}(x)\}_{n=0}^{+\infty}$
مدار مثبت (رو به جلوی ) 
$x$
تحت
$T$
گفته می شود. در حقیقت
$$O_{T}^{+}(x) = \{x, T(x), T^{2}(x), T^{3}(x), \cdots\}=\Big\{T^{n}(x)\ \big|\ n\in\{0, 1, 2, \cdots \}\Big\} $$
در این جا 
$T^{0}(x)=Id(x)=x$ و $.T^{n}=ToT^{n-1}$  
\end{definition}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{example}
قرار دهید
$$\sum=\{1,\ldots ,d\}^{\mathbb{N}}=\{(x_{n})_{n\geq  1}\quad, x_{n}\in \{1,\ldots ,d\}\}$$
فضای 
$\sum$
با متر 
$$d\big((x_{n})_{n\geq 0},(y_{n})_{n\geq 0} \big)=2^{-l}, \quad l=min\{i, x_i\neq y_i \}.$$ 
فشرده است.
اگر نگاشت
$\sigma :\sum\rightarrow \sum$
با ضابطه‌ی
$\sigma (x_{n})_{n\geq 1}=(x_{n+1})_{n\geq1}$
را در نظر بگیریم, خواهیم داشت:
\end{example}
\end{frame}
\subsection{توابع حافظ اندازه}
\begin{frame}{توابع حافظ اندازه}
\begin{definition}
فرض کنید
$T:X\longrightarrow X$
یک سیستم دینامیکی بر فضای احتمال 
$ (X,\mathscr{B},\mu)$
باشد. اندازه‌ی احتمال 
$\mu:\mathscr{B}\longrightarrow [0,1]$
را
$ -T$   
پایا گویند، و یا به طور معادل اندازه 
$\mu$
تحت
$T$  
پایا است,
 هرگاه
$T_{*} \mu =\mu $:
\begin{equation*}
\ \ T_{*}\mu(B) = \mu \big(T^{-1}(B) \big)= \mu (B), \quad \forall B \in \mathscr{B}.
\end{equation*}
\end{definition}
\begin{itemize}
\item
مجموعه‌ی تمام اندازه‌های احتمال که
$ -T $
پایا می‌باشند را با نماد 
$ M(X,T) $
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{example}
فرض کنید  نگاشت   
$T:[0,1]\rightarrow  [0,1]$
به صورت
$T(x)=10x-[10x]$
و 
$\mu$
اندازه لبگ بر 
$[0,1]$
باشد، در این صورت 
$\mu$
اندازه‌ای
$-T$
پایاست.  
\begin{figure}[h]
\[\includegraphics[width=0.3\textwidth]{10x.pdf}\]
\vspace{-1cm}
%\caption{عدم برقراری خاصیت $3$-گوی}\label{fig:circle}
%\centerline{\includegraphics{ax8.pdf}}
\end{figure}
\end{example}
\end{frame}
\subsection{سیستم های ارگودیک
}
\begin{frame}{سیستم های ارگودیک}
\begin{definition}
فرض کنید
$ (X,\mathscr{B},\mu)$
یک فضای احتمال بوده
و
\scalebox{0.9}{
$T:(X,\mathscr{B},\mu)\longrightarrow(X,\mathscr{B},\mu)$}
یک نگاشت حافظ ‌‌‌اندازه باشد، آنگاه 
$T$
را نسبت به
$\mu$
ارگودیک نامند، هرگاه:
 \begin{equation*}
 \forall B\in \mathscr{B} :\ \   T^{-1}(B)=B \Longrightarrow \mu(B)=0 \ \  \text{یا}  \ \ 1 . 
 \end{equation*}
\end{definition}
\begin{itemize}
\item
مجموعه اندازه های ارگودیک را با
$E(X,T)$ 
نمایش می دهیم.
\end{itemize}
\begin{example}
نگاشت انتقال
$(\sum,\sigma)$
ارگودیک است.
\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{theorem}
هرگاه
$T:X\rightarrow  X$
 یک تابع پیوسته بوده و
 $X$
  فضای متریک فشرده باشد,  در این صورت:
\begin{itemize}
\item[الف.] 
$ M(X,T)$ \text{ زیر مجموعه فشرده از } $ M(X)$ \text{ است.} 
\item[ب.]
$ M(X,T) $  \text{محدب است.}  
\item[ج.]
$\textit{,} ext(M(X,T))= E( X, T)$
 یعنی 
$E(X,T)$
برابر است با مجموعه نقاط گوشه‌ای
$.M(X,T)$
\item[د.]
\text{اگر} $ m ,\mu \in  E(X,T) $ \text{هردو ارگودیک باشند و}   $ m\neq\mu $
در این صورت آن ها دو به دو متعامد هستند. 
\end{itemize}
\end{theorem}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{theorem}
قضیه. [ارگودیک بیرخوف]
فرض کنید 
$(X,\mathscr{B},\mu) $
 یک فضای 
$ -\sigma $
 متناهی،
$T:X\longrightarrow X $
   یک نگاشت حافظ‌اندازه و 
$ f\in L^{1}(\mu) $
    باشد، آن‌گاه:
\begin{itemize}
\item[الف.]
$\dfrac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1}f \big(T^{i}(x) \big)$ 
تقریبا همه جا به تابعی مانند 
$ f^{*}\in L^{1}(\mu) $
 میل می‌کند.
 
\item[ب.]
 $  .f^{*}oT=f^{*} $
\item [ج.]
اگر
$\mu(X)< \infty $
آنگاه 
$ . \int_{X} f^{*}  d\mu = \int_{X}f  d\mu$
\end{itemize} 
\end{theorem}
\end{frame}
\subsection{فشرده سازی تک نقطه ای}
\begin{frame}{فشرده سازی تک نقطه ای}
\begin{definition}
اگر
$X$
زیرفضای سره و چگالی از  فضای توپولوژیک هاسدورف و فشرده
$Y$
 باشد در این صورت 
$Y$ 
را فشرده سازی  
$X$ 
گوییم. اگر تفاضل 
$Y$  
از
$X$
یک مجموعه تک نقطه ای باشد در این صورت
$Y$
را فشرده سازی تک نقطه ای از
$X$ 
 گوییم. 
\end{definition}
\begin{definition}
فضای
$X$ 
را موضعاًفشرده در نقطه
$x$
گوییم هرگاه زیر مجموعه فشرده ای از
$X$ 
موجود باشد که شامل یک همسایگی بازی از 
$x$
باشد. اگر
$X$ 
در هر نقطه موضعاً فشرده باشد آن گاه 
$X$ 
را موضعاً فشرده گوییم.
\end{definition}
\end{frame}
\section{آنتروپی}
\subsection{آنتروپی کولموگوروف}
\begin{frame}{آنتروپی موضعی   شانون-مکمیلان- بریمن}
\begin{itemize}
\item
فرض کنید
$X$
یک فضای متریک فشرده و
$T : X \longrightarrow X$
نگاشتی پیوسته باشد. به دوتایی
$(X ,T)$ 
یک سیستم دینامیکی توپولوژیک  گسسته گفته می شود. برای سادگی به
$T$
سیستم دینامیکی توپولوژیک گفته می شود.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{زیر‌فضای مقید موضعی}
\begin{itemize}
\item
فرض کنیم
$X$
یک فضای برداری نرم‌دار باشد. به زیر‌فضای بسته‌ی
$Y\subseteq X$
\textbf{زیر‌فضای مقید موضعی}
می‌گوییم،‌ هرگاه برای هر
$x\notin Y$،
$Y$
در
$\Sp\{x,Y\}$
مقید باشد.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{زیر‌فضای مقید موضعی نسبت به
$\mathbf{Z_{1}}$،
توسط
$\textbf{Y}$}
\begin{itemize}
\item
فرض کنیم
$X$
یک فضای باناخ و
$Z_{1},Y\subseteq X$
زیر‌فضا‌هایی بسته از
$X$
باشند. قرار می‌دهیم
$Z_{2}=Z_{1}\cap Y$.
می‌گوییم
$Z_{2}$
نسبت به
$Z_{1}$،
توسط
$Y$
مقید موضعی است، هرگاه برای هر
$z\in Z_{1}$،
توابع تصویر پوشا و خطی
$P:\Sp\{z,Z_{2}\}\longrightarrow Z_{2}$
و
$Q:\Sp\{z,Y\}\longrightarrow Y$
با نرم یک وجود داشته باشند به‌طوری که
$P(z)=Q(z)$.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{تقریب‌پذیری}
\begin{itemize}
\item
فرض کنیم
$X$
یک فضای برداری نرم‌‌دار و
$Y\subseteq X$
زیر‌فضایی بسته از
$X$
باشد. برای
$x\in X$،
قرار می‌دهیم
$$d(x,Y)=\inf_{y\in Y}\Vert x-y\Vert$$
و
$$P_{Y}(x)=\left\{y\in Y:\Vert x-y\Vert=d(x,Y)\right\},$$
می‌گوییم زیر‌فضای
$Y$
در
$X$
\textbf{تقریب‌پذیر}
 است، هرگاه برای هر
$x\in X$
داشته باشیم
$P_{Y}(x)\neq\emptyset$.
همچنین به هر عضو
$P_{Y}(x)$،
\textbf{بهترین تقریب مقید}
برای
$x$
در
$Y$
می‌گوییم.
\end{itemize}
\end{frame}
\subsubsection{آنتروپی موضعی   شانون-مکمیلان- بریمن
}
\begin{frame}{$\mathbf{M}$-ایده‌آل}
\begin{itemize}
\item
فرض کنیم
$X$
یک فضای باناخ و
$Y\subseteq X$
زیر‌فضایی بسته از
$X$
باشد. می‌گوییم
$Y$
یک
$\mathbf{M}$\textbf{-ایده‌آل}
است، هرگاه یک نگاشت تصویر خطی مانند
$P:X^{*}\longrightarrow X^{*}$
وجود داشته باشد به‌طوری که
$\ker(P)=Y^{\bot}$
و به‌ازای هر
$x^{*}\in X^{*}$
داشته باشیم
$$\Vert x^{*}\Vert=\Vert P(x^{*})\Vert+\Vert x^{*}-P(x^{*})\Vert.$$
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{خاصیت $\mathbf{n}$-گوی}
\begin{itemize}
\item
فرض کنیم
$X$
یک فضای باناخ و
$Y\subseteq X$،
زیر‌فضایی بسته از
$X$
باشد.
برای
$n\in\mathbb{N}$،
می‌گوییم زیر‌فضای
$Y$
دارای
\textbf{
خاصیت
$\mathbf{n}$-گوی}
است، هرگاه به‌ازای هر
خانواده‌ی
$\left(B(x_{i},r_{i})\right)_{i=1,\cdots,n}$
از گوی‌های بسته در
$X$
که
$$B(x_{i},r_{i})\cap Y\neq\emptyset,\quad\forall i=1,\cdots,n$$
و
$$\bigcap\limits _{i=1}^{n}B(x_{i},r_{i})\neq\emptyset$$
داشته باشیم
$$\bigcap\limits _{i=1}^{n}B(x_{i},r_{i}+\varepsilon)\cap Y\neq\emptyset,\quad\forall\varepsilon>0.$$
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{مثال برای خاصیت $3$-گوی}
\begin{itemize}
\item
$Y=\IR\times\{0\}$
در فضای
$\IR^{2}$،
مجهز به نرم اقلیدسی، دارای خاصیت
$3$-گوی
نیست.
\end{itemize}
\begin{figure}[h]
\[\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Drawing11(1).pdf}\]
\vspace{-1cm}
\caption{عدم برقراری خاصیت $3$-گوی}\label{fig:circle}
%\centerline{\includegraphics{ax8.pdf}}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}{مثال برای خاصیت $3$-گوی}
\begin{itemize}
\item
$Y=\IR\times\{0\}$
در فضای
$\IR^{2}$،
با نرم
$\Vert(x,y)\Vert=\max\{|x|,|y|\}$،
دارای خاصیت
$3$-گوی است.
\begin{figure}[h]
\[\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Drawing22(1).pdf}\]
\vspace{-1cm}
\caption{برقراری خاصیت $3$-گوی}\label{fig:square}
%\centerline{\includegraphics{ax8.pdf}}
\end{figure}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{مرکز چبیشف و شعاع چبیشف}
\begin{itemize}
\item
فرض کنیم
$X$
یک فضای برداری نرم‌دار روی میدان اعداد حقیقی و
$A\subseteq X$،
 کراندار باشد.
\textbf{مرکز چبیشف}
مجموعه‌ی
$A$،
عنصری مانند
$x_{0}\in X$
است؛ به‌طوری که برای آن داشته باشیم
$$\sup\left\{\Vert x_{0}-y\Vert :y\in A\right\}=\inf_{x\in X}\sup\left\{\Vert x-y\Vert:y\in A \right\}$$
 به 
$\inf\limits _{x\in X}\sup\limits _{y\in A}\Vert x-y\Vert$،
\textbf{شعاع چبیشف}
مجموعه‌ی
$A$
می‌گوییم. مجموعه‌ی تمام مرکز‌های چبیشف را با
$E_{X}(A)$
و شعاع چبیشف را با
$r_{X}(A)$
نمایش می‌دهیم.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{مرکز‌پذیری}
\begin{itemize}
\item
فرض کنیم
$X$
یک فضای برداری نرم‌دار روی میدان حقیقی باشد. می‌گوییم مجموعه‌ی کراندار
$A$
\textbf{مرکز‌پذیر}
است،‌ هرگاه شعاع چبیشف
$r_{X}(A)$،
نصف قطر
$A$
باشد. به عبارت دیگر، هرگاه داشته باشیم
$$\dfrac{1}{2}\dia(A)=\inf\limits _{x\in X}\sup\limits _{y\in A}\Vert x-y\Vert=r_{X}(A).$$
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{مرکز تقارن}
\begin{itemize}
\item
فرض کنیم
$S\subseteq X$
زیر‌مجموعه‌ای از فضای باناخ حقیقی
$X$
باشد. به نقطه‌ی
$x_{0}\in X$،
\textbf{
مرکز تقارن
}
 مجموعه‌ی
$S$
می‌گوییم، ‌هرگاه به‌ازای هر
$s\in S$،
داشته باشیم
$2x_{0}-s\in S$.
می‌گوییم مجموعه‌ی
$S$
\textbf{
به‌طور مرکزی متقارن
}
است، هرگاه
$S$
دارای مرکز تقارن باشد.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{خواص
$(n)$SYM
و
$(n)$E.SYM
}
\begin{itemize}
\item
فرض کنیم
$X$
یک فضای باناخ حقیقی باشد. می‌گوییم
$X$
دارای 
\textbf{
خاصیت-$\mathbf{(n)}$SYM
}
است، ‌هرگاه اشتراک نا‌تهی هر
$n$
گوی بسته با شعاع‌های یکسان، دارای مرکز باشد.
\item
فرض کنیم
$X$
یک فضای باناخ حقیقی باشد. می‌گوییم
$X$
دارای
\textbf{خاصیت-$\mathbf{(n)}$E.SYM
}
است، هرگاه اشتراک نا‌تهی هر
$n$
گوی بسته، دارای مرکز باشد.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{$G$-فضا}
\begin{itemize}
\item
فضای باناخ
$X$
را یک
\textbf{$\mathbf{G}$-فضا}
می‌نامیم، هرگاه فضای توپولوژیک هاسدورف فشرده‌ی
$K$
و
$(s_{i},t_{i},\lambda_{i})\in K\times K\times\IR$
(که در آن
$i$،
عضو یک مجموعه‌ی اندیس
$I$
است)،
وجود داشته باشند؛ به‌طوری که فضای
$X$
با مجموعه‌ی
$$\left\{x\in C(K):x(s_{i})=\lambda_{i}~.~x(t_{i}),~\forall i\in I\right\}$$
به‌طور طولپا یکریخت باشد.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{$C_{\sigma}$-فضا}
\begin{itemize}
\item
فضای باناخ
$X$
را یک
\textbf{
$\mathbf{C_{\sigma}}$-فضا
}
می‌نامیم، هرگاه فضای توپولوژیک هاسدورف فشرده‌ی
$K$
و همئومورفیسم برگشت
$\sigma:K\longrightarrow K$
($\sigma^{2}=id_{K}$)،
وجود داشته باشند؛ به‌طوری که فضای
$X$
با مجموعه‌ی
$$\left\{x\in C(K):x(t)=-x(\sigma(t)),~\forall t\in K\right\}$$
به‌طور طولپا یکریخت باشد.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{تقریب‌پذیری در زیر‌فضای مقید}
\begin{lemma}
فرض کنیم
$Y\subseteq X$
یک زیر‌فضای مقید با تابع تصویر
$P$
است. همچنین فرض کنیم
$Z_{1}$
و
$Z_{2}$
زیر فضا‌هایی بسته از
$X$
باشند؛ به‌طوری که
$P(Z_{1})\subseteq Z_{1}$
و
$Z_{2}=Z_{1}\cap Y$.
اگر
$Z_{1}$
در
$X$
\textbf{تقریب‌پذیر} 
باشد، آن‌گاه
$Z_{2}$
در
$Y$
\textbf{تقریب‌پذیر}
است.
\end{lemma}
\end{frame}
\begin{frame}{$\mathbf{M}$-ایده‌آل}
برای یک زیر‌فضای بسته‌ی
$Y$
از فضای باناخ
$X$،
شرایط زیر معادل‌اند:
\begin{itemize}
\item
$Y$
یک
$M$-ایده‌آل
در
$X$
است.
\item
$Y$
دارای خاصیت
$3$-گوی
است.
\end{itemize}
\begin{lemma}
فرض کنیم
$Y\subseteq X$
یک زیر‌فضای مقید با تابع تصویر
$P$
است. همچنین فرض کنیم
$Z_{1}$
و
$Z_{2}$
زیر‌فضا‌هایی بسته از
$X$
باشند؛ به‌طوری که
$P(Z_{1})\subseteq Z_{1}$
و
$Z_{2}=Z_{1}\cap Y$.
اگر
$Z_{1}$
یک
\textbf{
$\mathbf{M}$-ایده‌آل
}
در
$X$
باشد، آن‌گاه
$Z_{2}$
یک
\textbf{
$\mathbf{M}$-ایده‌آل
}
در
$Y$
است.
\end{lemma}
\end{frame}
\begin{frame}{تقریب‌پذیری در زیر‌فضای مقید موضعی}
\begin{lemma}
فرض کنیم
$Z_{1},Y\subseteq X$،
زیر‌فضا‌هایی بسته از
$X$
و
$Z_{2}=Z_{1}\cap Y$.
همچنین فرض کنیم
$Z_{2}$
مقید موضعی نسبت به
$Z_{1}$
توسط
$Y$
است. اگر
$Z_{1}$
در
$X$
تقریب‌پذیر باشد، آن‌گاه
$Z_{2}$
در
$Y$
تقریب‌پذیر است.
\end{lemma}
\begin{itemize}
\item
فرض کنیم
$Y\subseteq X$،
زیر‌فضایی مقید از
$X$
با تابع تصویر
$P$
است. حال اگر
$Z_{1}$
و
$Z_{2}\neq 0$،
زیر‌فضا‌هایی بسته از
$X$
باشند؛ به‌طوری که
$P(Z_{1})\subseteq Z_{1}$
و
$Z_{2}=Z_{1}\cap Y$،
آن‌گاه
$Z_{2}$
نسبت به
$Z_{1}$
توسط
$Y$
مقید موضعی است.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{خاصیت $1\dfrac{1}{2}$ گوی قوی}
\begin{lemma}
فرض کنیم
$Z_{1},Y\subseteq X$،
زیر‌فضاهایی بسته از
$X$
هستند و
$Z_{2}=Z_{1}\cap Y$.
 همچنین فرض کنیم
$Z_{2}$
مقید موضعی نسبت به
$Z_{1}$،
توسط
$Y$
است. اگر
$Z_{1}$
دارای خاصیت $1\dfrac{1}{2}$-گوی
قوی در
$X$
باشد، آن‌گاه
$Z_{2}$
دارای خاصیت $1\dfrac{1}{2}$-گوی
قوی در
$Y$
است.
\end{lemma}
\end{frame}
\subsection{آنتروپی توپولوژیک}
\begin{frame}{کاربرد تقریب‌پذیری در دوگان}
\begin{theorem}
فرض کنیم
$X$
دارای خاصیت
$1\dfrac{1}{2}$-گوی
قوی
در دوگان دوم‌اش
$X^{**}$
است. همچنین فرض کنیم
$Y\subseteq X$
زیر‌فضایی بسته از
$X$
باشد؛ به‌طوری که به‌ازای هر
$x\notin Y$،
$Y$
در
$\Sp\{x,Y\}$
مقید است. در این صورت
$Y$
دارای خاصیت
$1\dfrac{1}{2}$-گوی
قوی در دوگان دوم‌اش،
$Y^{**}$
می‌باشد.
\end{theorem}
\end{frame}
\section{آنتروپی سیستم های دینامیکی روی فضاهای متریک  غیرفشرده }
\subsection{نتایج مرکز‌پذیری}
\begin{frame}{نتایج مرکز‌پذیری}
\begin{lemma}
فرض کنیم
$Y$
زیر‌فضایی بسته از
$X$
باشد، به‌طوری که به‌ازای هر
$x\notin Y$،
$Y$
در
$\Sp\{x,Y\}$
مقید است. همچنین فرض کنیم
$A\subseteq Y$
مرکز‌پذیر در
$X$
باشد؛ در این صورت،
$A$
مرکز‌پذیر در
$Y$
است.
\end{lemma}
\end{frame}
\begin{frame}{مرکز‌ها و مرکز‌های چبیشف}
\begin{lemma}
فرض کنیم
$Y$
زیر‌فضایی بسته از
$X$
باشد، به‌طوری که به‌ازای هر
$x\notin Y$،
$Y$
در
$\Sp\{x,Y\}$
مقید است.
همچنین فرض کنیم
$A\subseteq Y$
دارای مرکز چبیشف در
$X$
باشد، در این صورت
$A$
دارای مرکز چبیشف در
$Y$
(نسبت به
$Y$)
است.
\end{lemma}
\end{frame}
\subsection{مرکز‌ها و مرکز‌های چبیشف}
\begin{frame}{فرمول منسوب به اسمیت و وارد}
\begin{itemize}
\item
فضای توپولوژیک هاسدورف و فشرده‌ی
$K$
را در نظر می‌گیریم. فرض کنیم
$A,G\subseteq C(K)$،
به‌طوری که
$A$
کراندار و
$G\neq\emptyset$.
در این صورت
$E_{C(K)}(A)\neq\emptyset$
و داریم
$$r_{G}(A)=r_{C(K)}(A)+\inf\{\Vert x-y\Vert:x\in E_{C(K)}(A),y\in G\}.$$
\end{itemize}
\begin{lemma}
فرض کنیم
$Y\subseteq C(K)$،
زیر‌فضایی بسته از
‌$C(K)$
باشد، به‌طوری که برای هر
$x\notin Y$،
$Y$
در
$\Sp\{x,Y\}$
مقید است. برای هر زیر‌مجموعه‌ی کراندار
$A$
در
$Y$
و هر زیر‌مجموعه‌ی غیر‌تهی
$G$
در
$Y$
داریم
$$r_{G}(A)=r_{Y}(A)+\inf\{\Vert x-y\Vert:x\in E_{Y}(A),y\in G\}.$$
\end{lemma}
\end{frame}
\subsection{زیر‌فضای مقید موضعی در فضا‌های باناخ خاص}
\begin{frame}{$G$-فضا}
\begin{itemize}
\item
 فضای باناخ حقیقی
$X$
دارای خاصیت-SYM(3)
است اگر و فقط اگر
$X$
یک
$G$-فضا
باشد.
\end{itemize}
\begin{theorem}   
$G$-فضای
$X$
را در نظر می‌گیریم. فرض کنیم
$Y\subseteq X$
زیر‌فضایی بسته از
$X$
باشد؛ به‌طوری‌که به‌ازای هر
$x\notin Y$،
$Y$
در
$\Sp\{x,Y\}$
مقید است، آن‌گاه
$Y$
یک
$G$-فضا
می‌باشد.
\end{theorem}
\end{frame}
\begin{frame}{$C_{\sigma}$-فضا}
\begin{itemize}
\item
فضای باناخ حقیقی
$X$،
دارای خاصیت E.SYM(3)
است اگر و فقط اگر
$X$
یک
$C_{\sigma}$-فضا
باشد.
\end{itemize}
\begin{theorem}
$C_{\sigma}$-فضای
$X$
را در نظر می‌گیریم. فرض کنیم
$Y\subseteq X$
زیر‌فضای بسته از
$X$
باشد، به‌طوری که به‌ازای هر
$x\notin Y$،
$Y$
در
$\Sp\{x,Y\}$
مقید است، آن‌گاه
$Y$
یک
$C_{\sigma}$-فضا
می‌باشد.
\end{theorem}
\end{frame}
%%%%%%%%%%تابع
\section{مراجع}
\begin{frame}\frametitle{مراجع}
\begin{thebibliography}{10}
\begin{LTRbibitems}
\resetlatinfont\small{
\bibitem{} T. S. S. R. K. Rao (2015), Best constrained approximation in Banach spaces, Numerical Functional Analysis and Optimization, 36.2, pp. 248-255.
}
\end{LTRbibitems}
\end{thebibliography}
\end{frame}
\section{}
{
\begin{frame}
\center{\Large{با تشکر از توجه شما!}}
\end{frame}
\end{document}