\طبقه‌نوشتار{کتاب}
\سبک‌لازم{txfonts}
\سبک‌لازم{xepersian}[localise] 
\قلم{Yas}
\شروع{نوشتار}
\عنوان‌ساز

\بخش{نظریه}
\فصل{تابع‌موج}
\قسمت{معادلهٔ شرودینگر}
ذره‌ای به‌ جرم $m$ و مقید به حرکت در راستای محور $x$ را درنظر بگیرید که نیروی مشخص $F(x,t)$ 
بر آن وارد می‌آید (شکل ۱ـ‍۱). برنامهٔ مکانیک {\متن‌ایتالیک کلاسیک} تعیین مکان ذره در هر لحظهٔ معین است: $x(t)$. با مشخص شدن مکان ذره می‌توان سرعت، 
$(v=\frac{dx}{dt})$، تکانه، 
$(p=mv)$، انرژی جنبشی، 
$(T=\frac{1}{2}mv^2)$،
یا هر متغیر دینامیکی دلخواه دیگر را تعیین کرد. اما چگونه $x(t)$ را تعیین کنیم؟ قانون دوم نیوتن را به‌کار می‌بریم:$F=ma$  (در سیستم‌های {\متن‌ایتالیک پایستار}- تنها گونه‌ای که بررسی می‌کنیم و، خوش‌بختانه، تنها نوعی که در سطح میکروسکوپیک {\متن‌ایتالیک رخ می‌دهد}- نیرو را می‌توان برحسب مشتق تابع انرژی پتانسیل\زیرنویس{نیروهای مغناطیسی مستثنایند، اما بهتر است فعلاً نگران آن‌ها نباشیم؛ در ضمن، در سراسر این کتاب فرضمان بر این است که حرکت غیرنسبیتی است {$(v\ll c)$. بیان کرد،
$F=-\frac{\partial V}{\partial x}$، و قانون نیوتن به‌صورت 
$m\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{\partial V}{\partial x}$ درمی‌آید.) با مشخص شدن نیرو و شرایط اولیهٔ مناسب (معمولاً، مکان و سرعت در$t=0$ )، $x(t)$ را می‌توان تعیین کرد.

رویکرد مکانیک کوانتومی به این مسئله کاملاً متفاوت است. در این مورد به ‌دنبال {\متن‌سیاه تابع‌موج} ذره، $\Psi (x,t)$، می‌گردیم که با حل {\متن‌سیاه معادلهٔ شرودینگر} به‌دست می‌آید:
 \begin{equation}
\box{
i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+V\Psi}.
\end{equation} 

\شروع{شکل}
\درج‌تصویر{1_1.jpg}
\شرح{«ذره‌ای»
مقید به حرکت در یک بُعد و تحت تأثیر نیرویی معین.}
\انتهای{شکل}
 
در این‌جا $i$ جذر $-1$ و $\hbar$ ثابت پلانک- یا به‌عبارتی ثابت {\متن‌ایتالیک اصلی} 
پلانک $(h)$ تقسیم بر $2\pi$- است:
\begin{equation}
\hbar=\frac{h}{2\pi}=1/054572\times10^{-34}\;\text{J\ s}.
\end{equation}
از نظر منطقی، معادلهٔ شرودینگر نقشی مشابه قانون دوم نیوتن بازی می‌کند: با داشتن شرایط اولیهٔ مناسب (معمولاً، $\Psi(x,0)$)، معادلهٔ شرودینگر 
$\Psi(x,t)$ را در همهٔ زمان‌های آینده تعیین می‌کند، درست همان‌ طور که در مکانیک کلاسیک قانون دوم نیوتن $x(t)$ را در همهٔ زمان‌های آینده مشخص می‌کند.\زیرنویس{برای شرحی دست‌اول و دل‌پذیر دربارهٔ منشأ معادلهٔ شرودینگر مقالهٔ فلیکس بلاخ در 
$\textxtit {Physics\; Today}$، دسامبر ۱۹۷۶ را ببینید.}


\قسمت{تعبیر آماری}
اما «تابع‌موج» دقیقاً چیست و، اگر آن را {\متن‌ایتالیک داشته‌ باشید}، چه کاری برایتان انجام می‌دهد؟ وانگهی، ذره ذاتاً در نقطه‌ای جای‌گزیده است، در حالی‌ که تابع‌موج (چنان‌که از نامش برمی‌آید) در فضا گسترش یافته‌ است (در هر لحظهٔ مفروض $t$ تابعی از $x$ است). چنین موجودی چگونه می‌تواند حالت ذره را نشان دهد؟ پاسخ این پرسش را تعبیر آماریِ بورن از تابع‌موج می‌دهد که بنابر آن$|\Psi(x,t)|^2$  {\متن‌ایتالیک احتمالِ} یافتن ذره در نقطهٔ $x$ و در لحظهٔ $t$ را به‌دست می‌دهد- به عبارت دقیق‌تر،\زیرنویس{تابع‌موج کمیتی مختلط است، اما 
$|\Psi|^{2}=\Psi^*\Psi$ (که در آن $\Psi^*$ هم‌یوغ مختلط $\Psi$ است) حقیقی و 
نامنفی است- البته در نقش احتمال {\متن‌ایتالیک باید} هم چنین باشد.}
\begin{equation}
\box{\int_{a}^{b}|\Psi (x,t)|^2dx=\{
\متن{{احتمالِ یافتن ذره بین $a$ و $b$ در لحظهٔ $t$}}
\}}
\end{equation} 
احتمال {\متن‌ایتالیک مساحت} زیر نمودار $|\Psi|^2$ است. برای تابع‌موج شکل ۱ـ‍۲، ذره را به‌ احتمال قوی در نزدیکی نقطهٔ$A$ می‌یابید که در آن $|\Psi|^2$ بزرگ است، اما یافتن آن در نزدیکی نقطهٔ $B$ نسبتاً {\متن‌ایتالیک نا}محتمل است.
 
 
\شروع{شکل}
\درج‌تصویر{1_2.jpg}

\شرح{نمونه‌ای از یک تابع‌موج. سطح خاکستری‌رنگ 
 نمایانگر احتمالِ یافتن ذره بین $a$ 
و $b$ است. ذره به ‌احتمال نسبتاً قوی در نزدیکی $A$ یافت می‌شود، ولی بعید است که در نزدیکی $B$ پیدا شود.} 
\انتهای{شکل}
 

تعبیر آماری نوعی {\متن‌سیاه نامعینی} را وارد مکانیک کوانتومی می‌کند زیرا حتی اگر هر آنچه را نظریه باید درمورد ذره به شما بگوید بدانید (یعنی تابع‌موج ذره)، باز هم نمی‌توانید با قطعیت نتیجهٔ آزمایشی ساده به‌منظور سنجش مکان ذره را پیش‌گویی کنید- مکانیک کوانتومی فقط اطلاعات {\متن‌ایتالیک آماری} دربارهٔ نتایج {\متن‌ایتالیک ممکن} در اختیارمان می‌گذارد. این نامعینی هم ذهن فیزیک‌دانان و هم فیلسوفان را به‌شدت آشفته کرده‌ است، و طبیعی است که ندانیم آیا نامعینی واقعیتی طبیعی است یا نقصی در نظریه.

فرض کنید مکان ذره را {\متن‌ایتالیک اندازه‌گیری کنم} و آن را در نقطهٔ $C$ 
بیابم.\زیرنویس{البته هیچ وسیلهٔ سنجشی کاملاً دقیق نیست؛ {\متن‌ایتالیک منظورم} از 
یافتن ذره {\متن‌ایتالیک در نزدیکی} $C$ در حد دقت وسیلهٔ سنجش مورد استفاده 
است.
 
{\متن‌ایتالیک پرسش}: ذره درست {\متن‌ایتالیک پیش از} اندازه‌گیری کجا بود؟ این پرسش سه 
پاسخ پذیرفتنی دارد و این سه پاسخ نشان‌دهندهٔ رویکرد مکتب‌های فکری 
اصلی مکانیک کوانتومی به نامعینی کوانتومی‌اند:

 دیدگاه {\متن‌سیاه واقع‌گرایانه}: {\متن‌ایتالیک ذره در نقطهٔ $C$ بود}. این پاسخ 
کاملاً منطقی می‌نماید و همانی است که اینشتین طرفدار آن بود. اما 
توجه کنید که اگر این مطلب درست باشد، مکانیک کوانتومی نظریه‌ای {\متن‌ایتالیک ناکامل} 
خواهد بود زیرا با آن‌که ذره {\متن‌ایتالیک واقعاً} در نقطهٔ $C$ {\متن‌ایتالیک بوده}، مکانیک 
کوانتومی نتوانسته این موضوع را به ما بگوید. بنابر دیدگاه واقع‌گرایانه، 
نامعینی واقعیتی طبیعی نیست، بلکه بازتابی از ناآگاهی ماست. چنان‌که دسپانیا\پانویس‌ویژه{$\ast$}{d'Espagnat.}  گفته‌ است، «مکان ذره هرگز نامعین نیست، 
بلکه فقط برای آزمایش‌گر نامعلوم است.»\پانویس{
Bernard d'Espagnat, ``The Quantum Theory and Reality'' ({\textit Scientific 
American}, November 1979, p. 165).
} روشن است که $\Psi$ همهٔ ماجرا نیست- اطلاعات بیشتری (موسوم به {\متن‌سیاه متغیر 
پنهان}) برای توصیف کامل ذره لازم است. 
  
 دیدگاه {\متن‌سیاه متعارف}: {\متن‌ایتالیک ذره واقعاً هیچ جایی نبوده‌ است.} سنجش باعث شده که ذره «در جایی» باشد (اگرچه جرئت نمی‌‌کنیم بپرسیم ذره چگونه و چرا تصمیم گرفت در نقطهٔ $C$ قرار گیرد). جردن این مطلب را به جدی‌ترین صورت بیان کرده‌ است:
«مشاهدات نه ‌تنها آنچه را باید اندازه‌گیری شود آشفته می‌کنند، بلکه آن را {\متن‌ایتالیک ایجاد می‌کنند}... ما [ذره را] {\متن‌ایتالیک وامی‌داریم} مکان مشخصی اختیار کند.»\زیرنویس{به‌ نقل ‌از مقالهٔ بسیار جذاب دیوید مرمین:
«آیا ماه در جای خود است وقتی کسی به آن نگاه نمی‌کند؟» 
38) April 1985, p. (\textit {Physics Today},.}
این دیدگاه (موسوم به {\متن‌سیاه تفسیر کپنهاگی}) متعلق به بور و پیروان اوست و در میان فیزیک‌دانان همواره مقبول‌ترین دیدگاه بوده‌ است. با این‌ همه، توجه کنید که اگر این مطلب درست باشد، عمل اندازه‌گیری بسیار رمزآلود می‌نماید- رمزی که بیش‌ از نیم قرن بحث و جدل نیز کمک چندانی به روشن شدن آن نکرده ‌است.

 دیدگاه {\متن‌سیاه ندانم‌انگارانه}: {\متن‌ایتالیک از پاسخ دادن خودداری کنید.} این کار خیلی هم غیرمنطقی نیست. اظهارنظر دربارهٔ وضعیت قبل از اندازه‌گیری بی‌معناست زیرا یگانه راه دانستن وضعیت ذره {\متن‌ایتالیک پیش از} اندازه‌گیری این است که با دقت {\متن‌ایتالیک اندازه‌گیری} انجام دهید، و در آن ‌صورت چیزی که به‌دست می‌آورید دیگر «قبل از اندازه‌گیری» نیست. در متافیزیک (به‌معنای تحقیرآمیز کلمه) باید نگران چیزی باشیم که، بنابه ماهیتش، نمی‌توان آن را آزمود. پائولی می‌گوید: «نباید دربارهٔ مسئلهٔ بود یا نبودِ آنچه هیچ‌ نمی‌توانیم درموردش بدانیم زیاد به مغزمان فشار بیاوریم؛ این کار همان قدر بیهوده است که تلاش برای پاسخ به پرسش قدیمیِ چند فرشته روی سر یک سوزن جا می‌شوند.»\زیرنویس{به نقل از مرمین (پانوشت قبل)، ص ۴۰.}
این دیدگاه چندین دهه «پناه‌گاه» اغلب فیزیک‌دانان بود: آنان می‌کوشیدند پاسخ متعارف 
را به شما تحمیل کنند، اما اگر پافشاری می‌کردید، به پاسخ ندانم‌انگارانه 
برمی‌گشتند و بحث را خاتمه می‌دادند.


تا همین اواخر، هر سه دیدگاه (واقع‌گرایانه، متعارف، ندانم‌انگارانه) هواخواهان خود را داشت، اما در سال ۱۹۶۴ جان بِل نشان داد تفاوت {\متن‌ایتالیک محسوسی} بین این‌ است که آیا ذره پیش از اندازه‌گیری مکانی دقیق (اگرچه ناشناخته) داشته یا نه، و این جامعهٔ فیزیک را شگفت‌زده کرد. کشف بِل عملاً دیدگاه سوم (ندانم‌انگارانه) را از میدان به در و این‌که کدام‌یک از دو گزینهٔ ۱ یا ۲ درست است را تبدیل به پرسشی {\متن‌ایتالیک تجربی} کرد.
در پایان کتاب، که جایگاه بهتری برای قضاوت دربارهٔ استدلال بِل خواهید داشت، به این داستان باز خواهم‌ گشت. فعلاً به همین‌ قدر بسنده می‌کنم که آزمایش‌ها قاطعانه تعبیر متعارف را تأیید کرده‌اند.\زیرنویس{این گفته قدری بیش‌ از اندازه قاطع و محکم است: نظریه‌های متغیر پنهان غیرموضعی ماندگار (به‌ویژه نظریهٔ دیوید بوهم) و همچنین فرمول‌بندی‌های دیگری (ازجمله تعبیر {\متن‌سیاه چندجهانی}) هم هستند که در هیچ‌ یک از طبقه‌بندی‌های سه‌گانهٔ بیان‌شده نمی‌گنجند. اما به‌ نظرم عاقلانه می‌رسد که در این مرحله، حداقل از دید آموزشی، روش روشن و منسجمی اختیار کنیم و نگرانی درمورد امکان‌های دیگر را برای بعد بگذاریم.
 در واقع، ذره پیش از اندازه‌گیری، مانند امواج روی سطح برکه، مکان دقیقی ندارد؛ فرایند اندازه‌گیری است که بر عددی خاص تأکید می‌کند و به‌ تعبیری نتیجهٔ مشخصی را {\متن‌ایتالیک پدید می‌آورد} که یگانه محدودیت آن وزن آماری اِعمالیِ‌ تابع‌موج~است.


اگر پس از نخستین اندازه‌گیری {\متن‌ایتالیک بی‌درنگ} اندازه‌گیری {\متن‌ایتالیک دومی} انجام دهیم، چه می‌شود؟ آیا دوباره $C$ را به‌دست می‌آوریم، یا عمل اندازه‌گیری هر بار عدد کاملاً جدیدی به‌دست می‌دهد؟
درمورد این پرسش همه توافق دارند: با اندازه‌گیری دوباره (بر همان ذره) باید همان نتیجه به‌دست آید. به‌راستی، اگر نتوانیم با تکرار بی‌درنگِ اندازه‌گیری وجود ذره در نقطهٔ $C$ را تأیید کنیم، اثبات این‌که ذره در اولین اندازه‌گیری واقعاً در نقطهٔ $C$ بوده ‌است کار دشواری خواهد بود. چگونه تعبیر متعارف این واقعیت را توجیه می‌کند که اندازه‌گیری دوم مقید است همان مقدار $C$ را به‌دست دهد؟ آشکارا نخستین اندازه‌گیری تابع‌موج را از پایه دگرگون می‌کند، چنان‌که اینک پیرامون نقطهٔ $C$ قلهٔ تیزی دارد (شکل ۱ـ‍۳). در این حالت می‌گوییم تابع‌موج بر~اثر اندازه‌گیری {\متن‌سیاه می‌رُمبد} تا در نقطهٔ $C$ میله‌ای‌شکل شود (طبق معادلهٔ شرودینگر، تابع‌موج به‌زودی دوباره پخش می‌شود، پس اندازه‌گیری دوم باید فوراً انجام شود). بنابراین، دو نوع فرایند فیزیکی کاملاً متمایز وجود دارد: نوع «عادی» که در آن تابع‌موج به‌آرامی بنابر معادلهٔ شرودینگر متحول می‌شود، و «اندازه‌گیری‌ها» که در آن‌ها $\Psi$ ناگهانی و ناپیوسته می‌رُمبد.\زیرنویس{نقش اندازه‌گیری در مکانیک کوانتومی چندان حساس و عجیب است که شاید متحیر شوید که اندازه‌گیری دقیقاً چه {\متن‌ایتالیک ساختاری} دارد. در فصل آخر به این بحث دشوار باز خواهم‌ گشت؛ اما در این‌جا به این نگرش ساده بسنده می‌کنم: اندازه‌گیری کاری است که دانشمندان در آزمایشگاه با خط‌کش و ساعت و شمارشگر گایگر و مانند آن‌ها انجام می‌دهند.


 
\شروع{شکل}


\درج‌تصویر{1_3.jpg}‌ 
\شرح{رُمبش تابع‌موج:نمودار $|\Psi|^2$ درست {\متن‌ایتالیک بعد از } اندازه‌گیری‌ای که ذره 
را در نقطهٔ $C$ یافته‌ است.}
\انتهای{شکل}
٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪افزوده در ویراست جدید
مثال

{\متن‌سیاه تداخل الکترونی.}
ادعا کردم که ذرات (مثلاً، الکترون‌ها) ماهیتی موجی دارند که در $\Psi$ نهفته است. چگونه می‌توان این ادعا را در آزمایشگاه راستی‌آزمایی کرد؟

مشخصهٔ برجستهٔ هر پدیدهٔ موجی {\متن‌ایتالیک تداخل} است: دو موج {\متن‌ایتالیک هم‌فاز} تداخل سازنده و دو موج ناهم‌فاز تداخل ویرانگر می‌کنند. ماهیت موجی نور را یانگ در سال ۱۸۰۱ با آزمایش معروف خود تأیید کرد که در آن، اگر باریکهٔ تک‌فامی از دو شکاف بگذرد، «فریز»های تداخلی بر پرده‌ای دور ظاهر می‌شوند. اساساً اگر همین آزمایش را با {\متن‌ایتالیک الکترون‌ها} انجام دهند، همین گرتهٔ تداخلی پدید می‌آید\زیرنویس{چون طول‌موج الکترون‌ها معمولاً خیلی کوتاه است، شکاف‌ها باید بسیار به هم نزدیک باشند. از نظر تاریخی، این آزمایش را دیویسون و گرمر در سال ۱۹۲۵ با استفاده از لایه‌های اتمی داخل بلور درنقش «شکاف» انجام دادند. مطلب جالبی در این باره را در صفحهٔ ۳۴ این مقاله ببینید: R. K. Gehrenbeck, {\textit Physics Today}, January 1978.} که ماهیت موجی الکترون‌ها را تأیید می‌کند.

حالا فرض کنید شدت باریکهٔ الکترونی را آن قدر کاهش دهیم که در هر لحظهٔ خاص فقط یک الکترون در دستگاه حاضر باشد. بنا بر تعبیر آماری، هر الکترون بر پرده لکه‌ای پدید می‌آورد. مکانیک کوانتومی نمی‌تواند {موقعیت} دقیق لکه را پیش‌گویی کند \-فقط می‌تواند {احتمال} فرود یک الکترون مفروض را بر مکانی خاص به دست بدهد. اما اگر حوصله به خرج دهیم و منتظر صدهزار الکترون \-در هر لحظه یکی\- بمانیم تا کل مسیرشان را بپیمایند، انباشت لکه‌ها گرتهٔ آشنای تداخلی دوشکافه را آشکار می‌کند (شکل ۱-۴).\زیرنویس{نگاه کنید به 
Tonomura et al., {\textit American Journal of Physics}, volume 57, Issue 2, pp. 117-120 (1989), 
و ویدئوی مرتبط و بسیار جذاب 
www.hitachi.com/rd/portal/highlight/quantum/doubleslit.
 امروزه می‌توان این آزمایش را با ذرات بسیار سنگین‌تر، از جمله با «مولکول‌های کروی کربن ۶۰»، هم انجام داد؛ نگاه کنید به 
M. Arndt, et al., {\textit Nature} {\textbf 40}, 680 (1999). 
از قضا، همین آزمایش را می‌توان با نور انجام داد: شدت نور را چندان کاهش دهید که در هر لحظه فقط یک «فوتون» حاضر باشد تا بدین ترتیب گردآمد نقطه-به-نقطهٔ یکسانی با همان گرتهٔ تداخلی پدید آید. نگاه کنید به 
R. S. Aspden, M. J. Padgett, and G. C. Spalding, {\textit Am. J. Phys.}, {\textbf 84}. 671 (2016).}
\شروع{شکل}
\درج‌تصویر{1_4.jpg}
\شرح{گرتهٔ تداخلی الکترونی. (الف) هشت الکترون، (ب) ۲۷۰ الکترون، (ج) ۲۰۰۰ الکترون، (د) $160,000$ الکترون. بازنشر با اجازهٔ 
Central Research Laboratory, Hitachi, Ltd., Japan.}
\انتهای{شکل}
بی‌تردید، اگر یکی از شکاف‌ها را ببندیم، یا اگر به نحوی بفهمیم هر الکترون از کدام شکاف گذشته، گرتهٔ تداخلی ناپدید می‌شود؛ در هر دو صورت، تابع‌موج ذرهٔ از شکاف‌ گذشته کاملاً متفاوت است (در مورد اول، به سبب این‌که شرایط مرزی معادلهٔ شرودینگر تغییر کرده، و در مورد دوم به علت رمبش تابع‌موج بر اثر اندازه‌گیری). اما اگر هر دو شکاف باز باشند و الکترون در طول مسیر دچار وقفه‌ای نشود، هر الکترون با خودش تداخل می‌کند. الکترون نه از شکاف اول یا دوم بلکه در هر لحظه از هر دو می‌گذرد، درست به همان ترتیب که موج آب برخورنده به موج‌شکنِ دودهانه با خودش تداخل می‌کند. وقتی بپذیرید که ذرات از معادلهٔ موج پیروی می‌کنند، این موضوع شگفت‌انگیز نمی‌نماید. آنچه واقعاً مایهٔ {\متن‌سیاه حیرت} است گردآمد نقطه-به-نقطهٔ گرته است. در هر نظریهٔ موجی کلاسیک، گرته یکنواخت و پیوسته ساخته می‌شود و با گذشت زمان فقط نمود واضح‌تری می‌یابد. نظریهٔ کوانتومی بیشتر به سبک نقاشی نقطه‌های رنگین بر زمینهٔ سفید سورا [نقاش فرانسوی] می‌ماند: تصویر نهایی حاصل مشارکت تک‌تک نقطه‌هاست.\زیرنویس{به نظرم حتماً باید پدیده‌هایی چون تداخل و پراش را از جنبه‌های صرفاً کوانتومیِ فرآیند اندازه‌گیری متمایز کنیم که خود ناشی از تعبیر آماری است.}

٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪
\قسمت{احتمال}
\زیرقسمت{متغیرهای گسسته}
به‌‌سبب تعبیر آماری، احتمال نقشی اساسی در مکانیک کوانتومی بازی می‌کند؛ از این‌ رو، برای بحثی کوتاه دربارهٔ نظریهٔ احتمال، از بحث اصلی خارج می‌شوم. موضوع بحث عمدتاً معرفی نمادگذاری و اصطلاحات است که در قالب مثالی ساده به آن می‌پردازم. 
 

اتاقی حاوی چهارده نفر را درنظر بگیرید که سن آن‌ها به ‌قرار زیر است:


یک نفر ۱۴ساله، 

یک نفر ۱۵ساله ،
 
سه نفر ۱۶ساله،   
 
دو نفر ۲۲ساله، 
 
دو نفر ۲۴ساله، 

پنج نفر ۲۵ساله.



 

اگر $N(j)$ بیانگر تعداد افراد دارای سن $j$ باشد، آن‌گاه 
\all\begin{align*}
&N(14)=1,\hspace*{7cm}\\[-1mm]
&N(15)=1,\\[-1mm] 
&N(16)=3,\\[-1mm]
&N(22)=2,\\[-1mm]
&N(24)=2,\\[-1mm]
&N(25)=5,
\end{align*}

 در حالی که، مثلاً،
 $N(17)$ صفر است. تعداد {\متن‌ایتالیک کل} افراد حاضر در اتاق عبارت است از 
\begin{equation}
N=\sum_{j=0}^{\infty}N(j).
\end{equation} 

 (در مثال یادشده $N=14$.) شکل ۱ـ‍۵ نموداری ستونی از
 داده‌هاست: درمورد این توزیع، شاید پرسش‌های زیر مطرح شوند.


 
اگر تصادفی فردی را از این گروه انتخاب کنید، با چه {\متن‌سیاه احتمالی}
 این فرد ۱۵ساله است؟ {\متن‌ایتالیک پاسخ}: با احتمال یک در ۱۴ زیرا ۱۴ گزینهٔ ممکن وجود 
دارد که همگی به یک میزان محتمل‌اند و فقط یکی از آن‌ها این سن خاص را دارد. اگر 
$P(j)$  احتمال به‌دست آمدن سن $j$ باشد، آن‌گاه $P(14)=\frac{1}{14}، 
$P(15)=\frac{1}{14}$، $P(16)=\frac{3}{14}$ ، به‌ همین ‌ترتیب. به‌طور کلی، 
\begin{equation}
P(j)=\frac{N(j)}{N}.
\end{equation} 

  
توجه کنید که احتمال به‌دست آمدن {\متن‌ایتالیک یکی از دو سن} ۱۴ یا ۱۵ {\متن‌ایتالیک جمع} تک‌تک 
احتمالات (در این مورد، $\frac{1}{7}$) است. به‌ویژه، جمع {\متن‌ایتالیک تمام } احتمال‌ها ۱ است 
- شخصی که انتخاب می‌کنید باید {\متن‌ایتالیک سنی} داشته باشد:
\begin{equation}
\sum_{j=0}^{\infty}P(j)=1.
\end{equation} 

\انتهای‌نوشتار