\documentclass[10pt,a5paper]{book}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.pathmorphing}
\usepackage{bm,amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage{cancel}
\usepackage{eqnarray}
\usepackage{xepersian}
\settextfont{Yas}
\defpersianfont\zar{XB Zar}
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=2cm,bottom=2cm]{geometry}
\DefaultMathsDigits
\defpersianfont\nilo{XB Niloofar}
\begin{document}
\baselineskip=0.75cm

قضیه زیر را بعنوان یک نتیجه دیگر ملاحظه می کنیم.
\\
\textbf{\nilo{قضیه 14-3-7:}}
\begin{center}
\fbox{\parbox[c]{7cm}{
دو بردار $\bm{a}$ و $\bm{b}$ متعامدند اگر و فقط اگر  $ \bm{a}.\bm{b}=0$
}}
\end{center}
\textbf{\nilo{اثبات :}}{\small ( به عنوان تمرین به عهده خواننده)}
\\
\textbf{مثال :} نشان دهید بردارهای $\bm{i}$ و$\bm{j}$ و$\bm{k}$ متعامدند همچنین دو بردار $3\bm{i}-7\bm{j}+2\bm{k}$ و $10\bm{i}+4\bm{j}-\bm{k}$  ؟
\\
\textbf{ حل :} برای قسمت اول  $\bm{i}.\bm{j}=<1,0,0>.<0,1,0>=0$ کفایت می کند.(بنا به قضیه 14-3-7 ( در قسمت دوم :
\[(3\bm{i}-7\bm{j}+2\bm{k}).(10\bm{i}+4\bm{j}-\bm{k})=(3)(10)+(7)(4)+(2)(-1)=0\]
در هر دو قسمت چون حاصلضرب نقطه ای بردارها برابر صفر شده است، بر یکدیگر عمودند. مطالب بسیار مهمی در مورد کاربرد مطالب فوق و تعمیم آنها به فضای$\mathbb{R}^n $  در پیش رو داریم که فوق العاده مهم است. نخست نامساوی کوشی و شوارتز را در مورد فضاهای با بردارهای چندمولفه ای اثبات می کنیم. یک بردار در $\mathbb{R}^n $ را با یکی از دو صورت $<x_1,x_2,x_3,....,x_n>$  یا 
\begin{pmatrix}
x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\\
\end{pmatrix} بصورت عمودی (ستونی)  نشان می دهند.
\\
در هر صورت بحث راجع به اینگونه بردارها و کاربردهای آنرا به بخش های آخر موکول می نماییم.دراینجا به دو نکته زیر توجه می کنیم که :
اولاً : اندازه یا بزرگی $\bm{a}$  در $\mathbb{V}_n$  را با فرمول 
\[|\bm{a}|=\sqrt{\sum_{i=1}^ na_i^2}\]
و ثانیاً زاویه بین دوبردار را نیز با همان فرمول قبلی بیان می کنیم.
\[\theta=cos^{-1}\frac{\bm{a}.\bm{b}}{|\bm{a}||\bm{b}|}\]
مفهوم هندسی زاویه دقیقاً مشابه فضای دوگانه و سه گانه خواهد بود. بهر صورت نامساوی معروف کوشی و شوارتز را در کلی ترین حالت ثابت می نماییم.
\end{document}