% \chapter*{مقدمه} \addcontentsline{toc}{chapter}{مقدمه } \markboth{}{مقدمه} یکی از مهم ترین مفاهیم آنالیز به ویژه آنالیز هارمونیک مفهوم پیچش است. با استفاده از مفهوم پیچش جبرهای گروهی روی یک گروه موضعاً فشرده تعریف می\nf شود، که از اشیای مهم آنالیز هارمونیک هستند. در این پایان\nf نامه، ضرب پیچشی دو تابع اندازه\nf پذیر $ f $ و $ g $ از $ G $ به صورت زیر تعریف می\nf شود $$(f\ast g)(x)=\int_{G}f(y)g(y^{-1}x)d\lambda (y) \qquad (\forall x \in G) $$ که تابع $ y\longmapsto f(y)g(y^{-1}x) $ انتگرال پذیر هار است.کوئک و یاپ ،\Footnote{ Quek and Yap} در\cite{QY} قضیه\nf ی جالب زیر را با استفاده از مفهوم پیچش اثبات کردند . \begin{theorem*} \textbf{قضیه. }فرض کنید $ G $ یک گروه آبلی موضعاً فشرده\nf ی نامتناهی باشد. فرض کنید $ q > 1$ و $ p $ اعداد حقیقی باشند به\nf طوری\nf که، $ 1< q<\infty $، $ 1< p<\infty $و $ 1/p+1/q>1 $ . همچنین فرض کنید $ r $چنین تعریف شده باشد $ 1/r=1/p+1/q-1 $، در این صورت\\ 1) اگر $ G $ فشرده باشد، آنگاه $$L^{p}(G)\ast L^{q}(G)\varsubsetneqq \bigcup \lbrace L^{s}(G) : r< s \rbrace; $$ 2) اگر $ G $ گسسته باشد، آنگاه $$L^{p}(G)\ast L^{q}(G)\varsubsetneqq \bigcup \lbrace L^{s}(G) : s< r \rbrace ; $$ 3) اگر $ G $ نه فشرده باشد و نه گسسته، آنگاه $$L^{p}(G)\ast L^{q}(G)\varsubsetneqq \bigcup \lbrace L^{s}(G) :s \neq r \rbrace. $$ \end{theorem*} \begin{proof} مراجعه شود به مرجع \cite{QY} . \end{proof} و در ادامه مفاهیم تخلخل و $ -c -\sigma $ تخلخل پائین ارائه می\nf شود و در پایان با استفاده از مفهوم تخلخل و پیچش به این سوال که، توسط سائکی مطرح شده نیز پاسخ داده می\nf شود. \\ \textbf{سؤال.} فرض کنید $ G $ یک گروه موضعاً فشرده باشد و همچنین فرض کنید $ p,q,r \in [0,\infty] $ . اگر $ 1/r<1/p+1/q-1 $و $L^{p}(G)\ast L^{q}(G) \subseteq L^{r}(G) $باشد، آیا $ G $ گسسته است؟\\ این پایان\nf نامه بر اساس مقاله\nf ی زیر تنظیم خواهد شد: \begin{latin} \baselineskip = 5.2mm \begin{enumerate} \item Porosity of certain subsets of ebegue spaces on locally compact groups. \textit{Bull. Aust. Math. Soc. 88 (2013), 113–122.} \end{enumerate} \end{latin} \Persian \chapter{ مفاهیم مقدماتی } \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%مقدمه %مفاهیم مودر نیاز که در بخش مقدمه بیان نشده‌اند بعداً در فصلهای مربوط بیان خواهند شد. \section{جبرها ومدول \nf های باناخ } \begin{defi} یک جبر باناخ عبارتست از یک فضای باناخ مانند $ \mathcal{A} $ روی میدان $ \mathbb{C} $ همراه با عمل ضرب \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{rl} \mathcal{A} \times \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{A} \\ (x,y)\longmapsto x.y \end{array} \right. \end{equation*} که دارای خواص زیر است\\ الف) شرکتپذیری $$ \forall x,y,z \in \mathcal{A} , \quad (x\cdot y)\cdot z = x\cdot (y\cdot z) ; $$ ب) توزیع پذیری $$ \forall x,y,z \in \mathcal{A} , \quad x\cdot(y + z ) = x\cdot y + x\cdot z, (y + z )\cdot x = y\cdot x + z\cdot x ;$$ ج) $ . \forall x,y \in \mathcal{A}, \forall \alpha \in \mathbb{C}, \alpha \cdot (xy) = (\alpha x)\cdot y = x\cdot( \alpha y) $ \end{defi} جبر باناخ $ \mathcal{A} $ را نرم دار گوییم هرگاه یک نرم مانند $ \Vert .\Vert $ روی $ \mathcal{A} $ وجود داشته باشد و این نرم دارای خاصیت زیر ضربی باشد یعنی $$ \forall x,y \in \mathcal{A}, \quad \Vert xy \Vert \leq \Vert x \Vert \Vert y \Vert . $$ جبر باناخ $ \mathcal{A} $ را یکدار نامیم، هرگاه $ \mathcal{A} $ دارای عضو همانی ضربی باشد که با $ e $ نشان می\nf دهیم و در صورت وجود منحصر\nf به فرد است. جبر باناخ $ \mathcal{A} $ را جابجایی گوییم هرگاه $$ \forall x,y \in \mathcal{A} ; \quad xy = yx . $$ \begin{defi} در جبر باناخ $ \mathcal{A} $، عضو $ a $ را وارون پذیر یا یکال می\nf نامیم هرگاه به معنای جبری وارون پذیر باشد و وارون $ a $ را با نماد $ a^{-1} $ نشان می\nf دهیم $\big) $ توجه شود که $ (ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ $ .\big($ \end{defi} \begin{exam} فرض کنید $ X $ یک فضای توپولوژی هاسدورف و فشرده باشد. اگر ضرب روی $ C(X) $ را به صورت نقطه\nf ای تعریف کنیم یعنی $ (fg)(x) = f(x).g(x) $ ، آنگاه $ C(X) $ با نرم سوپریمم $ \Vert f\Vert = \sup \lbrace \vert f(x) \vert : x \in X\rbrace $ تبدیل به یک جبر باناخ می\nf شود. زیرا اولاً به راحتی می\nf توان نشان داد $ C(X) $ یک فضای باناخ است همچنین با این ضرب به وضوح خواص یک جبر برقرار است. کافی است نشان دهیم نرم سوپریمم یک نرم جبری است داریم\* $$ \Vert fg \Vert = \sup_{x \in X} \vert f(x)\cdot g(x) \vert \leq \sup_{x \in X}\vert f(x) \vert \cdot \sup_{x \in X} \vert g(x) \vert \leq \Vert f\Vert \cdot \Vert g \Vert. $$ \* پس $ C(X) $ یک جبر باناخ است و چون $ f(x)\cdot g(x) = g(x)\cdot f(x) $پس $ C(X) $ جابجایی است و تابع ثابت 1 عضو همانی $ C(X) $ می\nf باشد، بنابراین $ C(X) $ یک جبر باناخ جابجایی و یکدار است. \end{exam} \begin{note} فرض کنید $ X $ و$ Y $ دو فضای نرم\nf دار باشند، فضای تمام نگاشت\nf های خطی کراندار از $ X $ به توی $ Y $ را با نماد $ \mathcal{B}(X,Y)$ نشان می\nf دهندیعنی \center $ \mathcal{B}(X,Y)= \lbrace T:X \longrightarrow Y: \text{ خطی و کراندار T} \rbrace $;\\ $ \qquad .\forall T \in B (X,Y) ; \quad \Vert T \Vert = \sup \lbrace \Vert Tx \Vert : \quad \Vert x \Vert \leq 1\rbrace \qquad \qquad$ \end{note} \begin{exam} فرض کنید$ X $ یک فضای باناخ و $ \mathcal{B}(X) $ مجموعه\nf ی تمام عملگرهای کراندار روی$ X $ باشد. اگر ضرب روی$ \mathcal{B}(x) $ را ترکیب عملگرها و نرم را نرم عملگری یعنی $ \Vert T\Vert = \sup \lbrace \Vert Tx\Vert: \Vert x \Vert \leq 1 \rbrace $ در نظر بگیریم، آنگاه $ \mathcal{A} $ یک جبر باناخ یکدار است زیرا به راحتی می\nf توان نشان داد $ \mathcal{B}(X) $ یک فضای باناخ است و خواص جبر بودن به وضوح برقرار است. در مورد زیر ضربی بودن نرم نیز داریم\\ $ \Vert x \Vert \leq 1\Rightarrow \Vert STx \Vert \leq \Vert S \Vert \Vert Tx \Vert \leq \Vert S\Vert \Vert T \Vert \Vert x\Vert \Rightarrow \Vert ST\Vert \leq \Vert S \Vert \Vert T\Vert . \qquad \quad $ \end{exam} \begin{defi} فرض کنیم $ \mathcal{A} $ یک جبر باناخ و $ X $ یک فضای باناخ باشد. $ X $ را یک $ \mathcal{A} $ -مدول چپ باناخ گوییم هرگاه نگاشت $( a,x) \longmapsto ax $ از $ \mathcal{A} \times X $ به $ X $ موجود باشد به\nf طوری\nf .که دو شرط زیر برقرار باشند \\ الف ) $ X $ یک $ \mathcal{A} $ -مدول چپ باشد یعنی \begin{enumerate} \item برای هر $x \in X $ و $a,b \in \mathcal{A} $ $$ . (a+b)\cdot x=a\cdot x+b\cdot x \qquad \qquad \qquad \quad $$ \item برای هر $x \in X $ ، $ \alpha \in \mathbb{C} $ و $ a\in \mathcal{A} $ $$ .\alpha \cdot (\alpha x)=(\alpha a)\cdot x=a\cdot(\alpha x) \qquad \qquad \qquad \quad $$ \item برای هر $ x ,y \in X $ و $ a\in \mathcal{A} $ $$ .a\cdot (x+y) = a\cdot x +a\cdot y \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $$ \item برای هر $ x \in X $ و $ a,b \in \mathcal{A} $ $$ .(a\cdot b x)\cdot x = a\cdot (b\cdotx)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$$ \end{enumerate} ب ) هر عدد حقیقی و مثبت $ K $ وجود داشته باشد به\nf طوری\nf که برای هر $ a \in \mathcal{A} $ و $x \in X $، $$ \Vert a\cdot x \Vert \leq K \Vert a \Vert \Vert x \Vert . $$ به طور مشابه $ \mathcal{A} $-مدول راست نیز چنین تعریف می\nf شود. \end{defi} \begin{defi} $ X $ را یک $\mathcal{A} $ -دو مدول باناخ گوییم هرگاه $ X $یک $\mathcal{A} $-مدول چپ و راست باناخ باشد و برای هر $ a,b \in \mathcal{A}$ و $ x \in X $ $$ (a \cdot x)\cdot b = a\cdot (x \cdot b) .$$ \end{defi} \begin{exam} جبر باناخ $ \mathcal{A} $ یک $ \mathcal{A} $ -دو مدول باناخ است. \end{exam} \begin{exam} $ X = \lbrace 0 \rbrace $همواره یک $ \mathcal{A} $-دو مدول باناخ است. \end{exam} %\begin{remark} %\end{remark} %\vspace{-1.2cm} %\begin{remark} %\end{remark} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{مجموعه\nf های از رسته\nf ی اول} \begin{defi} اگر $ (X,\tau) $ یک فضای توپولوژی باشد، آنگاه \\ 1. اگر $ A \subseteq X $ باشد، درون $ A $ را با $ A^{0} $ نشان می\nf دهند و $ A^{0} $ بزرگترین مجموعه\nf ی باز در داخل $ A $ است یعنی $$ A^{0} := \bigcup \lbrace E \subseteq X : E \subseteq A \text{و} \text{E باز باشد } \rbrace .$$ 2. اگر $ A \subseteq X $ باشد، بستار $ A $ را با $ \bar{A} $ نشان می\nf دهند و $ \bar{A} $ کوچکترین مجموعه\nf ی شامل $ A $ است یعنی $$ \bar{A} := \bigcap \lbrace F \subseteq X: A \subseteq F \text{و} \text{F بسته باشد } \rbrace .$$ \end{defi} \begin{defi} اگر $ (X,\tau) $ یک فضای توپولوژی باشد ، آنگاه $ A \subseteq X $ را \\ 1. هیچ جا چگال گوییم هرگاه درون بستار آن تهی باشد، یعنی $ ( \bar{A} )^{0} = \emptyset \quad $ .\\ 2. از رسته\nf ی اول گوییم هرگاه بتوان به شکل اجتماع شمارا از زیر مجموعه\nf های هیچ جا چگال نوشت.\\ 3. از رسته\nf ی دوم گوییم هرگاه از رسته\nf ی اول نباشد. \end{defi} لازم است توضییحاتی در مورد مجموعه\nf های هیچ جا چگال ارائه دهیم.\\ مجموعه\nf ای که بازه را پر می\nf کند ( چگال بودن ) یعنی مجموعه\nf ای که بازه\nf ای هرچند دور دست وجود نداشته باشد که نقطه\nf ای از مجموعه را در بر نداشته و مجموعه\nf ای که بازه را پر نمی\nf کند ( هیچ جا چگال بودن ) اما در آن پراکنده است یعنی مجموعه\nf ای که بین هر دو نقطه از خط حقیقی هر قدر هم نزدیم یکدیگر باشند، بازه\nf ای موجود است که هیچ نقطه\nf ای از مجموعه را در بر نداشته باشد. به بیان بهتر مجموعه\nf ی هیچ جا چگال یعنی مجموعه\nf ای که در هیچ بازه\nf ای چگال نیست یا معادلاً هر بازه زیر بازه\nf ای دارد که هیچ نقطه\nf ای از آن مجموعه را در بر ندارد، چنین مجموعه\nf ای بین هر دو نقطه\nf اش یک بازه\nf ی خالی از نقاط آن مجموعه جا می\nf گیرد لذا چنین مجموعه\nf ای پر از سوراخ است. روشن است که یک مجموعه هیچ جا چگال است اگر وتنها اگر متمم آن شامل یک مجموعه\nf ی باز چگال است. به یاد دارید که مجموعه\nf ی $ A $ در فضای متری $ X $ هیچ جا چگال است اگر هر گوی باز در $ X $ به مرکز نقطه\nf ای از $ A $ ، شامل یک زیر گوی باز مجزا از $ A $ باشد.\\ با استفاده از مجموعه\nf های چگال و هیچ جا چگال مجموعه\nf های از رسته\nf ی اول و دوم را می\nf توان تعریف کرد یعنی یک مجموعه از رسته\nf ی اول است اگر بتوان به صورت اجتماع شمارایی از مجموعه\nf های هیچ جا چگال نوشت و اگر چنین نباشد از رسته\nf ی دوم است. همچنین در بعضی مواقع، مجموعه\nf ی رسته\nf ی اول را لاغر و مجموعه\nf ی رسته\nf ی دوم را نالاغر می\nf گویند. به یاد آورید مجموعه با درون تهی یا معادلاً مجموعه\nf ای که هر نقطه\nf اش، نقطه\nf ی مرزی باشد مجموعه\nf ی مرزی می\nf نامند. از این\nf رو $ F_{\sigma} $ ( اجتماع هر گردایه\nf ی شمارا از مجموعه\nf های بسته ) از رسته\nf ی اول است اگر و تنها اگر درونش تهی باشد. همچنین می\nf توان اشاره کرد، بستار یک مجموعه از رسته\nf ی اول است اگر و تنها اگر آن مجموعه هیچ جا چگال باشد. از مجموعه\nf های رسته\nf ی دوم می\nf توان به فضای متری تام و همچنین فضاهای هاسدورف موضعاً فشرده، اشاره کرد. برای اطلاعات بیشتر به \cite{مقصودی2} رجوع شود. \begin{theorem} \textbf{ ( قضیه بئر ). } هرگاه $ S $ \\ 1. یک فضای متری تام یا\\ 2. یک فضای هاسدورف موضعاً فشرده باشد\\ آنگاه اشتراک هر گردایه ی شمارش پذیر از زیر مجموعه\nf های باز چگال $ S $ در $ S $ چگال است و یا معادلاً، فضاهای متری تام و فضاهای هاسدورف موضعاً فشرده از رسته\nf ی دوم هستند. \end{theorem} \begin{proof} رجوع شود به \cite{WRF} . \end{proof} %$$\matrix{\af_1\times\af_1 &\amapright{\alpha\times\alpha}& \af_2\times\af_2 \cr \amapdown{\pi_1}&&\amapdown{\pi_2}\cr %V_1&\amapright{L_{\alpha}}&V_2} %$$ %\epsfxsize=5cm\epsfysize=15cm %$$\epsfbox{diagram1.eps}$$ %\vspace{-1.2cm} }%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% **ارتباط های آفین ** %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{گروه\nf های موضعاً فشرده} \begin{defi} فرض کنید $ A $ یک مجموعه و $ \leq $ یک رابطه\nf ی دوتایی روی $ A $ باشد. در این صورت\\ الف) $ (A , \leq) $ یک مجموعه\nf ی جزئا مرتب نامیده می\nf شود هرگاه \\ 1. بازتابی باشد؛ یعنی به ازای هر $ \alpha \in A $ ، $\alpha \leq \alpha $ ؛ \\ 2. پادتقارنی باشد؛ یعنی $ \alpha , \beta \in A $ ، $ \alpha \leq \beta $ و $\beta \leq \alpha $ ، آنگاه $ \alpha = \beta $ ؛ \\ 3. تعدی باشد؛ یعنی اگر $ \alpha , \beta ,\gamma \in A $ ، $ \alpha \leq \beta $ و $ \beta \leq \gamma $ ، آنگاه $ \alpha \leq \gamma $ .\\ ب) مجموعه\nf ی جزئاً مرتب $ (A,\leq) $ یک مجموعه\nf ی جهت دار نامیده می\nfͬ شود هرگاه به ازای هر \\ $ \alpha , \beta \in A $، $ \gamma \in A $ موجود باشد به\nf طوری\nf که $ \alpha \leq \gamma $ و $ \beta \leq \gamma $ . \end{defi} \begin{defi} یک تور در مجموعه\nf ی $ X $ عبارت است از خانواده\nf ی $ (x_{\alpha})_{\alpha \in A} $ که در آن مجموعه\nf ی اندیس گذار $ A $، یک مجموعه\nf ی جهت دار است. (معادلاً هر تابع $ f : A\longrightarrow X $، $( f(\alpha) = x_{\alpha}) $ یک تور نامیده می\nf شود که در آن مجموعه\nf ی اندیس گذار $ A $، یک مجموعه\nf ی جهت دار است. ) \end{defi} \begin{defi} یک گروه توپولوژی عبارت است از یک گروه مانند $ G $، همراه با یک توپولوژی که اعمال گروه نسبت به آن توپولوژی پیوسته\nf اند یعنی نگاشت\nf های زیر پیوسته\nf اند 1. نگاشت $ (x,y)\longmapsto x\cdot y $ از $ G \times G $ به $ G $ پیوسته است، یعنی اگر$ x_{\alpha}\longrightarrow x $ و $ y_{\alpha}\longrightarrow y $ باشد، آنگاه $ x_{\alpha} y_{\alpha} \longmapsto xy $ .\\ 2. نگاشت $ x \longmapsto x^{-1} $ از $ G $ به $ G $ پیوسته است، یعنی اگر $x_{\alpha}\longmapsto x $، آنگاه$ x_{\alpha}^{-1}\longmapsto x^{-1} $ . اگر شرایط 1و 2 برقرار باشند، $ (G,\tau) $ را یک گروه توپولوژی گوییم. \end{defi}\\ \begin{defi} فرض کنیم $ (G,\tau) $ یک گروه توپولوژی باشد، در این صورت $ (G,\tau) $ را فشرده گوییم هرگاه هر پوشش باز $ G $ دارای یک زیر پوشش متناهی باشد. \end{defi} \begin{defi} $ (G,\tau) $را موضعاً فشرده نامیم اگر برای هر $ x \in G $ ، یک همسایگی $ U \in N(x) $ از $ x $ و $ K \subseteq G $ فشرده موجود باشد، به\nf طوری\nf که $ x \in U \subseteq K $ که در آن $ N(x) = \lbrace U \in \tau :x \in U \rbrace $ اصطلاحاً گوییم هر نقطه\nf ی $ x \in G $، یک همسایگی فشرده داشته باشد. \end{defi} \begin{defi} فرض کنید $ (G,\tau) $ یک گروه توپولوژی باشد، در این صورت $ (G,\tau) $ را هاسدورف گوییم اگر برای هر $ x,y \in G $، همسایگی\nf های $ U $ و$ V $ از $ x $و$ y $ به ترتیب موجود باشند به\nf طوری\nf که $ U \cap V = \emptyset $ . \end{defi} \begin{defi} گروه توپولوژی $ (G,\tau) $ را گسسته گوییم، هرگاه توپولوژی آن گسسته باشد در غیر این صورت آن را ناگسسته گوییم. \end{defi} \begin{note} 1. اگر $ G $ یک گروه توپولوژی باشد، عضو خنثی $ G $ را با $ 1 $ نشان می\nf دهیم.\\ 2. اگر $ A \subseteq G $ و $ x \in G $ تعریف می\nf کنیم $$ Ax = \lbrace yx \mid y \in A \rbrace , $$ $$xA = \lbrace xy\mid y\in A \rbrace , $$ $$ A^{- 1} = \lbrace y^{-1}\mid y \in A\rbrace .$$ و اگر $ B \subseteq G $ باشد، داریم $$ AB = \lbrace xy\mid x \in A , y \in B \rbrace . $$ \end{note} \begin{defi} مجموعه\nf ی $ A \subseteq G $ را متقارن گوییم هرگاه $ A = A^{-1}\quad $ . \end{defi}\\ گزاره\nf ی زیر چند خاصیت گروه\nf های توپولوژی را بیان می\nf کند.\\ \begin{pro} فرض کنید $ G $ یک گروه توپولوژی باشد، آنگاه \\ الف) توپولوژی $ G $ تحت انتقال و وارون گیری پایاست، یعنی اگر $ U \subseteq G $ باز باشد، آنگاه $ U^{-1} $ ،$ Ux $ و $ xU $ به ازای هر$ x \in A $ بازند. به علاوه، اگر $U \subseteq G $ باز باشد، آنگاه مجموعه\nf های $ AU $ و $ UA $ به ازای هر $ A \subseteq G $ باز خواهند بود. \\ ب) به ازای هر همسایگی $ U $ از $ 1 $، یک همسایگی متقارن $ V $از $ 1 $ موجود است، به\nf طوری\nf که $ .V V \subseteq U$ \\ ج) اگر$ H $ یک زیر گروه باز باشد، $ \bar{H} $ نیز یک زیر گروه $ G $ است .\\ د) هر زیر گروه باز از $ G $، بسته است.\\ ه) اگر $ A ,B \subseteq G $ فشرده باشند، $ AB $ نیز چنین است.\\ و) اگر $ A \subseteq G $ بسته و $ B \subseteq G $ فشرده باشد، آنگاه $ AB $ بسته است . \\ \end{pro} \begin{proof} به \cite{FolA} مراجعه شود. \end{proof} \begin{defi} گروه موضعاً فشرده، یک گروه توپولوژی را مشخص می\nf کند که توپولوژی آن موضعاً فشرده و هاسدورف است. \end{defi} \begin{exam} فرض کنید $ G = (\mathbb{R}^{n} , + , \tau) $ که توپولوژی آن، توپولوژی اقلیدسی باشد. در این صورت $ G $ یک گروه موضعاً فشرده است. یعنی $ G $ یک گروه توپولوژی هاسدورف و موضعاً فشرده است. زیرا فرض کنید $ x_{\alpha}\longmapsto x $ و$ y_{\alpha} \longmapsto y $، در این صورت \\ $ \Vert ( x_{\alpha} + y_{\alpha} ) - ( x + y) \Vert \leq \Vert x_{\alpha} - x \Vert + \Vert y_{\alpha} - y \Vert \longrightarrow 0 $ و لذا $ ( x , y) \longmapsto x + y $ پیوسته است. حال باتوجه به این\nf که عمل گروه جمع است پس وارون آن عمل، قرینه می\nf شود و بنابراین $x_{\alpha} ^{-1}:= - x_{\alpha} $ و $ - x_{\alpha} \longmapsto -x $ لذا $\Vert x_{\alpha} ^{-1} - x^{-1} \Vert = \Vert x_{\alpha} - x \Vert$ پس $ x \longmapsto x^{-1} $ نیز پیوسته است. \end{exam} \begin{exam} فرض کنید $ G = (\mathbb{Z} , + , \tau) $ که توپولوژی آن توپولوژی گسسته باشد، در این صورت $ G $ یک گروه موضعاً فشرده است. \end{exam} \subsection*{اندازه\nf ی هار} \begin{defi} فرض کنید $ G $ یک گروه موضعاً فشرده باشد. یادآوری می\nf کنیم که $ C_{c}(G) $ فضای توابع مختلط مقدار با محمل فشرده روی $ G $ است یعنی $ C_{c}(G) = \lbrace f \in C(G) : \textsl{فشرده } Supp f \rbrace $ که در آن ، $C(G) = \lbrace f \mid f : G \longrightarrow \mathbb{C} , \text { پیوسته است } f \rbrace $ و $Supp f = \overline{ \lbrace x \in G: f(x) \neq 0 \rbrace} $ و قرار می\nf دهیم $$ C_{c}^{+} (G) = \lbrace f \in C(G): f \geqslant 0 ,\quad f \not\equiv 0 \rbrace, $$ $$ C_{c}^{-}(G) = \lbrace f \in C(G): f \leqslant 0 , \quad f \not\equiv 0\rbrace .$$ \end{defi} \begin{equenumber} \end{equenumber} \begin{note} چون قسمت\nf های مثبت و منفی توابع پیوسته\nf ی حقیقی پیوسته\nf اند، بنابراین فضای خطی تولید شده توسط $ C_{c}^{+}(G) $ یا $ C_{c}^{-}(G) $ همان $ C_{c}(G) $ خواهد بود. \end{note} \begin{mention} \begin{enumerate} \item اندازه\nf ای که دامنه\nf اش $ \sigma $-جبر مجموعه\nf های برل است و روی مجموعه\nf های فشرده متناهی است، اندازه\nf ی برل نامیده می\nf شود. \item یک اندازه\nf ی رادون یا برل منظم روی فضای توپولوژی عبارت\nf است از یک اندازه\nf ی برل که روی مجموعه\nf های برل هم منظم بیرونی و هم منظم درونی است برای مطالعه\nf ی بیشتر به \cite{FolR} مراجعه شود. \item تابع $ f: G\longrightarrow \mathbb{C} $ اندازه پذیر نامیده می\nf شود هرگاه به ازای هر مجموعه\nf ی برل $ A\subseteq \mathbb{C} $، $ f^{-1}(A) $ در $ G $ برل است. \item اگر تابعی با قلمرو $ G $ باشد، انتقال\nf های چپ آن را با $ L_{s}(f) $ و انتقال\nf های راست آن را با $ R_{s}(f) $ به ازای $ s \in G $ نشان می\nf دهند و داریم $$ \forall x \in G ;\quad R_{s}(f)(x) = f (xs) , \quad L_{s}(f)(x) = f(sx) .$$ \item یک عبارت راجع به نقاط $ G $، موضعاً تقریباً همه جا برقرار است اگر آن عبارت به جز روی یک مجموعه\nf ی موضعاً پوچ برقرار باشد. \end{enumerate} \end{mention} \begin{note} برای هر زیر مجموعه\nf ی اندازه\nf پذیر مانند $ A $ از $ G $ می\nf توان نوشت $$ \lambda (A^{-1}) =\int_G \Delta(x^{-1})d \lambda (x). $$ برای جزئیات بیشتر به \cite{Folland} یا \cite{HR} $ $ مراجعه شود. \end{note} \begin{defi} یک اندازه\nf ی هار چپ روی $ G $ عبارت\nf است از یک اندازه\nf ی رادون ناصفر $ \lambda $ روی $ G $، که به\nf ازای هر مجموعه\nf ی برل $ E \subseteq G $ و هر$ x \in G $ شرط $ \lambda (xE)=\lambda (E) $ صدق کند. \\ به طور مشابه اندازه\nf ی هار راست، نیز چنین تعریف می\nf شود(به طوری\nf که $ \lambda (Ex)=\lambda (E) $ ). \end{defi} \begin{theorem} هر گروه موضعاً فشرده\nf ی $ G $، دارای یک اندازه\nf ی هار چپ $ \lambda $ است. \end{theorem} \begin{proof} مراجعه شود به \fcite{FolA}{قضیه 2.10} \end{proof} \begin{theorem}\textbf{ (یکتایی اندازه\nf ی هار).} اگر $ \lambda $ و $ \mu $ اندازه\nf ی هار چپ روی روی باشند و $ c \in (0,\infty) $ وجود دارد به\nf طوری\nf که$ \mu = c \lambda \quad$ . \end{theorem} \begin{proof} مراجعه شود به مرجع \fcite{FolA}{قضیه2.20}. \end{proof} \begin{note} $ G $ یک گروه گسسته است اگر وتنها اگر به ازای هر $ x \in G $، $ \lambda ( \{ x \} ) = 1 $ و به ازای هر $ A \subseteq G $، که $ A $ مجموعه\nf ی برل است نیز داریم $ \lambda (A) = 0 $ اگر و تنها اگر $ A = \emptyset $ . \end{note} \begin{note} $ G $ یک گروه ناگسسته است اگر وتنها اگر $ \lambda ( \{e\} ) = 0 $ و داریم $$ 0 = \lambda ( \{e \} ) = \inf \lbrace \lambda(U): \text{باز} U , \quad e \in U \rbrace \Longrightarrow \inf \lbrace \lambda (U) : \text{باز} U \rbrace = 0 . $$ \end{note} \begin{note} اگر $ A \subseteq G $ باشد، داریم \begin{equation*} \lambda (E) = \left\{ \begin{array}{rl} \text {تعداد اعضای E } & \qquad \text{اگر E متناهی} \\ \infty \qquad & \qquad \text{اگر E نامتناهی} \\ \end{array} \right. \end{equation*}\\ اندازه\nf ی فوق را اندازه\nf ی شمارشی می\nf نامیم. \end{note} \begin{exam} اندازه\nf ی لبگ روی $ \mathbb{R}^{n}$، تمام شرایط اندازه\nf ی هار چپ را داراست. \end{exam} \begin{exam} اگر $ G $ یک گروه گسسته باشد، اندازه\nf ی شمارشی همان اندازه\nf ی هار چپ روی گروه $ G $ است. \end{exam} \subsection*{تابع پیمانه\nf ای} فرض کنید $ G $ یک گروه موضعاً فشرده با اندازه\nf ی هار چپ $ \lambda $ باشد. می\nf خواهیم معیاری برای اندازه\nf ی هار راست نبودن $ \lambda $ ارائه کنیم. برای $ x \in G $ ، اندازه\nf ی $ \lambda_{x} $ را چنین تعریف می\nf کنیم. اگر $ E \subseteq G $ یک مجموعه\nf ی برل باشد، آنگاه $ \lambda_{x}(E) = \lambda (Ex) \quad $ .\\ چون به ازای هر $ y \in G $، نیز $ y(Ex) = (yE)x $ یک اندازه\nf ی هار چپ روی $ G $ است و بنا به قضیه\nf ی یکتایی اندازه\nf ی هار عددی مانند $ \Delta(x) > 0 $ وجود دارد به\nf طوری\nf که $ \lambda_{x} = \Delta(x).\lambda $ که$ \Delta(x) $ مستقل از انتخاب $ \lambda $ اولیه است.\\ \begin{defi} تابع $ \Delta : G\longrightarrow \mathbb{R}_{\times} = (0,\infty) $ تعریف شده در بالا تابع پیمانه\nf ای نامیده می\nf شود در واقع اگر $ E \subseteq G $ یک مجموعه\nf ی برل با $ \lambda(E) > 0 $ باشد، آنگاه \be \Delta(x) = \frac{\lambda (Ex)}{\lambda (E)} = \frac{\lambda _{x}(E)}{\lambda (E)} \Longrightarrow \lambda_{x}(E) = \lambda (Ex) = \Delta(x) \lambda(E). \ee $ \mathbb{R}_{\times} $ نشان دهنده\nf ی گروه ضربی است. \end{defi} \begin{note} تابع $ \Delta $ روی $ G $همواره مثبت و یک همریختی پیوسته است زیرا برای هر $ x,y \in G $ و هر مجموعه\nf ی برل $ E \subseteq G $ داریم $$ \Delta (xy)= \frac{\lambda ((Ex)y)}{\lambda (E)}\Longrightarrow \Delta (xy).\lambda (E) =\lambda ((Ex)y) \overset{(1.{1})}{=} \Delta (y). \lambda (Ex) = \Delta(y) \Delta(x) \lambda(E) . $$ چون $ E $ دلخواه است ( چنان در نظر می\nf گیریم که $ \lambda (E) >0 $ ) در نتیجه $ \Delta(xy)= \Delta(x).\Delta(y) $ یعنی $ \Delta $ یک همریختی روی$ G $ است. \end{note} \begin{defi} گروه $ G $ تک پیمانه\nf ای نامیده می\nf شود اگر $ \Delta \equiv 1 $، به عبارت دیگر اندازه\nf ی هار چپ $ G $، یک اندازه\nf ی هار راست نیز باشد.\\ تک پیمانه\nf ای بودن خاصیت مفیدی است که کار روی گروه را در بعضی جاها آسان تر می\nf کند. \end{defi} \begin{exam} گروه\nf های آبلی وگروه\nf های گسسته تک پیمانه\nf ای هستند و ازگروه\nf های غیر تک پیمانه\nf ای می\nf توان به گروه $ ax+b $ اشاره کرد. \end{exam} \begin{result} هر گروه فشرده تک پیمانه\nf ای است. \end{result} \begin{proof} مجموعه\nf ی $ \Delta(G) $ یک زیر گروه فشرده از گروه ضربی $ \mathbb{R}_{\times} $ است به وضوح $ \lbrace 1\rbrace $ تنها زیرگروه فشرده\nf ی $ \mathbb{R}_{\times} $ است و لذا $ \Delta(G) = \lbrace 1\rbrace $، یعنی برای $ x \in G $، $ \Delta(x) = 1 $ . \end{proof} \begin{pro} تابع $ \Delta : G\longrightarrow \mathbb{R}_{\times} $ یک همریختی گروهی پیوسته است و به علاوه به ازای هر $ f \in L^{1}(\lambda ) $ داریم $$ \int_G R_{y} d \lambda = \Delta (y^{-1} )\int_G f d \lambda . $$ \end{pro} \begin{proof} مراجعه شود به \fcite{FolA}{گزاره2.24}. \end{proof} \begin{note} به هر اندازه\nf ی هار چپ، یک اندازه\nf ی هار راست نسبت داده می\nf شود که با ضابطه\nf ی $ \rho (E) = \lambda (E^{-1}) $ تعریف می\nf شود. تابع پیمانه\nf ای می\nf تواند $ \lambda $را به $ \rho $ مرتبط کند. \end{note} \begin{pro} $ \rho $و $ \lambda $به طور قوی معادلند و $ . d\rho (x) = \Delta(x^{-1})d \lambda (x) \qquad $ \end{pro} \begin{proof} مراجعه شود به \fcite{FolA}{گزاره2.31} \end{proof} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% **ابر سطوح مرکزی ** %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{فضاهای $ L^{p} $} در این بخش مفاهیم اولیه در مورد فضاهای $ L^{p} $ ارائه می\nf شود. فضاهای $ L^{p} $ دسته\nf ای از فضاهای باناخ هستند، که از توابع تشکیل شده\nf اند و نرم آنها بر حسب انتگرال تعریف می\nf شود. در این فصل روی فضای اندازه\nf ی ثابتی مانند $ (G,\mathfrak{B},\lambda) $ کار خواهیم کرد که در آن $\mathfrak{B} $، $ -\sigma $جبر مجموعه\nf های برل $ G $ است و $ \lambda $ اندازۀ هار چپ $ G $ است. \subsection*{ فضای $ L^{p} $ \text{برای حالت } $ 1\leq p < \infty $ } فرض کنید $ (G,\mathfrak{B} ,\lambda) $ یک فضای اندازه باشد و همچنین فرض کنید $ 1 \leq p<\infty $ و $ f $ یک تابع اندازه پذیر مختلط روی $ G $ باشد، تعریف می\nf کنیم $$ \parallel f \parallel_{p}=\Big(\displaystyle \int_{G} \mid f\mid^{p}d \lambda (x) \Big) ^{1/p} \qquad \qquad $$ و داریم $$ L^{p}(G,\mathfrak{B} ,\lambda)=\lbrace f:G\longrightarrow \mathbb{C} : \parallel f \parallel_{p} < \infty , \text{ اندازه پذیر است }f \rbrace .$$ $ L^{p}(G,\mathfrak{B},\lambda) $ را به $ L^{p}(\lambda) $ یا $ L^{p} $ یا حتی به $ L^{p} $ خلاصه می\nf کنیم . فضای $ L^{p}(G,\lambda) $ را با $ \parallel \cdot \parallel_{p} $ در نظر می\nf گیریم به\nf که طوری داریم $ \parallel f \parallel_{p}= \Big(\int_{G}\mid f \mid ^{p}d \lambda \Big)^{p} \qquad \qquad \qquad $\\ الف ) اگر تساوی را روی $ L^{p} $، ت.هـ . درنظر بگیریم $ \parallel \cdot \parallel_{p} $ یک نرم روی $ L^{p} $ است و داریم $$\parallel f \parallel_{p}=0 \Longleftrightarrow \Big(\int_{G} \mid f\mid ^{p} d \lambda \Big)^{p}=0 \Longleftrightarrow \mid f\mid ^{p}=0\Longleftrightarrow f=0 \quad \text{ت.هـ } $$ ب) اگر تساوی روی $ L^{p} $ برای هر $ x \in G $ باشد، در این صورت $ \parallel \cdot \parallel_{p} $ یک نیم نرم روی $ L^{p} $ است. زیرا اگر $\parallel f \parallel_{p} =0 $ آنگاه $ f=0 \quad \text{ت.هـ }$و ممکن است برای هر $ x \in G $، $ f(x)=0 $ برقرار نباشد. \begin{remark} متذکر می\nf شویم که اعضای $ L^{p}(\lambda) $ توابع نیستند، بلکه رده\nf ی هم\nf ارزی از توابع هستندکه این توابع را تقریباً همه جا برابر در نظر می\nf گیریم.داریم\\ 1 ) اگر$1 \leq p<\infty $ باشد، آنگاه $$\parallel f \parallel_{p}=0 \Longrightarrow \int_{G} \mid f\mid^{p}d\lambda =0 \Longrightarrow f=0 \quad \text{ت.هـ } $$ 2 ) اگر $ 1 \leq p,q<\infty $ و $p,q \in L^{p}(G,\lambda ) $ باشد، آنگاه $$ \parallel f \parallel_{p}=\parallel g \parallel_{p} \Longrightarrow\int_{G} \mid f\mid^{p}d\lambda =\int_{G} \mid f\mid^{p}d\lambda \Longrightarrow \mid f\mid^{p} =\mid g\mid^{p} \text{ت.هـ }\Longrightarrow f=g \text{ت.هـ } \cdot $$ \end{remark} $ L^{p} $ یک فضای برداری است. زیرا اگر $ f,g \in L^{p} $، آنگاه $$ \mid f+g\mid^{p} \leq \Big( 2 \max ( \mid f \mid ,\mid g \mid) \Big ) ^{p} \leq 2^{p} \Big( \mid f \mid^{p}+ \mid g\mid^{p} \Big) $$ بنابراین $ f+g \in L^{p} $، نماد گذاری فوق حکایت از این دارد که $ \parallel \cdot \parallel_{p} $ یک نیم نرم روی $ L^{p} $ است و مشکل نرم نبون این است که $$\parallel f \parallel_{p} =0 \not\Longrightarrow f=0 $$ تنها مسأله\nf ای که مطرح می\nf شود، نامساوی مثلثی است. معلوم می\nf شود که نامساوی مثلثی دقیقاً زمانی معتبر است که $ P\geq 1 $ باشد، که در این صورت نامساوی مثلثی را نامساوی مینکوفسکی می\nf نامند. \begin{theorem} برای $ 1 \leq p<\infty $، $ L^{p} $ یک فضای باناخ است. \end{theorem} \begin{proof} مراجعه شود به مرجع \fcite{FolR}{قضیه 6.6}. \end{proof} \begin{theorem} فرض کنیم $ 1\leq p \leq \infty $ و $ f,g \in L^{p}(\lambda) $. پس $ f+g \in L^{p}(\lambda) $ و $$ \parallel f+g \parallel_{p}\leq \parallel f \parallel_{p}+\parallel g \parallel_{p}. $$ \end{theorem} \begin{proof} مراجعه شود به \fcite{WRRC}{قضیه 3.9} . \end{proof} \subsection*{\text{فضای} $ L^{p} $ \text{برای حالت} $ 0\parallel f \parallel_{\infty} $. \subsection*{پیچش} در این بخش به طور مختصری به تعریف پیچش می\nf پردازیم که در فصل بعدی به طور کلی تری به این مسأله پرداخته می\nf شود. \begin{defi} فرض کنید $ f $ و $ g $ دو تابع اندازه\nf پذیر روی $ G $ باشند، ضرب پیچشی $ f $و $ g $ را چنین تعریف می\nf کنیم $$(f\ast g)(x)=\int_{G}f(y)g(y^{-1}x) d \lambda (y) . $$ \end{defi} \newpage \begin{pro} فرض کنید $ 1\leq p \leq\infty $، $ g \in L^{p} $ و $ f \in L^{1} $ در این صورت $$ f\ast g \in L^{p} , \quad \parallel f\ast g \parallel_{p} \leq f \parallel_{1} \parallel g \parallel_{p} . $$ \end{pro} \begin{pro} \fcite{FolA}{گزاره 4.7.2} \end{pro}