%%Last Update: Mehr 1394 \documentclass[11pt,twoside]{article}%{report}%{article} \renewcommand{\baselinestretch}{1.15} \usepackage[a4paper, %paperwidth=21cm, paperheight=29.7cm, margin=2cm, %showframe, centering]{geometry} \textwidth=17cm \textheight=25.5cm \usepackage{fontspec} \usepackage{graphicx,array,fancybox,hyperref,amsmath,amssymb,ifthen} \usepackage{xepersian} \settextfont[Scale=1]{B Nazanin}%{Yas}%%{Yas} \setlatintextfont[Scale=1]{Times New Roman} \setdigitfont[Scale=1]{Yas}%{Linon} \newcommand{\columntext}[1]{\begin{minipage}{0.3\textwidth}{ #1}\end{minipage}} %\addtolength{\textheight}{7.2cm} %\addtolength{\topmargin}{-3.5cm} %\addtolength{\textwidth}{6cm} %\addtolength{\hoffset}{-0.8cm} %\addtolength{\voffset}{-0.5cm} %\addtolength{\leftmargin}{-3cm} %\addtolength{\oddsidemargin}{-1.9cm} %\addtolength{\evensidemargin}{-3cm} \newcommand{\Eng}[1]{ \beginL {\rmfamily \latin #1}\endL} \renewcommand{\thefootnote}{\arabic{footnote}} \graphicspath{{./Fig/}} %فایل شکلها در مسیر Fig قرار گیرد. \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\FirstName{مهدی} %نام دانشجو \def\LastName{اشرفی بافقی } %نام خانوادگی دانشجو \def\StudentNo{9042165} % شماره دانشجویی \newboolean{Azad} %% \setboolean{Azad}{true} %% اگر آزاد است true وگرنه false قرار گیرد. \newboolean{Morabbi} \setboolean{Morabbi}{false} %% اگر مربی است true وگرنه false قرار گیرد. \newboolean{Boorsia} \setboolean{Boorsia}{false} %% اگر بورسیه است true وگرنه false قرار گیرد. \newboolean{Pardis} \setboolean{Pardis}{false} %% اگر پردیس خودگردان است true وگرنه false قرار گیرد. \newboolean{Amoozeshi} \setboolean{Amoozeshi}{true} %% اگر آموزشی- پژوهشی است true وگرنه false قرار گیرد. \newboolean{Pajooheshi} \setboolean{Pajooheshi}{false} %% اگر پژوهشی است true وگرنه false قرار گیرد. \def\mydate{1391/11/17} \def\Zaban{\lr{MSRT}} % عنوان آزمون زبان انگلیسی \def\ZabanNomra{65} %نمره آزمون زبان \def\Reshte{ریاضی محض} %رشته \def\Gerayesh{جبر} %گرایش \def\Gorooh{ریاضی محض} %گروه \def\ModirGrooh{سید محمد مشتاقیون} %مدیر گروه / بخش \def\Department{علوم ریاضی} %دانشکده \def\DeptHead{} %رئیس گروه مستقل/ دانشکده \def\DeptVice{سیدمحسن میرحسینی } %معاون دانشکده \def\Address{یزد - بلوار دانشگاه } %آدرس \def\Telephone{8210586 } %تلفن \def\TitleFarsi{ارتباط بین ابرگراف‌ها، ابرگروه‌ها و روابط دودویی } %عنوان فارسی پایان نامه \def\TitleEnglish{Conn gggg gggggggggggggggg ection between hypergraphs, hypergroups and binary relations} %عنوان انگلیسی پایان نامه \newboolean{Karbordi} \setboolean{Karbordi}{false} %نوع پایان نامه کاربردی است true وگرنه false قرار گیرد. \newboolean{Toseaee} \setboolean{Toseaee}{false} %نوع پایان نامه توسعه ای است true وگرنه false قرار گیرد \newboolean{Bonyadi} \setboolean{Bonyadi}{true} %نوع پایان نامه بنیادی است true وگرنه false قرار گیرد. \def\NimsaleGereftaneTez{1391-2} % نیمسال گرفتن تز \def\TedadeVahed{20} %تعداد واحد \def\Rahgiri{234} %کد رهگیری ثبت در Irandoc %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\FirstSupervisorName{بیژن دواز} % نام و نام خانوادگی استاد راهنمای اول \def\FirstSupervisorDegree{دکتری} %آخرین مدرک تحصیلی استاد راهنمای اول \def\FirstSupervisorMartaba{استاد} % مرتبه علمی استاد راهنمای اول \def\FirstSupervisorGorooh{ریاضی محض} % گروه استاد راهنمای اول \def\FirstSupervisorDepartment{ریاضی} %دانشکده استاد راهنمای اول \def\FirstSupervisorUniversity{یزد} %دانشگاه استاد راهنمای اول \def\FirstSupervisorDaneshjooArshad{} % تعداد دانشجویان ارشد استاد راهنمای اول \def\FirstSupervisorDaneshjooPhD{} %تعداد دانشجویان دکتری استاد راهنمای اول %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newboolean{SecondSupervisor} \setboolean{SecondSupervisor}{true} %اگر استاد راهنمای دوم دارید true وگرنه false قرار گیرد. اگر false گذاشته شد نیازی به تکمیل اطلاعات استادراهنمای دوم نیست. \def\SecondSupervisorName{} % نام و نام خانوادگی استاد راهنمای دوم \def\SecondSupervisorDegree{} %آخرین مدرک تحصیلی استاد راهنمای دوم \def\SecondSupervisorMartaba{} % مرتبه علمی استاد راهنمای دوم \def\SecondSupervisorGorooh{} % گروه استاد راهنمای دوم \def\SecondSupervisorDepartment{} %دانشکده استاد راهنمای دوم \def\SecondSupervisorUniversity{} %دانشگاه استاد راهنمای دوم \def\SecondSupervisorDaneshjooArshad{} % تعداد دانشجویان ارشد استاد راهنمای دوم \def\SecondSupervisorDaneshjooPhD{} %تعداد دانشجویان دکتری استاد راهنمای دوم %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\FirstAdvisorName{محمدعلی ایرانمنش} % نام و نام خانوادگی استاد مشاور اول \def\FirstAdvisorDegree{دکتری} %آخرین مدرک تحصیلی استاد مشاور اول \def\FirstAdvisorMartaba{دانشیار} % مرتبه علمی استاد مشاور اول \def\FirstAdvisorGorooh{ریاضی محض} % گروه استاد مشاور اول \def\FirstAdvisorDepartment{ریاضی} %دانشکده استاد مشاور اول \def\FirstAdvisorUniversity{یزد} %دانشگاه استاد مشاور اول \def\FirstAdvisorDaneshjooArshad{} % تعداد دانشجویان ارشد استاد مشاور اول \def\FirstAdvisorDaneshjooPhD{} %تعداد دانشجویان دکتری استاد مشاور اول %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newboolean{SecondAdvisor} \setboolean{SecondAdvisor}{true} %اگر استاد راهنمای دوم دارید true وگرنه false قرار گیرد. اگر false گذاشته شد نیازی به تکمیل اطلاعات استاد مشاور دوم نیست. \def\SecondAdvisorName{سعید علیخانی} %مشابه استاد راهنمای اول تکمیل شود. \def\SecondAdvisorDegree{دکتری} \def\SecondAdvisorMartaba{استادیار} \def\SecondAdvisorGorooh{ریاضی محض} \def\SecondAdvisorDepartment{ریاضی} \def\SecondAdvisorUniversity{یزد} \def\SecondAdvisorDaneshjooArshad{} \def\SecondAdvisorDaneshjooPhD{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\FarsiKeywords{گراف - ابرگراف - زیرابرگراف - ابرگروه - زیرابرگروه - ابرگروهوار - ابرساختار - رابطۀ دوتایی} % کلمات کلیدی فارسی \setlatintextfont{Times New Roman} \lr{ Graph - Hypergraph - Subhypergraph - Hypergroup - Subhypergroup - Hypergroupoid - Hyperstructure, Binary relation } %کلمات کلیدی انگیسی %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \input{./Source/PhD-Prop-First-Page-V4.tex} % DO NOT REMOVE THIS LINE. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \pagestyle{plain} \vspace*{3mm} \underline{\bf 2- شرح پایان نامه:} \begin{itemize} \item[{\bf الف) }]{\bf تعریف موضوع (تعریف مسأله، هدف از اجرا و کاربرد نتایج تحقیق):} نظریه گراف یکی از موضوعهای مهم است که به با ارائه‌ی مدلی ریاضی برای یک مجموعه، به بررسی ارتباط بین اعضای آن مجموعه می‌پردازد. اعضای این مجموعه می‌توانند اتمها در یک مولکول باشند و ارتباط آنها اتصال‌های شیمیایی باشد یا اعضا می‌توانند قسمتهای مختلف زمین و ارتباط بین آنها پلهایی باشند که آنها را به هم مرتبط می‌کنند. یک گراف از مجموعه‌ای ناتهی از اشیاء به نام رأس که آن را با $V$ نشان داده و مجموعه‌ای از یالها که رأسها را به هم وصل می‌کنند و با $E$ نشان داده می‌شود، تشکیل شده است. در واقع هر یال را می‌توان به عنوان زیرمجموعه‌ای دو عضوی از $V$ در نظر گرفت. یک چنین گرافی را با $G=(V, E)$ نشان می‌دهیم. یک ابرگراف به عنوان تعمیمی از مفهوم گراف عبارتست از یک زوج مانند $\Gamma=(H, E)$ که در آن $H$ مجموعه‌ای متناهی از رئوس و $E=\{E_1, \ldots, E_m\}$ مجموعه‌ای از زیرمجموعه‌های ناتهی از $H$ است به طوری که $\displaystyle\bigcup_{i=1}^mE_i=H$. هر عضو $E$ را یک ابریال می‌نامیم. شکل زیر مثالی از یک ابرگراف با دو ابریال $E_1=\{1, 2, 3\}$ و $E_2=\{2, 3, 4\}$ است. %\vspace*{5mm} \centerline{\includegraphics[width=1.8in]{f1}} نظریه ابرساختارهای جبری یکی از شاخه‌های مهم جبر است که به توسعه‌ی مفاهیمی جبری مانند گروه‌ها و حلقه‌ها پرداخته و در زمینه‌های مختلف علمی مانند هندسه، نظریه کدگذاری، $C$-جبرها، مشبکه‌ها، نظریه‌ی مجموعه‌های هموار و فازی، نظریه‌ی احتمال و غیره دارای کاربرد است. تا کنون کتابهای بسیاری در زمینه‌ی ابرساختارهای جبری به چاپ رسیده‌اند. اولین کتاب در این زمینه توسط کورسینی به رشته‌ی تحریر در آمد \cite{book-corsini-1993}. پس از آن کتابهای دیگری در این زمینه به چاپ رسیدند( \cite{book-corsini-2003} و \cite{polygroup} و \cite{book-vou-1994} را ببینید.) برخی از تعاریف مقدماتی در زمینه‌ی ابرساختارهای جبری در زیر آورده شده‌اند. فرض کنید $H$ مجموعه‌ای ناتهی و $P^*(H)$ مجموعه‌ی تمام زیرمجموعه‌های ناتهی $H$ است. یک ابرعمل روی این مجموعه، نگاشتی مانند $\circ: H\times H\longrightarrow P^*(H)$ است. زوج $(H, \circ)$ را یک ابرگروهوار می‌نامیم. فرض کنید $A, B\subseteq H$ و $x\in H$. در این صورت $A\circ \{x\}$، $\{x\}\circ A$ و $A\circ B$ به صورت زیر تعریف می‌شوند. \[A\circ \{x\}=\bigcup\limits_{a\in A}a\circ x,\qquad \{x\}\circ A=\bigcup\limits_{a\in A}x\circ a,\qquad A\circ B=\bigcup\limits_{{\tiny \begin{array}{c}a\in A\\b\in B\end{array}}}a\circ b\] اگر ابرعمل $\circ$ تعریف شده روی مجموعه‌ی $H$ شرکت‌پذیر باشد یعنی به ازای هر $x, y, z\in H$ داشته باشیم $x\circ (y\circ z)=(x\circ y)\circ z$، آنگاه زوج $(H, \circ)$ را نیم‌ابرگروه می‌نامیم. نیم‌ابرگروه $(H, \circ)$ را ابرگروه می‌نامیم هرگاه به ازای هر $x\in H$ داشته باشیم $x\circ H=H\circ x=H$. زیرمجموعه‌ی $K$ از ابرگروه $H$ را زیرابرگروه می‌نامیم هرگاه به ازای هر $x\in K$ داشته باشیم $x\circ K=K\circ x=K$. در این پژوهش نظریه‌ی گراف و ابرگراف همراه با نظریه‌ی ابرساختارهای جبری را مورد مطالعه قرار داده و به بررسی ارتباط بین گرافها، ابرگرافها و ابرساختارهایی مانند ابرگروهها و ابرگروهوارها خواهیم پرداخت. \item[{\bf ب) }]{\bf سابقه تحقیق:} از اواسط قرن گذشته، نظریه‌ی گراف دارای اهمیت بسیاری در زمینه‌های مختلف از جمله هندسه، نظریه‌ی اعداد، بهینه سازی، توپولوژی، جبرهای میانی و نظایر آنها بوده است. برای حل مسائل ترکیبیاتی جدید لازم بود که مفهوم گراف توسعه داده شود. حدود سال ۱۹۶۰ بود که مفهوم ابرگراف پدیدار شد و یکی از اهداف ابتدایی آن تعمیم بعضی از نتایج کلاسیک نظریه گراف بود. نظریه‌ی ابرگراف، ابزاری مفید برای مسائل بهینه‌سازی گسسته می‌باشد. نظریه‌ی گرافها و ابرگرافها در کتابی از \lr{C. Berge} به خوبی مورد مطالعه قرار گرفته‌اند \cite{berge}. نظریه ابرساختارهای جبری در سال ۱۹۳۴ در هشتمین کنگره ریاضیدانان اسکاندیناوی توسط مارتی، ریاضیدان فرانسوی، مطرح شد \cite{marty1934}. ابرساختارهای جبری تعمیمی از ساختارهای جبری کلاسیک هستند. در یک ساختار جبری کلاسیک، ترکیب دو عضو یک عضو است در حالی که در ابرساختارهای جبری، ترکیب دو عضو یک مجموعه است. دهه‌ی ۷۰ را می‌توان آغاز پیشرفت این نظریه دانست. کراسنر نظریه زیرابرساختارها را گسترش داد و روابطی را روی ابرساختارها تعریف کرد. میتاس و شاگردانش ابرگروههای کانونی را مطالعه کردند. استراتیگوپولوس در ادامه‌ی مطالعات انجام شده توسط کراسنر، ابرحلقه‌های ناجابجایی و ابرمدول‌ها را بررسی کرد. کونگاتسف، اسپارتالیس و درامالیدیس به آنالیز ابرگروههای دوری، $P$- ابرعمل‌ها و نمایش $H_v$ ساختارها پرداختند. برقراری ارتباط بین نظریه‌ی گراف و ابرگراف و ابرساختارها توسط بعضی از ریاضیدانان مورد مطالعه قرار گرفته است. گرافهای تعمیم یافته و ابرگروهها توسط جیون فریدو مورد مطالعه قرار گرفت. کومر ابرگروههای شبه کانونی را جهت ارتباط با گرافهای یال رنگی مطرح کرد. رزنبرگ، لئورینو و کورسینی دیگر کسانی بودند که نتایجی را در زمینه‌ی گرافها، ابرگرافها و ابرگروهها به دست آوردند. کارهای اخیر در این زمینه را می‌توان در صفحات ۵۵ تا ۹۴ از \cite{book-corsini-2003} مشاهده کرد. \item[{\bf ج)}]{\bf کلمات کلیدی: } فارسی: \parbox{12cm}{ \FarsiKeywords.} انگلیسی: \parbox{15cm}{\raggedleft{\latin \EnglishKeywords}} \item[{\bf د) }]{\bf فرضیات (یا سئوالات پژوهشی):} ۱ - آیا می‌توان با داشتن یک ابرگراف، یک ابرگروهوار یا یک ابرگروه ساخت و برعکس آیا می‌توان با داشتن یک ابرگروه، یک ابرگراف پدید آورد؟ %۲ - اگر ابرگروه $(H, \circ)$ توسط ابرگراف $\Gamma$ پدید آید، آنگاه چه ارتباطی بین زیرابرگروه‌های $(H, \circ)$ و زیرابرگراف‌های %$\Gamma$ وجود دارد؟ % %۳ - فرض کنید ابرگروه $(H, \circ)$ توسط ابرگراف $\Gamma$ پدید آید. اگر ابرگراف $\Gamma'$ توسط ابرگروه $(H, \circ)$ پدید آید، %آیا $\Gamma$ و $\Gamma'$ یکریخت خواهند بود؟ % %۴ - فرض کنید ابرگراف $\Gamma$ توسط ابرگروه $H$ پدید آید. اگر ابرگروه $H'$ توسط ابرگراف $\Gamma$ پدید آید، %آیا $H$ و $H'$ یکریخت خواهند بود؟ % 2 - اگر ابرگراف‌های $\Gamma$ و $\Gamma'$ به ترتیب توسط ابرگروه‌های $H$ و $H'$ به وجود آیند، چه ارتباطی بین یکریختی ابرگراف‌های $\Gamma$ و $\Gamma'$ و یکریختی ابرگروه‌های $H$ و $H'$ وجود دارد؟ % %۶ - اگر $D_\Gamma$ مجموعه‌ی درجات رئوس ابرگراف $\Gamma$ بوده و ابرعملی مانند $\circ$ روی $D_\Gamma$ تعریف کنیم، آنگاه با چه %شرطی $(D_\Gamma, \circ)$ می‌تواند یک ابرگروه باشد؟ % %۷ - اگر $H$ و $H'$ ابرگروه‌های پدید آمده توسط ابرگراف‌های $\Gamma$ و $\Gamma'$ باشند، آنگاه آیا ابرگروه $H\times H'$ توسط %ابرگراف $\Gamma\times\Gamma'$ پدید می‌آید؟ % %۸ - اگر ابرگروه $H$ توسط ابرگراف $\Gamma$ پدید آمده باشد، آنگاه گروه اساسی $H$ چه خواهد بود؟ \item[{\bf هـ)}]{\bf روش تحقیق (مخصوص دانشکده‌های علوم انسانی و هنر و معماری):} \item[{\bf و)}]{\bf مراحل اجرای پروژه و زمان بندی:} \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|}\hline 1 & جمع آوری منابع و مطالب & 3 ماه \\ \hline 2 & مطالعه و پژوهش & 18 ماه \\ \hline 3 & تدوین و نگارش پایان نامه & 3 ماه \\ \hline 4 & تایپ & 3 ماه \\ \hline 5 & مجموع & 27 ماه\\ \hline \end{tabular} \end{center} \item[{\bf ز)}]{\bf خلاصه پیشنهادیه رساله به زبان انگلیسی:} \latin A hypergraph is a pair $\Gamma=(H, E)$, where $H$ is a finite set of vertices and $E=\{E_1, \ldots, E_m\}$ is a set of hyperedges which are non-empty subsets of $H$ such that $\bigcup\limits_{i=1}^mE_i=H$. Connections between hypergraphs and hyperstructures are studied by many authors, for example see \cite{corsini-hypergraph, Pli, Iranmanesh-iradmusa, VL}. In \cite{corsini-hypergraph}, corsini considered a hypergraph $\Gamma=(H, \{E_i\}_i)$ and defined a hyperoperation $\circ$ on $H$ as follows: \[\forall x, y\in H^2,\quad x\circ y=E(x)\cup E(y)\] where $E(x)=\bigcup\limits_{x\in E_i}E_i$. He found a necessary and sufficient condition in which $H_\Gamma=(H, \circ)$ is a hypergroup. Our purpose is to study hyperstructures like hypergroupoids and hypergroups associated with hypergraphs. In this regards, we construct a hypergroupoid or a hypergroup by means a given hypergraph. Also, we bridge between subhypergraphs and subhypergroups, cartesian product of hypergraphs and cartesian product of hypergroups and so on. The fundamental relation of a hypergroup constructed from a hypergraph will be studied. \persian %\item[{\bf ح)}]{\bf فهرست منابع ومآخذ:} %\vspace*{-2cm} %\nopagebreak %\renewcommand{\bibname}{ } {\latin \renewcommand\bibname{\flushright{\persian \small \bf ح) فهرست منابع ومآخذ:} } \renewcommand\refname{\flushright{\persian \small \bf ح) فهرست منابع ومآخذ:} } \bibliographystyle{abbrv} \latin \bibliography{farshi} } \persian % %\nopagebreak %\begin{thebibliography}{99} %{\Latin %\bibitem{abfg-rftgs-07} %Mohammad~Ali Abam, Mark de~Berg, Mohammad Farshi, and Joachim Gudmundsson. %\newblock Region-fault tolerant geometric spanners. %\newblock In {\em SODA~'07: Proceedings of the SODA}, pages 1--10, 2007. % %\bibitem{addjs-sswg-93} %Ingo Alth{\"o}fer, Gautam Das, David~P. Dobkin, Deborah Joseph, and Jos{\'{e}} % Soares. %\newblock On sparse spanners of weighted graphs. %\newblock {\em Discrete and Computational Geometry}, 9(1):81--100, 1993. %} %\end{thebibliography} \end{itemize} \underline{\bf 3- مواد، وسایل و دستگاه‌های مورد نیاز و منبع تأمین:} \begin{center} \begin{tabular}{p{6cm}p{6cm}} نام ماده یا دستگاه & محل تامـین\\ &\\ \end{tabular} \end{center} \underline{\bf 4- تعهد نامه دانشجو:} اینجانب {\bf \FirstName~\LastName\ } متعهد می‌شوم که با توجه به مفاد این پیشنهادیه به طور تمام وقت، زیر نظر استادان راهنما و مشاور انجام وظیفه نمایم. . در ضمن {\bf \large «تعهد رعایت حقوق معنوی دانشگاه یزد»} را مطالعه نموده و با اطلاع از این‌که شرط فارغ‌التحصیلی اینجانب پایبندی شرعی و قانونی به رعایت حقوق معنوی مذکور است و باید تعهدنامه امضاء شده را همراه رساله صحافی نمایم، اقدام به انجام پیشنهادیه تصویب شده خواهم کرد. \nopagebreak \centerline{ \bf تاریخ و امضای دانشجو} %%%%%%%%% \input{./Source/PhD-Prop-Last-Page-V4.tex} \end{document}