بسمه تعالی
باسلام واحترام
جهت شکسته شدن فرمول های طولانی از دستور پیشنهادی align و longequationاستفاده نمودم ولی هنگام اجرا سیستم error می دهد لطفا راهنمایی فرمایید درحالت زیر فرمول ها از چه دستوری و به چه صورت باید استفاده گردد واینکه درپیش فرض هم با خطا روبه رو نشوم، چه اقدامی باید صورت پذیرد:
در صفحات 24،26 و 27 مو جود در پیوست2پایین صفحه خالی می افتد جهت رفع این فضای خالی راه حل پیشنهادی چیست؟ یعنی به چه صورت می توان مطالب صفحه بعد را در پایین صفحه قبل درج نمود.لازم بذکر است متن نوشتاری پیوست 2 به صورت زیر می باشد:
حداکثر خروجی تولید شود و $(\theta X_o,Y_o)$ روی مرز مجموعه امکان تولید قرار گیرد؛ لذا مساله زیر باید حل شود:
\begin{equation}\label{equ:1}
\begin{array}{ll}
\min& \theta \\
\mathrm{s.t.}&(\theta X_o,Y_o)\in T_C
\end{array}
\end{equation}
با توجه به ساختار $T_C$ مدل \ref{equ:CCREI} گسترده‌ی مدل \ref{equ:1} است.
\begin{equation}\label{equ:CCREI}
\begin{array}{lll}
\min &\theta& \\
\mathrm{s.t.}&\d\sum _{j=1}^n\lambda _jX_{j}\leq \theta X_{o}, \\
& \d\sum _{j=1}^n\lambda _jY_{j}\geq Y_{o}, \\
&\lambda _j\geq 0,&j=1,\cdots ,n. \\
\end{array}
\end{equation}
مدل \ref{equ:CCREI} را فرم پوششی\LTRfootnote{Envelopment form} مدل \lr{CCR} درماهیت ورودی\LTRfootnote{Input oriented} می‌نامند.\\
مدل \ref{equ:CCREI} به فرم مدل \ref{equ:CCREI1} بازنویسی می‌گردد.
\begin{equation}\label{equ:CCREI1}
\begin{array}{lll}
\min&\theta& \\
\mathrm{s.t.}&\d\sum _{j=1}^n\lambda _jX_{j}+S^-= \theta X_{o}, \\
& \d\sum _{j=1}^n\lambda _jY_{j}-S^+= Y_{o}, \\
&\lambda _j\geq 0,&j=1,\cdots ,n, \\
&S^-\geq 0, \\
&S^+\geq 0. \\
\end{array}
\end{equation}
\subsubsection{ کارایی در فرم پوششی مدل \lr{CCR} در ماهیت ورودی }\label{subsec:CCREIe}
\*
برای بدست آوردن مقدار مازاد ورودی و کمبود خروجی باید مساله دو مرحله‌ای زیر حل شود:
\begin{itemize}
\item[*]
مرحله اول: با حل مدل \ref{equ:CCREI}،$\theta^*$ به عنوان مقدار بهینه این مدل بدست می‌آید.
\item[*]
مرحله دوم: حل مساله خطی \ref{equ:2}
\begin{equation}\label{equ:2}
\begin{array}{lll}
\max& \d\sum _{i=1}^ms_i^-\;+\;\d\sum _{r=1}^ss_r^+ \\
\mathrm{s.t.}&\d\sum _{j=1}^n\lambda _jx_{ij}+s_i^-= \theta^* x_{io},& i=1,\cdots ,m, \\
& \d\sum _{j=1}^n\lambda _jy_{rj}-s_r^+= y_{ro},& r=1,\cdots ,s, \\
&\lambda _j\geq 0,&j=1,\cdots ,n, \\
&s_i^-\geq 0,&i=1,\cdots ,m, \\
&.s_r^+\geq 0,&r=1,\cdots ,s. \\
\end{array}
\end{equation}
\end{itemize}
که $(\lambda,S^-,S^+)$ متغیرهای مساله هستند.
فرض کنید $(\theta^*,\lambda^*,S^{-*},S^{+*})$ جواب بهینه مدل دو مرحله ای مذکور باشد. اگر در مرحله اول $\theta^ *=1$ و در مرحله دوم همه متغیرهای کمکی صفر باشند یعنی $(S^{-*},S^{+*})=(0,0)$ آنگاه $\DMU_o$ تحت ارزیابی را کارا(کارای قوی) گویند. اگر $\theta^ *=1$ و حداقل در یکی از جواب‌های مدل پوششی $(S^{-*},S^{+*})\neq(0,0)$ آنگاه $\DMU_o$ را کارای ضعیف\LTRfootnote{Weak Efficienct} گویند. اگر $\theta^*\neq1$، آنگاه $\DMU_o$ را ناکارا گویند.
\subsubsection{ مجموعه مرجع }\label{subsec:CCRRS }
\*
برای $\DMU_o$ ناکارا مجموعه مرجع\LTRfootnote{Reference Set} $E_o$ به صورت زیر تعریف می‌شود:
\[
E_o=\{j\mid \text{ مثبت باشد.} DMU_o \text{ در یکی از جواب‌های بهینه در ارزیابی }\lambda_j^* \}.
\]
\subsubsection{ فعالیت بهبود یافته }\label{subsec:CCRe }
\*
در فرم پوششی مدل \lr{CCR} ماهیت ورودی \ref{equ:CCREI1} جواب بهینه را می‌توان به صورت زیر نوشت:
\[
\theta ^*X_o= \d\sum _{j\in {E_o}}\lambda _j^*X_j+S^{-^*}
\]
\[
Y_o= \d\sum _{j\in {E_o}}\lambda _j^*X_j-S^{+^*}
\]
برای $\DMU_o$ با بردار ورودی $X_o$ و بردار خروجی $Y_o$، امکان تولید
\[
(\hat{X}_o,\hat{Y}_o)=\left( \left( \d\sum _{j\in {E_o}}\lambda _j^*X_j,\d\sum _{j\in {E_o}}\lambda _j^*Y_j\right)=(\theta ^*X_o-S^{-^*},Y_o+S^{+^*})\right)
\]
را فعالیت بهبودیافته\LTRfootnote{Improved activity} گویند که در حقیقت تصویر امکان تولید $X_o$ و $Y_o$ روی مرز کارای قوی می‌باشد. در واقع فعالیت بهبود یافته فوق به مفهوم پاراتو کارا می‌باشد(یعنی کارای قوی است).
\subsection{ فرم مضربی مدل \lr{CCR} در ماهیت ورودی }\label{subsec:CCRMI }
\*
دوگان فرم پوششی مدل \lr{CCR} درماهیت ورودی (\ref{equ:CCREI}) به صورت زیر است:
\begin{equation}\label{equ:CCRMI}
\begin{array}{lll}
\max& U^tY_o& \\
\mathrm{s.t.}& \ U^tY_j- V^tX_j\leq 0,&j=1,\cdots ,n, \\
& V^tX_o=1,&\\
& U\geq 0, \\
& V\geq 0.
\end{array}
\end{equation}
مدل \ref{equ:CCRMI} به فرم مضربی\LTRfootnote{Multiplier form} مدل \lr{CCR} درماهیت ورودی معروف است.
\subsubsection{ کارایی در فرم مضربی مدل \lr{CCR} در ماهیت ورودی }\label{subsec:CCRMIe}
\*
فرض کنید $(V^*,U^*)$ جواب بهینه فرم مضربی مدل \lr{CCR} درماهیت ورودی (\ref{equ:CCRMI}) باشد. اگر $U^{t*}Y_o=1$ و حداقل یک جواب بهینه $(V^*,U^*)>0$ وجود داشته باشد، آنگاه $\DMU_o$ را کارا(کارای قوی) گویند. اگر $U^{t*}Y_o=1$ و در همه جواب‌های بهینه حداقل یک مولفه‌ی صفر وجود داشته باشد، آنگاه $\DMU_o$ را کارای ضعیف گویند. اگر $\ U^{t*}Y_o\neq1$، آنگاه $\DMU_o$ ناکارا است.
\subsection{ فرم مضربی و پوششی مدل \lr{CCR}، $\varepsilon$دار در ماهیت ورودی }\label{subsec:CCRMI }
\*
فرم مضربی مدل\lr{CCR}، $\varepsilon $دار در ماهیت ورودی در سال 1984 توسط چارنز و کوپر \cite{27}به صورت زیر تعریف شده است:
\begin{equation}\label{equ:CCRMIe}
\begin{array}{lll}
\max& \d\sum _{r=1}^su_ry_{ro}& \\
\mathrm{s.t.}& \d\sum_{r=1}^su_ry_{rj}- \d\sum _{i=1}^mv_ix_{ij}\leq 0,&j=1,\cdots ,n, \\
& \d\sum_{i=1}^mv_ix_{io}=1,&\\
& u_r\geq \varepsilon ,&r=1,\cdots ,s, \\
& v_i\geq \varepsilon,& i=1,\cdots ,m.
\end{array}
\end{equation}
کارایی در این مدل مشابه بخش \ref{subsec:CCRMIe} می‌باشد.
دو آل مدل \ref{equ:CCRMIe} می‌تواند به صورت زیر فرمولبندی شود:
\begin{equation}\label{equ:CCREIe}
\begin{array}{lll}
\min&\theta -\varepsilon \left(\d\sum _{i=1}^ms_i^-\;+\;\d\sum _{r=1}^ss_r^+\right)& \\
\mathrm{s.t.}&\d\sum _{j=1}^n\lambda _jx_{ij}+s_i^-= \theta x_{io},& i=1,\cdots ,m, \\
& \d\sum _{j=1}^n\lambda _jy_{rj}-s_r^+= y_{ro},& r=1,\cdots ,s, \\
&\lambda _j\geq 0,&j=1,\cdots ,n, \\
&s_i^-\geq 0,&i=1,\cdots ,m, \\
&.s_r^+\geq 0,&r=1,\cdots ,s. \\
&\theta \;\;\mathrm{Free \;\;in\;\; sign}.&
\end{array}
\end{equation}
مدل \ref{equ:CCREIe} فرم پوششی مدل \lr{CCR}، $\varepsilon$دار در ماهیت ورودی می‌باشد\cite{1.11}. وضعیت کارایی در این حالت مشابه بخش \ref{subsec:CCREIe} محاسبه می‌گردد.
\subsection{ فرم پوششی مدل \lr{CCR} در ماهیت خروجی }\label{subsec:CCREO }
\*
فرم پوششی با ماهیت خروجی\LTRfootnote{Output Oriented} مدل \lr{CCR} سعی در پیدا کردن واحد مجازی روی مرز $T_C$ دارد که با همان ورودی حداکثر خروجی را تولید کند؛ به عبارت دیگر در ماهیت خروجی مدل \lr{CCR}، هدف انبساط $Y_o$ به $\varphi Y_o$ می‌باشد، به طوری که حداکثر ورودی $X_o$ مصرف شود و $(X_o,\varphi Y_o)$، روی مرز
