اولا محیط array در داخل محیط equation خود حکم محیط ریاضی را دارد و دیگر نیازی به استفاده از $ برای نوشتن در آن نیست و سبب ایجاد خطا میشود.
ثانیا برای چپچین کردن ستونهای محیط array کافی است آرگومان اول این محیط را که مربوط به چینش ستونهاست (l برای چپچین، r برای راستچین و c برای وسطچین شدن) مطابق با نیاز خود تغییر دهید.
بدین ترتیب، کد شما به صورت زیر درست خواهد شد:
\documentclass{report}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[subnum]{cases}
\begin{document}
\begin{equation*}
{\lambda}_{\min } =\left\{
\begin{array}{ll}
\varphi ({\mu }_{\min },\alpha ) & \text{if}\qquad \alpha \le {\mu}_{\min}\\
\varphi (\alpha,\alpha ) &\text{if}\qquad {\mu}_{\min}\le \alpha \le {\mu}_{\max}\\
\varphi ({\mu }_{\max },\alpha ) &\text{if}\qquad \alpha \ge {\mu}_{\max}
\end{array}\right.
\end{equation*}
\end{document}