خوب شما تمامی راس‌ها را با یک circle مشخص نموده‌اید که برای رئوس پایینی لازم نیست.
و ضمنا برای اینکه خط تا وسط گره کشیده شود کافی است از آدرس .center استفاده نمایید.
و آخر هم برچسب‌های مطلوب را در یک گره دیگر قرار داده و آن گره را در مرکز آن سه قرار دهید.
با نگاه به کد زیر و با توجه به اینکه بخش اصلی طراحی را خودتان انجام داده‌اید حتما مابقی آن را متوجه خواهید.
\documentclass{book}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{shadows,shapes,arrows,chains,decorations.pathreplacing,calc}
\usepackage{amsthm,amssymb,amsmath,tikz}
\tikzstyle{vertex}=[circle, draw, minimum size=0.001 pt]
\newcommand{\vertex}{\node[vertex]}
\newcommand{\vertexi}{\node}
\begin{document}
\begin{figure}[!ht]
\centering
\begin{tikzpicture}
\vertex (1) at (0,0)[label=above:$A$]{};
\vertex (2) at (-1.5,-3) [label=above:$B$]{};
\vertex (3) at (1.5,-3) [label=above:$C$]{};
\vertex (4) at (6,-3) [label=above:$D$]{};
\node (5) at (-3,-6) [label=below:]{};
\node (6) at (-0.5,-6) [label=above:]{};
\node (7) at (0.5,-6) [label=above:]{};
\node (8) at (3,-6) [label=above:]{};
\node (9) at (5,-6) [label=below:]{};
\node (10) at (8,-6) [label=above:]{};
\draw (3) [dashed] edge (4);
\draw (1) edge (2);
\draw (1) edge (3);
\draw (1) edge (4);
\draw (2) edge (5.center);
\draw (3) edge (7.center);
\draw (3) edge (8.center);
\draw (7.center) edge (8.center);
\draw (4) edge (9.center);
\draw (4) edge (10.center);
\draw (9.center) edge (10.center);
\draw (5.center) edge (6.center);
\draw (2) edge (6.center);
\node (a) at ($(5)!0.5!(6)!0.5!(2)$) {a};
\node (b) at ($(7)!0.5!(8)!0.5!(3)$) {b};
\node (a) at ($(9)!0.5!(10)!0.5!(4)$) {c};
\end{tikzpicture}
\caption{}
\label{sh4}
\end{figure}
\end{document}
